T4 - Axel

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TEMA 4. Gases Ideales 
Objetivo: Basado en el postulado de estado, el alumno aplicará ecuaciones de estado para 
modelar procesos termodinámicos. Así mismo reconocerá y aplicará las simplificaciones 
que brinda el concepto de gas ideal en la aplicación de las leyes de la Termodinámica. 
ECUACIÓN DE ESTADO 
El estado de un sistema está caracterizado por el conocimiento de todos sus parámetros 
macroscópicos medibles (temperatura, presión, volumen, concentración, etc.). En la 
práctica solo los parámetros susceptibles de evolucionar en el proceso son tomados en 
cuenta. Tales parámetros son llamados parámetros de estado. Cuando un sistema está en 
equilibrio, sus parámetros de estado permanecen invariables. Es así que la presión de un 
gas toma el mismo valor en cualquier punto del sistema. Es una condición indispensable 
(sine qua non) que se debe satisfacer para que un parámetro caracterice el estado de un 
sistema. 
Cuando el sistema está en equilibrio, los parámetros de estado, denotados como X i, son 
dependientes unos de otros: 
Xi = Xi (X1 , X2 , …….., Xi-1 , Xi+1, …… Xn) 
De una manera más general esta dependencia se escribe como: 
f (X1 , X2 , …….., Xi-1 , Xi+1, …… Xn) = 0 
Esta ecuación se llama Ecuación de Estado. 
En el caso de un gas, entre las propiedades P, V, T y el número de moles, n, existe una 
relación 
f (P, V, T, n) = 0 
Que constituye su ecuación de estado. Esta ecuación se puede escribir en forma más 
general combinando las propiedades V y n dando lugar al volumen específico, con lo cual 
resulta que, 
f (P, v, T) = 0 
En general, la ecuación de estado varía de una sustancia a otra. Solo en algunos casos, como 
ocurre con los gases ideales, se puede obtener una ecuación de estado, Pv = RuT, válida para 
todos ellos. 
Esta ecuación se puede deducir de las leyes de Boyle y de Gay-Lussac que satisfacen 
experimentalmente los gases a una presión muy baja y a una temperatura relativamente 
alta. 
 
EJERCICIO 
Un gas está caracterizado por sus parámetros de estado: temperatura, T, presión, P y 
volumen, V. 
Durante una evolución infinitesimal dT y dV de T y de V, la presión sufre una modificación 
dada por: 
dP = 
𝑅𝑢
𝑉−𝑏
 dT - 
𝑅𝑢𝑇
(𝑉−𝑏)2
 dV 
Donde b es un real positvo. 
Escribir la ecuación de estado f (P,V,T) =0 
 
SOLUCIÓN 
Se pide determinar la función P = P(T,V) a partir de la forma diferencial: 
dP = 
𝜕𝑃
𝜕𝑇
)V dT + 
𝜕𝑃
𝜕𝑉
)T dV 
dP = 
𝑅𝑢
𝑉−𝑏
 dT - 
𝑅𝑢𝑇
(𝑉−𝑏)2
 dV 
 
Para ello, obtengamos la parcial de P respecto a T, 
𝜕𝑃
𝜕𝑇
 = 
𝑅𝑢
𝑉−𝑏
 ; esto implica que P = ∫
𝑅𝑢𝑑𝑇
𝑉−𝑏
 + g(V) 
Donde g(V) es una función solamente de V. 
Por lo tanto, P = 
𝑅𝑢𝑇
𝑉−𝑏
 + g(V) 
Por otra parte, la parcial de P respecto a V se expresa como: 
𝜕𝑃
𝜕𝑉
 = - 
𝑅𝑢𝑇
(𝑉−𝑏)2
 
Que se puede escribir también como: 
𝜕
𝜕𝑉
 [ 
𝑅𝑢𝑇
𝑉−𝑏
 + g(V)] = - 
𝑅𝑢𝑇
(𝑉−𝑏)2
 
Es decir, 
- 
𝑅𝑢𝑇
(𝑉−𝑏)2
 + 
𝑑𝑔
𝑑𝑉
 = - 
𝑅𝑢𝑇
(𝑉−𝑏)2
 
Lo cual implica que 
𝑑𝑔
𝑑𝑉
= 0, o bien que g = Cte. 
Así, 
P = 
𝑅𝑢𝑇
𝑉−𝑏
 + Cte. 
Finalmente, cuando V tiende a infinito (con T = cte.) la presión se hace cada vez más 
pequeña. En el límite, 
lim
𝑉→∞
𝑃 = 0 , lo que significa que la Cte. = 0, y la ecuación de estado se expresa como: 
P = 
𝑅𝑢𝑇
𝑉−𝑏
 , o bien, 
P (V-b) – RuT = 0 
 
EJERCICIO. 
Si la forma diferencial es: 
dP = 
𝑹
𝒗
 dT - 
𝑹𝑻
𝒗𝟐
 dv 
¿Cuál será la ecuación de estado del gas? 
P v – R T = 0 
 
 
EXPERIMENTOS DE ROBERT BOYLE, EDME MARIOTTE, JACQUES CHARLES Y LOUIS GAY-
LUSSAC. 
 
