Funciones Elementales de Variable Compleja

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PROGRAMA DESARROLLADO 
Unidad 4. Funciones elementales 
 
Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías 
 1 
Licenciatura en matemáticas 
 
 
 
5° Semestre 
 
 
Programa de la asignatura: 
Variable compleja I 
 
 
 
 
Unidad 4. Funciones elementales 
 
 
 
 
Clave: 
060920517/ 050920517 
 
 
 
Universidad Abierta y a Distancia de México 
PROGRAMA DESARROLLADO 
Unidad 4. Funciones elementales 
 
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 2 
 
 
 
INDICE 
 
Contenido 
Unidad 4. Funciones elementales ......................................................................................................... 3 
Presentación de la unidad ...................................................................................................................... 3 
Propósitos de la unidad .......................................................................................................................... 3 
Competencia específica ......................................................................................................................... 3 
4.1. Funciones polinomiales y racionales ............................................................................................ 3 
4.1.1. Definición y propiedades ......................................................................................................... 3 
Actividad 1.Funciones elementales ...................................................................................................... 7 
Actividad 2. Funciones polinomiales y racionales .............................................................................. 7 
4.2. Exponencial compleja ..................................................................................................................... 8 
4.2.1. Definición y propiedades ......................................................................................................... 8 
Actividad 3. Exponencial compleja ..................................................................................................... 12 
4.3. Logaritmo complejo ....................................................................................................................... 12 
4.3.1. Definición y propiedades ....................................................................................................... 12 
Actividad 4. Logaritmo complejo ......................................................................................................... 18 
4.4. Funciones trigonométricas e hiperbólicas complejas ............................................................... 18 
4.4.1. Definición y propiedades ....................................................................................................... 19 
4.5. Funciones trigonométricas e hiperbólicas complejas inversas ............................................... 28 
4.5.1. Definición y propiedades ....................................................................................................... 29 
Actividad 5. Funciones trigonométricas e hiperbólicas complejas e inversas ............................ 31 
Autoevaluación ....................................................................................................................................... 32 
Evidencia de aprendizaje. Funciones elementales .......................................................................... 33 
Autorreflexiones ..................................................................................................................................... 34 
Cierre de la unidad ................................................................................................................................ 34 
Para saber más ...................................................................................................................................... 34 
Referencias bibliográficas .................................................................................................................... 35 
 
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Unidad 4. Funciones elementales 
 
 
Presentación de la unidad 
 
En esta unidad se estudian las funciones elementales de variable compleja que resultan de 
extender de manera natural las funciones elementales de variable real. Se comenzará 
estudiando las funciones polinomiales y racionales. Posteriormente se continúa con las 
funciones exponencial y logarítmica, finalizando con las funciones trigonométricas e 
hiperbólicas. 
 
 
Propósitos de la unidad 
 
Que el alumno analice las funciones holomorfas elementales como extensión natural de las 
funciones elementales de variable real. 
 
 
Competencia específica 
 
Utilizar las definiciones de las distintas funciones elementales y sus propiedades para 
complementar sus conocimientos de funciones complejas. 
 
 
4.1. Funciones polinomiales y racionales 
 
En esta sección se presenta la definición de las funciones polinomiales y racionales de 
manera análoga a como se presentan las funciones polinomiales y racionales de variable real. 
La importancia del estudio de las funciones polinomiales radica en el hecho de que son las 
funciones no triviales más sencillas. 
 
4.1.1. Definición y propiedades 
 
Dado n , un polinomio con coeficientes complejos en la indeterminada z es un 
objeto de la forma: 
1
0
0( 0) ,

      donde y n kn k k
k
n
n
p z a a z z a z a aa 
 
El grado del polinomio es n y se denota por gra( ) p n . 
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A partir de la expresión anterior, se puede definir una función polinomial p como la función 
que a cada z se le asigna el número complejo ( )p z que resulta de evaluar z en la 
expresión anterior. En símbolos se tiene que toda función polinomial tiene la siguiente forma: 
0 1( )   
n
np z a a z za . 
 
Tomando  z x iy se observa que el polinomio ( ) ( , ) ( , ) p z u x y iv x y donde ( , ), ( , )u x y v x y 
son polinomios de dos variables reales. Hay que tener cuidado ya que una función 
( , ) ( , ) ( , ) f x y u x y iv x y donde ( , ), ( , )u x y v x y son polinomios de dos variables complejas no 
necesariamente implica que ( )f z sea un polinomio. 
 
Ejemplo: La función polinomial 2( ) p z z tiene componentes 2 2( , )  u y x yx y ( , ) 2v x y xy . Si 
se toma la función ( )  g z x iy resulta que ( ) g z z , lo cual no es un polinomio en la variable 
z . 
 
El conjunto de todos los polinomios con coeficientes complejos en la indeterminada z se 
denota por  z , este conjunto se definen las siguientes operaciones: Dados 
0 1( )   
n
np z a a z za y 0 1( )   
m
ms z b b z zb dos polinomios con coeficientes complejos, 
(i). la suma de p y s es el polinomio: 
0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( () )      
l
l lp z q z a b a bab z z , donde  max ,l n m . 
(ii). La diferencia de p y s es el polinomio: 
0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( () )      
l
l lp z q z a b a bab z z , donde  max ,l n m . 
(iii). El producto de p y q es el polinomio: 
0 1( ) ( )

  
m n
m np z q z c c z c z 
(iv). El algoritmo de la división: existen polinomios ( ), ( )q z r z , cociente y residuo 
respectivamente, tales que 
( ) ( ) ( ) ( ) p z s z q z r z , donde gra( )0  r m . 
 
Cabe mencionar que dado que las operaciones anteriores coinciden con las definiciones de 
suma, resta, producto y algoritmo de la división dadas para polinomios con coeficientes 
reales, los métodos de operación son los mismos. 
 
En (iv) si se toma 0( )  s z z z se tiene que 0( ) ( ) ( )  p z z z q z r , sustituyendo 0z z se tiene 
que 0( ) p z r , es decir, evaluar 0( )p z en 0z esequivalente a el residuo, este resultado se 
conoce como el Teorema del residuo, particular 0( ) 0p z si y solo si 0( ) ( ) ( ) p z z z q z este 
es el Teorema del factor. De la última observación se tiene que: para 0 z y un polinomio 
( )p z se dice que 0z es una raíz o un cero de ( )p z si y solo 0( ) 0p z . Así el teorema del 
factor dice que encontrar los ceros de un polinomio es equivalente a factorizar dicho 
polinomio. 
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Ejemplo: Aplicar el teorema del residuo a los polinomios 2 3( ) 4 p zz z y el polinomio 
( ) 1 s z z . 
 
Solución: Aplicando el algoritmo de la división, hay que recordar que es el mismo que el dado 
en el caso de polinomios con coeficientes reales, se tiene lo siguiente: 
2
2
4
1
4
4
4
3
4
4
8






 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
z
z
z
z
z
z z
z
 
Por consiguiente 8r . Por otro lado, evaluando p en 1z se tiene lo siguiente: 
2(1) (1) 3(1) 4 1 3 4 8      p . 
 
