Álgebra_10_Weceslao_Reséndiz_Aguilar - Wenceslao Reséndiz

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SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA DEL ESTADO DE HIDALGO 
DIRECCIÓN GENERAL DE FORMACIÓN Y SUPERACIÓN DOCENTE 
DEPARTAMENTO DE ESCUELAS NORMALES 
ESCUELA NORMAL SUPERIOR PÚBLICA DEL ESTADO DE HIDALGO 
FUNCIONES RACIONALES 
ÁLGEBRA Y FUNCIONES 
Wenceslao Reséndiz Aguilar 
Conocimientos previos: 
 
En las otras unidades hemos explicado algunas características de las funciones polinomiales y su relación con 
sus gráficas, estos son los elementos que hasta el momento hemos considerado: 
 
Dominio y rango de funciones polinomiales 
Funciones pares e impares 
Máximos y mínimos de una función 
Transformación de funciones 
Teorema del residuo 
Teorema del factor 
Teorema de los factores lineales 
Ceros o raíces de un polinomio 
Multiplicidad de raíces 
Teorema de las raíces racionales 
Regla de Ruffini 
 
Actividad 1. Gráfica de una función polinomial 
 
Dadas las siguientes funciones polinomiales hallar en cada una de ellas lo siguiente: 
a) El dominio y rango de las funciones 
b) Estima los máximos y mínimos de la función 
c) Hallar los ceros o raíces de p(x) indicando su grado de multiplicidad 
d) Factorizar p(x) 
e) Dibuja con GeoGebra su gráfica 
 
1. 𝒑(𝒙) = 𝒙𝟔 + 𝟑𝒙𝟓 − 𝟔𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟐 
 
a) Dominio y rango 
El dominio de p(x) son todos los números reales, el rango de p(x) = [−0.80, +∞) 
 
b) Máximos y mínimos 
Máximos: 𝑥1 = 0.28 y Mínimos: 𝑥2, 𝑥3 = 1 𝑦 𝑥4 = −1.78 (hallados observando la gráfica) 
 
c) Hallar los ceros de p(x) indicando su grado de multiplicidad 
 
Divisores de 𝑎0 = ±1 ± 2 
Divisores de 𝑎𝑛 = ±1 
 
 1 3 -6 -3 3 2 
1 1 4 -2 -5 -2 
 1 4 -2 -5 -2 0 
 
Para no evaluar todas las posibilidades utilizamos Minimath y hallamos los ceros de la función: 
 
𝑥1, 𝑥2 = 1; 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 2 , 𝑥3, 𝑥4 = −1; 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 2 𝑦 𝑥5, 𝑥6 = −2; 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 2 
 
d) Factorización de p(x) 
𝑝(𝑥) = (𝑥 − 1)²(𝑥 + 1)²(𝑥 + 2)² 
 
e) Gráfica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. 𝒑(𝒙) = 𝒙𝟕 + 𝟑𝒙𝟔 − 𝟐𝒙𝟓 − 𝟏𝟎𝒙𝟒 + 𝒙𝟑 + 𝟏𝟏𝒙𝟐 − 𝟒 
 
a) El dominio de p(x) son todos los números reales y del rango son todos los reales 
b) Los máximos y mínimos aproximados son: Máximos: 𝑥1, 𝑥2 = −1 𝑦 𝑥3, 𝑥4 = −2 y Mínimos: 𝑥5 =
0 𝑦 𝑥6 = −1.6 (estos se hallaron observando su gráfica, en Calculo Diferencial se calcularán de forma 
exacta) 
c) Para hallar los ceros o raíces de la función utilizaremos el teorema de las raíces racionales, el teorema 
del factor y la regla de Ruffini. 
 
Divisores de 𝑎0 = ±1, ±2 𝑦 ± 4 
Divisores de 𝑎0 = ±1 
 
Por los posibles candidatos a ser ceros racionales son los siguientes ±1, ±2 𝑦 ± 4. Los ceros racionales pueden 
ser repetidos así que es conveniente repetir en la regla de Ruffini cuando hallemos un cero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Los ceros del polinomio son 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 = 1; 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑡𝑟𝑒𝑠 
𝑥4, 𝑥5 = −1 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑜𝑠 𝑦 𝑥6, 𝑥7 = −2 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑜𝑠 
d) Y la factorización completa de la función es: 𝑝(𝑥) = (𝑥 − 1)3(𝑥 + 1)2(𝑥 + 2)2 
 
e) Gráfica de p(x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. 𝒑(𝒙) = 𝟑𝒙𝟓 − 𝟏𝟑𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟑 + 𝟑𝟖𝒙𝟐 + 𝟏𝟓𝒙 − 𝟗 
 
a) Dominio y rango 
El dominio de p(x) son todos los números reales y del rango son todos los reales 
 
b) Máximos y mínimos 
Máximos: 𝑥1, 𝑥2 = −1 𝑦 𝑥3 = 1.66 y Mínimos: 𝑥4 = −02 𝑦 𝑥5, 𝑥6 = 3 (hallados observando la 
gráfica) 
 
c) Hallar los ceros de p(x) indicando su grado de multiplicidad 
 
Divisores de 𝑎0 = ±1 ± 3 ± 9 
Divisores de 𝑎𝑛 = ±1 ± 3 
 
 3 -13 -2 38 15 -9 
-1 -3 16 -14 -24 9 
 3 -16 14 24 -9 0 
-1 -3 19 -33 9 
 3 -19 33 -9 0 
3 9 -30 9 
 3 -10 3 0 
3 9 -3 
 3 -1 0 
1/3 1 
 3 0 
 
