Álgebra_4_Wenceslao_Reséndiz_Aguilar - Wenceslao Reséndiz

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SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA DEL ESTADO DE HIDALGO 
DIRECCIÓN GENERAL DE FORMACIÓN Y SUPERACIÓN DOCENTE 
DEPARTAMENTO DE ESCUELAS NORMALES 
ESCUELA NORMAL SUPERIOR PÚBLICA DEL ESTADO DE HIDALGO 
FUNCIONES POLINOMIALES 
ÁLGEBRA Y FUNCIONES 
Propósito. Se espera que el estudiante desarrolle las habilidades para trabajar con funciones polinomiales: procesos de 
lectura, representaciones de la notación funcional y de tránsito entre ellas, a través del desarrollo de técnicas y 
procedimientos que le permitan validar relaciones algebraicas y funcionales en la solución de problemas 
¿Qué es una función polinomial? – WENCESLAO RESÉNDIZ AGUILAR 
Una función polinomial es aquella que está definida por un polinomio: 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + ⋯ + 𝑎2𝑥
2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 
donde a0,
a0 … an−1, an son números reales que se llaman 𝐜𝐨𝐞𝐟𝐢𝐜𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞𝐬 𝐝𝐞𝐥 𝐩𝐨𝐥𝐢𝐧𝐨𝐦𝐢𝐨 y n es el 𝐠𝐫𝐚𝐝𝐨 𝐝𝐞𝐥 𝐩𝐨𝐥𝐢𝐧𝐨𝐦𝐢𝐨 
 
Estos son algunos ejemplos de funciones polinomiales y su respectivas gráficas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Características generales de las funciones polinomiales. 
1. El dominio de las funciones polinomiales es el conjunto de los números Reales (R) 
2. Son siempre continuas 
3. No tienen asíntotas 
4. Cortan al eje x , como máximo, un número de veces igual que el grado del polinomio 
5. Cortan al eje y en el punto (0,𝑎0) 
6. El número de máximos y mínimos relativos es, a lo sumo, igual al grado del polinomio menos uno 
Actividad 1. Identifica cada grafica con su correspondiente expresión algebraica y señala en ellas los puntos de corte 
con el eje x, el punto de corte con el eje y y los puntos máximos y mínimos de las funciones dadas 
 Puntos de corte eje X 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2 Puntos de corte eje Y 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥5 − 3𝑥4 − 𝑥3 + 7𝑥2 − 4 Máximos relativos 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 3𝑥2 + 2 Mínimos relativos 
d) 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 3 
 
b) c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Puntos de corte de la función polinomial 
a) Con el eje x 
La segunda coordenada debe ser cero, por lo tanto debe ser del tipo (a, 0), los valores de a son las raíces 
de la ecuación 𝑓(𝑥) = 0 
 
b) Con el eje y 
La primera coordenada debe ser cero, por lo tanto debe ser del tipo (0, b), el valor de b se obtiene 
hallando 𝑏 = 𝑓(0) 
 
Concavidad y puntos de inflexión de una función polinomial 
a) Concavidad 
Se dice que una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) tiene concavidad hacia arriba (concava) en el intervalo (𝑎, 𝑏) si una 
recta tangente dibujada a la gráfica de la función en un punto 𝑥0 de ese intervalo 𝑎 < 𝑥0 < 𝑏 queda por 
debajo de la función. 
Si la tangente dibujada queda por arriba de la función decimos que la función presenta concavidad 
hacia abajo (convexa) en ese intervalo. 
 