Ejemplo: El polinomio 2 315 1 7( ) 7    zp zz z tiene las raíces 1 2 32 32 ,    y z ziz i y 
es fácil verifica que ( 2 )( 2 )( 3( ) )    z ip i zz z . 
 
La observación anterior marca una distancia muy grande entre un polinomio con coeficientes 
complejos y un polinomio con coeficientes reales, dicha a diferencia se conoce como 
Teorema Fundamental del Álgebra, dicho resultado es el siguiente: 
 
Teorema: Todo polinomio con coeficientes complejos tiene al menos una raíz. 
Cabe mencionar que el teorema anterior es un resultado existencial y no proporciona un 
método para encontrar dichas raíces, encontrar raíces de polinomios no es una tarea fácil. El 
Teorema de Liouville proporciona una demostración muy elegante y hasta cierto punto trivial 
del teorema fundamental, el cual es parte del curso de variable compleja II. 
 
Como consecuencia inmediata del teorema anterior y aplicando el teorema del factor se 
tienen los siguientes resultados: 
 
Corolario: Todo polinomio con coeficientes complejos se puede descomponer como 
productos de factores de grado uno, dicha descomposición es única salvo el orden de los 
factores. 
 
Corolario: Todo polinomio de grado n con coeficientes complejos tiene exactamente n 
raíces. 
 
En la sección anterior se mostró que todo polinomio con coeficientes complejos es una 
función entera, en símbolos, 
0 1( )   
n
np z a a z za entonces 
1
1 2'( ) 2
    nnnap z a a z z . 
En consecuencia, los polinomios son funciones continuas en todo el plano complejo. 
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El algoritmo de la división dices que el resultado de dividir polinomios no necesariamente es 
un polinomio, lo que motiva a la definición de función racional: Una función racional es el 
cociente de dos polinomios, en símbolos, si ( )h z es una función racional existen dos 
polinomios ( )p z y ( )q z tales que 
( )
( )
( )

p z
h z
q z
. Si gra( ) g m entonces el teorema fundamental 
del álgebra garantiza que ( )h z no está definida en a lo más m valores, es decir, el dominio 
de h es el conjunto  \ ( ) 0z g zû . Como ( )p z y ( )q z son funciones enteras, entonces ( )h z 
es analítica en su dominio de definición. 
 
Ejemplo: Hallar el conjunto donde la función 
220
4
( )
8
z
h z
z z


 es analítica y calcular '( )h z . 
Solución: Para hallar el conjunto donde la función ( )h z es holomorfa, basta encontrar los 
valores donde 220 8 0z z   . Aplicando la fórmula general al polinomio anterior tomando 
1, 8 20 y a b c    se tiene lo siguiente: 
22 ( 8) ( 8) 4(1)(20)4 8 64 80
2 2(1) 2
8 16 8
2
4
.4
2 2
i
b b ac
z
a
i
        
  
  
  
 
 
De donde se desprende que el domino donde ( )h z es holomorfa es  2\ 4 i , gráficamente 
se tiene lo siguiente: 
 
 
Para calcular '( )h z solo hay que aplicar la fórmula de un cociente de funciones derivables, lo 
que nos proporciona lo siguiente: 
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     
 
     
 
   
 
   
2 2
22
2
2 2 2
2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2
4
'( )
1 4 8 2 20 8
20 8 5
20 8 4 4 20 8
20 8 20
2
8
20 8 32 2
20 8 20 8
32 2
2
8
0 8 20 8
.
d d
z z z z z z
dz dz
z z z z
z z z
z z z z
z z
z
d z
h z
dz
z z z z
z z
z z
z
z
 
  
 
      

        
   
   
   
 
  

 

 
 
 
 
 
Actividad 1.Funciones elementales 
 
A través de esta actividad podrás analizar que es una función polinomial y su relación con la 
raíces de tales funciones. 
 
1. A través de lo visto hasta ahora, relaciona las funciones polinomiales y de qué 
manera los números complejos están relacionados con las raíces de funciones 
polinomiales 
2. 
3. Ingresa al foro, y anota tus comentarios 
 
4. Revisa la respuestas de tres de tus compañeros (as) aceptando o rechazando sus 
respuestas. 
 
5. Consulta la rúbrica general de la participación en foros, que se encuentra en la 
sección Material de apoyo. 
 
 
 
Actividad 2. Funciones polinomiales y racionales 
 
A través de esta actividad, Resolverás, ejercicios de funciones polinomiales y racionales, 
utilizando variables complejas. 
 
Instrucciones: 
 
1. Descarga el archivo “Actividad 2.Funciones polinomiales y racionales”. 
 
2. Resuelve los ejercicios que en el documento se proponen 
 
3. Guarda y envía tu documento y el archivo de la función creada con la nomenclatura 
MCO1_U4_A2_XXYZ. Sustituye las XX por las dos letras de tu primer nombre, la Y 
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4.2. Exponencial compleja 
 
La función exponencial surge como una extensión natural de la función exponencial real, la 
idea de definir esta función es el sentido de que cuando se aplique a números complejos que 
tengan exclusivamente parte real, esta coincida con la exponencial real. La mayoría de las 
propiedades de la exponencial compleja son similares a la su análoga real. 
 
 
4.2.1. Definición y propiedades 
 
La función exponencial compleja se define de la siguiente forma: Dado z con z x iy  la 
exponencial de z es 
 exp( ) cos senz xe z e y i y  
 
A partir de la definición anterior se obtienen las siguientes propiedades: 
(i). z xe e y arg( )ze y . 
(ii).  Img( ) \ 0ze  . 
(iii). 0 1e  . 
(iv). 0ze  para todo z , ya que 0xe  para todo x . 
(v). ze es periódica y de periodo 2 i , es decir, 2z z iee  para todo z . Esto se 
obtiene de observar lo siguiente: 
       
 
2 22 cos 2 sen 2
cos sen .
x yi i x y iz i x
x x iy z
e e e e y i y
e y i y e e
   
   

       
   

 
(vi). Si z es real, entonces las exponencial de z es la exponencial real. Estos se 
obtiene del hecho que 0z x i  , aplicando a la definición de exponencial se tiene: 
   0 cos0 sen0 1 0z x i x x xe i ee e ie      . 
(vii). La derivada deja invariante a ze . Te tiene que se cumplen las ecuaciones de 
Cauchy-Riemann en las funciones ( , ) cosxu x y e y y ( , ) senxv x y e y : 
por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno. El peso 
del archivo no debe exceder los 4 Mb. 
 
