Corrientes eléctricas - Arturo Lara

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Corrientes eléctricas
La electrostática estudia las relaciones entre cargas eléctricas en reposo. La siguiente división principal del electromagnetismo que se considera aquí —la magnetostática— estudia las fuerzas entre cargas en movimiento. El flujo de carga eléctrica recibe el nombre de corriente eléctrica y, en este capítulo, se diseñan procedimientos útiles para describir estas corrientes en general. También se estudian algunos aspectos de una clase particular de corrientes, las que fluyen en los conductores.
11- 1 Corrientes y densidades de corriente
Supóngase que alguien situado en un punto P observa las cargas que pasan por ese punto; estas cargas pueden viajar a lo largo de un alambre o pueden ser simplemente un haz de partículas cargadas que se mueven en el espacio. De cualquier manera, se asume que el observador encuentra que una carga A¿? pasa por el punto P en un intervalo de tiempo AZ. Se puede definir entonces la corriente promedio, (/), durante este intervalo como la razón promedio de flujo de carga
Az
Más adelante se entrará en detalles de cómo puede medirse (I) o Aq, pero si, por ejemplo, la corriente se debiera a un flujo de protones, cada uno de ellos con una carga e, el procedimiento de medición pudiera imaginarse como una simple operación de conteo. De esta manera, si un número N de protones pasaron en este intervalo, Aq = Ne, e {l}=Ne/At. Como ya se implica en (12-1), la “dirección” o sentido de la corriente se define como la del flujo de cargas positivas. Si las cargas en movimiento estuvieran cargadas negativamente; por ejemplo, si fueran electrones, la dirección de ( /) sería opuesta a la dirección de su movimiento. La razón de esto es muy sencilla. Supóngase que la región alrededor de un punto fuera originalmente neutra, es decir, que tuviera iguales cantidades de cargas positivas y negativas. Entonces si hubiera cierto número de cargas negativas que estuvieran saliendo de la región, ésta adquiriría un exceso de cargas positivas, lo cual tiene un efecto neto equivalente a la entrada de cargas positivas en la región.
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Figura 12-1
Una corriente filamental.
Si el flujo de cargas no es uniforme en el tiempo, es posible definir una corriente instantánea I como la razón instantánea de flujo de carga:
1=^	12-2)
dt
En lo que sigue a continuación se considerarán solamente corrientes que son constantes en el tiempo, de manera que I — const. e < I } = I. Estas reciben el nombre de corrientes constantes o corrientes estacionarias, y describen una razón uniforme de flujo de carga.
Como ya se vio en la sección 2-2, la unidad de carga en realidad se define en función de la unidad de corriente, la que recibe el nombre de ampere, de tal suerte que, de acuerdo con (12-1), 1 coulomb = 1 ampere segundo. El ampere en sí se define en función de la fuerza entre corrientes una definición precisa se dará en el próximo capítulo.
Es a menudo conveniente pensar que la corriente viaja a lo largo de alguna curva geométrica, tal como se ilustra en la figura 12-1, en la que la punta de la flecha indica la dirección de / y ds es un desplazamiento a lo largo de la línea y en el sentido de I. Esta situación idealizada muy bien podría representar el flujo de carga en un alambre muy delgado o en un haz de sección pequeña. Estas corrientes reciben el nombre de corrientes filamentales. Sin embargo, habrá ocasiones en que el flujo de carga se encuentre distribuido en un volumen o en una superficie, por lo que se hace necesario contar con descripciones apropiadas para esas situaciones. Esto se puede lograr introduciendo el concepto de densidades de corriente.
La primera sería la densidad volumétrica de corriente, J. Su dirección es la misma que la del flujo de carga y su magnitud J está dada por la corriente por unidad de área a través de una superficie colocada perpendicularmente al flujo, o sea que es carga por unidad de tiempo por unidad de área. Se puede ilustrar esta definición y simultáneamente obtener una relación práctica si se considera la situación de la figura 12-2. Se desea encontrar la carga que, en un tiempo A, ha pasado por una superficie pequeña A, que es perpendicular a J. Por medio de (12-1) se sabe que — Ez —{J ) A A, ya que (J) es la corriente promedio por unidad de área. Pero toda la carga que pasó por Az se encuentra contenida en el volumen A Z del cilindro de longitud A /, de manera que al utilizar (2-14) también se tiene que Azy = pAr = p¿d&a, donde p es la densidad volumétrica de carga. Despejando Ay de estas dos ecuaciones, igualando y cancelando el factor común Azz, se encuentra que {J)—p (A/|Az) =p(p)es la velocidad promedio de las cargas. Resulta evidente que esta relación es también correcta para el caso instantáneo así como para el promedio, y dado que la dirección de J se define en la misma dirección del flujo, o sea, de v, se puede escribir
J = pv
(12-3)
Corrientes y densidades de corriente
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Si las cargas en movimiento fueran de diversos tipos con densidades p. y velocidades respectivas v/ se puede observar que en Ai, la carga del tipo i que ha pasado a través
Figura 12-2 Cálculo de la densidad volumétrica de corriente.