 
La Ley de Boyle es una ley de los gases que relaciona la presión y el volumen de 
una determinada cantidad de gas, sin variación de temperatura, es decir, a 
temperatura constante. También se la conoce como Ley de Boyle-Mariotte porque 
fue formulada independientemente por el físico y químico anglo-irlandés Robert 
Boyle (1662) y el físico y botánico francés Edme Mariotte (1676). 
 
DIAGRAMA V-P PARA UN GAS IDEAL (Ley de Boyle-Mariotte) 
 
https://es.wikipedia.org/wiki/Edme_Mariotte
 
 
 
 
 
 
 
 
DIAGRAMA T-P PARA UN GAS IDEAL (Ley de Gay-Lussac) 
 
 
 
DIAGRAMA T-V PARA UN GAS IDEAL (Ley de Charles) 
 
 
La conjunción de los resultados obtenidos en los diferentes experimentos ya mencionados 
da lugar a lo que se conoce como ecuación general de los gases ideales y, ésta, finalmente 
a la ecuación del gas ideal, con la cual ya se está muy familiarizado. 
 
ECUACIÓN GENERAL DE LOS GASES IDEALES: 
 
𝑷 𝑽
𝑻 
 = Cte. , que equivale a escribir: 
𝑷𝟏 𝑽𝟏
𝑻𝟏
 = 
𝑷𝟐 𝑽𝟐
𝑻𝟐
 = ………… = 
𝑷𝒏 𝑽𝒏
𝑻𝒏
 
 
ECUACIÓN DEL GAS IDEAL: 
P V = n Ru T 
P v = R T 
P V = m R T , 
𝒎
𝑽
 = ρ = 
𝑷
𝑹 𝑻
 
P es la presión absoluta del gas, Pa 
V es el volumen del gas, m3 
m es la masa del gas, kg 
n es el número de moles del gas 
R es la constante particular del gas 
Ru es la constante universal de los gases 
n = 
𝒎
𝑴
 ; R = 
𝑹𝒖
𝑴
 
M es la masa molar del gas, 
𝑘𝑔
𝑘𝑔𝑚𝑜𝑙
 
El número de moles de un gas se obtiene también como el cociente del número de 
moléculas del gas entre el número de Avogadro: 
n = 
𝑵
𝑵𝑨
 
 
NA = 6.022x1023 
𝒑𝒂𝒓𝒕í𝒄𝒖𝒍𝒂𝒔
𝒎𝒐𝒍
 
 
 
 
 
 
EJERCICIO 
Determine la densidad del aire atmosférico si las propiedades termodinámicas del fluido 
son: 
P = 580 mmHg 
T = 250C 
 
SOLUCIÓN 
R (aire) = 287 
𝐽
𝑘𝑔 𝐾
 
ρ = 0.9037 
𝑘𝑔
𝑚3
 
EJERCICIO 
Un matraz de 250 mL contiene Kr a 500 Torr; otro de 450 mL contiene He a 950 Torr. Se 
mezcla el contenido de ambos recipientes abriendo la llave que los conecta. Suponiendo 
que todas las operaciones se realizan a temperatura constante, calcule la presión final total 
y el porcentaje en volumen del Kr en la mezcla. 
SOLUCIÓN 
 
P (Kr) = 
250
700 
 (500 Torr) = 178.57 Torr 
P (He) = 
450
700
 (950 Torr) = 610.71 Torr 
P (total) = 789.28 Torr 
1 Torr = 1 mmHg 
𝑷𝟏𝑽𝟏 = 𝑷𝟐𝑽𝟐 
Ley de Dalton: 
La presión total de una mezcla de gases ideales es igual a la suma de las presiones 
parciales de cada uno de los gases que conforman la mezcla. 
 
La presión parcial es la presión que ejerce cada gas sobre las paredes del recipiente si se 
encontrara solo a la misma temperatura que la mezcla. 
 
 
 
Ley de Amagat: 
La Ley de Amagat establece que el volumen total de una mezcla de gases es igual a la suma 
de los volúmenes parciales que cada gas que la compone tendría, si estuviera solo y a la 
presión y temperatura de la mezcla. 
Se conoce también como ley de los volúmenes parciales o aditivos y su nombre se debe al 
físico y químico francés Emile Hilaire Amagat (1841- 1915), quien la formuló por primera 
vez en 1880. Es análoga en volumen a la ley de las presiones parciales de Dalton. 
Se pueden derivar relaciones importantes entre las variables de la mezcla haciendo uso de 
la ley de Amagat. Partiendo de la ecuación de estado de los gases ideales: 
P.V = nRT 
Seguidamente se despeja el volumen de un componente i de la mezcla, que entonces se 
puede escribir de la siguiente forma: 
Vi = niRTm / Pm 
Donde ni representa el número de moles del gas presentes en la mezcla, R es la constante 
de los gases, Tm es la temperatura de la mezcla y Pm la presión de la misma. El número de 
moles ni es: 
ni = Pm Vi / RTm 
Mientras que, para la mezcla completa, n viene dado por: 
n = PmV/RTm 
Dividiendo la expresión para ni entre esta última: 
ni /n = Vi /V 
Despejando Vi: 
Vi = (ni /n) V 
Por lo tanto: 
Vi = xi V 
Donde xi se denomina fracción molar y es una cantidad sin dimensiones. 
La fracción molar es equivalente a la fracción volumen Vi /V y, como se observa, también 
es equivalente a la relación Pi /P. 
Vi /V = Pi /P 
 
