Analisis de sistemas de potencia Resumen 53 - Arturo Lara

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6.11 ANÁLISIS TRANSITORIO: ONDAS VIAJERAS 209
FIGURA 6.12
Diagrama esquemático de una sección elemental de una línea de trasmisión que muestra una fase y el neutro de retorno. El voltaje vy la corriente i son funciones de x y de t. La distancia x se mide desde el extremo generador de la línea.
dv	di
dx	dt
(6.65)
di	dv
dx	dt
(6.66)
Se puede eliminar la i calculando la derivada parcial de ambos términos de la ecuación (6.65) con respecto a x y la derivada parcial de ambos términos de la ecuación (6.66) con respecto a t. Este procedimiento da como resultado que se tengan términos d2i/dx d ten las ecuaciones y si se elimina a esta segunda derivada parcial de i por medio de las dos ecuaciones, se llega a
1 d2v d2v
Te TT ~ Tt2
(6.67)
La ecuación (6.67) es la llamada ecuación de la onda viajera de una línea de trasmisión sin pérdidas. Una solución de la ecuación es una función de (x - vt)9 y el voltaje se expresa por
V =/(x - Vt)
(6.68)
La función está indefinida pero debe ser univaluada. La constante v debe tener las dimensiones de metros por segundo si x está en metros y t en segundos. Se puede verificar esta solución al sustituir esta expresión para v en la ecuación (6.67), con el fin de determinar v. Primero, se hace el cambio de variable
u = x - vt
y se escribe
v(x,t) =f(u)
(6.69)
(6.70)
210 CAPÍTULO 6 RELACIONES DE VOLTAJE Y CORRIENTE EN UNA LÍNEA DE TRASMISIÓN
Se muestra una onda de voltaje que es una función de (x - nt) para valores de t iguales a tx y a t2.
Entonces,
dv	df(u) du	d/(u)
dt du dt	du
(6.71
d2v 2d2f(u)
	T = V 	-—
dt2 du2
y	.
Similarmente, se obtiene
d2v	d2f(u)
dx2 du2
(6.72'
(6.73
Se sustituyen estas segundas derivadas parciales de v en la ecuación (6.67), y se obtiene
i d7(“)	2d2f(u)
LC du2	du2
(6.74)
y se observa que la ecuación (6.68) es una solución de la ecuación (6.67) si
1
v =
4lc
(6.75
El voltaje expresado en la ecuación (6.68) es una onda viajera en la dirección positiva de x. En la figura 6.13 se muestra una función de (x - vt) que es similar a la forma de una onda de voltaje que viaja a lo largo de una línea que ha tenido una descarga atmosférica. La función se muestra para dos valores del tiempo tx y t2, donde t2 > tx. Un observador que viaje con la onda y permanezca en el mismo punto de la onda no observa ningún cambio en el voltaje en ese punto. Para el observador,
x - vt = una constante
de donde
6.11 ANÁLISIS TRANSITORIO: ONDAS VIAJERAS 211
dx	1
—— = v = — m/s
dt	y¡LC
(6.76)
para L y C en henrys por metro y farads por metro, respectivamente. Así, la onda de voltaje viaja en la dirección positiva de x con la velocidad p.
Una función de (x + vt) puede también ser una solución de la ecuación (6.67) y, mediante un razonamiento similar, se puede interpretar apropiadamente como una onda viajera en la dirección negativa de x. La solución general de la ecuación (6.67) es
v = fi(x - vt) + /2(x +	(6-77)
que es una solución para la ocurrencia simultánea de uno y otro lado de la línea. Las condiciones iniciales y en la frontera (terminales) determinan los valores particulares para cada componente.
Si se expresa la onda viajera hacia el lado positivo de las x (también llamada onda incidente) como
u + =/i(x - vt)
(6.78)
se obtendrá una onda de corriente de las cargas en movimiento que se expresará mediante
'*■ 7Z7c f'(x ~	(6,79)
que puede verificarse por la sustitución de estos valores de voltaje y de corriente en la ecuación (6.65) y por el hecho de que v es igual a 1/VZc.
De igual forma, para una onda de voltaje que se mueve en el sentido negativo de las x, donde
v = f2(x + vt)
(6.80)
la corriente correspondiente es
í'“7Z7ca(j: + ‘")
(6.81)
De las ecuaciones (6.78) y (6.79) se observa que
v+
i*
(6.82)
y de las ecuaciones (6.80) y (6.81)
(6.83)
212 CAPÍTULO 6 RELACIONES DE VOLTAJE Y CORRIENTE EN UNA LÍNEA DE TRASMISIÓN
Si se decide suponer la dirección positiva de la corriente para ir como la dirección en que viaja la onda hacia el lado negativo de las x, se debe cambiar el signo menos por el de más en las ecuaciones (6.81) y (6.83). Sin embargo, se selecciona como dirección positiva de x la dirección positiva de la corriente para las ondas viajeras.
A la relación entre v+ e i+ se le conoce como impedancia característica Zc de la línea. Previamente se ha encontrado la impedancia característica en la solución de estado estable de una línea larga en la que se definió Zc como jz/y9 que es igual a JlTc cuando Ry G son cero.
6.12 ANÁLISIS TRANSITORIO: REFLEXIONES
Ahora se considerará lo que pasa cuando se aplica un voltaje en el extremo generador de una línea de trasmisión que termina en una impedancia ZR. Para este desarrollo simple se considera que ZR es una resistencia pura. Si la terminación no fuera esta resistencia, se tendría que recurrir a la transformada de Laplace. Las transformadas de voltaje, corriente y de impedancia serían funciones de la variable s de la transformada de Laplace.
Cuando un interruptor se cierra para aplicar un voltaje a la línea, una onda de voltaje v acompañada por una onda de corriente i+ comienza a viajar a lo largo de la línea. La relación del voltaje vR9 al final de la línea en cualquier instante, con la corriente iR en el mismo punto, debe ser igual a la resistencia terminal ZR. Por lo tanto, la llegada de v+y de z+ en el extremo receptor, donde sus valores son vR e iR, debe dar como resultado ondas en sentido contrario o reflejadas ve r que tienen valores vR e iR en el extremo receptor, tales que
donde vR e iR son las ondas reflejadas ve r medidas en el extremo receptor.
Si Zc =	/ C, se encuentra de las ecuaciones (6.82) y (6.83) que
• ,	v + - ' - -
1r ~	(6.8:
í~r = --Y	(686
Entonces, al sustituir estos valores de iR e iR en la ecuación (6.84), se tiene	i
Zr Zc +
VD ~ 	Vp
R Zr + Zc R
(6.8n
Evidentemente, el voltaje vR en el extremo receptor tiene la misma función en el tiempo que (pero con una magnitud disminuida a menos que ZR sea cero o infinito). El coeficiente reflexión pR para el voltaje en el extremo receptor de la línea se define como vR /vR9 así que para el voltaje