Los ceros del polinomio son 
𝑥1, 𝑥2 = −1; 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 2 , 𝑥3, 𝑥4 = 3; 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 2 𝑦 𝑥5 = 1/3 
 
d) Factorización de p(x) 
𝑝(𝑥) = (𝑥 + 1)²(𝑥 − 3)²(3𝑥 − 1) 
 
e) Gráfica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Funciones racionales 
 
Una función es una función racional 
𝑓(𝑥) =
𝑔(𝑥)
ℎ(𝑥)
 
 
Donde 𝑔(𝑥) y ℎ(𝑥) son polinomios 
El dominio de la función 𝑓 está formado por todos los números reales, excepto los ceros del denominador 
ℎ(𝑥). 
El rango de la función f está formado por todos los números reales 
 
Ejemplos. Las siguientes funciones son funciones racionales. 
 
𝑓(𝑥) =
𝑥2 − 2𝑥 + 1
𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 − 1
 
 
𝑓(𝑥) =
3𝑥2 + 𝑥 − 10
𝑥2 + 2𝑥
 
 
𝑓(𝑥) =
𝑥2 + 2𝑥 − 8
𝑥 + 1
 
 
Consideraciones iniciales 
 
Si c es un cero en el denominador de una función racional con frecuencia se presentan estas cuatro 
situaciones: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La recta punteada de la gráfica 𝑥 = 𝑐 de la figura mostrada se llama asíntota vertical. 
 
Definición de asíntota vertical. 
La recta 𝑥 = 𝑐 es una asíntota vertical para la gráfica de una función f si 𝑓(𝑥) → ∞ 𝑜 𝑓(𝑥) → −∞ 
A medida que x se aproxima a c ya sea por la izquierda o la derecha 
 
Definición de asíntota horizontal. 
La recta 𝑦 = 𝑐 es una asíntota horizontal para la gráfica de una función f 
Si 𝑓(𝑥) → 𝑐 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → ∞ 𝑜 𝑥 → −∞ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Interpretación 
 
Caso 1. Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador entonces y = 0 es la asíntota 
horizontal 
 
Ejemplo: 𝑓(𝑥) =
𝑥−1
𝑥2−𝑥−6
 asíntota horizontal 𝐲 = 𝟎 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso 2. Si el grado del numerador es igual al grado del denominador entonces la recta 𝑦 =
𝑎𝑛
𝑏𝑘
 es una asíntota 
horizontal 
 
Ejemplo: 𝑓(𝑥) =
2𝑥2−2𝑥−4
𝑥2+𝑥−12
 asíntota horizontal 𝑦 =
2
1
= 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso 3. Si el grado del numerador es mayor al grado del denominador entonces la función no tiene asíntota 
horizontal. 
 
Ejemplo 𝑓(𝑥) =
8−𝑥3
2𝑥2
 no tiene asíntota horizontal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si te das cuenta la función no tiene asíntota horizontal pero si tiene asíntota oblicua y vertical. 
 
Definición de Asíntota Oblicua 
 
Una asíntota oblicua es una recta de la forma 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≠ 0 tal que la gráfica de la función 𝑓(𝑥) se 
aproxima a esta recta a medida que 𝑥 → +∞ 𝑜 𝑥 → −∞ 
 
 
¿Como hallar una asíntota oblicua? 
 
Si la función racional es 𝑓(𝑥) =
𝑔(𝑥)
ℎ(𝑥)
 si el grado de 𝒈(𝒙) es uno mayor que 𝒉(𝒙) la gráfica tiene una 
asíntota oblicua 
 
Para hallar la asíntota oblicua se puede hacer la división larga a fin de expresar 𝑓(𝑥) en la forma 
 
𝑓(𝑥) =
𝑔(𝑥)
ℎ(𝑥)
 = 𝑎𝑥 + 𝑏 +
𝒓(𝒙)
𝒉(𝒙)
 
 
Donde 
𝒓(𝒙)
𝒉(𝒙)
→ 𝟎 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝒙 → ∞ 𝒐 𝒙 → −∞ 
 
Ejemplo: Hallar la asíntota oblicua de: 
 
𝑓(𝑥) =
2𝑥2 − 𝑥 − 3
𝑥 − 2
 
 
Haciendo la división larga 
 
 
Este cociente se puede escribir de la forma: 
 
𝑓(𝑥) =
2𝑥2 − 𝑥 − 3
𝑥 − 2
= 2𝑥 + 3 +
𝟑
𝒙 − 𝟐
 
 
Donde el cociente 
𝟑
𝒙−𝟐
→ 𝟎 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝒙 → ∞ 𝒐 𝒙 → −∞ 
 
Por lo tanto 𝑓(𝑥) se aproxima a la recta 𝑦 = 2𝑥 + 3 
 
 
 