 
% V de Kr = 22.6 = 
𝟏𝟕𝟖.𝟓𝟕 
𝟕𝟖𝟗.𝟐𝟖
 x 100 
 
LEY DE JOULE, FÓRMULA DE MAYER 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIO 
Un litro de aire se calienta isobáricamente a la presiónatmosférica (1 atm) hasta duplicar 
su volumen. 
a) Determine su variación de energía interna. 
b) Evalúe el rendimiento (eficiencia) del proceso. 
 
Lluvia de ideas: 
P = cte. 
∆U = m cv ∆T = 
𝑷 𝑽𝟏
𝑹
 cv 
Para el aire: 
cv = 717 
𝑱
𝒌𝒈 𝑲
 ; cp = 1004 
𝑱
𝒌𝒈 𝑲
 ; R = 287 
𝑱
𝒌𝒈 𝑲
 ; K = 1.4 
PV = mRT; m = 
𝑷𝑽𝟏
𝑹 𝑻𝟏
 
𝑽𝟏
𝑻𝟏
 = 
𝑽𝟐
𝑻𝟐
 
V2 = 2 V1 
W = - P (V2 – V1) 
T2 – T1 = T1 
 
SOLUCIÓN 
a) ∆U = m cv ∆T = 
𝑃𝑉1
𝑅 𝑇1
 cv (𝑇2 − 𝑇1) = 
𝑃𝑉1
𝑅 
 cv = 
1.013𝑥105𝑃𝑎 (1𝑥10−3𝑚3)
287 
𝐽
𝑘𝑔 𝐾
 (717 
𝐽
𝑘𝑔 𝐾
) = 253.07 J 
𝑇2 − 𝑇1 = 2 T1 – T1 = T1 
El calor involucrado en un proceso isobárico corresponde al cambio de entalpia del mismo. 
∆ H = m cp ∆T 
b) ⴄ = 
|𝑊|
𝑄
 = 
𝑃 (𝑉2− 𝑉1)
𝑚 𝑐𝑝 (𝑇2− 𝑇1)
 = 
𝑃𝑉1
𝑃𝑉1
𝑅 𝑇1
𝑐𝑝 𝑇1
 = 
𝑅
𝑐𝑝
 = 1 - 
1
𝐾
 = 0.2858 (28.57%) 
K = 
𝑐𝑝
𝑐𝑣
 ; R = cp - cv 
 
Q = 3.5 |𝑊| 
 
 
 Q 
 
 W 
 
 
 
EJERCICIO 
Un gas ideal se comprime politrópicamente desde el estado inicial 1 atm y volumen de 9 L, 
hasta una presión de 3 atm y volumen 4 L. Determine el trabajo involucrado en el proceso. 
 
SOLUCIÓN 
PVn = cte. ; P1 V1n = P2 V2n ; n = 
𝒍𝒏 
𝑷𝟐
𝑷𝟏
𝒍𝒏 
𝑽𝟏
𝑽𝟐
 = 1.3547 
n es el índice politrópico. 
W = 
𝑃2 𝑉2 − 𝑃1 𝑉1 
𝑛−1
 = 
((3 𝑎𝑡𝑚)(4𝐿)− (1 𝑎𝑡𝑚)(9 𝐿)) 1.013𝑥105 
𝑃𝑎
𝑎𝑡𝑚
 (10−3 
𝑚3
𝐿
 ) 
1.3547 − 1
 = 857 J 
 
 
TERMÓMETRO DE GAS A VOLUMEN CONSTANTE. 
 
Ver el siguiente video: 
https://www.youtube.com/watch?v=PIaqe_KNIkc 
 
 
 
P, atm 
V, L V1 V2 
Patm 
https://www.youtube.com/watch?v=PIaqe_KNIkc
EJERCICIO: 
Charles encontró que el volumen de 1 mol de cierto gas ocupa un volumen de 22.414 L a 
00C y 30.619 L a 1000C. Determine el valor de la temperatura a la cual el volumen valdría 
cero. 
 SOLUCIÓN: 
a) Realice una gráfica de T, en abscisas, contra V en ordenadas y obtener la ecuación de 
la recta. 
V (L) = 0.08205 T (0C) + 22.414 (L) 
 
b) Determine la temperatura cuando el volumen es de cero. 
T = -273.15 0C 
 
PV = nRuT; V = 
nRuT
𝑃 
 = 
0.001 kgmol (8314 
𝐽
𝑘𝑔𝑚𝑜𝑙 𝐾
)(273.15 𝐾)
1.013𝑥105 𝑃𝑎 
 = 0.022417 𝑚3 = 22.417 L 
V a 1000C = 0.03062 𝑚3 = 30.62 L 
CH4 , aire, H2, N2, etc. 
 
FIN TEMA 4