Métodos Numéricos

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1 Contenido 
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 11 
 17 
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 21 
 25 
 25 
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 32 
 33 
 ¡Error! Marcador no definido. 
 33 
 33 
 34 
 34 
 
Figura 1. Números ......................................................................................................................................... 4 
Figura 2. Problema prototípico ..................................................................................................................... 5 
 ........................................ 8 
 .................................... 12 
 ..................................... 17 
 
 .............................................. 22 
 ..................................................................... 26 
 ...................................................................................... 30 
 
Tabla 1. Diferencias divididas........................................................................................................................ 7 
Tabla 2. Evolución del algoritmo ................................................................................................................. 13 
Tabla 3. Iteración 16 ................................................................................................................................... 14 
Tabla 4. Iteraciones ..................................................................................................................................... 19 
Tabla 5. Iteraciones ..................................................................................................................................... 24 
Tabla 6. Iteraciones 4 .................................................................................................................................. 25 
Tabla 7. Iteraciones ..................................................................................................................................... 28 
 
 
 
 
Figura 1. Números 
 
 
 
 
 
P
6
(x) =
1
48
(693x6 - 945x4 + 315x2 -15) 
 
 
Figura 2. Problema prototípico 
 
 
𝑓[𝑥0, … , 𝑥𝑛] [𝑥0, … , 𝑥𝑛]
𝑓[𝑥0] = 𝑓(𝑥0)
𝑓[𝑥1, 𝑥0] =
𝑓(𝑥1)– 𝑓(𝑥0)
𝑥1– 𝑥0
𝑓[𝑥𝑛, … , 𝑥0] =
𝑓[𝑥𝑛, … , 𝑥1]– 𝑓[𝑥𝑛−1, … , 𝑥0]
𝑥𝑛– 𝑥0
𝑓[𝑥𝑘] = 𝑓(𝑥𝑘)
𝑓[𝑥1, 𝑥0]
(𝑥1, 𝑓(𝑥1)) (𝑥0, 𝑓(𝑥0))
𝑓(𝑥2) = 𝑃2(𝑥2) = 𝑎0 + 𝑎1(𝑥2 − 𝑥0) + 𝑎2(𝑥2 − 𝑥0)(𝑥2 − 𝑥1)
 
𝑃2(𝑥) 𝑓(𝑥)
𝑎𝑖=0,1
𝑎2
𝑎2 =
𝑓(𝑥2) − 𝑎0 − 𝑎1(𝑥2 − 𝑥0)
(𝑥2 − 𝑥0)(𝑥2 − 𝑥1)
= (
𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1)
𝑥2 − 𝑥1
−
𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥0)
𝑥1 − 𝑥0
) /(𝑥2 − 𝑥0)
(𝑥2, 𝑓
′(𝑥2)) (𝑥0, 𝑓
′(𝑥0))
𝑃3(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1(𝑥 − 𝑥1) + 𝑎2(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) + 𝑎3(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)(𝑥 − 𝑥3)
𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 4𝑥 𝑥0 =
1, 𝑥1 = 2, 𝑥2 = 3 … , 𝑥5 = 6
𝒙𝒊 𝒇[𝒙𝒊] 𝒇[𝒙𝒊−𝟏, 𝒙𝒊] 𝒇[𝒙𝒊−𝟐, … , 𝒙𝒊] 𝒇[𝒙𝒊−𝟑, … , 𝒙𝒊] 𝒇[𝒙𝒊−𝟒, … , 𝒙𝒊] 𝒇[𝒙𝒊−𝟒, … , 𝒙𝒊]
𝒙𝟎 = 𝟏 −3 
𝒙𝟏 = 𝟐 0 3 
𝒙𝟐 = 𝟑 15 15 6 
𝒙𝟑 = 𝟒 48 33 9 1 
𝒙𝟒 = 𝟓 105 57 12 1 0 
𝒙𝟓 = 𝟔 192 87 15 1 0 0 
Tabla 1. Diferencias divididas
𝑃3(𝑥) = −3 + 3(𝑥 − 1) + 6(𝑥 − 1)(𝑥 − 2) + (𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 3)
 
