Transformaciones de norma - Arturo Lara (1)

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21- Transformaciones de norma
Casi al final de la sección 16-2 se vio que el requisito B = VX A sigue dejando alguna
ambigüedad en el potencial vectorial, y en (16-24) y (16-25) también se vio que un
nuevo potencial, Af , definido como
At = A+Vx	(22-21)
proporciona la inducción B igualmente bien. Se observa que tal sigue siendo el caso aquí,
sólo que se esperaría que el escalar X fuera una función tanto de la posición como del
tiempo, de modo que se pueda escribir X~x(r, t). Sin embargo, ahora E depende tanto
del potencial escalar como del vectorial y se desea, desde luego, encontrar el mismo
campo eléctrico. Si se sustituye (22-21) en (22-3) se obtiene
=	(22-22)
donde
(22-23)
Así, la forma de (22-3) se mantiene si también se modifica el potencial escalar de la misma manera. En otras palabras, se obtienen los mismos campos E y B ya sea usando el conjunto de potenciales (A, 0) o el conjunto (Af, 0t). El tipo de transformación definida por (22-21) y (22-23) recibe el nombre de transformación de norma; así, se ha encontrado que las ecuaciones de Maxwell no cambian por una transformación de norma o un “cambio de norma.” Sin embargo, hay algunas restricciones que sería deseable imponer sobre X para que ambos conjuntos de potenciales satisfagan la condición de Lorentz. Si se sustituyen (22-21) y (22-23) en (22-14) se tiene
+	+	=0	(22-24)
de modo que A+ y (¡fi también satisfacen (22-14) siempre que
A 2v
=a2X = 0	(22-25)
dt
[En el caso de campos estáticos, (22-14) y (22-25) se reducen a los resultados anteriores (16-26) y (16-27).]
También se puede verificar fácilmente que bajo esta suposición At y c/f satisfacen las mismas ecuaciones diferenciales que A y 0 satisfacen:
□2 A' = - nJf OV =~^	(22-26)
Cuando se manejan potenciales que cumplen con todos estos requerimientos, se dice que se ha utilizado una norma de Lorentz
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Potenciales escalar y vectorial
Ejercicios
21- 1 Demostrar que (22-8) y (22-9) también pueden obtenerse empezando con (22-4) y (22-5) en lugar de regresar a las ecuaciones de Maxwell.
21- 2 Demostrar que si las distribuciones de carga y corriente libres y la polarización y magnetización son todas funciones dadas de la posición y del tiempo, entonces las ecuaciones generales que los potenciales satisfacen pueden separarse usando la forma de la condición de Lorentz apropiada para el vacío. Encontrar las ecuaciones diferenciales que A y 0 satisfacen bajo estas circunstancias.
21- 3 Encontrar las ecuaciones que los potenciales satisfacen para un medio isotrópico lineal pero no homogéno.
21- 4 Encontrar las condiciones de frontera que deben satisfacer las componentes normales de A. a partir de la condición de Lorentz (22-11), que involucra la conductividad.
21- 5 Considerar un medio i.h.l. no conductor. Si se requiere que V • A —0, se dice que se está utilizando la norma de Coulomb. Encontrar las ecuaciones diferenciales que A y 0 satisfacen en este caso.
21- 6 Demostrar que en una región i.h.l. no conductora en la que =0 y Jy = 0, los campos E y B pueden encontrarse en forma completa a partir de un potencial vectorial, es decir, que 0 = const. (por lo general se toma como igual a cero). ¿Cuáles son las dos ecuaciones que determinan A?
21- 7 Considerar una región donde pf = 0, Jy = 0, M = 0 y P es una función dada de la posición y del tiempo. Demostrar que (22^4) y (22-5) se satisfacen y que el campo electromagnético puede ser obtenido de un solo vector 7te tal que A = /i0€0(3we/d/),^>= — V - Y ^2,fre ~ Moeo(9 2>lTe/dt2) = ~ P/ to- A este vector se le conoce como el vector de Hertz o potencial de polarización. Expresar E y B completamente en función de 7Te. y también de P si es que esto lleva a alguna simplificación.
20- 8 La esencia de este ejercicio es similar a la del anterior. Suponer que Py =0, Jy =0, P = 0 y M es una función dada de la posición y del tiempo. Demostrar que ahora se puede obtener el campo electromagnético a partir de un solo vector, ltm, que satisface la ecuación V2wm- g0€0(32irm/3t2) = - pQM. Encontrar expresiones para A, 0, E y B en función de itm.