4. Espera la retroalimentación de tu facilitador (a). 
 
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cos( , ) ( , ) sen
( , ) sen ( , ) cos
xx
x x
y yu x y e u x y e
v
x y
y y
x
x y e v x y e
y
 
  
 
 
 
 
 
Por lo tanto ze es derivable y su derivada es: 
 
cos sen cos sen
cos sen .
z x x x x
x z
d
e e y i e y e y ie
x
y
dz
e y i y e
y
             
 


 
 
(viii). Dados 1 2,z z  se tiene que 
1 2 1 2z z z ze e e

 . En efecto, sean 1 1 1z x iy  y 
2 2 2z x iy  entonces 
     
   
1 2 1 2
1 2 1 2
2 21 1
1 2 1 2
cos sen cos sen
cos sen .
z z x x
x x z z
e e e y i y e y i y
e y y yi y e
 
  
    
 
(ix). Dado z se tiene que 
1z
z
e
e
  . Esto se obtiene de lo siguiente: 
 
   
2 2
1 1 1 cos sen cos sen
cos sen cos sen cos sen cos sen
cos sen .
x x
z x
x x iy z
y i y y i y
e e
e e y i y y i y y i y y i y
e y i y e e
 
   
  
   
    
        
 
(x). La gráfica de la función exp( )z se construye del siguiente modo. Sea 1 una recta 
horizontal, entonces para todo 1z se tiene que 0z x y i  , donde 0y es 
constante. 
 
Aplicando exp( )z a 1 se obtiene: 
 0 0 0cos sen
x iyz xe e e y i y

 
 
 
Donde se obtiene que 
0cos
xu e y y 0sen
xv e y . Así la imagen de 1 bajo exp( )z 
es parte positiva de la recta con vector de dirección 0 0(cos ,sen )y y . En resumen se 
tiene lo siguiente: 
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Por otro lado, sea 2 una recta vertical, entonces para todo 2z se tiene que 
0z x yi  , donde 0x es constante. 
 
Aplicando exp( )z a 2 se obtiene: 
 0 0 cos senx iy xze e e y i y  
 
Donde se obtiene que 0 cosxu e y y 0 senxv e y . Elevando al cuadrado y sumando 
miembro a miembro las dos relaciones anteriores se tiene: 
   0 0 0 0
0 0
2 2
2 22 2 2 2
2 22 2
cos sen cos sen
cos sen .
x x x x
x x
u e y e y e y e y
e y y
v
e
   
    

 
 
Así la imagen de 2 bajo exp( )z es un círculo de radio 
0xe con centro en el origen. 
En resumen se tiene lo siguiente: 
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En resumen la función exp( )z transforma una malla de rectas horizontales y 
verticales en una malla de círculos y semirayos que inician en el origen de 
coordenadas, en resumen se tiene lo siguiente: 
 
Ejemplo: Calcular 3 4ie  . 
Solución: Solo hay que aplicar la definición de la función exp( )z , del siguiente modo: 
 3 4 3 cos4 sen4ie e i   . 
 
Ejemplo: Calcule la derivada de 
2 3( ) z zf z e  . 
Solución: Hay que observar que ( )f z es la composición de las funciones ze y 2 3z z 
por consiguiente el resultado se obtiene al aplicar la regla de la cadena del siguiente 
modo: 
 
2 2 23 3 2 2'( ) 33 2z z z z z z
d d
f z e e z e
dz d
z z
z
          
 . 
 
Ejemplo: Calcule la derivada de 2 3( ) zf z z e . 
Solución: La función ( )f z es el producto de las funciones 2z y 3ze , por consiguiente hay 
que aplicar la fórmula para derivar el producto de dos funciones derivables: 
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   
 
2 3 2 3 3 2 2 3 3
2 3 3 2 3
'( ) 3 2
3 2 3 2 .
z z z z z
z z z
d d d d
f z z e z e e z z e z e z
dz dz dz dz
z e ze z z e
 
                
 
   
 
 
 
 
 
4.3. Logaritmo complejo 
 
De manera similar a lo presentado en la parte anterior, la motivación de estudiar el logaritmo 
nace de la necesidad de estudiar una función que sea la extensión natural del logaritmo real 
al conjunto de los números complejos. 
 
 
4.3.1. Definición y propiedades 
 
La función logaritmo complejo se define del siguiente modo: Dado z con iz re  el 
logaritmo de z es el número complejo: 
log( ) lnz r i  
Antes de continuar hay que realizar unas observaciones: 
(i). Dado que arg(0) no existe, el dominio de definición de log( )z es el conjunto \{0}. 
(ii). Dado que arg( )z toma un número infinito de valores, la función log( )z es una función 
multivaluada. 
Actividad 3. Exponencial compleja 
Mediante esta actividad, demostrarás que una función exponencial real, puede 
representarse como una función compleja. 
 
Instrucciones: 
 
1. Descarga el archivo “Actividad 3.Exponencial y compleja”. 
 
2. Resuelve los ejercicios que en el documento se proponen 
 
3. Guarda y envía tu documento y el archivo de la función creada con la nomenclatura 
MCO1_U4_A3_XXYZ. Sustituye las XX por las dos letras de tu primer nombre, la Y 
por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno. El peso 
del archivo no debe exceder los 4 Mb. 
 
4. Espera la retroalimentación de tu facilitador (a). 
 
 
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(iii). Si denota al argumento principal de z por Arg( )z , entonces la función logaritmo se 
escribe del siguiente modo:  log( ) ln Arg( ) 2z r i z k   con k . 
(iv).    ln llog( ) n cos sen sencosr rz i ie e e zir         . 
(v).      log( ) log cos ls 22en 2nx xz i y ye e y e i x iyk k z ki i             . 
 
Para el estudio de la derivada de la función log( )z hay que observar que la función arg( )z  
no es continua, en efecto, si se toma un rayo que pase por 0z y supóngase que 0Arg( )z  
para cualquier punto que este sobre dicha recta la función arg( )z  es discontinua, ya que 
tomando z de una lado de la recta, entonces arg( )z tiende a  cuando z tiende 0z y 
tomando a z del otro lado del rayo arg( ) 2z    cuando z tiende 0z , como lo ejemplifica la 
siguiente figura: 
 
Sin embargo, si se fija al ángulo  y solo se toman todos los números complejos z , mientras 
no se cruce la semirrecta que inicia en el origen con inclinación  , la función arg( )z es 
continua y solo toma un valor. 
 
 
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 14 
 
En consecuencia, la función log( )z se compone de un número infinito de funciones 
univaluadas cuyo dominio son el plano complejo quitándole una semirrecta que inicia en el 
origen. 
 
Por las observaciones (iv) y (v), la gráfica de la función log( )z se presenta en la siguiente 
figura: 
 
En general, una rama de una función multivaluada f es una función univaluada F que es 
holomorfa en algún dominio de z donde la función ( )F z es algún valor de ( )f z . Al conjunto 
de elementos donde se pasa de una rama a otra se lo llama corte de ramificación. 
En consecuencia, cada rama de la función log( )z es de la forma: 
 l 2( ) nkf z r ki    , donde k y         . 
 