𝑓(𝑥) 𝑥
𝑓(𝑥) = 0
𝑥
 
𝜁(𝑠) 
𝑃
𝑇
𝐶 = 𝑃 + 𝑃 (1 +
𝑇
12
) + 𝑃 (1 +
𝑇
12
)
2
+ ⋯ + 𝑃 (1 +
𝑇
12
)
𝑁−1
𝑃 (1 +
𝑇
12
)
𝑇 {1,2, … , 𝑁 − 1}
𝑃
𝐶 = 𝑃 (1 + (1 +
𝑇
12
) + (1 +
𝑇
12
)
2
+ ⋯ + (1 +
𝑇
12
)
𝑁−1
)
𝑟 = 1 +
𝑇
12
𝐶 = 𝑃
1 − 𝑟𝑁
1 − 𝑟
= 𝑃
1 − (1 +
𝑇
12)
𝑁
1 − (1 +
𝑇
12)
=
𝑃
𝑇/12
((1 +
𝑇
12
)
𝑁
− 1) 
𝑁 𝑇 
𝑃
𝐶
 
𝑇
𝑁 = 240 𝐶 𝑇
𝐶 = 𝐶(𝑇).
𝑇𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 0.12
𝑇1
𝐶(0.12) = 247,313.84
𝑇2 = 0.13
𝐶(0.13) = 283,310.59
𝑇3 = 0.125
𝐶(0.125) = 264,623.40
𝑇4 = 0.1210
𝐶(0.1210) = 250,670.79
𝑇4 = 0.1210.
𝑇𝑖
𝐶(𝑇𝑖) = 𝐿0
 
𝐶(𝑇𝑖) − 𝐿0 = 0
 
 
 
 
 
𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℜ 𝑓(𝑎)𝑓(𝑏) < 0
𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏] 𝑓(𝑐) = 0
[𝑎𝑖, 𝑏𝑖] 𝑎0 = 𝑎 𝑏0 = 𝑏
𝑝1
𝑝𝑖 =
1
2
(𝑎𝑖 + 𝑏𝑖)
 
 𝑓(𝑝𝑖) = 0 𝑐 = 𝑝𝑖
 𝑓(𝑎𝑖)𝑓(𝑝𝑖) < 0 [𝑎𝑖, 𝑝𝑖]
 𝑓(𝑝𝑖)𝑓(𝑏𝑖) < 0 [𝑝𝑖, 𝑏𝑖]
𝑓(𝑣1)𝑓(𝑣2) < 0
𝑓(𝑣1) 𝑓(𝑣2)
𝑣1 𝑣2
 
𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 4𝑥2 − 10
[1,2].
𝑎 = 1 𝑏 = 2
𝑝 = 1.5
𝒊 𝒂𝒊 𝒃𝒊 𝒑𝒊 𝒇(𝒑𝒊) 𝒇(𝒂𝒊) 𝒇(𝒃𝒊) 𝒇(𝒂𝒊)𝒇(𝒑𝒊) < 𝟎 𝒇(𝒑𝒊)𝒇(𝒃𝒊) < 𝟎
Tabla 2. Evolución del algoritmo
 
10−4 𝑓(𝑥) 𝑥 = 1.36522
ℎ(𝑥) = 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑜(𝑥)
ℎ(𝑥) = 1
[0,2]
𝑓(𝑥) = 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑜(𝑥) − 1
𝒊 𝒂𝒊 𝒃𝒊 𝒑𝒊 𝒇(𝒑𝒊) 𝒇(𝒂𝒊) 𝒇(𝒃𝒊) 𝒇(𝒂𝒊)𝒇(𝒑𝒊) < 𝟎 𝒇(𝒑𝒊)𝒇(𝒃𝒊) < 𝟎
Tabla 3. Iteración 16
𝑥 = 1.11414
function [c,err,yc]=biseccion(f,a,b,d) 
% metodo de la biseccion 
 
% entrada: f funcion, a extremo izquierdo, b extremo 
derecho, y d criterio de paro 
% c cero, yc=f(c), err es el error del resultado 
ya=feval(f,a) 
yb=feval(f,b) 
if ya*yb>0,break,end 
max1=1+round((log(b-a)-log(d))/log(2)); 
for k=1:max1 
 c=(a+b)/2; 
 yc=feval(f,c) 
 if yc==0; 
 a=c; 
 b=c; 
 elseif yb*yc>0 
 b=c; 
 yb=yc; 
 else 
 a=c; 
 ya=yc; 
 end 
 if b-a < d, break, end 
end 
c=(a+b)/2; 
err=abs(b-a); 
yc=feval(f,c) 
endfunction 
 
Algoritmo 1. Algoritmo de la bisección en Octave. 
 
