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SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA DEL ESTADO DE HIDALGO DIRECCIÓN GENERAL DE FORMACIÓN Y SUPERACIÓN DOCENTE DEPARTAMENTO DE ESCUELAS NORMALES ESCUELA NORMAL SUPERIOR PÚBLICA DEL ESTADO DE HIDALGO FUNCIONES RACIONALES ÁLGEBRA Y FUNCIONES Wenceslao Reséndiz Aguilar Actividad 1. Gráfica y expresión algebraica de una función racional Todas las asíntotas, puntos de intersección y huecos de una función racional 𝒇 están marcados en la figura. Trace una gráfica de 𝒇 y encuentre una expresión algebraica para 𝒇. Solución. La gráfica es como la siguiente: Y su expresión algebraica es de la forma: 𝒇(𝒙) = 𝟐(𝒙 + 𝟑)(𝒙 + 𝟐) (𝒙 − 𝟏)(𝒙 + 𝟐) Justificación Tiene un hueco en 𝒙 = −𝟐 por lo tanto la función racional tiene un factor lineal en el numerador y denominador de la forma (𝒙 + 𝟐) Tiene una asíntota vertical 𝒙 = 𝟏 por lo que el denominador tiene como factor lineal (𝒙 − 𝟏) Tiene un cero en el punto (−𝟑, 𝟎) por lo que el numerador tiene un factor lineal (𝒙 + 𝟑) Tiene una asíntota horizontal porqué el grado del numerador es igual al del numerador así que de acuerdo al teorema la recta se obtiene con el cociente del coeficiente del numerador entre el coeficiente del denominador, esto es 𝒚 = 𝟐 𝟏 entonces solo hay que agregar como factor el 2 en el numerador 1.2 Solución. La gráfica es como la siguiente: Y su expresión algebraica es de la forma: 𝒇(𝒙) = −𝟐(𝒙 − 𝟑)(𝒙 − 𝟒) (𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟒) Justificación Tiene un hueco en 𝒙 = 𝟒 por lo tanto la función racional tiene un factor lineal en el numerador y denominador de la forma (𝒙 − 𝟒) Tiene una asíntota vertical 𝒙 = −𝟏 por lo que el denominador tiene como factor lineal (𝒙 + 𝟏) Tiene un cero en el punto (𝟑, 𝟎) por lo que el numerador tiene un factor lineal (𝒙 − 𝟑) Tiene una asíntota horizontal porqué el grado del numerador es igual al del numerador así que de acuerdo al teorema la recta se obtiene con el cociente del coeficiente del numerador entre el coeficiente del denominador, esto es 𝒚 = −𝟐 𝟏 entonces solo hay que agregar como factor el -2 en el numerador Actividad 2. Elementos de una función racional y su expresión algebraica Encuentre una expresión algebraica de una función racional 𝑓 que satisfaga las condiciones dadas. 2.1 𝑨𝒔í𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂 𝒗𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍: 𝒙 = 𝟒 𝑨𝒔í𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂 𝒉𝒐𝒓𝒊𝒛𝒐𝒏𝒕𝒂𝒍 𝒚 = −𝟏 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒓𝒔𝒆𝒄𝒄𝒊ó𝒏 𝒄𝒐𝒏 𝒆𝒍 𝒆𝒋𝒆 𝒙 = 𝟑 Solución Al tener una asíntota vertical 𝑥 = 4 la función tiene un factor en el denominador de la forma (𝑥 − 4) Como tiene asíntota horizontal 𝑦 = −1 el grado del numerador es igual al grado del denominador, por lo tanto esto es 𝑦 = − 1 1 , así que hay que agregar -1 en el numerador Como tiene un cero en (3,0) entonces el numerador tiene como factor lineal (𝑥 − 3) Hasta ahora la función resultante es 𝑓(𝑥) = −1(𝑥−3) 𝑥−4 Finalmente queda la función de la siguiente manera 𝑓(𝑥) = −𝑥+3 𝑥−4 Comprobando con GeoGebra se puede observar que la función tiene todos los elementos que nos proporcionan en el problema. 