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Analisis de sistemas de potencia Resumen 79 - ArturoSelect

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9.1 EL PROBLEMA DE FLUJOS DE POTENCIA 313
Pl =	=	..	(9.12)
7=1	7 = 1	7=1
Pé rdida depotencia real	Generación total Cargo total
Evidentemente, el término PL en la ecuación anterior representa las pérdidas totales PR en las líneas de trasmisión y transformadores de la red. Las corrientes individuales en las diferentes líneas de trasmisión de la red no se pueden calcular hasta después de que se conocen la magnitud y el ángulo del voltaje en cada barra del sistema. Por lo tanto, PL es inicialmente desconocida y no es posible especificar previamente todas las cantidades en las sumatorias de la ecuación (9.12). Al formular el problema de flujos de potencia, se selecciona una barra, la barra de compensación, en la que Pg no está programada o especificada previamente. La diferencia (compensación) entre la P total especificada que va hacia el interior del sistema por todas las otras barras y la salida total de P, más las pérdidas PR, se asignan a la barra de compensación después de que se ha resuelto el problema de flujos de potencia. Por esta razón, se debe seleccionar una barra con generador como la de compensación. La diferencia entre los megavars totales suministrados por los generadores en las barras y los megavars recibidos por las cargas está dada por
N	N	N
1LQ¡= H Qg¡ ~ E Qdi	(913)
Z —1	Z = 1	Z = 1
Esta ecuación se satisface sobre la base de una barra individual al cumplirse la ecuación (9.11) en cada barra (7) durante el desarrollo de la solución del problema de flujos de potencia. La Q¡ individual se puede evaluar mediante la ecuación (9.7) después de que se tenga disponible la solución de los flujos de potencia. Así, en la cantidad que se encuentra en eL lado izquierdo de la ecuación (9.13) se tiene en cuenta la combinación de megavars asociados con la carga de la línea, los capacitores en paralelo y las reactancias instaladas en las barras, así como también, las así llamadas pérdidas 72X en las reactancias serie de las líneas de trasmisión.
Las magnitudes y ángulos de los voltajes de barra que no se programaron en los datos de entrada del estudio de flujos de potencia se llaman variables de estado o variables dependientes, porque sus valores (que describen el estado del sistema) dependen de las cantidades especificadas en todas las barras. Por tanto, el problema de flujos de potencia consiste en determinar los valores para todas las variables de estado, resolviendo un número igual de ecuaciones de flujos de potencia que se basan en las especificaciones de los datos de entrada. Si hay Ng barras de voltaje controlado (sin contar la barra de compensación) en el sistema de N barras, habrá (2N -Ng-2) ecuaciones por resolver para las (2N -Ng-2) variables de estado, de la manera que se muestra en la tabla 9.1. Una vez que se han calculado las variables de estado, se conoce el estado completo del sistema, y todas las demás cantidades que dependen de las variables de estado se pueden determinar. Cantidades como Px y Q} en la barra de compensación, Q, en cada barra de voltaje controlado y las pérdidas de potencia PL del sistema, son ejemplos de funciones dependientes.
Las funciones P¡ y Q¡ de las ecuaciones (9.6) y (9.7) son funciones no lineales de las variables de estado <5, y IEJ. Por lo tanto, en general, los cálculos de flujos de potencia se emplean técnicas iterativas (como los procedimientos de Gauss-Seidel y de Newton-Raphson)
314 CAPÍTULO 9 SOLUCIONES DE FLUJOS DE POTENCIA
TABLA 9.1
Resumen del problema de flujos de potencia
	Tipo de barra
	No. de barras
	Cantidades especificadas
	No. de ecuaciones disponible
	No. de variables de estado 8/, |EZ|
	Compensación: i = 1
	1
	8„ |r,|
	0
	0
	Voltaje controlado
	
	
	
	
	(i = 2,...,7Vg + 1)
	
	
	
	
	Carga
	
	
	