 
>>> f=”x^3+4*x^2-10” 
>>> [a,b,c] = biseccion(“f”,0,2,0.0001) 
octave:11> [k,l,m]=biseccion("f",0,2,0.0002) 
ya = -1 
yb = 0.81859 
yc = -0.15853 
yc = 0.49624 
yc = 0.18623 
yc = 0.015051 
yc = -0.071827 
yc = -0.028362 
yc = -0.0066428 
yc = 0.0042080 
yc = -0.0012165 
yc = 0.0014960 
yc = 1.3981e-004 
yc = -5.3832e-004 
yc = -1.9925e-004 
yc = -2.9719e-005 
yc = 5.5047e-005 
k = 1.1142 
l = 1.2207e-004 
m = 5.5047e-005 
 
 
 
𝑐
(𝑎, 𝑓(𝑎)) (𝑏, 𝑓(𝑏))
𝑋 = 0 (𝑐, 0) 𝑓(𝑐)𝑓(𝑎) < 0 
𝑐𝑖
 
𝑐
𝑚1 =
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
𝑏 − 𝑎
𝑚2 =
0 − 𝑓(𝑏)
𝑐 − 𝑏
𝑐𝑖
𝑚1 = 𝑚2
𝑐
𝑐 = 𝑏 −
𝑓(𝑏)(𝑏 − 𝑎)
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
𝑐𝑖 = 𝑏𝑖 −
𝑓(𝑏𝑖)(𝑏𝑖 − 𝑎𝑖)
𝑓(𝑏𝑖) − 𝑓(𝑎𝑖)
 𝑓(𝑐𝑖) = 0 𝑐𝑖
 
 𝑓(𝑎𝑖)𝑓(𝑐𝑖) < 0 𝑓 [𝑎𝑖, 𝑐𝑖]
 𝑓(𝑎𝑖)𝑓(𝑐𝑖) > 0 𝑓 [𝑐𝑖, 𝑏𝑖]
𝑓(𝑥) = 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑜(𝑥) − 1
𝒊 𝒂𝒊 𝒃𝒊 𝒇(𝒂𝒊) 𝒇(𝒃𝒊) 𝒄𝒊 𝒇(𝒄𝒊) 𝒆𝒔𝒕𝒂(𝒂𝒊, 𝒄𝒊) 𝒆𝒔𝒕𝒂(𝒄𝒊, 𝒃𝒊) 
Tabla 4. Iteraciones
function 
[c,err,yc]=reglafalsa(f,a,b,d=0.0001,e=0.0001,m=1000) 
% metodo de la regla falsa 
% entrada: f funcion, a extremo izquierdo, b extremo 
derecho, y d tolerancia de cero, e tolerancia de que la 
funcion ya este en cero, m maximo de iteraciones 
% c cero, yc=f(c), err es el error del resultado 
ya=feval(f,a); 
yb=feval(f,b); 
if ya*yb>0, 
 
 disp(“No cumple las condiciones”); 
 break; 
end 
for k=1:m 
 dx=yb*(b-a)/(yb-ya); 
 c=b-dx; 
 ac=c-a; 
 yc=feval(f,c); 
 if yc==0,break; 
 elseif yb*yc>0 
 b=c; 
 yb=yc; 
 else 
 a=c; 
 ya=yc; 
 ya=yc; 
 end 
 dx=min(abs(dx),ac); 
 if abs(dx)<d,break,end 
 if abs(yc)<e,break,end 
end 
c; 
err=abs(b-a)/2; 
yc=feval(f,c); 
Algoritmo 2. Algoritmo en Octave para la regla falsa. 
 
 reglafalsa.m 
octave:3> f="x*sin(x)" 
f = x*sin(x) 
 
 
octave:4> [k,h,m]=reglafalsa("f",0,2,0.001,0.0002,1000) 
ya = -1 
yb = 0.81859 
k = 1.1142 
h = 0.0072055 
m = 5.6304e-006 
 
 
𝑓(𝑥)
{𝑝𝑘}1
∞
𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℜ 𝑝 𝑓′ 𝑓′′ 𝑝0 
𝑝0 𝑝
 
