EMMC Ejercicios resueltos 1 tema4 Esfuerzos - Axel

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EJERCICIOS RESUELTOS 
TEMA 4 
ESFUERZOS 
1. El primer tensor de esfuerzos de Piola-Kirchhoff ó Tensor de Esfuerzos Lagrangiano 
( )0T es la representación del estado de solicitaciones del medio continuo bajo la 
consideración del área no deformado ( )0dA . A partir del tensor de esfuerzos de 
Cauchy ( )T y considerando que la relación entre el área deformada y no deformada 
está dada por: 
( )
( )
1
0
1
0
T
o
T
o
dAn F F dA n
ndA n F F dA
−
−
=
=
 
Determine el primer tensor de esfuerzos de Piola-Kirchhoff o tensor Lagrangiano de 
esfuerzos a través de una función de la forma  0 0 ( , )T T T F= . 
El segundo tensor de esfuerzos de Piola-Kirchhoff ( )T se describe a partir de una 
seudo fuerza diferencial ( )df la cual se transforma bajo el gradiente de deformación 
( )F , tal que df Fdf= , en función de lo anterior desarrolle una expresión que relacione 
( ),T T T F= . 
 
Solución 
a) Primer tensor de esfuerzos de Piola-Kirchhoff (P-K) 
Para determinar este tensor en función del gradiente de deformación y del tensor de esfuerzos 
de Cauchy, se parte de considerar a la fuerza, o un elemento diferencial de esta, al ser un 
elemento físico a través del que se calcula el esfuerzo, al contrario de este último que es una 
definición conceptual: 
 
Descripción material (Tensor de P-K) 
0 0df t dA= , donde 0 0 0t T n=  
( )0 0 0df T n dA =  ….(1) 
 
Descripción espacial (Tensor de Cauchy) 
df tdA= , donde t T n=  
( )df T n dA =  ….(2) 
 
Como la diferencial de fuerza obtenida es la misma sin importar la descripción, material o 
espacial, entonces se igualan las ecuaciones (1) y (2) 
( ) ( )0 0 0df T n dA T n dA=  =  
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO 
2 
( ) ( )0 0
0
dA
T n T n
dA
  =  
 
A partir de la ecuación ( )10
T
ondA n F F dA
−= se puede obtener que la relación del área final a 
la inicial es igual a 
( )10
T
o
dA
n n F F
dA
−= 
 
Sustituyendo esto en la ecuación obtenida con anterioridad 
( )0 0
0
dA
T n T n
dA
 
 =   
 
 , ( ) ( )( )10 0 0
T
T n T n F F −  =  
0 0T n 0T n=  ( )1
T
F F − 
 
Quedando 
( )10
T
T F T F − =  
 
b) Segundo tensor de esfuerzos de Piola-Kirchhoff (2P-K) 
Para determinar este tensor en función del gradiente de deformación y del tensor de esfuerzos 
de Cauchy, primero se debe partir del concepto de emplear una seudo fuerza para su 
descripción. Este elemento de seudo fuerza se relaciona a su vez con el área inicial 
(descripción material) 
 
Descripción un elemento diferencial de la seudo fuerza df 
0df tdA= donde 0t T n=  
( )0 0df T n dA =  ….(3) 
 
Recordando que la fuerza se transforma en la seudo fuerza a través de df Fdf= , se tiene 
( )0 0df F T n dA =  
 
Anteriormente se había obtenido la descripción de la fuerza de forma material y espacial 
dando como resultado 
( ) ( )0 0 0df T n dA T n dA=  =  
 
Por lo que a su vez el elemento diferencial de fuerza puede describirse como 
0df df F T n=  ( ) 0dA 0 0T n= ( ) 0dA 
0FT T = ó 
1
0T F T
−= 
 
Y como se obtuvo con anterioridad que ( )10
T
T F T F −=  , sustituyendo en la ecuación anterior 
queda 
 
 EJERCICIOS RESUELTOS TEMA 4. ESFUERZOS 
3 
( )1 1
T
T F F T F− − =   
 
2. Muestre que las relaciones entre las componentes de esfuerzo normal ( ) y de corte 
( ) para un plano cuya normal es 1 2cosn e sen e = + y las componentes 11 22 12, ,T T T (estado 
de esfuerzos plano) es de la siguiente forma: 
 
2 2
11 22 12cos 2T T sen T sen   = + + 
( )11 22 12
1
2 cos2
2
T T sen T  = − − + 
 
Para esto puede partir de considerar el equilibrio de fuerzas, esto a partir de la figura 
 
 
Asimismo, obtenga que la orientación de los ejes principales está dada por: 
 
1 12
11 22
21
tan
2
p
T
T T
 −
 
=  
− 
 
 
Solución 
a) Componentes del esfuerzo normal ( ) 
Primero debe tomarse en cuenta que, de acuerdo a la figura 1, el elemento se encuentra 
sometido bajo una condición biaxial de esfuerzos 
11 12
21 22
0
0
0 0 0
ij
T T
T T T
 
 
=
 
  
 
 
 Realizando una sumatoria de fuerzas en dirección de la normal al plano n, considerando el 
equilibrio estático, tal como se sugiere, se tiene que 
 
11 1 21 1 12 2 22 20 cos sen cos sen 0n nf T A T A T A T A A    =  − − − − + = ….(1) 
 
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO 
4 
Definiendo las áreas 1A y 2A en función del área del plano cuya normal es n ( )nA a partir de 
su proyección 
 