Guía para trazar una función racional 
 
1. Obtener el dominio de la función 
2. Ordenada al origen (punto donde la función corta al eje y) 
3. Ceros o raíces de la función 
4. Asíntotas verticales 
5. Huecos (si los hay) 
6. Asíntota horizontal 
7. Gráfica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Actividad 2. Trazado de una función racional 
 
1. Identifique cualesquiera asíntotas verticales, asíntotas horizontales y huecos 
 
 
1.1 𝑓(𝑥) =
−2(𝑥 + 5)(𝑥 − 6)
(𝑥 − 3)(𝑥 − 6)
 
Solución 
Asíntotas verticales 
 
Cuando el denominador se hace cero esto es: 
𝑥 − 3 = 0 → 𝑥 = 3 
𝑥 − 6 = 0 → 𝑥 = 6 
 
Pero como el factor 𝑥 − 6 se simplifica con el denominador entonces en este caso se dice que en 𝒙 = 𝟔 hay 
un hueco en la gráfica 
 
Y solo tiene una asíntota vertical𝑥 = 3 
 
Asíntotas horizontales: 
 
Al simplificarse la función queda: 
 
𝑓(𝑥) =
−2(𝑥 + 5)(𝑥 − 6)
(𝑥 − 3)(𝑥 − 6)
=
−2𝑥 − 10
𝑥 − 3
 
Como el numerador es del mismo grado que 
el denominador entonces tiene una asíntota 
horizontal 
𝑦 =
−2
1
= −2 
 
𝑦 = −2 
 
El hueco en una función es un punto de la gráfica que no existe o también se dice que la función presenta una 
discontinuidad en ese punto el valor de la ordenada se halla sustituyendo 𝑥 = 6 en la función simplificada. 
Esto es: 
𝑓(−6) =
−2(6) − 10
(6) − 3
=
−22
3
= −7.33 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.2 𝑓(𝑥) =
2(𝑥 + 4)(𝑥 + 2)
5(𝑥 + 2)(𝑥 − 1)
 
Asíntotas verticales 
 
Cuando el denominador se hace cero esto es: 
𝑥 − 1 = 0 → 𝑥 = 1 
𝑥 + 2 = 0 → 𝑥 = −2 
 
Pero como el factor 𝑥 + 2 se simplifica con el denominador entonces en este caso se dice que en 𝒙 = −𝟐 hay 
un hueco en la gráfica 
 
Y solo tiene una asíntota vertical 𝑥 = 1 
 
Asíntotas horizontales: 
 
Al simplificarse la función queda: 
 
𝑓(𝑥) =
2(𝑥 + 4)(𝑥 + 2)
5(𝑥 + 2)(𝑥 − 1)
=
2𝑥 + 8
5𝑥 − 5
 
Como el numerador es del mismo grado que 
el denominador entonces tiene una asíntota 
horizontal 
𝑦 =
2
5
 
 
𝑦 = 0.4 
 
El hueco en una función es un punto de la gráfica que no existe o también se dice que la función presenta una 
discontinuidad en ese punto el valor de la ordenada se halla sustituyendo 𝑥 = −2 en la función simplificada. 
Esto es: 
𝑓(−2) =
2(−2) + 8
5(−2) − 5
=
4
−15
= −0.266 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hueco (-2,-0.266) 
2. Trace la gráfica de las siguientes funciones 
 
2.1 𝑓(𝑥) =
3
𝑥 − 4
 
 
 Dominio: el dominio de la función son todos los números reales excepto cuando 𝑥 − 4 = 0 es decir 
excepto 𝑥 = 4 
Dom ℝ 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ≠ 4 
 
 Ordenada al origen punto de corte de la función con el eje y 
Hacemos 𝑥 = 0 quedando 
 
𝑓(0) =
3
0 − 4
 
𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑥 = −
3
4
 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎 𝑎𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑦 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (0, −
3
4
) 
 
 Ceros o raíces de la función. 
Para encontrar los ceros de la función hacemos f(x)=0 y resolvemos la ecuación 
 
 0 =
3
𝑥 − 4
 𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 (𝑥 − 4)(0) = 3 
 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑎 3 = 0 𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑜 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠 
 
 Asíntotas verticales. 
Es muy sencillo solo se tiene que verificar que valores de x hacen cero el denominador de la función, en 
este caso es: 
 
𝑥 = 4 a medida que el valor de x se aproxima a 4 por la izquierda o por la derecha 𝑓(𝑥) → ∞ 
Por lo tanto la única asíntota vertical de la función en este caso es 
 
𝑥 = 4 
 
 Huecos 
 
Esta función no tiene huecos 
 
 Asíntotas horizontales. 
 
Como el grado del denominador es menor al grado del denominador, la asíntota de la función es 𝑦 = 0 
de acuerdo al teorema de asíntotas horizontales. 
 