 
 
 
 
 
 
b) Punto de inflexión 
Se define un punto de inflexión como el punto en que la función pasa de ser convexa a cóncava o de 
cóncava a convexa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Máximos y mínimos de una función 
Máximo: una función alcanza un máximo relativo en un punto de abscisa 𝑥0 si existe un entorno reducido tal que 
𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑥0) para todos los puntos de dicho entorno reducido 
Mínimo: una función alcanza un mínimo relativo en un punto de abscisa 𝑥0 si existe un entorno reducido tal que 
 𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑥0) para todos los puntos de ese entorno reducido 
 
 
 
 
 
 
 
Funciones simétricas 
i. Funciones pares: 
Una función 𝑓(𝑥) es una función par si se verifica que 𝒇(−𝒙) = 𝒇(𝒙) para todo 𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚 𝑓 
Su gráfica es simétrica al eje Y 
 
ii. Funciones impares: 
Una función 𝑓(𝑥) es una función impar si se verifica que 𝒇(−𝒙) = −𝒇(𝒙) para todo 𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚 𝑓 
Su gráfica es simétrica con respecto al origen 
 
Ejercicio: Verifique que las funciones mostradas en las gráficas son par e impar respectivamente. 
 
Solución: para la gráfica de la derecha 
La función 𝑓(𝑥) = 𝑥5 − 2𝑥3 + 2𝑥 es impar porqué 
𝑓(−𝑥) = (−𝑥)5 − 2(−𝑥)3 + 2(−𝑥) = −𝑥5 + 2𝑥3 − 2𝑥 = −(𝑥5 − 2𝑥3 + 2𝑥 ) = −𝑓(𝑥) 
Gráfica de la izquierda: 
 
 
 
 
 
 
Función lineal como caso particular de la función polinomial. 
Una función lineal o función polinomial de grado uno se puede expresar de la siguiente forma: 
𝑓(𝑥) = 𝑎1𝑥 + 𝑎0 o de manera más práctica de la siguiente forma: 
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 
Como ya lo hemos aclarado en otro momento, la función lineal tiene como dominio y rango, todos los números reales 
(R) 
La gráfica de una función lineal es una línea recta, m representa su pendiente de y b su ordenada al origen 
Ejemplos: 
1. Un caracol se encuentra en una pared a 5 m del suelo. Durante la mañana el caracol sube 3 m, pero en la tarde 
baja 1 m. 
a) Completa la siguiente tabla en la cual se representa la altura h a la que se encuentra el caracol en 
función del número de días n y construye su gráfica respectiva. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa esta situación? 
2x + 5 
c) La pendiente de la recta es 𝑚 = 2
𝑚
𝑑í𝑎
 ¿Qué interpretación le das? 
Que es una recta ascendente 
 
2. Las siguientes estructuras están construidas con varillas, la figura 1 con 3 varillas, la figura 2 con 7 varillas y así 
sucesivamente. 
 
 
 
n h(n) 
0 5 
1 7 
2 9 
3 11 
4 13 
5 15 
a) Completa la siguiente tabla considerando a n como el número de figura y a f(n) como la función del número de 
varillas en función del número de figura. 
𝑛 1 2 3 4 5 6 7 … 𝑛 
𝑓(𝑛) 3 7 11 15 19 23 27 … 𝑓(𝑛) = 
b) ¿Cuál es la expresión algebraica que corresponde al número de varillas para el término enésimo de la sucesión? 
 4x - 1 
c) ¿Cuántas varillas se necesitarán para construir la figura a la que corresponde el número 18? 
71 
 
d) ¿A qué número de figura corresponde en la sucesión, si se necesitan 227 varillas para construirla? 
57 
e) Dibuja su gráfica correspondiente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
La función cuadrática como un caso particular de la función polinomial. 
Una función lineal o función polinomial de segundo grado se puede expresar de la siguiente forma: 
𝑓(𝑥) = 𝑎2𝑥
2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 
O de la siguiente forma más simple: 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
La grafica de segundo grado o cuadrática describe una parábola 
Dominio 
Como cualquier función polinomial, su dominio es el conjunto de todos los números reales: 𝑑𝑜𝑚 𝑓 = ℝ 
 
 
 
Rango: 
Ya en otro momento se ha determinado el rango de una función cuadrática transformando la expresión 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 a la expresión 𝑦 − 𝑘 = 4𝑝(𝑥 − ℎ) vista en geometría analítica donde el vértice es el punto 
𝑉(ℎ, 𝑘) y si b 
Si 𝑎 > 0 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎 (𝑎𝑏𝑟𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎) 
𝑎 > 0 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑥𝑎 (𝑎𝑏𝑟𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜) 
El vértice se puede obtener de la siguiente manera: 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
𝑦 = 𝑎(𝑥2 +
𝑏
𝑎
𝑥) + 𝑐 
Completando cuadrados 
𝑏
𝑎
2
1
=
𝑏
2𝑎
 (
𝑏
2𝑎
)
2
=
𝒃𝟐
𝟒𝒂𝟐
 