𝑝
𝑝1 (𝑝0, 𝑓(𝑝0))
(𝑝1, 0)
𝑚 =
0 − 𝑓(𝑝0)
𝑝1 − 𝑝0
𝑚
𝑚 = 𝑓′(𝑝0)
0 − 𝑓(𝑝0)
𝑝1 − 𝑝0
= 𝑓′(𝑝0)
𝑝1
𝑝1 = 𝑝0 −
𝑓(𝑝0)
𝑓′(𝑝0)
 
𝑝𝑛 = 𝑝𝑛−1 −
𝑓(𝑝𝑛−1)
𝑓′(𝑝𝑛−1)
𝑓 𝑝0
𝑝0 𝑝
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑝0) + 𝑓
′(𝑝0)(𝑥 − 𝑝0) +
𝑓′′(𝑐)(𝑥 − 𝑝0)
2
2!
𝑐
𝑝0 𝑥 𝑓(𝑝)
𝑓(𝑝) = 𝑓(𝑝0) + 𝑓
′(𝑝0)(𝑝 − 𝑝0) +
𝑓′′(𝑐)(𝑝 − 𝑝0)
2
2!
𝑝 𝑓 𝑓(𝑝) = 0 𝑝 𝑝0
0 ≈ 𝑓(𝑝0) + 𝑓
′(𝑝0)(𝑝 − 𝑝0)
𝑝
𝑝1 = 𝑝0 −
𝑓(𝑝0)
𝑓′(𝑝0)
𝑦 = 𝑥 𝑦 = cos(𝑥)
𝑓(𝑥) = 𝑥 − cos(𝑥)
 
𝑝𝑛
𝑝𝑛 = 𝑝𝑛−1 −
cos (𝑝𝑛−1) − 𝑝𝑛−1
−𝑠𝑒𝑛𝑜(𝑝𝑛−1) − 1
, 𝑛 ≥ 1
𝑝0
𝜋
4
𝒊 𝒑𝒊 
Tabla 5. Iteraciones
𝑖 = 3
𝑥 𝑦 𝑣𝑥 = 𝑣𝑦 = 100𝑚/𝑠
10
𝑦 = 𝑓(𝑡) = (𝐶 ∙ 𝑣𝑦 + 9.8𝐶
2) (1 − 𝑒−
𝑡
𝐶) − 9.8𝐶 ∙ 𝑡
𝑥 = 𝑟(𝑡) = 𝐶 ∙ 𝑣𝑥 (1 − 𝑒
−
𝑡
𝐶)
𝑣𝑥 = 𝑣0 cos(𝜔)𝑣𝑦 = 𝑣0𝑠𝑒𝑛𝑜(𝜔)
𝑝0 = 16 𝑓
′(𝑡) = 198𝑒−
𝑡
10 − 98
 
𝒊 𝒑𝒊 𝒇(𝒑𝒊) 𝒇
′(𝒑𝒊) 
Tabla 6. Iteraciones 4 
 𝑓(16) 𝑓(17)
𝑝0 = 16
 𝑓(𝑡)
𝐶 𝑣𝑦
 
𝑓(𝑥)
 
𝑓 𝑝
(𝑝0, 𝑓(𝑝0)), (𝑝1, 𝑓(𝑝1))
𝑓(𝑝0) 𝑓(𝑝1)
𝑝2
(𝑝2, 0)
𝑚1 =
𝑓(𝑝1) − 𝑓(𝑝0)
𝑝1 − 𝑝0 
(𝑝0, 𝑓(𝑝0)), (𝑝1, 𝑓(𝑝1))
(𝑝2, 0), (𝑝1, 𝑓(𝑝1))
 
𝑚2 =
0 − 𝑓(𝑝1)
𝑝2 − 𝑝1
0 − 𝑓(𝑝1)
𝑝2 − 𝑝1
=
𝑓(𝑝1) − 𝑓(𝑝0)
𝑝1 − 𝑝0 
𝑝2
𝑝2 = 𝑔(𝑝1, 𝑝0) = 𝑝1 −
𝑓(𝑝1)(𝑝1 − 𝑝0)
𝑓(𝑝1) − 𝑓(𝑝0)
𝑝𝑛 = 𝑔(𝑝𝑛, 𝑝𝑛−1) = 𝑝𝑛−1 −
𝑓(𝑝𝑛−1)(𝑝𝑛−1 − 𝑝𝑛−2)
𝑓(𝑝𝑛−1) − 𝑓(𝑝𝑛−2)
𝑓
𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 + 2
𝑝0 = −2.6 𝑝1 = −2.4.
𝑝𝑛 = 𝑝𝑛−1 −
(𝑝𝑛−1
3 − 3𝑝𝑛−1 + 2)(𝑝𝑛−1 − 𝑝𝑛−2)
𝑝𝑛−1
3 − 3𝑝𝑛−1 + 𝑝𝑛−2
3 − 3𝑝𝑛−2
 