 Gráfica 
 
Para graficarla podemos dar algunos valores del dominio de la función, por ejemplo: 
x 0 2 3 5 6 7 
F(x) -3/4 -3/2 -3 3 3/2 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.2 𝑓(𝑥) =
−3𝑥
𝑥 + 2
 
 
 
 Dominio: el dominio de la función son todos los números reales excepto cuando 𝑥 + 2 = 0 es decir 
excepto 𝑥 = −2 
Dom ℝ 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ≠ −2 
 
 Ordenada al origen punto de corte de la función con el eje y 
Hacemos 𝑥 = 0 quedando 
 
𝑓(0) =
−3(0)
0 + 2
 
𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑥 =
0
2
 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎 𝑎𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑦 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (0,0) 
 
 Ceros o raíces de la función. 
Para encontrar los ceros de la función hacemos f(x)=0 y resolvemos la ecuación 
 
 0 =
−3𝑥
𝑥+2
= (𝑥 + 2)(0) = −3𝑥 = 0 = −3𝑥 = 𝑥 =
0
−3
 = 0 
 
 Por lo tanto, la raíz se encuentra en (0,0) 
 
 Asíntotas verticales. 
Es muy sencillo solo se tiene que verificar que valores de x hacen cero el denominador de la función, en 
este caso es: 
 
𝑥 = −2 a medida que el valor de x se aproxima a -2 por la izquierda o por la derecha 𝑓(𝑥) → ∞ 
Por lo tanto, la única asíntota vertical de la función en este caso es 
 
𝑥 = −2 
 
 Huecos 
 
Esta función no tiene huecos 
 
 Asíntotas horizontales. 
 
Como el numerador es del mismo grado que el denominador entonces tiene una asíntota horizontal 
𝑦 =
−3
1
 
 
𝑦 = −3 
 
 Gráfica 
 
Para graficarla podemos dar algunos valores del dominio de la función, por ejemplo: 
x 0 2 3 5 6 7 
F(x) 0 -3/2 -9/5 -15/7 -9/4 -7/3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.3 𝑓(𝑥) =
4𝑥 − 1
2𝑥 + 3
 
 
 Dominio: el dominio de la función son todos los números reales excepto cuando 2𝑥 + 3 = 0 es decir 
excepto 𝑥 = −3/2 
Dom ℝ 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ≠ −3/2 
 
 Ordenada al origen punto de corte de la función con el eje y 
Hacemos 𝑥 = 0 quedando 
 
𝑓(0) =
4(0) − 1
2(0) + 3
 
𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑥 =
−1
3
 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎 𝑎𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑦 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (0, −
1
3
) 
 
 Ceros o raíces de la función. 
Para encontrar los ceros de la función hacemos f(x)=0 y resolvemos la ecuación 
 
 0 =
4𝑥−1
2𝑥+3
= (2𝑥 + 3)(0) = 4𝑥 − 1 = 0 = 4𝑥 − 1 = 𝑥 =
1
4
 
 
 Por lo tanto, la raíz se encuentra en (
1
4
, 0) 
 
 Asíntotas verticales. 
Es muy sencillo solo se tiene que verificar que valores de x hacen cero el denominador de la función, en 
este caso es: 
 
𝑥 = −3/2 a medida que el valor de x se aproxima a -3/2 por la izquierda o por la derecha 𝑓(𝑥) → ∞ 
Por lo tanto, la única asíntota vertical de la función en este caso es 
 
𝑥 = −3/2 
 
 Huecos 
 
Esta función no tiene huecos 
 
 Asíntotas horizontales. 
 
Como el numerador es del mismo grado que el denominador entonces tiene una asíntota horizontal 
𝑦 =
4
2
 
 
𝑦 = 2 
 
 Gráfica 
 
Para graficarla podemos dar algunos valores del dominio de la función, por ejemplo: 
x 0 2 3 5 6 7 
F(x) -1/3 1 11/9 19/13 23/15 27/17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.4 𝑓(𝑥) =
(4𝑥 − 1)(𝑥 − 2)
(2𝑥 + 3)(𝑥 − 2)
 
 
 
 Dominio 
La función se pude simplificar cancelando los factores iguales (𝑥 − 2) quedando de la siguiente forma: 
 𝑓(𝑥) =
4𝑥 − 1
2𝑥 + 3
 𝑒𝑙 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 ℝ 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑝𝑡𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 2𝑥 + 3 = 0 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = −3/2 
𝐷𝑜𝑚 ℝ 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ≠ −
3
2
, 𝑦 𝑥 ≠ 2 
 
 Huecos. 
La función tiene un hueco en 𝑥 = 2 
 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑓(2) =
4(2)−1
2(2)+3
=
7
7
 𝑦 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 ℎ𝑎𝑦 𝑢𝑛 ℎ𝑢𝑒𝑐𝑜 𝑒𝑠 (2,1) 
 Ordenada al origen 
𝑓(0) =
4(0) − 1
2(0) + 3
= −
1
3
 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑦 𝑒𝑠 (0, −1/3) 
 
 Ceros o raíces de la función 
 
0 =
4𝑥 − 1
2𝑥 + 3
 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 (0)(2𝑥 + 3) = 4𝑥 − 1 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 4𝑥 − 1 = 0 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = 1/4 
El punto (
1
4
, 0) 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 
 Asíntotas verticales 
La asíntota vertical es la recta 𝑥 = −3/2 
 
 Asíntotas horizontales 
Como el grado del denominador es menor al grado del denominador entonces la recta 
 𝑦 =
4
2
= 2 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑎𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 
 