	
	(z = Ng + 2,..., V)
	N - Ng - 1
	P>, Qi
	2(N - Ng - 1) $
	2{N - Ng - 1)
	Totales
	N
	2N
	2N - Ng - 2
	2N - Ng-2
que serán descritas en este capítulo. El método de Newton-Raphson resuelve la forma polar de las ecuaciones de flujos de potencia hasta que los errores AP y ÁQ en todas las barras caen dentro de los límites especificados. El método de Gauss-Seidel resuelve las ecuaciones del flujo de potencia en coordenadas rectangulares (variable compleja) hasta que las diferencias en los voltajes de barra de una iteración a otra son lo suficientemente pequeñas. Ambos métodos se basan en las ecuaciones de admitancias de barra.
Ejemplo 9.1. Supóngase que la carga P-Q se conoce en cada una de las nueve barras de u- pequeño sistema de potencia y que los generadores sincrónicos están conectados a las barras (X • ©, (5) y ©. Identifique los errores AP y Ag y las variables de estado asociados con cada barra para un estudio de flujos de potencia. Seleccione la barra (1) como la de compensación.
Solución, Las nueve barras del sistema están clasificadas como sigue:
Barras P-Q'.	(4),	® y ®
BarrasP-V: ©, © y ©
Barra de compensación: ®
Los enores correspondientes a la P y Q especificadas son
En las barras P-Q'.
&P3,AQ1', &P4,&Qi', ^P6,^Q6',	AP9,A09
En las barras P-E:	AP2, AP5, AP7
y las variables de estado son
Barras P-Q'. S3, |K3|; ó4,1^1; 56,|K6|; S8, |K8|; S9, |K9|
Barras P-V: S2, 85 87
9.2 EL MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL 315
Como N = 9 y Ng = 3, hay 2N - Ng - 2 = 13 ecuaciones por resolverse para las 13 variables de estado mostradas.
EL MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL
La complejidad de obtener una solución formal para el flujo de potencia en un sistema eléctrico se debe a las diferencias en el tipo de datos especificados para las diferentes clases de barra. Aunque la formulación de ecuaciones suficientes que igualen el número de variables de estado desconocidas no es difícil (como se ha visto), la forma cerrada de la solución no es práctica. Las soluciones digitales de los problemas de flujos de potencia siguen un proceso iterativo al asignar valores estimados a los voltajes de barra desconocidos y calcular nuevos valores para cada voltaje de barra, a partir de los estimados en las otras barras y de las potencias real y reactiva especificadas. Así, se obtiene un nuevo conjunto de valores, para el voltaje en cada barra, que se usa para calcular otro conjunto de voltajes de barra. A cada cálculo de un nuevo conjunto de voltajes se le llama iteración. El proceso iterativo se repite hasta que los cambios en cada barra son menores que un valor mínimo especificado.
Se desarrollarán ecuaciones para un sistema de cuatro barras y después, se escribirán las ecuaciones generales. Se denomina la barra de compensación con el número (1), y los cálculos empiezan con la barra (2). Si P2 prog Y 02, prog son *as potencias real y reactiva programadas, respectivamente, que entran a la red en la barra (2), se obtiene de la ecuación (9.4) con i igual a 2 y N igual a 4,
2 , prog JQ 2 , prog
—-*	=	+ ^22^2 + r2373 + r24K4
V2
Al despejar el valor de V2 se tiene
k2 = -L
Y
1 22 I
*	- iO
2 , prog J 2 , prog
Vi
(9.14)
(9.15)
Por ahora, suponga que las barras (3) y (4) son también barras de carga con potencias real y reactiva especificadas. Expresiones similares a la ecuación (9.15) se pueden escribir para cada barra. En la barra (3) se tiene
r3 = J-
Y
1 33
>	- iO
3 , prog J tí 3 , prog
♦
V.
(9.16)
Si se igualaran las partes real e imaginaria de las ecuaciones (9.15), (9.16) y la ecuación similar de la barra (4), se podrían obtener seis ecuaciones en las seis variables de estado S2 a S4 y |K21 a |F41. Sin embargo, se encontrará la solución para los voltajes complejos directamente de como aparecen en las ecuaciones. La solución se obtiene por la iteración que se
316 CAPÍTULO 9 SOLUCIONES DE FLUJOS DE POTENCIA
basa en las potencias real y reactiva programadas en las barras (2), (3) y (4), el voltaje en la barra de compensación programado	y las estimaciones iniciales de voltaje
La solución de la ecuación (9.15) da el voltaje corregido 72" calculado de la ecuació"
r2(1) = —
y22
lProg jQ^_m + y^(0) + y^(0))
^<0)* ■
(9.r
en la que todas las cantidades en la expresión del lado derecho son especificaciones fijas o bien, estimaciones iniciales. El valor calculado de K2(1) y el valor estimado K2(0)no será" iguales. La igualdad se alcanzará con un buen grado de exactitud después de varias iteración^ y podría ser el valor correcto de V2 con los voltajes estimados, pero sin considerar la poter- cia en las otras barras. Sin embargo, este valor podría no ser la solución para V2 en las condiciones de flujo de potencia especificas, porque los voltajes sobre los que se basa cálculo de V2 son los valores estimados K2(0) y K4(()) en las otras barras y no se conocen todavía los voltajes reales.
A medida que se encuentra el voltaje correcto en cada barra, su valor se va usando para calcular el voltaje correcto en la siguiente barra. Por lo tanto, al sustituir L2(1) en la ecuacic- (9.16) se obtiene, para el primer valor calculado en la barra (3), la ecuación
r3(1) = -1-
3,prog y'^3,prog
-(Y3íVx+Y31V‘" +Y„V?'
(9- L
)
El proceso se repite en la barra (4) y en cada barra de manera consecutiva a través de la r?4 (con la excepción de la barra de compensación) hasta completar la primera iteración en te que se encontraron valores calculados para cada variable de estado. Entonces, se lleva ¿ cabo una y otra vez el proceso completo hasta que la cantidad por corregir en el voltaje e* cada barra es menor que algún índice de precisión determinado previamente. A este procede solución de las ecuaciones de flujos de potencia se le conoce como el método iterativo Gauss-Seidel.	*
Por lo general, se evita la convergencia sobre una solución errónea si los valores ir cíales son de magnitud razonable y no difieren demasiado en fase. Seleccionar los estimados iniciales de los voltajes desconocidos en todas las barras de carga como iguales a 1.0 / 0o p - unidad, es una práctica común. A tal inicio se le conoce como inicio plano debido a te suposición del perfil uniforme de voltajes.
La ecuación general para el voltaje calculado en cualquier barra (7) de un sistema de K barras, donde se programan P y Q. es
(9,]<R
El superíndice (k) indica el número de la iteración en la que se está calculando el voltaje >

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