1 cosnA A = 
2 sennA A = 
 
Por lo que la ecuación (1) queda 
nA 11 cos nT A= ( ) 21cos sen nT A + ( ) 12cos cos nT A + ( ) 22sen sen nT A + ( )sen 
2 2
11 21 12 22cos sen cos cos sen senT T T T      = + + + 
 
Debido a la simetría del tensor de esfuerzos 12 21T T= 
2 2
11 12 22cos 2 cos sen senT T T    = + + 
 
Y a partir de la identidad trigonométrica sen 2 2sen cos  = 
2 2
11 12 22cos sen2 senT T T    = + + 
 
b) Componentes del esfuerzo cortante ( ) 
Realizando una sumatoria de fuerzas en dirección tangencial (o de corte) al plano n, bajo 
condiciones de equilibrio estático, se tiene que 
 
11 1 21 1 12 2 22 20 sen cos sen cos 0nf T A T A T A T A A     =  − + − + = ….(2) 
 
A partir de que 1 cosnA A = y 2 sennA A = , se tiene que la ecuación (2) queda 
nA 11 sen nT A= − ( ) 21cos cos nT A + ( ) 12cos sen nT A − ( ) 22sen cos nT A + ( )sen 
2 2
11 21 12 22sen cos cos sen cos senT T T T      = − + − + 
( ) 2 211 22 21 12cos sen cos senT T T T    = − − + − 
 
A partir de las identidades trigonométricas 
sen 2 2sen cos  = , ( )2
1
sen 1 cos2
2
 = − y ( )2
1
cos 1 cos2
2
 = + 
 
Se obtiene que 
( )
( ) ( )11 22 21 12sen 2 1 cos2 1 cos2
2 2 2
T T T T
   
−
= − + + − − 
 
Finalmente considerando que el tensor de esfuerzos es simétrico 12 21T T= 
 EJERCICIOS RESUELTOS TEMA 4. ESFUERZOS 
5 
( )11 22
12sen 2 cos 2
2
T T
T  
−
 = − + 
 
c) Orientación de los ejes principales 
A partir de la definición para el esfuerzo normal  , éste se maximizará en una cierta 
orientación en la cual al mismo tiempo se tendrá que la magnitud del esfuerzo cortante  será 
nula 
( )11 22
120 0 sen 2 cos2
2
T T
T  
−
=  = − + 
 
Buscando despejar al ángulo  
( )11 22
12sen 2 cos2
2
T T
T 
−
= 
( )
12
11 22
sen 2
cos 2 2
T
T T


=
−
 
 
Como la función tangente se define a través del cociente del seno respecto del coseno 
( )
12
11 22
2
tan 2
T
T T
 =
−
 
( )
1 12
11 22
21
tan
2
T
T T
 −
 
 =  
−  
 
 
 
También podría llegarse a este resultado considerando que, al ser un máximo, la razón de 
cambio del esfuerzo normal respecto del ángulo theta debe ser igual a cero, es decir 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 12 220 2 sen 2 2 cos2 2 2 cos2 2 0T T T
 
  
 
 
=  = − + + =
 
 
 
3. Ilustre mediante círculos de Mohr, los siguientes estados de esfuerzos: 
 
a)  
0 0 0
0 20 0
0 0 0
ij MPa
 
 
=  
 
 
 ; b)  
0 18 0
18 0 0
0 0 0
ij MPa
 
 
=  
 
 
 ; c)  
8 0 0
0 5 0
0 0 0
ij MPa
 
 
= − 
 
 
 
d)  
100 25 0
25 50 0
0 0 0
ij MPa
 
 
=  
 
 
; e)  
120 18 0
18 30 0
0 0 20
ij MPa
 
 
=  
 − 
; f)  
90 0 0
0 30 0
0 0 10
ij MPa
 
 
=  
 
 
 
a. ¿Cuál es la magnitud de los esfuerzos principales, esto para cada caso? 
b. ¿A qué ángulo se encuentran los ejes principales, de los correspondientes a la 
descripción de los esfuerzos? 
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO 
6 
 
Solución 
a) 
Esfuerzos principales 
1 3 20 , 20MPa  = = = 
Ángulo entre ejes y ejes principales 
A 0°, ya que el eje 2x es un eje principal 
 
b) 
Esfuerzos principales 
1 2 318 , 18 , 0MPa MPa  = = − = 
Ángulo entreejes y ejes principales 
A 45° 
 
 
c) 
Esfuerzos principales 
1 2 38 , 5 , 0MPa MPa  = = − = 
Ángulo entre ejes y ejes principales 
A 0°, ya que tanto el eje 1x como el eje 2x son ejes principales 
 EJERCICIOS RESUELTOS TEMA 4. ESFUERZOS 
7 
 
 
d) 
Esfuerzos principales 
1 2 3110.36 , 39.64 , 0MPa MPa  = = = 
Ángulo entre ejes y ejes principales 
A 22.25°, respecto de los ejes 1x y 2x 
 
 
 
e) 
Esfuerzos principales 
1 2 3123.47 , 26.53 , 20MPa MPa MPa  = = = − 
Ángulo entre ejes y ejes principales 
A 11°, respecto de los ejes 1x y 2x y a 0° respecto de 3x ya que es un eje principal 
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO 
8 
 
 
f) 
Esfuerzos principales 
1 2 390 , 30 , 10MPa MPa MPa  = = = 
Ángulo entre ejes y ejes principales 
A 0°, ya que todos los ejes ( 1x , 2x y 3x ) son ejes principales