 Gráfica. 
Para graficarla podemos considerar los puntos de intersección de los ejes, las asíntotas verticales y 
horizontales y dar algunos valores del dominio de la función: 
X -3 -4 -6 0 2 5 1/4 
F(x) 13/3 17/5 25/9 -1/3 1 19/13 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.5 𝑓(𝑥) =
−4
(𝑥 − 2)2
 
 
 Dominio: el dominio de la función son todos los números reales excepto cuando 𝑥 − 2 = 0 es decir 
excepto 𝑥 = 2 
Dom ℝ 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ≠ 2 
 
 Ordenada al origen punto de corte de la función con el eje y 
Hacemos 𝑥 = 0 quedando 
 
𝑓(0) =
−4
(0 − 2)²
 
𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑥 =
−4
4
 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎 𝑎𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑦 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (0, −1) 
 
 Ceros o raíces de la función. 
Para encontrarlos ceros de la función hacemos f(x)=0 y resolvemos la ecuación 
 
 0 =
−4
(0−2)²
= (0 − 2)2(0) = −4 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 0 = −4 
 
 𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑜 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠 
 
 Asíntotas verticales. 
Es muy sencillo solo se tiene que verificar que valores de x hacen cero el denominador de la función, en 
este caso es: 
 
𝑥 = 2 a medida que el valor de x se aproxima a 2 por la izquierda o por la derecha 𝑓(𝑥) → ∞ 
Por lo tanto, la única asíntota vertical de la función en este caso es 
 
𝑥 = 2 
 
 Huecos 
 
Esta función no tiene huecos 
 
 Asíntotas horizontales. 
 
Como el grado del numerador es menor que el grado del denominador entonces y = 0 es la asíntota 
horizontal 
 
𝑦 = 0 
 
 Gráfica 
 
Para graficarla podemos dar algunos valores del dominio de la función, por ejemplo: 
x 0 2 3 5 6 7 
F(x) -1 Asíntota -4 -4/9 -1/4 -4/25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.6 𝑓(𝑥) =
𝑥 − 3
𝑥2 − 1
 
 
 Dominio: el dominio de la función son todos los números reales excepto cuando 𝑥² − 1 = 0 es decir 
excepto 𝑥 = ±1 
Dom ℝ 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ≠ ±1 
 
 Ordenada al origen punto de corte de la función con el eje y 
Hacemos 𝑥 = 0 quedando 
 
𝑓(0) =
0 − 3
0² − 1
 
𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑥 =
−3
−1
 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎 𝑎𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑦 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (0,3) 
 
 Ceros o raíces de la función. 
Para encontrar los ceros de la función hacemos f(x)=0 y resolvemos la ecuación 
 
 0 =
𝑥−3
(𝑥²−1)
= (𝑥² − 1) (0) = 𝑥 − 3 → 0 = 𝑥 − 3 → 𝑥 = 3 
 
Por lo tanto, la raíz se encuentra en (3,0) 
 
 Asíntotas verticales. 
Es muy sencillo solo se tiene que verificar que valores de x hacen cero el denominador de la función, en 
este caso es: 
 
𝑥 = ±1 a medida que el valor de x se aproxima a ±1 por la izquierda o por la derecha 𝑓(𝑥) → ∞ 
Por lo tanto, las asíntotas verticales de la función en este caso son 
 
𝑥 = ±1 
 
 
 Huecos 
 
Esta función no tiene huecos 
 
 Asíntotas horizontales. 
 
Como el grado del numerador es menor que el grado del denominador entonces y = 0 es la asíntota 
horizontal 
 
𝑦 = 0 
 
 Gráfica 
 
Para graficarla podemos dar algunos valores del dominio de la función, por ejemplo: 
x 0 2 3 5 6 7 
F(x) 3 -1/3 0 1/12 3/35 1/12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.7 𝑓(𝑥) =
2𝑥2 − 2𝑥 − 4
𝑥2 + 𝑥 − 12
 
 
 Dominio 
𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑓(𝑥) =
2𝑥2 − 2𝑥 − 4
𝑥2 + 𝑥 − 12
=
2(𝑥2 − 𝑥 − 2)
(𝑥 + 4)(𝑥 − 3)
=
2(𝑥 − 2)(𝑥 + 1)
(𝑥 + 4)(𝑥 − 3)
 
𝐷𝑜𝑚 = ℝ 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ≠ −4 𝑦 𝑥 ≠ 3 
 
 Asíntotas verticales 
Las rectas 𝑥 = −4 𝑦 𝑥 = 3 
 
 La ordenada al origen (corte con el eje y) 
𝑓(𝑥) =
2𝑥2 − 2𝑥 − 4
𝑥2 + 𝑥 − 12
 𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑥 = 0 𝑓(0) =
2(0)2 − 2(0) − 4
(0)2 + (0) − 12
=
1
3
 
El punto de corte con el eje y es (0,
1
3
) 
 
 Raíces o ceros de la función 
0 =
2(𝑥 − 2)(𝑥 + 1)
(𝑥 + 4)(𝑥 − 3)
 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 (0)((𝑥 + 4)(𝑥 − 3)) = (𝑥 + 4)(𝑥 − 3) 
𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 0 = 2(𝑥 − 2)(𝑥 + 1) 𝑦 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎: 
𝑥1 = 2 𝑦 𝑥2 = −1 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠: 
(2,0) 𝑦 (−1,0) 𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 
 
