Araiza_Rincón_Sánchez_T6 - Axel

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Análisis Numérico
Grupo: 13
UNAM / FI / DCB(DIE)
Semestre 2021-1
Tarea 6
Polinomios de Interpolación de Newton y Lagrange
Araiza Alfredo, Rincón Carlos, Sánchez Axel
1. Polinomio de interpolación de Lagrange considerando los
tres primeros puntos:
P2(x) = 0.105x
2 + 0.605x+ 0.18 (1)
2. Polinomio de interpolación de Newton considerando los
tres últimos puntos, utilizando diferencias divididas:
P2(x) = 0.2433x
2 − 0.2633x+ 1.54 (2)
3. Polinomio de interpolación de Newton considerando los
puntos x=(2,3,4), utilizando el caso de incrementos igua-
les:
P2(x) = 0.155x
2 + 0.355x+ 0.48 (3)
AN21-1x13: Tarea 6 Araiza Alfredo, Rincón Carlos, Sánchez Axel
4. Gráfica de Polinomios de Interpolación:
1 2 3 4 5 6 7
X
0
2
4
6
8
10
12
Y
Gráfica de Polinomios de Interpolación
Pol. de Lagrange
Pol. de Newton Dif. Div
Pol. de Newton con Inc. Igual.
Pol. con todos los valores
2
AN21-1x13: Tarea 6 Araiza Alfredo, Rincón Carlos, Sánchez Axel
5. Descripción de trabajo en equipo
Para obtener los resultados, nos repartimos equitativamente todo el trabajo, Alfredo se encargó
de realizar y modificar los programas para obtener los polinomios de interpolación de Lagrange y
de Newton(incrementos iguales e incrementos variables) además de realizar la gráfica que contiene
dichos polinomios, mientras que Carlos y Axel desarrollaron los ejercicios a mano para la obtención
de los polinomios de interpolación (Lagrange y Newton), y capturaron la información en LATEX,
comparando los resultados con los programas realizados. Al final realizamos una videollamada para
verificar que el archivo y su contenido sean los correctos y para aclarar las dudas que surgieron en
el proceso.
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AN21-1x13: Tarea 6 Araiza Alfredo, Rincón Carlos, Sánchez Axel
6. Desarrollo
4
AN21-1x13: Tarea 6 Araiza Alfredo, Rincón Carlos, Sánchez Axel
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AN21-1x13: Tarea 6 Araiza Alfredo, Rincón Carlos, Sánchez Axel
6
AN21-1x13: Tarea 6 Araiza Alfredo, Rincón Carlos, Sánchez Axel
7. Códigos utilizados
’Código Principal’
1 clc % Limpia Command Window
2 clear all % Limpia Workspace
3 %% Programa Principal
4 a1=[1 2 3];
5 b1=[0.89 1.81 2.94];
6
7 a2=[3 4 6];
8 b2=[2.94 4.38 8.72];
9
10 a3=[2 3 4];
11 b3=[1.81 2.94 4.38];
12
13 a=[1 2 3 4 6];
14 b=[0.89 1.81 2.94 4.38 8.72];
15
16 % Los diferentes a y b son los intervalos para los polinomios de
17 % interpolación
18
19 x=0:0.005:7; % Dominio de 0 a 7
20
21 y1=lagran(a1,b1); % Polinomio Ejercicio 1
22 y2=newton(a2,b2,2); % Polinomio Ejercicio 2
23 y3=newton(a3,b3,2); % Polinomio Ejercicio 3
24 y4=newton(a,b,4); % Polinomio Ejercicio 4
25
26 hold on
27 t1=’Rojo: Lagrange ’;
28 t2=’; Azul: Newton Dif ’;
29 t3=’; Verde: Newton Inc ’;
30 t4=’; Negro: Todos Puntos ’;
31
32 titulo=strcat(t1,t2,t3,t4);
33 disp(titulo)
34
35 % Gráfica ejercicio 1
36 vy1=polyval(y1,x);
37 plot(x,vy1,’r’),title(titulo),xlabel(’x’),ylabel(’y’),grid
38
39 % Gráfica ejercicio 2
40 vy2=polyval(y2,x);
41 plot(x,vy2,’c’)
42
43 % Gráfica ejercicio 3
7
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44 vy3=polyval(y3,x);
45 plot(x,vy3,’g’)
46
47 % Gráfica ejercicio 3
48 vy4=polyval(y4,x);
49 plot(x,vy4,’k’)
50
51 % Para indicar a que polinomio pertenece cada línea
52 legend(’Pol. de Lagrange’,’Pol. de Newton Dif. Div’,...
53 ’Pol. de Newton con Inc. Igual.’,’Pol. con todos los valores’)
54
’Código Método de Lagrange’
1 function C=lagran(x,y)
2 n1=length(x);% tamaño del vector
3 n=n1-1;
4 L=zeros(n1,n1); % Se inicializa Landa
5 for k=1:n+1
6 V=1; % valor auxiliar
7 for j=1:n+1 % Para L1,L2,L3, ....
8 if k~=j; % Pregunta si j es distinto a k
9 V=conv(V,poly(x(j)))/(x(k)-x(j));
10 % conv se utiliza para multiplicar polinomios
11 % La función poly crea un polinomio como x-1 dependiendo
12 % del valor de j
13 end
14 end
15 L(k,:)=V; % Se crea el polinomio lambda,guardando los valores de v en
16 %cada renglón de lambda
17 end
18 C=y*L; % Se crea la sumatoria de polinomios landa por ys
19
’Código Método de Newton’
1 function y= newton(X,Y,n)
2 % n es el grado del polinomio
3 DD=zeros(n+1); % Se inicializa el vector con el grado del polinomio
4 % y se llena de ceros
5 DD(:,1)=Y; % En su columna uno se ingresan los valores de Y
6 for k=2:n+1
7 for J=k:n+1
8 DD(J,k)=[DD(J,k-1)-DD(J-1,k-1)]/[X(J)-X(J-k+1)];
9 % Se va a crear la tabla de diferencias divididas
10 end
8
AN21-1x13: Tarea 6 Araiza Alfredo, Rincón Carlos, Sánchez Axel
11 end
12 syms x;
13 polnew=DD(1,1);
14 P=1;
15 for i=1:n
16 %Se construye el polinomio
17 P=P*(x-X(i));
18 polnew=polnew+P*DD(i+1,i+1);
19 end
20 polnew=expand(polnew); % Multiplica los valores que están en paréntesis
21 y=sym2poly(polnew); % Se obtienen los coeficientes del polinomio
22 return
23
24
25
9