Álgebra_5_Wenceslao_Reséndiz_Aguilar - Wenceslao Reséndiz

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SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA DEL ESTADO DE HIDALGO 
DIRECCIÓN GENERAL DE FORMACIÓN Y SUPERACIÓN DOCENTE 
DEPARTAMENTO DE ESCUELAS NORMALES 
ESCUELA NORMAL SUPERIOR PÚBLICA DEL ESTADO DE HIDALGO 
TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES 
ÁLGEBRA Y FUNCIONES 
 
 
WENCESLAO RESÉNDIZ AGUILAR 
Propósito: Explorar el comportamiento de las gráficas de las funciones y proponiendo 
las posibles transformaciones de ellas con la finalidad de construir un argumento gráfico para 
establecer las relaciones entre las funciones transformadas y las funciones originales. 
 
Un estudio gráfico de la recta 
 
Comenzaremos el estudio de la función haciendo su transformación a la forma: 
 
 
Haciendo variar las constantes A, B 
 
Actividad 1. 
 
Sumando a una constante B positiva o negativa ( ) 
 Dibuja con el Geogebra la gráfica de las siguientes funciones y describe el comportamiento de 
la función cuando a se le suma una constante B positiva. 
y = x 
 
Cuando x=0 entonces y=1 
 
 Cuando x=0 entonces y=3 
 
 Cuando x=0 entonces y=0.5 
 
 
 Ahora describe el comportamiento cuando a se le suma una constante B negativa 
 
y = x 
 
 
 Cuando x=0 entonces y= -1 
 
 Cuando x=0 entonces y= -3 
 
 Cuando x=0 entonces y= -5 
 
 En general que transformaciones se pueden observar en la gráfica de la función al sumarle 
una constante B positiva o negativa. 
R: La función va cambiando de posición, cuando se le añade una constante positiva se sitúa hacia 
arriba, cuando se le añade una constante negativa se va hacia abajo 
 
xy 
2xy 
xy 
BAxy 
xy  Bxy 
xy 
5.0
3
1



xy
xy
xy
xy 
5
3
1



xy
xy
xy
xy 
Actividad 2. 
 
Multiplicando a y=x por una constante A positiva o negativa ( y = Ax ) 
 Dibuja la gráfica de las siguientes funciones en el mismo plano cartesiano y describe el 
comportamiento de la función cuando a y = x se le multiplica por una constante A positiva. 
 
y = x 
 
 La recta se sitúa en el cuadrante 1 y su inclinación casi en un ángulo de 45 grados 
 La recta se sitúa en el cuadrante 1 y su inclinación está cerca del eje Y 
 La recta se sitúa en el cuadrante 1 y su inclinación está más cerca del eje Y 
 La recta se sitúa en el cuadrante 1 y su inclinación está cerca del eje X 
 La recta se sitúa en el cuadrante 1 y su inclinación está muy cerca del eje Y 
 
 
 Ahora has lo mismo cuando a y = x se le multiplica por una constante A negativa 
 
y = x 
 
 La recta se sitúa en el cuadrante 2 y su inclinación casi en un ángulo de 45 grados 
 La recta se sitúa en el cuadrante 2 y su inclinación está cerca del eje Y 
 La recta se sitúa en el cuadrante 2 y su inclinación está más cerca del eje Y 
 La recta se sitúa en el cuadrante 2 y su inclinación está cerca del eje X 
 La recta se sitúa en el cuadrante 2 y su inclinación está muy cerca del eje Y 
 
 
 Ahora explica que transformaciones se pueden observar en la gráfica y = x al multiplicarla por 
una constante A positiva o negativa. 
R: Si se multiplica por una constante negativa su dirección se va hacia el cuadrante 2, si se 
multiplica por una constante positiva su dirección se va hacia el cuadrante 1, entre la constante 
sea mayor su inclinación se acerca al eje Y 
 
Actividad 3. Transformación completa. 
 
 Observa la siguiente secuencia de la función y = x hasta llegar a la forma y = Ax +B. sin utilizar 
el graficador describe el efecto que le produce a la gráfica en cada paso y al final elabora un 
bosquejo de ella. 
 
 
 
La recta corta a y en 3 
La recta corta a y en 3 y su inclinación va hacia el eje Y 
La recta está en el cuadrante 2, corta a y en 3 y su inclinación está hacia el 
eje Y 
 
 
 Comprueba tu gráfica utilizando el graficador 
xy
xy
xy
xy
xy
50
1.0
7
5
2





xy
xy
xy
xy
xy
50
1.0
7
5
2





353
352
31




xyPaso
xyPaso
xyPaso
xyoriginalFunción
 
Actividad 4. Identificando su expresión algebraica 
 
La gráfica de la función y = x es como la que se muestra en la opción A a esta se le hicieron tres 
transformaciones quedando las gráficas B, C y D. Escribe en cada una de ellas la expresión algebraica 
que le corresponde y explica el efecto producido en las gráficas: 
 
 
 
 
 A B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
________________________________________ 7x – 4 Por la multiplicación positiva 
 
 C D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x-4 Por añadir una constante negativa -7x – 4Por la multiplicación negativa 
 
47
47
4



xy
xy
xy
Estudio de la Parábola 
 
Se considerará la función prototipo y= x2 y esta se transformará a la forma y = A(x+B)2+C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 𝑦 = 𝑥2 𝑦 = 𝐴(𝑥 − 𝐵)2 + 𝐶 
 
Actividad 1. 
 