 Huecos 
La función no tiene huecos 
 
 Asíntotas horizontales 
Como el grado del numerador es del mismo grado del denominador su asíntota horizontal de la 
función 𝑓(𝑥) =
2𝑥2−2𝑥−4
𝑥2+𝑥−12
 𝑒𝑠 𝑦 =
2
1
= 2 
 
 Gráfica 
El dominio de la función se puede separar en tres regiones considerando las asíntotas verticales, se 
pueden dar algunos valores de x en esas regiones junto con los ceros y ordenada al origen 
encontrados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.8 𝑓(𝑥) =
−𝑥2 − 𝑥 + 6
𝑥2 + 3𝑥 − 4
 
 
 Dominio 
𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑓(𝑥) =
−𝑥2 − 𝑥 + 6
𝑥2 + 3𝑥 − 4
=
𝑥2 + 𝑥 − 6
(𝑥 + 4)(𝑥 − 1)
=
(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)
(𝑥 + 4)(𝑥 − 1)
 
𝐷𝑜𝑚 = ℝ 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ≠ −4 𝑦 𝑥 ≠ 1 
 
x -1 -5 -7 -12 0 2 8 30 
f(x) 0 7 18/5 77/30 1/3 0 9/5 868/459 
 Asíntotas verticales 
Las rectas 𝑥 = −4 𝑦 𝑥 = 1 
 
 La ordenada al origen (corte con el eje y) 
𝑓(𝑥) =
−𝑥2 − 𝑥 + 6
𝑥2 + 3𝑥 − 4
 𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑥 = 0 𝑓(0) =
−(0)2 − (0) + 6
(0)2 + 3(0) − 4
=
6
−4
 
El punto de corte con el eje y es (0, −
6
4
) 
 
 Raíces o ceros de la función 
0 =
(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)
(𝑥 + 4)(𝑥 − 1)
 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 (0)((𝑥 + 4)(𝑥 − 1)) = (𝑥 + 3)(𝑥 − 2) 
𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 0 = (𝑥 + 3)(𝑥 − 2) 𝑦 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎: 
𝑥1 = −3 𝑦 𝑥2 = 2 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠: 
(−3,0) 𝑦 (2,0) 𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 
 
 Huecos 
La función no tiene huecos 
 
 Asíntotas horizontales 
Como el grado del numerador es del mismo grado del denominador su asíntota horizontal de la 
función 𝑓(𝑥) =
−𝑥2−𝑥+6
𝑥2+3𝑥−4
 𝑒𝑠 𝑦 =
−1
1
= −1 
 
 Gráfica 
El dominio de la función se puede separar en tres regiones considerando las asíntotas verticales, se 
pueden dar algunos valores de x en esas regiones junto con los ceros y ordenada al origen 
encontrados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x -7 -5 -1 0 0.5 2 5 8 
f(x) -3/2 -7/3 -1 -3/2 -7/3 0 -2/3 -11/14 
2.9 𝑓(𝑥) =
3𝑥2 − 3𝑥 − 36
𝑥2 + 𝑥 − 2
 
 
 Dominio 
𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑓(𝑥) =
3𝑥2 − 3𝑥 − 36
𝑥2 + 𝑥 − 2
=
3(𝑥2 − 𝑥 − 12)
(𝑥 + 2)(𝑥 − 1)
=
3(𝑥 − 4)(𝑥 + 3)
(𝑥 + 2)(𝑥 − 1)
 
𝐷𝑜𝑚 = ℝ 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ≠ −2 𝑦 𝑥 ≠ 1 
 
 Asíntotas verticales 
Las rectas 𝑥 = −2 𝑦 𝑥 = 1 
 
 La ordenada al origen (corte con el eje y) 
𝑓(𝑥) =
3𝑥2 − 3𝑥 − 36
𝑥2 + 𝑥 − 2
 𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑥 = 0 𝑓(0) =
3(0)2 − 3(0) − 36
(0)2 + (0) − 2
=
−36
−2
 
El punto de corte con el eje y es (0,18) 
 
 Raíces o ceros de la función 
0 =
3(𝑥 − 4)(𝑥 + 3)
(𝑥 + 2)(𝑥 − 1)
 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 (0)((𝑥 + 2)(𝑥 − 1)) = 3(𝑥 − 4)(𝑥 + 3) 
𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 0 = 3(𝑥 − 4)(𝑥 + 3) 𝑦 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎: 
𝑥1 = 4 𝑦 𝑥2 = −3 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠: 
(4,0) 𝑦 (−3,0) 𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 
 
 Huecos 
La función no tiene huecos 
 
 Asíntotas horizontales 
Como el grado del numerador es del mismo grado del denominador su asíntota horizontal de la 
función 𝑓(𝑥) =
3𝑥2−3𝑥−36
𝑥2+𝑥−2
 𝑒𝑠 𝑦 =
3
1
= 3 
 
 Gráfica 
El dominio de la función se puede separar en tres regiones considerando las asíntotas verticales, se 
pueden dar algunos valores de x en esas regiones junto con los ceros y ordenada al origen 
encontrados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x -7 -5 -1 0 0.5 2 5 8 
f(x) 33/10 3 15 18 147/5 -15/2 6/7 66/35 
2.10 𝑓(𝑥) =
𝑥 − 1
𝑥3 − 4𝑥
 