En consecuencia cada rama de la función logarítmica, es la transformación del plano, sin la 
semirrecta seleccionada, en una banda horizontal infinita de altura 2 como lo muestra la 
siguiente figura: 
 
El corte de ramificación es la semirrecta que inicia en el origen y tiene inclinación  . En 
efecto, tomando las funciones ( , ) lnu r r  y ( , ) 2r kv     , se tiene lo siguiente: 
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 15 
1
( , ) ( , ) 0
( , ) 0 ( , ) 1
u r u r
r
v
r
r v
r
r
 

 

 
 
 






 
 
De donde se sigue que 
1 1
 y 
r r
u v v u
r r 
  
 

 

 
 
 
 
Recordando que la derivada de una función ( )f z en la forma polar es: 
'( ) ( , ) ( , )if z e r iu v
r r
r  
  
  
  
 
 
Sustituyendo se tiene:1 1 1
'( ) 0ik if z e ir re z


      
 
 
 
Este resultado es independiente de la rama que se tome. Por lo tanto 
 
1
log( )
d
z
dz z
 
 
Ejemplo: Calcular la derivada de la función 2( ) log( 3 )f z z z  . 
Solución: Se tiene que la función ( )f z es la composición de las funciones log( )z y 2 3z z , 
entonces basta aplicar la regla de la cadena a las dos funciones anteriores: 
2
2 2
2 2
1 2
'( ) log( 3
3
3 3
) 3
d d z
f z z z z
dz z dz z
z
z
z z



         
. 
 
Por convenio, el corte de ramificación de la función log( )z en este curso es la parte negativa 
del eje real, es decir, el conjunto de todos los z tales que Re( ) 0z  y Im( ) 0z  , de donde se 
sigue que  log( ) ln 2z r ki    con      y k . En particular, la rama principal del 
logaritmo se denota por Log( ) lnz y i  para      . 
 
Además se tiene la relación 1 2 1 2log( ) log( ) log( ).·zz z z  En efecto sean 
1
1 1
i
z re

 y 22 2
i
z r e

 
entonces 
      
   
1 1 22 ( )
1 2 1 1 2 1 1 1 2
1 2 1 2 1 1
1 2
2
2 2
log( ) log log ln
ln ln ln ln
log( ) log( ).
·
i i iz re r e r r e r r i
r r i i r i r i
z z
z      
   
         
       
  
 
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 16 
La anterior relación hay que tomarla en sentido conjuntista, es decir, dado 1 2log( · )z zz 
existen 1 1log( )z z y 2 2log( )z z tales que 1 2z zz  . Como consecuencia de lo anterior se 
tiene la siguiente relación: 
1
1 2
2
log log( ) log( )
z
z z
z
 
  
 
 
 
Ejemplo: Dados 1 2 1 y z i z i    , muestre que 1 1 22Log( ) Log( ) Log· ( )z zz z . 
Solución: Gráficamente los números 1 2 3, y z z z se ubican de la siguiente manera: 
 
 
Basta realizar las siguientes operaciones: 
2
1
3
3
1 2
2
4
4
·
3 3
2· 2
4
Log( ) Log(1 ) ln1
2 2
1
Log( ) Log( ) ln ln 2
4
3 3
· 2· 2
4 4
2
1
Log( ) Log( ) ln ln 2
2
i
i
i
z i i
z e i i
z iz e
e
i



 
 
 

   
    
  
 
 
Solo hay que observar que 
2
1
1
2
3 5
4
1 1
Log( ) Log( ) ln 2 ln 2
2 2 2
1
ln 2 Log( ).
42
4
3
·z
z z i i i
i z

 

   
       
 

   
 
 
Ejemplo: Calcule el corte de ramificación de la función ( ) log(2 1 3 )f z z i   . 
Solución: Basta calcular Re(2 1 3 ) 0z i   y Im(2 1 3 ) 0z i   . Sea z x iy  entonces 
2 1 3 2( ) 1 3 (2 1) (2 3)z i x iy i x i y          . 
 
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 17 
En consecuencia, 2 1 0x  y 2 3 0y   , es decir, 
1
2
x  y 
3
2
y   . Por lo tanto, el corte de 
ramificación se muestra en la siguiente figura: 
 
 
A partir de la función logaritmo se puede definir un exponente complejo, del siguiente modo: 
Dados ,w z se tiene que log( )z z ww e . Dado un número complejo 0c  , la función con 
exponente c se define por cz , para su derivada en la rama arg( ) 2z     , se realizan las 
siguientes operaciones: 
     log( ) log( ) log( )
1
log( )c c z c z c z
c c
d d d c
z e e c z e
dz dz dz z
c
z cz
z

  
 
 
 
Finalmente, dado un número complejo 0c  , la función exponencial con base c se define 
por log( )z z cc e . Luego su derivada es: 
 log( ) log( ) log( )log( ) log( )
og( ) .l
z z c z c z c
z
d d d
c e e e
dz dz
z c c
c
dz
c
        

 
 
Ejemplo: Calcular (1 )ii en la rama principal. 
Solución: Primero hay que observar que en la rama principal 41 2
i
i e

  , por la definición de 
exponente complejo se tiene que 
ln 2 ln 2
Log(1 ) 4 4 4(1 ) cos 2 sen 2
i i i
i i ii e e e e i
                
 
. 
 
Ejemplo: Calcular  2 4 23( ) i
d
zz
dz
 . 
 
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 18 
Solución: La función a derivar es la composición de las funciones 2 3z z y 4 2iz  . Solo hay 
que aplicar la regla de la cadena del siguiente modo: 
            
   
4 2 (4 2 ) 1 (3 2 )
2 2 2 2
(3 2 )
2
4 2 4 2 23 3 3 3 3
32 2 34
i i i
i
d d
z i z z i z zz z z z
dz d
z
z
i z z
   

    



 
 
. 
 
Ejemplo: Calcular  
2 5(2 4 )z z
d
i
dz
 . 
Solución: La función a derivar es la composición de las funciones (2 4 )zi y 
2 5z z . Por la 
regla de la cadena se tiene lo siguiente: 
 
 
2 2
2
5
5
25(2 4 ) (2 4 ) log(2 4 ) 5
2 5 log(2 4 )(2 4 ) .
z z z z
z z
d d
i i i z z
dz dz
z i i
 

      
   
 
 
 
 
 
4.4. Funciones trigonométricas e hiperbólicas complejas 
 
Las funciones trigonométricas surgen del estudio de las relaciones existentes entre los lados y 
los ángulos internos de un triángulo rectángulo. El concepto de radián permite ver a un ángulo 
Actividad 4. Logaritmo complejo 
 
A través de esta actividad podrás, resolver ejercicios que involucren una función exponencial 
y compleja, así como la obtención de su fórmula, raíces o su logaritmo. 
 