𝑝𝑛 =
𝑝𝑛−1
2 𝑝𝑛−2 + 𝑝𝑛−1𝑝𝑛−2
2 − 2
𝑝𝑛−1
2 + 𝑝𝑛−1𝑝𝑛−2 + 𝑝𝑛−2
2 − 3
𝒊 𝒑𝒊 𝒑𝒊+𝟏 − 𝒑𝒊 
Tabla 7. Iteraciones
 
 
 
(𝑝0, 𝑓(𝑝0)), (𝑝1, 𝑓(𝑝1)), (𝑝2, 𝑓(𝑝2))
𝑝3 𝑓
 
𝑡 = 𝑥 − 𝑝2
ℎ1 ℎ2
ℎ0 = 𝑝0 − 𝑝2 
ℎ1 = 𝑝1 − 𝑝2
𝑓(𝑡) = 𝑎𝑡2 + 𝑏𝑡 + 𝑐
𝑎, 𝑏, 𝑐
𝑡 = ℎ0; 𝑓(𝑝0) = 𝑎ℎ0
2 + 𝑏ℎ0 + 𝑐, 
𝑡 = ℎ1; 𝑓(𝑝1) = 𝑎ℎ1
2 + 𝑏ℎ1 + 𝑐, 
𝑡 = 0; 𝑓(𝑝2) = 𝑐
𝑎ℎ0
2 + 𝑏ℎ0 = 𝑓(𝑝0) − 𝑐 = 𝑒0, 
𝑎ℎ1
2 + 𝑏ℎ1 = 𝑓(𝑝1) − 𝑐 = 𝑒1.
𝑎, 𝑏
𝑎 =
𝑒0ℎ1 − 𝑒1ℎ0
ℎ1ℎ0
2 − ℎ0ℎ1
2 
𝑏 =
𝑒1ℎ0
2 − 𝑒0ℎ1
2
ℎ1ℎ0
2 − ℎ0ℎ1
2
 
𝑧1,2 =
−2𝑐
𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
𝑝3
𝑝3 = 𝑝2 + 𝑧
𝑝3
𝑥5
𝑥4
𝑝(𝑥) 𝑥 = 𝑥0
𝑝(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥
1 + 𝑎2𝑥
2 + … + 𝑎𝑛𝑥
𝑛
 
𝑥
 
𝑝(𝑥) = 𝑎0 + 𝑥 (𝑎1 + 𝑥(𝑎2 + 𝑥(𝑎3 + ⋯ + 𝑥(𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛𝑥 ) … )))
 
𝑥 = 𝑥0 𝑝(𝑥) 𝑛 𝑛
𝑛
𝑝(𝑥) = 4𝑥4 + 12𝑥3 + 3𝑥2 + 2𝑥 + 15 
𝑥 = 0.23 
 
𝑝(𝑥)
𝑝(𝑥) = 15 + 2𝑥 + 3𝑥2 + 12𝑥3 + 4𝑥4 
𝑝(𝑥) = 15 + 𝑥 (2 + 𝑥(3 + 𝑥(12 + 4𝑥))) 
𝑝(0.23) = 15 + 0.23(2 + 0.23(3 + 0.23(12 + 4(0.23))) 
𝑝(0.23) = 15.7758976
 
 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=JNQg-u9FxU8
http://softlibre.unizar.es/manuales/aplicaciones/octave/octave.pdf
http://mathworld.wolfram.com/DividedDifference.html
http://illuminatus.bizhat.com/metodos/Muller.htm
http://lc.fie.umich.mx/~calderon/programacion/Mnumericos/Muller.html
http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/RegulaFalsiMod.html
 
https://www.youtube.com/watch?v=dvtdrpmRs4I
http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/mn11b/temas/horner.pdf
http://www.um.es/docencia/vjimenez/ficheros/textos/metodosnumericos.pdf
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