 Dominio 
𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑓(𝑥) =
𝑥 − 1
𝑥(𝑥2 − 4)
 
𝐷𝑜𝑚 = ℝ 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ≠ 0 𝑦 𝑥 ≠ ±2 
 
 Asíntotas verticales 
Las rectas 𝑥 = ±2 𝑦 𝑥 = 0 
 
 La ordenada al origen (corte con el eje y) 
𝑓(𝑥) =
𝑥 − 1
𝑥3 − 4𝑥
 𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑥 = 0 𝑓(0) =
(0) − 1
(0)3 − 4(0)
=
−1
0
 
 
𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑙 𝑜𝑟í𝑔𝑒𝑛 
 
 Raíces o ceros de la función 
0 =
𝑥 − 1
(𝑥3 − 4𝑥)
 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 (0)(𝑥3 − 4𝑥) = (𝑥 − 1) 
𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 0 = (𝑥 − 1) 𝑦 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎: 
𝑥1 = 1 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜: 
(1,0) 𝑒𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 Huecos 
La función no tiene huecos 
 
 Asíntotas horizontales 
Como el grado del numerador es menor que el grado del denominador entonces y = 0 es la asíntota 
horizontal 
 
𝑦 = 0 
 
 Gráfica 
El dominio de la función se puede separar en cuatro regiones considerando las asíntotas verticales, se 
pueden dar algunos valores de x en esas regiones junto con los ceros y ordenada al origen 
encontrados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x -7 -5 -1 0 1 2 5 8 
f(x) 8/315 2/35 -2/3 Asíntota 0 Asíntota 4/105 7/480 
3. Encuentre la asíntota oblicua y trace la gráfica de f. 
 
3.1 𝑓(𝑥) =
𝑥2 − 𝑥 − 6
𝑥 + 1
 
 
 
 Dominio de la función 
Factorizando 𝑓(𝑥) =
𝑥2−𝑥−6
𝑥+1
=
(𝑥−3)(𝑥+2)
𝑥+1
 
𝐷𝑜𝑚 = ℝ 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ≠ −1 
 
 Asíntotas verticales 
Tiene una asíntota vertical 𝑥 = −1 
 
 Asíntota oblicua 
No tiene asíntotas horizontales. 
Tiene una asíntota oblicua dado que el grado del numerador es uno más que el grado del denominador 
Si recuerdas se haya realizando la división larga donde la parte entera es la asíntota oblicua. 
 
 x -2 
x+1 x² -x -6 
 -x² -x 
 -2x -6 
 2x +2 
 -4 
 
 
𝑓(𝑥) =
𝑥2 − 𝑥 − 6
𝑥 + 1
= (𝑥 − 2) +
−4
𝑥 + 1
 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 
−4
𝑥 + 1
→ 0 𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑥 → ∞ 𝑜 𝑥 → −∞ 
 
Por lo tanto 𝑓(𝑥) se aproxima a la recta 𝒚 = 𝒙 − 𝟐 
 
 Ordenada al origen 
 𝑓(0) =
(0)2 − (0) − 6
(0) + 1
= −
6
1
 
El punto de corte con el eje y es (0, −6) 
 
 Raíces o ceros de la función 
𝑥2 − 𝑥 − 6
𝑥 + 1
= 0 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥2 − 𝑥 − 6 = (0)(𝑥 + 1) 
𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 𝑥2 − 𝑥 − 6 = 0 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 (𝑥 − 3)(𝑥 + 2) = 0 
 
 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 (3,0) 𝑦 (−2,0) 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 
 Huecos 
La función no tiene huecos 
 
 
 
 Gráfica 
Las asíntotas dividen a la función en dos regiones 𝑥 < −1 𝑦 𝑥 > −1 
Demos valores de x en estas tres regiones 
x -8 -6 -4 -2 0 2 4 5 6 
f(x) -66/7 -36/5 -14/3 0 -6 -4/3 6/5 7/3 24/7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.2 𝑓(𝑥) =
2𝑥2 − 𝑥 − 3
𝑥 − 2
 
 
 Dominio de la función 
Factorizando 𝑓(𝑥) =
2𝑥2−𝑥−3
𝑥−2
=
2𝑥2−𝑥−3
𝑥−2
 
𝐷𝑜𝑚 = ℝ 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ≠ 2 
 
 Asíntotas verticales 
Tiene una asíntota vertical 𝑥 = 2 
 
 Asíntota oblicua 
No tiene asíntotas horizontales. 
Tiene una asíntota oblicua dado que el grado del numerador es uno más que el grado del denominador 
Si recuerdas se haya realizando la división larga donde la parte entera es la asíntota oblicua. 
 
