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SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA DEL ESTADO DE HIDALGO DIRECCIÓN GENERAL DE FORMACIÓN Y SUPERACIÓN DOCENTE DEPARTAMENTO DE ESCUELAS NORMALES ESCUELA NORMAL SUPERIOR PÚBLICA DEL ESTADO DE HIDALGO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA ÁLGEBRA Y FUNCIONES Wenceslao Reséndiz Aguilar Antecedentes previos: Recordemos que los números reales (R) están conformados por los números naturales (N), enteros (Z), racionales (Q) e irracionales (I) y también se analizó en pensamiento algebraico que las ecuaciones de segundo grado pueden no tener soluciones reales cuando el discriminante es menor que cero por lo que es necesario ampliar el campo de los números a los números complejos (C). Por ejemplo, la ecuación de segundo grado 𝑥2 − 4𝑥 + 5 = 0 Resolviendo la ecuación queda 𝑥 = −(−4) ± √42 − 4(1)(5) 2(1) 𝑥 = 4 ± √16 − 20 2(1) 𝑥 = 4 ± √−4 2 = 4 ± 2𝑖 2 𝑥1 = 2 + 𝑖 𝑥1 = 2 − 𝑖 Como pueden observar, la ecuación tiene dos raíces complejas. El diagrama de abajo muestra cómo están integrados los números complejos (C) Teorema Fundamental del Álgebra Todo polinomio de la forma: 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎2𝑥 2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 donde a0, a0 … an−1, an son números reales que se llaman coeficientes del polinomio y n es el grado del polinomio tiene por lo menos una raíz real o compleja Raíces de un polinomio Una consecuencia del teorema fundamental del álgebra que nos va a ser muy útil es lo siguiente: Todo polinomio 𝑝(𝑥) de grado 𝑛 tiene exactamente 𝑛 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠 Ejemplos Polinomio de grado cero Polinomio de grado 1 Polinomio de grado 2 cero raíces una raíz 𝑥 = 1.5 dos raíces complejas 𝑥1 = 1 + 𝑖; 𝑥2 = 1 − 𝑖 Polinomio de grado 3 Polinomio de grado 4 Polinomio de grado 5 tres raíces 𝑥1, 𝑥2 = 0 cuatro raíces cinco raíces tres reales multiplicidad 2 y 𝑥3 = 3 −1, −1.3, 1 𝑦 1.3 y dos complejas −4, 2, 3, 𝑥 + 𝑖 𝑦 𝑥 − 𝑖 Actividad 1. Raíces reales o complejas de una función polinomial Halla las raíces reales y complejas de las siguientes funciones polinomiales expresando su multiplicidad (raíces repetidas) Tiene 3 raíces reales 𝑥1, 𝑥2 = −0.5 multiplicidad 2 Tiene 5 raíces, 3 reales y dos complejas y 𝑥3 = 1 −0.5 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 2, 1, 2𝑖 𝑦 − 2𝑖 Tiene 5 raíces reales: Tiene seis raíces: cuatro son reales y de 𝑑𝑜𝑠 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠 0 𝑦 − 3 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 2 multiplicidad 4 = −2 y dos son complejas 𝑦 𝑢𝑛𝑎 𝑟𝑎í𝑧 0.5 = 1𝑖 𝑦 − 1𝑖 Si te das cuenta la función