Instrucciones: 
 
1. Descarga el archivo “Actividad 4.Logaritmo complejo”. 
 
2. Resuelve los ejercicios que en el documento se proponen 
 
3. Guarda y envía tu documento y el archivo de la función creada con la nomenclatura 
MCO1_U4_A4_XXYZ. Sustituye las XX por las dos letras de tu primer nombre, la Y 
por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno. El peso 
del archivo no debe exceder los 4 Mb. 
 
Espera la retroalimentación de tu facilitador (a). 
 
 
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 19 
como un segmento de recta y en consecuencias las funciones trigonométricas se convierten 
en funciones de variable real. En esta sección se presenta la forma natural de definir las 
funciones seno y coseno complejos, a partir de estas dos y de las identidades trigonométricas 
usuales se define el resto de las funciones trigonométricas. Finalmente, las funciones 
hiperbólicas se convierten en un caso particular de las funciones trigonométricas. 
 
 
4.4.1. Definición y propiedades 
 
La fórmula de Euler establece una relación entre un la exponencial compleja y las funciones 
seno y coseno a partir de la igualdad siguiente: Para cualquier  se tiene lo siguiente: 
co ens si ie    
Sustituyendo  por  la relación anterior se convierte en: 
cos seni ie     
Sumando miembro a miembro cada igualdad se tiene que: 
cos seni i ie e      cos seni     2cos
    . 
Similarmente restando la segunda relación de la primera se obtiene: 
cosi ie e    sen cosi      sen 2 seni i 
   
En conclusión se llega a las siguientes identidades: 
cos sen
2 2
 y 
i i i ie e e e
i
   
 
 
  
Las relaciones anteriores permiten definir las funciones seno y coseno para números 
complejos del siguiente modo: Dado z la función seno y coseno complejos de z son: 
cos sen
2 2
 y 
iz iz iz iz
z z
e e e e
i
 
  
Sea z x iy  entonces las componentes de la función coseno se obtienen del siguiente 
modo: 
   
   
1 1
2 2 2
1
cos sen cos sen
2
cos sen
2 2
cos cosh sen senh .
cos
iz iz
i x iy i x iy ix y ix y
y
y y
y y y
e e
e e e e
e x i x e x i x
e e e e
z
x i x
x y i x y

  

  
 

        
     
   
    
 







 
 
De lo anterior se sigue que: 
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   
 
 
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
cos cosh sen senh
cos cosh sen senh
cos cosh 1 cos senh
cos cosh sen senh
cos senh
cos x y x y
x y x y
x y x y
x y y
z
x
y
y
 
 
  
  
 
 
 
De manera análoga las componentes de la función seno son las siguientes: 
   
   
1 1
2 2 2
1
cos sen cos sen
2
cos se
s
n
2 2
sen cosh cos senh .
en
y y
iz iz
i x iy i x iy ix y ix y
y y y y
e e
e e e e
i i i
e x i x e x i x
i
e e e e
i x x
x y x y
z
i

     
 

        
     
   
     
   




 

 
 
De lo anterior se sigue que: 
   
 
 
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
sen cosh cos senh
sen cosh cos senh
sen cosh 1 sen senh
sen cosh senh senh
sen sen
s n
h
e x y x y
x y x y
x y x y
x y y y
x y
z  
 
  
  
 
 
 
Por la forma en cómo se definen, las funciones sen z y cos z funciones enteras ya que son la 
suma y diferencia de las funciones enteras ize y ize respectivamente. La derivada de la 
función cos z se obtiene de la siguiente forma: 
 
2 2 2 2
s
s
e
c
2
o
n .
iz iz iz iz iz iz iz iz
iz iz
d e
z
d e e ie ie i ie ie e
dzdz i i
e
i
e
z
   

      
      
   
   


 
 
De manera similar para la función sen z se tiene: 
 n
2 2
se
iz iz iz iz id e ed
z
dz
ie ie
dz i i
  
  




 2
iz ize e
i
   
2
cos .
iz ize
z
e



 
 
Una relación importante entre las funciones seno y coseno viene dada del siguiente cálculo: 
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 21 
2 2
2 2 2 2
2 2
2
sen cos
2 2 4 4
2 2iz iz iz iz iz iz iz iz
iz
e e e e e e e e
z z
i
e
       
        
   


   
22 ize  2ize 22 ize 
1.
4

 
 
Es importante conocer el conjunto donde se anulan las funciones seno y cose, para obtener 
dicho conjunto supóngase que sen 0z  con z x iy  entonces se tiene que: 
sen cosh 0 cos senh 0yx y x y  
Como cosh 0y  para cualquier y , se sigue que sen 0x  , es decir, x k con k . 
Luego, como cos 0x  se tiene que senh 0y  , lo que implica que 0y  . Por lo tanto, sen 0z  
implica que z k para k . 
 
De manera similar, supóngase que cos 0z  con z x iy  entonces se tiene que: 
cos cosh 0 sen senh 0yx y x y 
 
 
Como cosh 0y  para cualquier y , se sigue que cos 0x  , es decir, 
2
x k

  con k . 
Luego, como sen 0x  se tiene que senh 0y  , lo que implica que 0y  . Por lo tanto, cos 0z  
implica que 
2
z k

  para k . En resumen, las funciones seno y coseno solo se 
anulan en los valores usuales. 
 
El resto de las funciones trigonométricas se definen en términos de las identidades usuales 
estudiadas en un curso elemental de trigonometría que son las siguientes: 
sen cos
tan cos
cos sen
1 1
sec csc
cos sen
z z
z z
z z
z z
z z
 
 
 
 
 
Donde tan, cot, sec, csc denotan la función tangente, cotangente, secante y cosecante 
respectivamente. El dominio de las funciones tan z y sec z es el conjunto \
2
kk


 
 
 
û , 
para el dominio de las funciones cot z y csc z el dominio es el conjunto  \ kk û . 
La relación que existe entre la función tangente y secante es la siguiente: 
2 2 2 2
2
2 2
2
2
2
sen sen sen cos
tan 1 1 1
cos cos cos
1 1
sec
cos
.
cos
z z z z
z
z
zz
z z
z
 
      
 
 
   
 
 
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 22 
 
De manera análoga la relación que hay entre la función cotangente y cosecante es la 
siguiente: 
2 2 2 2
2
2 2
2
2
2
cos cos cos sen
cot 1 1 1
sen sen sen
1 1
csc
sen
.
sen
z z z z
z
z
zz
z z
z
 
      
 
 
   
 
 
 
La derivada de las funciones antes definidas son las siguientes: 
 Para la función tangente: 
 
   
 
 
2
2
2 2
2
2 2
cos sen sen cos
sen
tan
cos cos
cos cos sen sen
cos
cos sen 1
sec .
cos cos
d d
z z z z
d d z dz dzz
dz dz z z
z z z z
z
z z
z
z z

 
  
 
 


  
 
 
 Para la función cotangente: 
 
   
 
 
2
2
2 2
2
2 2
sen cos cos sen
cos
cos
sen sen
sen sen cos cos
sen
sen cos 1
csc .
sen sen
d d
z z z z
d d z dz dzz
dz dz z z
z z z z
z
z z
z
z z