 2x +3 
x-2 2x² -x -3 
 -2x² +4x 
 3x -3 
 -3x +6 
 -3 
 
 
𝑓(𝑥) =
2𝑥2 − 𝑥 − 3
𝑥 − 2
= (2𝑥 + 3) +
−3
𝑥 − 2
 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 
−3
𝑥 − 2
→ 0 𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑥 → ∞ 𝑜 𝑥
→ −∞ 
 
Por lo tanto 𝑓(𝑥) se aproxima a la recta 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟑 
 
 Ordenada al origen 
 𝑓(0) =
2(0)2 − (0) − 3
(0) − 2
=
−3
−2
 
El punto de corte con el eje y es (0,
3
2
) 
 
 Raíces o ceros de la función 
2𝑥2 − 𝑥 − 3
𝑥 − 2
= 0 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 2𝑥2 − 𝑥 − 3 = (0)(𝑥 − 2) 
𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 2𝑥2 − 𝑥 − 3 = 0 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑓ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 (𝑥 −
3
2
) (𝑥 + 1) = 0 
 
 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 (
3
2
, 0) 𝑦 (−1,0) 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 
 Huecos 
La función no tiene huecos 
 
 Gráfica 
Las asíntotas dividen a la función en dos regiones 𝑥 < 2 𝑦 𝑥 > 2 
Demos valores de x en estas tres regiones 
x -4 -3 -2 0 2 4 6 
f(x) -11/2 -18/5 -7/4 3/2 Asíntota 25/2 63/4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.3 𝑓(𝑥) =
8 − 𝑥3
2𝑥2
 
 
 Dominio de la función 
Factorizando 𝑓(𝑥) =
8−𝑥ᶾ
2𝑥²
 
𝐷𝑜𝑚 = ℝ 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ≠ 0 
 
 Asíntotas verticales 
Tiene una asíntota vertical 𝑥 = 0 
 
 Asíntota oblicua 
No tiene asíntotas horizontales. 
Tiene una asíntota oblicua dado que el grado del numerador es uno más que el grado del denominador 
Si recuerdas se haya realizando la división larga donde la parte entera es la asíntota oblicua. 
 
 - 0.5x 
2x² -xᶾ +8 
 x³ 
 8 
 
 
𝑓(𝑥) =
8 − 𝑥ᶾ
2𝑥²
= (−0.5𝑥) +
8
2𝑥²
 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 
8
2𝑥²
→ 0 𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑥 → ∞ 𝑜 𝑥 → −∞ 
 
Por lo tanto 𝑓(𝑥) se aproxima a la recta 𝒚 = −𝟎. 𝟓𝒙 
 
 Ordenada al origen 
 𝑓(0) =
8 − (0)ᶾ
2(0)²
=
8
0
 
 
 𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑙 𝑜𝑟í𝑔𝑒𝑛 
 
 Raíces o ceros de la función 
8 − 𝑥ᶾ
2𝑥²
= 0 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 8 − 𝑥ᶾ = (0)(2𝑥²) 
𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 8 − 𝑥3 = 0 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥ᶾ = 8 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢é𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑟𝑎í𝑧 𝑐ú𝑏𝑖𝑐𝑎 𝑥 = 2 
 
 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (2,0) 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 
 
 Huecos 
La función no tiene huecos 
 
 Gráfica 
Las asíntotas dividen a la función en dos regiones 𝑥 < 0 𝑦 𝑥 > 0 
Demos valores de x en estas tres regiones 
x -4 -3 -2 0 2 4 6 
f(x) 9/4 35/18 2 Asíntota 0 -7/4 26/9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.4 𝑓(𝑥) =
𝑥3 + 1
𝑥2 − 9
 
 
 Dominio de la función 
Factorizando 𝑓(𝑥) =
𝑥3+1
𝑥2−9
=
(𝑥+1)(𝑥2−𝑥+1)
(𝑥+3)(𝑥−3)
 
𝐷𝑜𝑚 = ℝ 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ≠ −3 𝑦 𝑥 ≠ 3 
 
 Asíntotas verticales 
Tiene dos asíntotas verticales 𝑥 = −3 𝑦 𝑥 = 3 
 
 Asíntota oblicua 
No tiene asíntotas horizontales. 
Tiene una asíntota oblicua dado que el grado del numerador es uno más que el grado del denominador 
Si recuerdas se haya, realizando la división larga donde la parte entera es la asíntota oblicua. 
 
 
 
 
 
 
𝑓(𝑥) =
𝑥3 + 1
𝑥2 − 9
= 𝑥 +
9𝑥 + 1
𝑥2 − 9
 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 
9𝑥 + 1
𝑥2 − 9
→ 0 𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑥 → ∞ 𝑜 𝑥 → −∞ 
 
Por lo tanto 𝑓(𝑥) se aproxima a la recta 𝒚 = 𝒙 
 
 Ordenada al origen 
 𝑓(0) =
(0)3 + 1
(0)2 − 9
= −
1
9
 
El punto de corte con el eje y es (0, −
1
9
) 
 
 Raíces o ceros de la función 
𝑥3 + 1
𝑥2 − 9
= 0 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥3 + 1 = (0)(𝑥2 − 9) 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 𝑥3 + 1 = 0 𝑦 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎: 
𝑥3 = −1 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑥 = √−1
3
= −1 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜: 
(−1,0) 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 
 
 Huecos 
La función no tiene huecos 
 
 Gráfica 
Las asíntotas dividen a la función en tres regiones 𝑥 < −3, − 3 < 𝑥 < 3 𝑦 𝑥 > 3 
Demos valores de x en estas tres regiones 
x -10 -6 -4 -2 0 2 4 8 9 
f(x) -999/91 -215/29 -9 7/5 -1/9 -9/5 65/7 513/55 11