p(x) aún no está factorizada de manera completa, así que aún se pueden factorizar 𝑥2 + 2𝑥 + 1 = (𝑥 + 1)2 𝑥3 − 8 = (𝑥 − 2)(𝑥2 + 2𝑥 + 4) Ahora solo falta factorizar 𝑥2 + 2𝑥 + 4 se puede hacer igualando a cero y utilizar la Fórmula General de las ecuaciones de segundo grado 𝑥2 + 2𝑥 + 4 = 0 𝑥 = −2 ± √22 − 4(1)(4) (2)(1) = −2 ± √4 − 16 2 = −2 ± √−12 2 = −2 ± √(−4)(3) 2 = −2 ± (2𝑖)√3 2 −2 ± 2√3𝑖 2 = −1 ± √3𝑖 𝑥1 = −1 + √3𝑖 𝑥2 = −1 − √3𝑖 Entonces 𝑥2 + 2𝑥 + 4 se puede factorizar de la forma siguiente: (𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) 𝑥2 + 2𝑥 + 4 = (𝑥 − (−1 + √3𝑖)) (𝑥 − (−1 − √3𝑖)) 𝑥2 + 2𝑥 + 4 = (𝑥 + 1 − √3𝑖)(𝑥 + 1 + √3𝑖) Finalmente p(x) queda factorizado de la siguiente forma: 𝑝(𝑥) = (𝑥 + 1)2(𝑥 − 2)(𝑥 + 1 − √3𝑖)(𝑥 + 1 + √3𝑖) Y sus raíces son: 𝑥1, 𝑥2 = −1 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 2 𝑥3 = 2 𝑥4 = −1 + √3𝑖 𝑦 𝑥5 = −1 − √3𝑖 Empecemos factorizando 𝑥2 − 4𝑥 + 4 quedando con la fórmula general: 𝑥 = −(−4) ± √(−4)2 − 4(1)(4) (2)(1) = 4 ± √16 − 16 2 = 4 ± √0 2 = 4 ± 0 2 = 𝑥1 𝑦 𝑥2 = 2 Factorizamos la siguiente expresión: 𝑥3 − 4𝑥2 + 5𝑥 Obtenemos 𝑥(𝑥2 − 4𝑥 + 5) 𝑥3 = 0 Aplicamos fórmula general 𝑥 = −(−4) ± √(−4)2 − 4(1)(5) (2)(1) 𝑥 = (4) ± √16 − 20 (2) 𝑥 = (4) ± √−4 (2) = (4) ± 2𝑖 (2) = 2 ± 1𝑖 𝑥1 = 2 + 1𝑖 𝑥2 = 2 − 1𝑖 Entonces obtenemos las siguientes raíces 𝑥1, 𝑥2 = 2 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 2 𝑥3 = 0 𝑥4 = 2 + 1𝑖 𝑥5 = 2 − 1𝑖 Actividad 3. Análisis de gráficas de funciones polinomiales 1. ¿Cuál es la representación algebraica que le corresponde a la representación gráfica? 𝑎) 𝑝(𝑥) = 𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 + 1) 𝑏) 𝑝(𝑥) = 𝑥(𝑥 + 2)(𝑥 − 1) 𝑐) 𝑝(𝑥) = 𝑥(𝑥 + 2)(𝑥 − 1)(𝑥2 + 4) 2. Dibuja la respuesta que elegiste y compárala con la opción que elegiste. Si no es la gráfica correcta, vuelve a elegir otra opción. Primero elegí la opción b. Volví a elegir y corregí a C 3. a) Dibuja en GeoGebra las gráficas de los incisos 𝑏) 𝑦 𝑐) Gráfica b Gráfica c b) Describe cuales son las diferencias entre las gráficas R: Ambas gráficas tienen las mismas raíces reales, sin embargo, la gráfica “c” posee dos raíces más que son complejas además de que sus máximos y mínimos relativos están más alejados del eje x c) Determina las raíces de ambos polinomios 𝑏) 𝑝(𝑥) = 𝑥(𝑥 + 2)(𝑥 − 1) 𝑥1 = 0 𝑥2 = −2 𝑥3 = 1 𝑐) 𝑝(𝑥) = 𝑥(𝑥 + 2)(𝑥 − 1)(𝑥2 + 4) 𝑥1 = 0 𝑥2 = −2 𝑥3 = 1 𝑥4 = +2𝑖 𝑥5 = −2𝑖 4. Dada la representación gráfica de la función p(x) de grado seis, halla su representación algebraica. Verifica tu respuesta dibujando en GeoGebra la expresión algebraica construida. Representación algebraica (𝑥 − 1)²(𝑥 + 1)²(2𝑥 − 1)²
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