de la superficie es Aí?j. = p(-|v¿|A¿zAr. De esta manera, el total de todos los tipos de carga será At/ — S^pJvjAíArz, lo que resulta ser la generalización natural de (12-3) en la forma
(12-4)
Al comparar los últimos dos resultados, se puede observar que es todavía posible utilizar (12-3) para casos generales si se toma a p como la densidad de carga total y v como la velocidad promedio, prorrateada por las densidades p¡, muy a la manera como se calcula la velocidad del centro de masa de un conjunto de masas puntuales.
di
Figura 12-3 La densidad de corriente y el elemento de superficie no son paralelos.
Supóngase ahora que J y un elemento de superficie da no fueran paralelos, como se ilustra en la figura 12-3. Se puede encontrar la carga que ha pasado por da en un tiempo dt de una manera similar a la usada para la figura 12-2. Esta vez la carga total será la contenida en el cilindro de altura inclinada di y volumen di eos 0 da, y estaría dada por dq = pl eos 0 da - pv eos 0 da dt ~ pv • dadt = J • dadt, utilizando (12-3). Por lo tanto, la razón de flujo de carga a través de da será
Si se considera una superficie arbitraria, S, como la que se muestra en la figura 12-4, se puede calcular la razón* total a la que está fluyendo carga a través de ella sumando las contribuciones de todos los elementos da como aparecen en (12-5). De esta manera se obtiene
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dq
dt
(12-6)
que a veces recibe el nombre de flujo de carga. S puede ser una superficie abierta o cerrada en (12-6).
Si, por alguna razón, el movimiento de las cargas está limitado a una superficie, es posible definir la densidad superficial de corriente, K. Su dirección es la misma que la del
Figura 12-4 Cálculo de la razón total de flujo de
carga a través de la superficie S.
flujo de carga y su magnitud, K, se define como la corriente por unidad de longitud a través de una línea que descansa sobre la superficie y está colocada perpendicularmente al flujo. La figura 12-5¿z muestra esquemáticamente esta definición. En la figura 12-56 se ilustra una situación en la que K no está a ángulos rectos con la línea ds\ el vector unitario t se dibuja perpendicular ads sobre la superficie, como K, de modo que viene a ser un vector tangencial. Utilizando un método análogo al que se usó para obtener (12-3) y (12-5), se puede llegar a
K=ov
, = |K-f|¿fc
dt / a través ds
donde a es la densidad superficial de carga.
(12-7)
(12-8)
Figura 12-5 (a) Definición de la densidad superficial de corriente, K. (b) K no es perpendicular a la línea ds.
La ecuación de continuidad
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De manera similar, en el caso de una corriente filamental se obtiene
/ = X|v|	(12-9)
donde X es la densidad lineal de carga del flujo.
Más adelante se utilizará constantemente un concepto denominado elemento de corriente, por lo que resulta conveniente explicarlo aquí. En el caso de la corriente filamentalde la figura 12-1, se le define simplemente como el producto Ids. Para obtener una expresión equivalente para el caso de corrientes distribuidas, se considera la figura 12-6a, en la que dA es el área de la pequeña sección del filamento. Dado que el flujo es normal
Figura 12-6 Cálculo de los equivalentes a un elemento de corriente.
a esta sección, de (12-5) se observa que I =JdA, de modo que Ids =JdAds =JdT donde dr es el volumen del elemento que se indica sombreado. Dado que J y ds son paralelas en este caso, se obtiene que Ids = Jdr. De manera similar, en el caso de una corriente superficial, se obtiene la correspondiente Ids=Kda, donde da es el áreadlds del elemento que se muestra en la figura 12-6¿>. De esta manera se tiene ya las siguientes expresiones equivalentes para elementos de corriente:
Ids =	= Kda