𝑦 = 𝑎 (𝑥2 +
𝑏
𝑎
𝑥 +
𝒃𝟐
𝟒𝒂𝟐
) + 𝑐 −
𝑏2
4𝑎
 
 
𝑦 = 𝑎 (𝑥2 +
𝑏
2𝑎
)
2
+ 𝑐 −
𝑏2
4𝑎
 
 
𝑦 = 𝑎 (𝑥2 +
𝑏
2𝑎
)
2
+
𝑐
1
−
𝑏2
4𝑎
 
𝒚 = 𝒂 (𝒙𝟐 +
𝒃
𝟐𝒂
)
𝟐
+
𝟒𝒂𝒄 − 𝒃𝟐
𝟒𝒂
 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒂𝒓𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒄𝒐𝒏 𝒍𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒑𝒂𝒓á𝒃𝒐𝒍𝒂 𝒚 = 𝟒𝒑(𝒙 − 𝒉)𝟐 − 𝒌 
El vértice es de la forma 𝑽 (−
𝒃
𝟐𝒂
 ,
𝟒𝒂𝒄−𝒃𝟐
𝟒𝒂
) 
Si 𝒂 > 𝟎 𝒆𝒍 𝒓𝒂𝒏𝒈𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝒆𝒔 
 
Si 𝒂 < 𝟎 𝒆𝒍 𝒓𝒂𝒏𝒈𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝒆𝒔 
Punto de corte con el eje y 
El punto de corte con el eje y es cuando
𝑥 = 0 en la función. El punto de corte es (𝑥, 𝑓(0)) 
 
Ceros o raíces de una función cuadrática 
Los ceros o raíces de una función cuadrática, se pueden obtener haciendo 𝑓(𝑥) = 0 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 
Al resolver esta ecuación nos quedan las siguientes raíces solución 
𝑥1 =
−𝑏 + √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
𝑥2 =
−𝑏 − √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
Para investigar los puntos de corte o ceros de la función cuadrática solo hay que recordar como es el discriminante 
a) Si 𝑏2 − 4𝑎𝑐 > 0 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑜 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑥 
b) Si 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑜 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 (ℝ) 
c) Si 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑢𝑛 𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑥 
 
Actividad. Elementos de una función cuadrática: 
Dada las siguientes funciones cuadráticas determine los siguientes elementos: 
1. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 − 12 
2. 𝑓(𝑥) = −𝑥2 − 𝑥 + 6 
3. 𝑓(𝑥) = 6𝑥2 + 13𝑥 − 5 
4. 𝑓(𝑥) = −2𝑥2 + 7𝑥 − 3 
5. 𝑓(𝑥) = −6𝑥2 + 7𝑥 + 3 
6. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 4𝑥 + 13 
 
a) Concavidad 
 
 
b) Dominio 
 
 
c) Rango 
 
 
d) Ceros o puntos de corte con el eje x 
 
e) Punto de corte con el eje y 
 
 
f) Grafica 
 
1. 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟏𝟐 
 
g) Concavidad 
Como el coeficiente 𝑎 = 1 𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 La función cuadrática es cóncava 
 
h) Dominio 
El dominio como es función polinomial son todos los números reales (ℝ) 
 
i) Vértice 𝑽 (−
𝒃
𝟐𝒂
 ,
𝟒𝒂𝒄−𝒃𝟐
𝟒𝒂
) 
 
𝑽 (−
𝟏
𝟐(𝟏)
 ,
4(1)(−12) − (1)2
4(1)
 ) → 𝑽(−𝟎. 𝟓, −𝟏𝟐. 𝟐𝟓) 
 
j) Rango 
 
 
 