2.2 𝑨𝒔í𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂𝒔 𝒗𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍𝒆𝒔: 𝒙 = −𝟐, 𝒙 = 𝟎 𝑨𝒔í𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂 𝒉𝒐𝒓𝒊𝒛𝒐𝒏𝒕𝒂𝒍 𝒚 = 𝟎 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒓𝒔𝒆𝒄𝒄𝒊ó𝒏 𝒄𝒐𝒏 𝒆𝒍 𝒆𝒋𝒆 𝒙: (𝟐, 𝟎) 𝒚 𝒇(𝟑) = 𝟏 Solución Al tener dos asíntotas verticales 𝑥 = −2, 𝑥 = 0 la función tiene dos factores en el denominador de la forma 𝑥(𝑥 + 2) Como tiene asíntota horizontal 𝑦 = 0 el grado del numerador es menor al grado del denominador Como tiene un cero en (2,0) entonces el numerador tiene como factor lineal (𝑥 − 2) Hasta ahora la función resultante es 𝑓(𝑥) = (𝑥−2) 𝑥(𝑥+2) y al sustituir x=3 en la función se tiene que forzar para que el resultado del cociente sea 1 𝑓(3) = (3 − 2) 3(3 + 2) = 1 15 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑢 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 1 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑝𝑜𝑟 15 𝑎𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 Finalmente queda la función de la siguiente manera 𝑓(𝑥) = 15(𝑥−2) 𝑥(𝑥+2) Comprobando con GeoGebra se puede observar que la función tiene todos los elementos que nos proporcionan en el problema. 2.3 𝑨𝒔í𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂𝒔 𝒗𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍𝒆𝒔: 𝒙 = −𝟑, 𝒙 = 𝟏 𝑨𝒔í𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂 𝒉𝒐𝒓𝒊𝒛𝒐𝒏𝒕𝒂𝒍: 𝒚 = 𝟎 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒓𝒔𝒆𝒄𝒄𝒊ó𝒏 𝒄𝒐𝒏 𝒆𝒍 𝒆𝒋𝒆 𝒙: (−𝟏, 𝟎) 𝒇(𝟎) = −𝟐 𝑯𝒖𝒆𝒄𝒐 𝒆𝒏 𝒙 = 𝟐 Solución: Justifica que esta es la expresión algebraica de la función que satisface las condiciones dadas y después dibuja todos sus elementos en GeoGebra junto con su respectiva gráfica. (como el ejercicio anterior) 𝑓(𝑥) = 6(𝑥 + 1)(𝑥 − 2) (𝑥 + 3)(𝑥 − 1)(𝑥 − 2) Al tener dos asíntotas verticales 𝑥 = −3, 𝑥 = 1 la función tiene dos factores en el denominador de la forma (𝑥 − 1)(𝑥 + 3) Como tiene asíntota horizontal 𝑦 = 0 el grado del numerador es menor al grado del denominador Como tiene un cero en (−1,0) entonces el numerador tiene como factor lineal (𝑥 + 1) Como tiene un hueco en 𝑥 = 2 entonces la función racional tiene un factor lineal en el numerador y denominador de la forma (𝑥 − 2) Hasta ahora la función resultante es 𝑓(𝑥) = (𝑥+1)(𝑥−2) (𝑥+3)(𝑥−1)(𝑥−2) y al sustituir x=0 en la función se tiene que forzar para que el resultado del cociente sea -2 𝑓(3) = (0 + 1)(0 − 2) (0 + 3)(0 − 1)(0 − 2) = −2 6 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑢 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 − 2 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑝𝑜𝑟 6 𝑎𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 Finalmente queda la función de la siguiente manera 𝑓(𝑥) = 6(𝑥+1)(𝑥−2) (𝑥+3)(𝑥−1)(𝑥−2) Comprobando con GeoGebra se puede observar que la función tiene todos los elementos que nos proporcionan en el problema. 2.4 𝑨𝒔í𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂𝒔 𝒗𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍𝒆𝒔: 𝒙 = −𝟏, 𝒙 = 𝟑 𝑨𝒔í𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂 𝒉𝒐𝒓𝒊𝒛𝒐𝒏𝒕𝒂𝒍: 𝒚 = 𝟐 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒔𝒆𝒄𝒄𝒊ó𝒏 𝒄𝒐𝒏 𝒆𝒍 𝒆𝒋𝒆 𝒙: (−𝟐, 𝟎) 𝒚 (𝟏, 𝟎) 𝒉𝒖𝒆𝒄𝒐 𝒆𝒏 𝒙 = 𝟎 Solución Al tener dos asíntotas verticales 𝑥 = −1, 𝑥 = 3 la función tiene dos factores en el denominador de la forma (𝑥 + 1)(𝑥 − 3) Como tiene asíntota horizontal 𝑦 = 2 el grado del numerador es igual al grado del denominador, por lo tanto esto es 𝑦 = 2 1 , así que hay que agregar 2 en el numerador Como tiene dos ceros en (−2,0) (1,0) entonces el numerador tiene como factor lineal (𝑥 + 2)(𝑥 − 1) Como tiene un hueco en 𝑥 = 0 entonces la función racional tiene un factor lineal en el numerador y denominador de la forma 𝑥 Hasta ahora la función resultante es 𝑓(𝑥) = 2𝑥(𝑥+2)(𝑥−1) 𝑥(𝑥+1)(𝑥−3) Finalmente queda la función de la siguiente manera 𝑓(𝑥) = 2𝑥(𝑥+2)(𝑥−1) 𝑥(𝑥+1)(𝑥−3) Comprobando con GeoGebra se puede observar que la función tiene todos los elementos que nos proporcionan en el problema.
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