Sumando a y= x2 una constante C 
 Describe el efecto que le produce a la función 
 
Cuando x=0 el vértice se origina en y=3 
Cuando x=0 el vértice se origina en y=5 
 
Cuando x=0 el vértice se origina en y= -2 
Cuando x=0 el vértice se origina en y= -4 
 
Actividad 2. 
 
Multiplicando a y= x2 por una constante A 
 Describe el efecto que le produce a la función 
 
La parábola es cóncava La parábola es convexa 
La parábola es cóncava La parábola es convexa 
 
La parábola es cóncava La parábola es convexa 
La parábola es cóncava La parábola es convexa 
La parábola es cóncava La parábola es convexa 
 
Entre la constante sea mayor la parábola se va achatando 
 
 
4
2
5
3
2
2
2
2




xy
xy
xy
xy
2
2
2
2
2
2.0
5.0
25
7
3
xy
xy
xy
xy
xy





2
2
2
2
2
2.0
5.0
25
7
3
xy
xy
xy
xy
xy





Actividad 3. 
 
Sumando al argumento cuadrático una constante B 
 Describe el efecto que le produce a la función 
 
EL origen se recorre a la derecha El origen se recorre a la izquierda 
El origen se recorre a la derecha El origen se recorre a la izquierda 
 
El origen se recorre a la derecha El origen se recorre a la izquierda 
 El origen se sitúa en el valor de la constante solo que en el cuadrante contrario 
 
 
Actividad 4. Transformación completa: 
 
 Observa la siguiente secuencia de la función y = x2 hasta llegar a la forma y = A(x+B)2+C . sin 
utilizar el graficador describe el efecto que le produce a la gráfica en cada paso, después grafica 
cada una de las funciones en un mismo plano cartesiano con diferentes colores para 
diferenciarlas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El origen se situará en y=5 
 
El origen estará en (3,5) se irá a la derecha 
 
El origen estará en (3,5) pero la parábola 
será muy abierta 
 
El origen estará en (3,5) pero la parábola 
será convexa y muy abierta 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
2
2
)4(
)5(
)2(



xy
xy
xy
2
2
2
)4(
)1(
)6(



xy
xy
xy
5)3(3.0
5)3(3.0
5)3(
5
2
2
2
2
2





xy
xy
xy
xy
xy
Actividad 5. 
 
 Tomando como referencia a la función y = x2 elabora un bosquejo de la función transformada 
y=-20(x+5)2-4 y compruébala con Geogebra. Utiliza colores para diferenciar las gráficas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Actividad 6. 
1. Observa la siguiente secuencia de gráficas. Describe y escribe la expresión algebraica correspondiente, 
de acuerdo a la transformación que se le hizo a la función original y = x2 (fig. 1) 
 
 
 
 
 
 FIG. 1 FIG. 2y=x² - 3 
 
 
 
 
 
 
 FIG. 3 FIG. 4 
 
 Y=0.9(x+4)² -3 y=5(x+4)² -3 
2. Elabora una secuencia de gráficas para la transformación de la función y = x2 a la función y = -10(x-3)2-2 
 y=x² y=(x-3) ² y=-10(x-3) ² y=-10(x-3)²-2 
 
 
 
 
 
 
3. Elabora un bosquejo de las siguientes funciones y después compruébalas con Geogebra 
y = 3(x-1)2 +2 y=-20(x+5)2 -7 y = -5(x+3)2 +4 
 
 
 
 
 
 
 
y = 7x – 4 y = 3(x+2)2 -4 y= 0.3(x -2)2 -3 
 
 
 
 
 
 
 
4. Por último, describe de manera general las transformaciones de las funciones y = x2 y y = x 
y=x: Si se le añade una constante positiva, cuando x=0 cortará a y en valor positivo, si se le añade una 
constante negativa, cuando x=0 cortará a y en valor negativo. Si se le multiplica por una constante 
positiva la recta se recorre hacia arriba, si se le multiplica por una constante negativa la recta se recorre 
hacia abajo. 
 
y=x²: Si se le añade una constante positiva al argumento cuadrático, el origen de la parábola se irá al 
cuadrante negativo (x), si se le añade una constante negativa al argumento cuadrático, el origen de la 
parábola se irá al cuadrante positivo (x). Si se le multiplica por una constante positiva la parábola será 
cóncava, si se le multiplica por una constante negativa la parábola será convexa. Si a todo lo anterior se 
le añade una constante, su origen tomará aquella constante como valor de y, ya sea negativa o positiva.