𝑅𝑎𝑛 𝑓 = [
4(1)(−12) − (1)2
4(1)
, ∞) → [
−49
4
, ∞) → [−12.25, ∞) 
 
k) Ceros o puntos de corte con el eje x 
𝑥2 + 𝑥 − 12 = 0 → (𝑥 + 4)(𝑥 − 3) = 0 → 𝑥1 = −4 ; 𝑥1 = 3 
l) Punto de corte con el eje y 
𝑓(0) = (0)2 + (0) − 12 → 𝑓(0) = −12 → (0, −12) 
m) Grafica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. 𝒇(𝒙) = −𝟔𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 + 𝟑 
a) Concavidad 
a. Como el coeficiente 𝑎 = −6 𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 La función cuadrática es convexa 
 
b) Dominio 
a. El dominio como es función polinomial son todos los números reales (ℝ) 
 
c) Vértice 𝑽 (−
𝒃
𝟐𝒂
 ,
𝟒𝒂𝒄−𝒃𝟐
𝟒𝒂
) 
 
a. 𝑽 (−
𝟕
𝟐(−𝟔)
 ,
4(−6)(3)−(7)2
4(−6)
 ) → 𝑽(𝟎. 𝟓𝟖, 𝟓. 𝟎𝟒) 
d) Rango 
𝑅𝑎𝑛 𝑓 = (−∞,
4𝑎𝑐 − 𝑏2
4𝑎
] 
 
 
a. 𝑅𝑎𝑛 𝑓 = (−∞, 
4(−6)(3)−(7)2
4(−6)
] → (−∞,
−121
−24
] → (−∞, 5.04] 
 
e) Ceros o puntos de corte con el eje x 
−6𝑥2 + 7𝑥 + 3 = 0 → 6𝑥2 − 7𝑥 − 3 = 0 → (3𝑥 + 1)(2𝑥 − 3) = 0 → 𝑥1 = −
1
3
 ; 𝑥1 =
3
2
 
f) Punto de corte con el eje y 
𝑓(0) = −6(0)2 + 7(0) + 3 → 𝑓(0) = 3 → (0,3) 
g) Grafica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. 𝒇(𝒙) = −𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟔 
 
a) Concavidad 
Como el coeficiente 𝑎 = −1 𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 la función cuadrática es convexa 
 
b) Dominio 
Como es función polinomial, el dominio son todos los números reales (ℝ) 
 
c) Vértice 𝑽 (−
𝒃
𝟐𝒂
 ,
𝟒𝒂𝒄−𝒃𝟐
𝟒𝒂
) 
𝑽 (−
−𝟏
𝟐(−𝟏)
 ,
𝟒(−𝟏)(𝟔) − (−𝟏)𝟐
𝟒(−𝟏)
) → 𝑽(−𝟎. 𝟓, 𝟔. 𝟐𝟓) 
d) Rango 
𝑅𝑎𝑛 𝑓 = (−∞,
4𝑎𝑐 − 𝑏2
4𝑎
] 
𝑅𝑎𝑛 𝑓 = (−∞,
4(−1)(6) − (−1)2
4(−1)
] → (−∞,
−25
−4
] → (−∞, −6.25] 
 
e) Ceros o puntos de corte con el eje x 
−𝑥2 − 𝑥 + 6 = 0 → 𝑥2 + 𝑥 − 6 = 0 → (𝑥 + 3)(𝑥 − 2) = 0 → 𝑥1 = −3 ; 𝑥2 = 2 
 
f) Puntos de corte con el eje y 
𝑓(0) = −(0)2 − (0) + 6 → 𝑓(0) = 6 → (0,6) 
 
g) Gráfica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. 𝒇(𝒙) = 𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟑𝒙 − 𝟓 
 
a) Concavidad 
Como el coeficiente 𝑎 = 6 𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 la función cuadrática es cóncava 
 
b) Dominio 
Como es función polinomial, el dominio son todos los números reales (ℝ) 
 
c) Vértice 𝑽 (−
𝒃
𝟐𝒂
 ,
𝟒𝒂𝒄−𝒃𝟐
𝟒𝒂
) 
𝑽 (−
𝟏𝟑
𝟐(𝟔)
 ,
𝟒(𝟔)(−𝟓) − (𝟏𝟑)𝟐
𝟒(𝟔)
) → 𝑽(−𝟏. 𝟎𝟖, −𝟏𝟐. 𝟎𝟒) 
d) Rango 
𝑅𝑎𝑛 𝑓 = [
4𝑎𝑐 − 𝑏2
4𝑎
, +∞) 
 