 
  
 
 

  
   
 
 
 Para la función secante: 
       
1 2
2
1
sec cos cos cos
cos
sen sen
tan sec .
cos cos cos
d d d d
z z z z
dz dz z dz dz
z z
z z
z z z
           

   
 
 
 Para la función cosecante: 
       
1 2
2
1
csc sen sen sen
sen
cos cos
cot csc .
sen sen sen
d d d d
z z z z
dz dz z dz dz
z z
z z
z z z
           
    
 
 
Ejemplo: Demuestre que  1 2 1 2 2 1sen sen cos sen cosz z z z z z   para cuales quiera 1 2,z z  . 
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 23 
 
Solución: cuando se tenga que mostrar un identidad basta aplicar la definición de las 
funciones involucradas y realizar las operaciones indicadas, se recomienda tomar la 
expresión que tenga más términos ya que usualmente en la expresión que tiene un número 
menor términos tiene simplificaciones que no son identificables a simple vista. Partiendo de la 
sugerencia anterior se procede de la siguiente forma: 
   
21 1 2 2 2
1
1
2
1
1 2
1 2 2 1sen cos sen cos
2 2 2 2
1
4
iz iz iz iz iz iz iz iz
i z z i z z
e e e e
z z z z
i i
e
e
i
e e
e
e   
 
      
       
     
 
 
 2 1i z ze


  
   
1 2
1 2 2 1
1
4
i z z
i z z i z z
e
e e
i
 
 

 
 1 2i z ze


  
         
 
1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
1 1
2 2
4 2
sen .
i z z
i z z i z z i z z i z z
e
e e e e
i i
z z
 
     

   
 
 
 
Ejemplo: Demostrar que la función sen z es impar, es decir  sen senz z   . 
Solución: Basta aplicar la definición de la función seno y seguir las operaciones indicadas del 
siguiente modo: 
 
( ) ( )
sen sen
2 2 2
i z i z zi iz iz ize e
z z
i i
e e
i
e e    
      
 
. 
 
Ejemplo: Mostrar que la función sen z transforma una malla de líneas horizontales y verticales 
en una malla de hipérbolas y elipses. 
Solución: Se tiene que la función seno es la siguiente: 
sen cosh cos ssen enhx y i x yz   . 
 
Sea 1 una recta horizontal, entonces para todo 1z se tiene que 0z x y i  , donde 0y es 
constante. 
 
 
 Aplicando la función sen z se tiene lo siguiente: 
0 0sen cosen sh cos senhx y i xz y  . 
De donde se obtiene lo siguiente: 
PROGRAMA DESARROLLADO 
Unidad 4. Funciones elementales 
 
Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías 
 24 
0 0sen cosh cos senhy x yu vx y  
Cuando 0 0y  se tiene que 0senh 0y  lo que implica que: 
0 0
sen cos
cosh senh
y
v
y
u
x x
y
  
Elevando al cuadrado ambas igualdades y sumando miembro a miembro permite obtener lo 
siguiente: 
2 2
2 2
2 2
0 0
sen cos 1
cosh senh
u
x x
y y
v
   
 
Como 0 0cosh senhy y la relación anterior representa una elipse horizontal con ejes en los 
ejes coordenados, como lo muestra la siguiente figura: 
 
 
En particular cuando 0 0y  se tiene que 0cosh 1y  y 0senh 0y  por consiguiente, se tiene 
que senu x y 0v  , su gráfica es el segmento de recta que va del punto ( 1,0) al punto 
(1,0) , este segmento puede considerarse como una elipse deformada, como lo muestra la 
figura siguiente: 
 
 
Por otro lado, sea 2 una recta vertical, entonces para todo 2z se tiene que0z x yi  , 
donde 0x es constante. 
PROGRAMA DESARROLLADO 
Unidad 4. Funciones elementales 
 
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 25 
 
Aplicando la función sen z se tiene lo siguiente: 
0 0sen cosh coss n senhe z x y i x y  . 
 
De donde se obtiene lo siguiente: 
0 0sen cosh cos senhy x yu vx y  
 
Cuando 0x k y 0
2
x k

  con k se tiene que 0sen 0x  y 0cos 0x  , lo que implica 
que: 
0 0
cosh senh
sen cos
y
x
v
y
u
y
x
  
 
Elevando al cuadrado ambas igualdades y restando miembro a miembro permite obtener lo 
siguiente: 
2 2
2 2
2 2
0 0
cosh senh
sen
1
cos
u v
y y
x x
  
 
Dicha relación representa una hipérbola con ejes en los ejes coordenados, como lo muestra la 
siguiente figura: 
 
 
 
PROGRAMA DESARROLLADO 
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 26 
Cuando x k con k se tiene que 0u  y   se h1 n
k
v y  , lo que gráficamente se 
representa el eje coordenado vertical recorrido de abajo hacia arriba si k es par o de arriba 
hacia abajo si k es impar, como lo muestra la figura: 
 
 
Cuando 0
2
x k

  con k se tiene que   co h1 s
k
u y  y 0v  lo que representa un la 
semirrecta horizontal que comienza en (1,0) y se extiende por la derecha cuando k es par y 
la semirrecta horizontal que comienza en ( 1,0) y se extiende por la izquierda cuando k es 
impar, como lo muestra la siguiente figura: 
 
 
En resumen, gráficamente se tiene lo siguiente: 
 
PROGRAMA DESARROLLADO 
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 27 
 
 
 
Ejemplo: Demostrar que la función sen z es periódica y de periodo 2 . 
 
Solución: hay demostrar que cos( 2 ) cosz z  . Para ello se hará uso de la identidad 
 1 2 1 2 2 1sen sen cos sen cosz z z z z z   
 
Para los valores 1z z y 2 2z  para obtener lo siguiente: 
         sen 2 sen cos 2 sen 2 cos sen 0 cos s1 enz z z z z z        . 
 
Ejemplo: Calcular   2tan 3
d
z
dz
z . 
 
Solución: solo hay que aplicar la regla de la cadena a las funciones tan z y 2 3z z , del 
siguiente modo: 
          2 2 2 2 2 2tan sec 3 3 2 3 se3 c 3
d d
z z z z z z z z
dz dz
z       . 
 
