Analisis de sistemas de potencia Resumen 75 - ArturoSelect

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8.7 RAMAS MUTUAMENTE ACOPLADAS EN 4>arra 297
8.5 RAMAS MUTUAMENTE ACOPLADAS EN Zbarra
Hasta aquí no se ha considerado cómo incorporar en elementos mutuamente acoplados en la red. Los procedimientos para realizar lo anterior no son difíciles. Sin embargo, son algo incontrolables como ahora se demostrará al extender el algoritmo de construcción de Zbarra para que incluya la adición de un par de ramas mutuamente acopladas a la red.1 Una de las ramas se puede añadir a ía Zorig medíante el procedimiento apropiado de la sección 8.3 y la pregunta que queda es cómo añadir la segunda rama de manera que se acople mutuamente con la rama que ya se incluyó en Zorig. Se considerará la barra @, que ya fue establecida dentro de Zorig, en los siguientes cuatro casos que continuarán el sistema de numeración introducido en la sección 8.3.
CASO 5. Añadir una Zb mutuamente acoplada desde una barra existente @ a una nueva barra (g).
Suponga que la impedancia de rama Za ya se ha añadido a la red energizada entre los nodos @ y @ de la figura 8 J1. Entonces, como se muestra, la matriz de impedancias de barra Zorig incluye Za y las barras existentes @, ® y @. Entre la barra @ y la nueva barra @ de la figura 8.11 se requiere añadir la impedancia de rama Zb que está mutuamente acoplada a Za a través de la impedancia mutua ZM. Las ecuaciones de caídas de voltaje para las dos ramas acopladas están dadas en la ecuación (7.9) que se repite aquí como
K = Zfl7a + ZM/6	(8.78)
Vb = ZMIa + ZbIb	(8.79)
donde Ia es la corriente de rama que fluye en Za desde la barra a la (n) y la corriente Ib, que va de la barra (p) a la (g), es igual al negativo de la corriente inyectada Iq. al despejar Ia de la ecuación (8.78) y sustituir el resultado junto con la igualdad Ib = -Iq en la ecuación (8.79) se obtiene
Z í Z2	\
(8.80) \ ¿a	I
Las caídas de voltaje a través de las ramas están dadas, en términos de los voltajes de barra, por Va = {ym - Vn) y Vb = (Vp - Vq), y al sustituir estas relaciones en la ecuación (8.80) se obtiene
7	I 72	\
=	/-zd/,	(8.81)
Esta ecuación da el voltaje en la nueva barra @ con las dos ramas mutuamente acopladas incluidas en la red. La matriz de impedancias de barra para el sistema con una nueva barra @ está dada por
1 Para un análisis más detallado, véase G. W. Stagg y A. H. El-Abiad, Computer Methods in Power System Analysis
(Métodos Computacionales en el Análisis de Sistemas de Potencia), McGraw-Hill, Inc., Nueva York, 1968.
298 CAPÍTULO 8 EL MODELO DE IMPEDANCIAS Y LOS CÁLCULOS DE RED
FIGURA 8.11
Adición a la Zorig de una rama de impedancia Z
que está mutuamente acoplada.
Vi
y ahora se requiere encontrar expresiones para los nuevos elementos con los subíndices q er. la fila q y en la columna q. Una típica fila i de la ecuación (8.82) se puede escribir en la forma
= Z^ + Zi2I2 + ••• +ZiNIN + ZíqIq = V° + ZiqIq (8.83)
j/0
donde por conveniencia se ha denotado
;	’	N
K° = Lzj,	'	(8-84)
; = i
Al seleccionar a i igual am,n,py q en la ecuación (8.83) se obtienen expresiones para Vp y Vq que se pueden sustituir en la ecuación (8.81) para así tener
K«° + ZqqIq =	- y1 (W - Vn) + {Zmq - Znq)Iq}
72	\
— -z /
7	«
I
(8.85 >
La ecuación (8.85) es una ecuación general para la red que ha aumentado independientemente de los valores particulares de las corrientes que se han inyectado. Por lo tanto, con base en la ecuación (8.85), cuando Iq = 0 se debe obtener,
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=	-Tí(^0-^0)	(8-86>
Se sustituyen en la ecuación (8.86) los valores de Km°, K„°, V° y V* obtenidos de la ecuación (8.84), se agrupan términos e igualan los coeficientes de Ij en ambos lados de la ecuación resultante, y se encuentra que
Z.,
(8.87)
para todos los valores de j desde 1 hasta Apero sin incluir q. Así, en la ecuación (8.87) se muestra cómo calcular los elementos, con la excepción de Zqq, en la nueva fila q de la matriz de impedancias de barra mediante los valores conocidos de ZM, Za y ciertos elementos de Zorig. Para obtener el elemento en la fila q. se resta cada elemento de la fila n del elemento correspondiente de la fila m, y la diferencia multiplicada por Zm¡Za se resta del elemento correspondiente de la filap. Así, solamente las filas m. n y p de Zorig entran en los cálculos de la nueva fila q. La nueva columna de q en la ecuación (8.82) es, debido a la simetría, la transpuesta de la nueva fila q y así, Z^ = Zjq. La expresión para el elemento diagonal Zqq se determina considerando todas las corrientes, excepto la Iq, iguales a cero y, entonces, se igualan los coeficientes de Iq en ambos lados de la ecuación (8.85), lo que da
Esta ecuación muestra que hay una secuencia por seguir para determinar los nuevos elementos de la matriz de impedancias de barra. En primer lugar, se calculan los elementos Z^ de la nueva fila q (y por lo tanto los Zjq de la columna q) por medio de la ecuación (8.87) y después se usan las nuevas cantidades calculadas Zmq, Znq y Zpq para encontrar Zqq de la ecuación (8.88).