𝑅𝑎𝑛 𝑓 = [
4(6)(−5) − (13)2
4(6)
, +∞) → [
−289
24
, +∞) → [−12.04, +∞) 
 
e) Ceros o puntos de corte con el eje x 
6𝑥2 + 13𝑥 − 5 = 0 → (6𝑥 + 15) (𝑥 −
2
6
) = 0 → 𝑥1 = −2.5 ; 𝑥2 = 0.333 
 
f) Puntos de corte con el eje y 
𝑓(0) = 6(0)2 + 13(0) − 5 → 𝑓(0) = −5 → (0, −5) 
 
g) Gráfica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. 𝒇(𝒙) = −𝟐𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 − 𝟑 
 
a) Concavidad 
Como el coeficiente 𝑎 = −2 𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 la función cuadrática es convexa 
 
b) Dominio 
Como es función polinomial, el dominio son todos los números reales (ℝ) 
 
c) Vértice 𝑽 (−
𝒃
𝟐𝒂
 ,
𝟒𝒂𝒄−𝒃𝟐
𝟒𝒂
) 
𝑽 (−
𝟕
𝟐(−𝟐)
 ,
𝟒(−𝟐)(𝟕) − (𝟕)𝟐
𝟒(−𝟐)
) → 𝑽(𝟏. 𝟕𝟓, 𝟏𝟑. 𝟏𝟐𝟓) 
d) Rango 
𝑅𝑎𝑛 𝑓 = (−∞,
4𝑎𝑐 − 𝑏2
4𝑎
] 
𝑅𝑎𝑛 𝑓 = (−∞,
4(−2)(7) − (7)2
4(−2)
] → (−∞,
−105
−8
] → (−∞, 13.125] 
 
e) Ceros o puntos de corte con el eje x 
−2𝑥2 + 7𝑥 − 3 = 0 → 2𝑥2 − 7𝑥 + 3 = 0 → (𝑥 − 3)(2𝑥 − 1) = 0 → 𝑥1 = 3 ; 𝑥2 = 0.5 
 
f) Puntos de corte con el eje y 
𝑓(0) = −2(0)2 + 7(0) − 3 → 𝑓(0) = −3 → (0, −3) 
 
g) Gráfica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. 𝒇(𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟏𝟑 
 
a) Concavidad 
Como el coeficiente 𝑎 = −1 𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 la función cuadrática es convexa 
 
b) Dominio 
Como es función polinomial, el dominio son todos los números reales (ℝ) 
 
c) Vértice 𝑽 (−
𝒃
𝟐𝒂
 ,
𝟒𝒂𝒄−𝒃𝟐
𝟒𝒂
) 
𝑽 (−
𝟒
𝟐(−𝟏)
 ,
𝟒(−𝟏)(𝟏𝟑) − (𝟒)𝟐
𝟒(−𝟏)
) → 𝑽(𝟐, 𝟏𝟕) 
d) Rango 
𝑅𝑎𝑛 𝑓 = (−∞,
4𝑎𝑐 − 𝑏2
4𝑎
] 
𝑅𝑎𝑛 𝑓 = (−∞,
4(−1)(13) − (4)2
4(−1)
] → (−∞,
−68
−4
] → (−∞, 17] 
 
e) Ceros o puntos de corte con el eje x 
−𝑥2 + 4𝑥 + 13 = 0 → 𝑥2 − 4𝑥 − 13 = 0 → (𝑥 − 6.12)(𝑥 + 2.12) = 0 → 𝑥1 = 6.12; 𝑥2 = −2.12 
 
f) Puntos de corte con el eje y 
𝑓(0) = −(0)2 + 4(0) + 13 → 𝑓(0) = 13 → (0,13) 
 
g) Gráfica