Para finalizar esta sección toca el turno de presentar las funciones hiperbólicas, de manera 
similar a las definiciones presentadas en curso de cálculo de una variable, las funciones seno 
hiperbólico y coseno hiperbólico se definen de la siguiente manera: 
cosh sen
2
h
2
 y 
z z z ze e e
z z
e 


 
 
El estudio de las funciones hiperbólicas no es detallado debido a las siguientes 
observaciones: 
   
 
   
 
2 2
2 2
cosh
h
cos
2 2 2
sen sen
2 2 2
i iz i izz z i z i z
i iz i izz z i z i z
e e e e e e
iz
e e i e e e e
i i iz
i
z
z
i
 
 
  
   
     
 
 
 
Por consiguiente, las funciones hiperbólicas son un caso particular de las funciones 
trigonométricas. El resto de las funciones hiperbólicas se definen del siguiente modo: 
senh cosh
tanh coth
cosh senh
1 1
sech csch
cosh senh
z z
z z
z z
z z
z z
 
 
 
 
Ejemplo: Demostrar que 2 2cosh senh 1z z  para todo z . 
Solución: Solo basta aplicar las identidades anteriores a la relación dada del siguiente modo: 
PROGRAMA DESARROLLADO 
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 28 
   
     
     
   
2 22 2
2 22
2 2
2 2
cosh senh cos sen
cos sen
cos 1 sen
cos sen 1.
z z iz i iz
iz i iz
iz iz
iz iz
         
         
         
         
 
 
Ejemplo: Demostrar que  cosh senh
d
z z
dz
 . 
Solución: Solo hay que aplicar la regla de la cadena del siguiente modo: 
        
  
cosh cos sen
sen senh .
d d d
z iz iz iz
dz dz dz
iz i z
  
  
 
 
Otra manera de obtener el mismo resultado es a partir de la definición dada en términos de la 
función exponencial: 
 
 
cosh
2 2
senh .
2
z z
z z
z z
d
e e
d d e e dzz
dz dz
e
z
e




 
 


 
 

 
Ejemplo: Calcular  tanh
d
z
dz
. 
Solución: Basta aplicar la derivada de un cociente a la definición de la función tanh z , como 
se muestra a continuación: 
 
   
 
2
2 2
2
senh
tanh
cosh
cosh senh senh cosh
cosh
cosh cosh senh senh 1
cosh cosh
sech .
d d z
z
dz dz z
d d
z z z z
dz dz
z
z z z z
z
z
z
 
  
 



 

 
 
 
4.5. Funciones trigonométricas e hiperbólicas complejas inversas 
 
En la sección anterior se presentó las funciones trigonométricas y su relación con las 
funciones hiperbólicas, estas funciones se definen en términos de la función exponencial 
compleja, por consiguiente sus funciones inversas se definen en términos del logaritmo 
complejo. 
PROGRAMA DESARROLLADO 
Unidad 4. Funciones elementales 
 
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 29 
4.5.1. Definición y propiedades 
 
Las definiciones de las funciones trigonométricas inversas se obtienen realizando un 
“despeje” algebraico, dichas definiciones dependen del logaritmo complejo. Se comienza 
estudiando las funciones inversas del seno y coseno respectivamente, las cuales se definen 
del siguiente modo: 
1
1
sen sen
cos cos
si y solo si
si y solo si
z w
z w
w z
w z

 



 
 
Partiendo de la primera relación se tiene lo siguiente: 
sen
2
iw iwe e
z w
i

  
 
La idea central de “despejar” a w por medio de la siguiente cadena de igualdades: 
2
2
2
2
1 1
2
2 1
2 1 0
iw iw
iw
iw
iw iw
iw iw
iw iw
e e
z
i
e
iz e
e e
ize e
e ize



  
 
  
 
Tomando iwu e y sustituyendo en la última igualdad se llega a la siguiente ecuación 
cuadráticas con respecto a u . 
2 2 1 0u izu   
 
Aplicando la fórmula general para las ecuaciones cuadráticas se obtiene lo siguiente: 
      
 
2
2 22 2 4 1 1 2 4 4
2 1 2
iz iz iz z
u
        
  
21
2
iz z  
  21 .iz z   
Por consiguiente 21 .iwe iz z  Aplicando la función logaritmo a ambos lados de la 
igualdad se tiene: 
   
 
 
2
2
2
log
log
log 1
1
lo 1g .
iwe iz z
iw iz z
w i iz z
 
  
   

 
 
Por lo tanto se define  1 2logsen 1i i zz z    . Para su derivada hay que realizar las 
siguientes operaciones: 
PROGRAMA DESARROLLADO 
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 30 
     
 
 
2
2 2
2
2
2
2
1 log log
1
sen 1 1
1
11
1
22 1
1
iz z
d
i iz z i iz z i
dz iz z
ii z
z
i i
i
d
d d dzz
dz dz
z z
d
dz
      
   
 
      
 
 

  


 



2
2
1 z


 
 
2
2 2
2
2 22
2 2 2
1
1 1
1
1 11
1 1 1
z
z i
z
i
iz z iz z
i z z
i z z z izz
i i
iz z iz z z



 
   
 
   
    
      21iz z 
22
1
.
11 zz


 
 
De manera similar, para la función coseno inverso se tiene lo siguiente: 
cos
2
iw iwe e
z w

  
 
Despejando a w se tiene lo siguiente: 
2
2
2
2
1 1
2
2 1
2 1 0
iw iw
iw
iw
iw iw
iw iw
iw iw
e e
z
e
z e
e e
ze e
e ze



  
 
  
 
 
Tomando iwu e y sustituyendo en la última igualdad se llega a la siguiente ecuación 
cuadráticas con respecto a u . 
2 2 1 0u zu   
 
Aplicando la fórmula general para las ecuaciones cuadráticas se obtiene lo siguiente: 
      
 
2
2 22 2 4 1 1 2 4 4
2 1 2
z z z z
u
      
  
2 1
2
z z  
  21 .z i z   
 
Aplicando la función logaritmo a ambos lados de la igualdad se tiene: 
   
  
2
2
2
log
log
log 1
1
lo 1g .
iwe z i z
iw z i z
w i z i z
 
  
   

 
 
Por lo tanto se define  1 2logcos 1i z iz z    . En consecuencia 
PROGRAMA DESARROLLADO 
Unidad 4. Funciones elementales 
 
Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías 
 31 
     
 
 
2
2 2
2
2
2
2
1 log log
1
sen 1 1
1
11 1
22 1
1
z i z
d
i z i z i z i z i
dz z i z
ii
z
z
i i
z
d
d d dzz
dz dz
i z
d
dz
      
   
 
      
 
 

   

 

 
2
2
1 z


 
 
2
2 2
2
2 22
2 2 2
1
1
1 1
1
1 11
1 1 1
iz
z
z
i
z i z z i z
z iz
z iz i z zz
i i
z i z z i z z



 
   
 
   
     
      21z i z 
22
1
.
11 zz
 

 
 
El resto de las funciones trigonométricas e hiperbólicas se resuelven de manera similar a las 
funciones seno y coseno inverso. 
 
 
Ejemplo: Calcular  1sen 2
d
z
dz
   . 
Solución: Basta aplicar la regla de la cadena a las funciones 1sen z y 2z , como se muestra 
a continuación: 
 
 
 1
2 2
1 2
sen 2 2
1 41 2
d d
z z
dz dz zz
    

. 
 
Ejemplo: Calcular 
1cos
4
d z
dz
  
  
  
. 
Solución: Basta aplicar la regla de la cadena a las funciones 1cos z y 
4
z
, como se muestra a 
continuación: 
2
1
2 2
11 1
1 44 4cos
4 4 16
11
16 164
d z d z
dz dz z zz
           
          
 
1
4
2
2
1
1616 zz


. 
 
