Sistemas de unidades - Arturo Lara

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Sistemas de unidades
Se han estado utilizando exclusivamente unidades del SI que, para los propósitos que aquí se persiguen, son las mismas que las del sistema MKSA, y en adelante se seguirá con la misma política. Esto significa que este sistema de unidades está basado en cuatro cantidades escogidas y definidas en forma arbitraria metro, kilogramo, segundo y ampere. Principalmente por razones históricas basadas en el desarrollo originalmente separado de la electricidad y del magnetismo, también se han utilizado y se seguirán utilizando otros sistemas de unidades para estudiar este tema. Esto suele ser particularmente notorio en estudios avanzados de física, especialmente en temas como la mecánica cuántica y sus aplicaciones sobre las propiedades microscópicas de la materia. Como resultado de esta situación, aquel estudiante cuyo entrenamiento se haya basado exclusivamente en el uso de unidades MKSA suele enfrentarse a menudo al problema de tener que contestar dos preguntas: ¿en qué sistema de unidades está escrita esta ecuación? ¿Qué números o factores se deben introducir para poder resolver este problema? Este capítulo pretende ser una guía para contestar estas preguntas. Por lo tanto, no se hace un estudio exhaustivo de los diferentes sistemas de unidades, sino que principalmente se trata de explicar cómo se originaron, qué efectos tienen sobre la forma de las ecuaciones que aquí se utilizan y qué hacer al respecto. Así, en cierto sentido, este pequeño capítulo viene a ser una digresión, pero ya que se ha terminado con la tarea de describir el electromagnetismo en su forma más general y fundamental, es oportuno en este un punto considerar tales interrogantes.
23- 1 Origen de otros sistemas de unidades
Para entender cómo pueden concurrir diferentes sistemas de unidades, baste considerar dos resultados experimentales básicos — uno electrostático y otro magnetostático. Según la ley de Coulomb (2-3), se sabe que la magnitud de la fuerza entre dos cargas puntuales tiene la forma
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Sistemas de unidades
R2
(23-1)
donde Ce es una constante de proporcionalidad cuyo valor numérico depende de las unidades utilizadas. Anteriormente se eligió Ce = l/47re0. De manera similar, la magnitud de la fuerza por unidad de longitud entre dos corrientes paralelas está dada, según la ley de Ampere, por (13-13) y (13-14), pudiéndose escribir
dz	p
(23-2)
donde Cm es otra constante de proporcionalidad que antes se escribió como Cm =/i0/4tt. Además, todos los sistemas de unidades utilizan la definición de corriente dada por (12-2): 1 = dq/dt.
Si se utiliza siempre el mismo conjunto de unidades mecánicas en ellas, entonces las fuerzas implicadas tendrán la misma dimensión, y se puede observar que las combinaciones Ceqq’/R2 y C^I1 deben también tener las mismas dimensiones, de modo que la relación
-^ = c2	(23-3)
debe tener las dimensiones de (distancia/tiempo)2, es decir, c tiene dimensiones de velocidad. Este valor ha sido medido en numerosas ocasiones y el resultado experimental es c = 3 X 108 metros/segundo	(23-4)
que es igual al valor medido para la velocidad de la luz en el vacío. El mejor valor de c que se conoce actualmente es 2.99792458 X 108 metros/segundo, pero el valor que se da en (23-4) es suficientemente exacto para los actuales propósitos. (Como se verá en el siguiente capítulo, la concordancia entre esta relación y la velocidad de la luz no es accidental.) Ya se tomó en consideración este valor en los valores que se dieron a Ce y Cm, encontrándose que Ce/Cm =(47reo)‘1/(úo/a7r) =(A£oeo)’1 = (9 x 109)/(10"7) = (3 X 108 metros/ segundo)2 según (2-5) y (13-2); esto concuerda con (23-3) y (234). En otras palabras, se cuenta con el resultado fundamental de que
Mo€o=-7	(23-5)
para el sistema MKSA que se está utilizando aquí.
Los diversos sistemas de unidades que se utilizan en electromagnetismo difieren esencialmente en la manera en que se eligen estas constantes. Resulta evidente que cualquiera de las constantes, Ce ó Cm, puede elegirse arbitrariamente, pero entonces el valor de la otra debe ajustarse al requisito de (23-3).
Todos los demás sistemas de interés están basados en el uso del sistema CGS, en el que todo se expresa en función de la elección arbitraria de tres unidades fundamentales para longitud, masa y tiempo; éstas son el centímetro, el gramo y el segundo, respectivamente. Las unidades mecánicas se derivan después de la manera tradicional a partir de sus definiciones. Así, la unidad de la fuerza es 1 gramo X 1 centímetro/ (segundo)2 = 1 dina. La unidad de trabajo o energía será el producto de la unidad de fuerza por la unidad de desplazamiento:
Los sistemas electrostático y electromagnético	451
1 dina-centímetro = 1 erg. La unidad de potencia será de 1 erg/segundo, y así sucesivamente.
Otra distinción que se debe hacer entre sistemas de unidades se refiere al hecho de saber si son “racionalizados” o.“no racionalizados”. Lo que esto significa es que para un sistema racionalizado no existen factores de 4tt en las ecuaciones de Maxwell, mientras que, como se verá adelante, sí aparecen si se utiliza un sistema no racionalizado. Las ecuaciones 21-19 a 21-22 demuestran que se ha estado utilizando un sistema de unidades MKSA racionalizado. (El uso de un sistema racionalizado no hace que 4tt desaparezca, sino que simplemente significa que los 4tt se encontrarán en otros resultados que se derivan de las ecuaciones de Maxwell; por lo tanto, la elección del tipo de sistemas a utilizar es cuestión de gustos.)