Hay otros tres casos de interés que involucran las ramas mutuamente acopladas.
s '
t	CASO 6. Añadir una Zb mutuamente acoplada desde una barra existente @ a la referen
cia.
Básicamente, el procedimiento para este caso es una aplicación especial del caso 5. Primero se añade una impedancia Zb entre la barra © y la nueva barra @, que está acoplada a través de la impedancia mutua ZM a la impedancia Za incluida en Zorig. Entonces, se cortocircuita la barra @ al nodo de referencia con lo que Vq es igual a cero, y se llega a la misma ecuación matricial dada por la ecuación (8.82), con la excepción de que Vq es igual a cero. Así, se procede a crear, para la matriz de impedancias de barra modificada, una fila nueva q y una |	columna q que son exactamente iguales a las del caso 5. Una vez hecho esto, se elimina la
fila y columna que se formaron por medio de la técnica estándar de reducción de Kron |	porque Vq es cero en la columna de voltajes de la ecuación (8.82).
l
300 CAPÍTULO 8 EL MÜDELODE IMPEDANCIAS Y LOS CÁLCULOS DE RED
CASO 7. Añadir una Zb mutuamente acoplada entre las barras existentes @ y ®.
En esencia, el procedimiento en este caso combina los casos 5 y 4. Para empezar, se sigue el procedimiento del caso 5 para añadir la impedancia de rama mutuamente acoplada, Zb9 desde la barra existente @ a la nueva barra temporal @, tomando en cuenta que Za ya es parte de Zorig. El resultado es la matriz aumentada de la ecuación (8.82) cuyos elementos q están dados en las ecuaciones (8.87) y (8.88). En seguida se cortocircuita la barra (g) con la barra ® y se añade una rama de impedancia cero entre estas barras. Para hacer esto, se aplica el caso 4 a la ecuación (8.82) de la siguiente forma. Como se requiere que (Vq - V¿) sea cero, se encuentra una expresión para esa cantidad al restar la fila k de la fila q en la ecuación (8.82) y, entonces, se usa este resultado para reemplazar la fila existente q de la ecuación (8.82). Una nueva columna se obtiene directamente de la transpuesta de la nueva fila debido a la simetría (como en el caso 4), y así se obtiene
•í
V, Vi
Zorig
yq-yk
(fila q - fila k) de la ecuación
(8.82)
(columna q -
columna k)
de la
ecuación (8.82)
(8.89)
í
5
I
'i
donde Zc es igual a la suma (Zqq + Zkk-2Zq¿) de elementos tomados de la ecuación (8.82). puede eliminar la nueva fila y la nueva columna de la ecuación (8.89), debido a que (Vq- es igual a cero, a través de la reducción de Kron para encontrar la forma final de la matriz N x N de impedancias de barra.
Para quitar una rama mutuamente acoplada se deben modificar los procedimiento anteriores como a continuación se explica.
I
ti
&
4
4
i
CASO 8. Quitar una Zb mutuamente acoplada de las barras existentes @ y (k).
Una sola rama desacoplada de impedancia Zb se puede quitar del modelo de la red al añadir entre las mismas barras terminales el negativo de la impedancia Zb. Cuando la impedancia Z. que se quiere quitar también está mutuamente acoplada a una segunda rama de impedancia Za, la regla para modificar es añadir una rama entre las barras terminales de Zb9 que tieneuna impedancia negativa -Zb y el mismo acoplamiento mutuo a Za, como la Zb origina1 El procedimiento se ilustra en la figura 8.12. Las ramas mutuamente acopladas Za y Zb con la impedancia mutua ZM ya están incluidas en Zorig, de la manera mostrada. Se añade, en cor cordancia con la regla mencionada anteriormente, la impedancia -Zb que tiene un acoplamiento mutuo ZM con la rama Za y entonces, las ecuaciones de caídas de voltaje para las tre ramas mutuamente acopladas son
Va = Za Ia + ZMIb+ ZMl'b ■	(8.90)
Vb = ZMIa + ZbIb + 0	(8.91
Vb = ZMIa + Q +(-Zb)I'b	(8.92'