 
Actividad 5. Funciones trigonométricas e hiperbólicas complejas e 
inversas 
A través de esta actividad. Resolverás funciones trigonométricas e hiperbólicas complejas 
y su inversa. 
 
Instrucciones: 
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Unidad 4. Funciones elementales 
 
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 32 
 
 
 
1. Descarga el archivo “Actividad 5.Funciones trigonométricas e hiperbólicas complejas 
e inversas”. 
 
2. Resuelve los ejercicios que en el documento se proponen 
 
3. Guarda y envía tu documento y el archivo de la función creada con la nomenclatura 
MCO1_U4_A5_XXYZ. Sustituye las XX por las dos letras de tu primer nombre, la Y 
por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno. El peso 
del archivo no debe exceder los 4 Mb. 
 
4. Espera la retroalimentación de tu facilitador (a). 
 
Resolver los siguientes ejercicios. 
 
Autoevaluación 
 
Es momento de realizar la autoevaluación, esto te servirá para medir el grado de 
conocimiento obtenido durante la unidad. 
 
1. Escoger el polinomio cuyas raíces son 1 3 4z i  , 2 3 4z i  y 5z  . 
a. 2 3125 55( ) 11z z zp z     . 
b. 2 3145 55( ) 10z z zp z     . 
c. 2 3100 55( ) 5 5zp z z z    . 
d. 2 3150 20( ) 11z z zp z     . 
2. Hallar el corte de ramificación de la función  2log 2z z . 
a. El segmento de recta abierto que va del punto (0,0) al (2,0) junto con la recta 
vertical que pasa por el punto (1,0) . 
b. El arco de parábola que pasa por los puntos ( 1,1) , (0,0) y (1,1) . 
c. La semirrecta que inicia en el punto (0,0) y divide al tercer cuadrante en dos 
parte iguales. 
d. El segmento de recta que va del punto ( 1,0) al (1,0) junto con el eje 
coordenado vertical. 
3. Calcule todos los valores que satisfagan la relación  2sen 2 0z z  . 
a. 11z k    con k . 
b. 1z k k   con k . 
c. 1z k     con k . 
PROGRAMA DESARROLLADO 
Unidad 4. Funciones elementales 
 
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 33 
 
 
d. z k    con k . 
4. Calcular  
1 3
1
i
i

 en la rama principal. 
a. 
3
4
1 1
2 cos 3 ln(2) sen 3 ln(2)
4 2 4 2
e i

      
      
    
 . 
b. 
3
4
1 1
2 cos 3 ln(2) sen 3 ln(2)
4 2 4 2
e i

     
      
    
. 
c. 
3
4
1 1
2 cos 3 ln(2) sen 3 ln(2)
4 2 4 2
e i

      
        
    
. 
d. 
3
4
1 1
2 cos 3 ln(2) sen 3 ln(2)
4 2 4 2
e i

     
      
    
. 
5. Calcule  1 2 4sen
d
z z
dz
  
 
 . 
a. 
2 3 4
4 2
1 16 8
z
z z z

  
 . 
b. 
2 3 4
2
1 16 8
z
z z z

  
. 
c. 
2 3 4
4 2
9 6 3
z
z z z

  
. 
d. 
2 3 4
4 2
1 16 8
z
z z z 

. 
 
RETROALIMENTACION 
 
1-3 aciertos. Los conocimientos obtenidos no fueron suficientes, debes revisar nuevamente 
el contenido de la unidad. 
4-5 aciertos. Tienes un conocimiento claro de los conocimientos de la Unidad, sigue 
adelante. 
 
Evidencia de aprendizaje. Funciones elementales 
 
A través de esta actividad, podrás resolver ejercicios de funciones elementales, tomando en 
cuenta los conocimientos adquiridos durante la unidad. 
 
Resolver los siguientes ejercicios. 
 
1. Resuelve los siguientes ejercicios. 
 
a) Hallar todos los valores z tales que 2 3ze i  . 
PROGRAMA DESARROLLADO 
Unidad 4. Funciones elementales 
 
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 34 
 
 
 
 
Cierre de la unidad 
 
En esta unidad se estudiaron las funciones elementales de variable compleja. Se comenzó 
estudiando las funciones polinomiales y racionales. Aprendiste las funciones exponencial y 
logarítmica, y finalizaste estudiando las funciones trigonométricas e hiperbólicas. 
 
 
Para saber más 
 
 
Para comprender mejor el Teorema Fundamental del Álgebra puedes consultar la siguiente 
dirección: 
http://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_algebra 
 
 
b) ¿Qué condición cumple z para que se cumpla qué ze  ? 
c) De las siguientes expresiones escoger la que es equivalente a
   1 2 1 2sen senz z zz   : 
d) Calcular  tan i
d
z z
dz
 
 
. 
e) Hallar el dominio donde la función 
2
2 35
3
( )
4z z
z z
f
z
z




 es holomorfa: 
2. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MCO1_U4_EA_XXYZ. 
Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de 
tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno. 
 
3. Envía tu reporte al Portafolio de Evidencias y espera la retroalimentación de tu 
Facilitador(a), atiende sus comentarios y reenvía la nueva versión de tu evidencia. 
 
4. Consulta la Escala de Evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu 
trabajo. 
 
Autorreflexiones 
 
Al finalizar, consulta el Foro: Preguntas de autorreflexión para realizar el ejercicio 
correspondiente y enviarlo a través de la herramienta Autorreflexiones. Recuerda que también 
se toman en cuenta para la calificación final. 
http://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_algebra
PROGRAMA DESARROLLADO 
Unidad 4. Funciones elementales 
 
Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías 
 35 
Referencias bibliográficas 
 
Bak, J. y Newman, D. (2010). Complex analysis. USA: Springer-Verlag. 
Churchill, R. y Brown, J. (2010). Variable compleja y aplicaciones. México: McGraw-Hill. 
Lang, S. (1998). Complex analysis. USA: Springer-Verlag. 
Marsden, J. y Hoffman, M. (1996). Análisis básico de variable compleja. México: Trillas. 
Marsden, J. y Tromba, A. (2009). Cálculo vectorial. México: Pearson. 
McMahon, D. (2008). Complex variables demystified. USA: McGraw-Hill. 
Spiegel, M. (2011). Variable compleja. México: McGraw-Hill. 
Zill, D. y Shanahan, P. (2008). A first course in complex analysis with applications. USA: Jones 
& Bartlett Publishers. 
http://www.amazon.com/Joseph-Bak/e/B001KDEJZ8/ref=ntt_athr_dp_pel_1
http://www.amazon.com/s/ref=ntt_athr_dp_sr_2?_encoding=UTF8&field-author=Donald%20J.%20Newman&ie=UTF8&search-alias=books&sort=relevancerank
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