Medios en movimiento - Arturo Lara

Vista previa del material en texto

16- Medios en movimiento
Muchas de las aplicaciones más interesantes y prácticas de la ley de Faraday ocurren cuando una parte o todo el circuito o “medio” se encuentra en movimiento. Sise toma una trayectoria de integración C que pase a través de algunos puntos específicos del medio, resulta que al moverse estos puntos también se mueve C, y por esa razón í>puede variar también ¡simultáneamente, podría darse el caso de que B también estuviera variando en el tiempo. Por lo tanto, para poder evaluar d<b /dt se debe comparar el flujo que pasa a través de la superficie encerrada por la forma final de C, con el enlazado por la forma original de C; es decir, se necesita evaluar
— lim 4-^-= lim -7- f	B(z + Az)-¿Za(z + Az) — í B(t)-da(t)
dt az->oAz	az—>0 Az [	Js(t)
(17-20)
Medios en movimiento
333
Figura 17-6 La curva frontera C en un instante t y en un instante t + A t posterior. El elemento lineal ds barre la superficie das.
La figura 17-6 ilustra las posiciones inicial y final de la curva limitante C. El elemento ds de C f se ha desplazado una cantidad v A i como resultado del movimiento. En el proceso, barre el elemento de superficie
das = dsXv&t
(17-21)
que se muestra sombreado. Se observa también que das I es una porción de la superfice 5S lateral, que conecta C (t) con C	de manera que la superficie total
•S'tot- ^(0 + *% + S(t + Ai)
(17-22)
es la frontera de un volumen “cerrado ” a través del cual el flujo total de B es igual a cero, de acuerdo con (16-5). Para poder evaluar el primer término entre corchetes en (17-20), se aplica (16-5) al volumen de la figura 17-6 al tiempo t + Ai. Por lo tanto,
(6 B(t + At)’da = 0= - [ B(i + Ai)-¿a(i)
+ í B(i + Ai),¿/aJ + í B(i + &t)’da(t + Ai)	(17-23)
Js,	''S(t + ¿Lt)
donde el signo negativo del primer término surge debido a que da(t) apunta hacia el volumen, mientras que la integral de superficie se definió en (1-56) tomando el elemento de superficie como positivo hacia afuera. Además, todos los valores de B se toman en t + A t, mientras que las superficies se expresan en función de sus valores que definen la forma de la figura que se muestra en la figura 17-6. Dado que se está tendiendo al límite A t -> 0 como meta final, resulta apropiado pensar en desarrollar B en una serie de potencias:
B(i + Ai) = B(i) 4—Ai 4- • • •
334
Ley de inducción, de Faraday
Conservándose explícitamente sólo los términos de primer orden en Az. Si ahora sustituye esta expresión solamente en la primera y segunda integrales de (17-23) y se utilizan (17-21), (1-23) y (1-29), se obtiene
I B(z + Az)-t/a(z + Az) — I B(t)-d^(t)
^S(z+Az)	•'S(t)
= Az! í ^--da(t) + (f) [B(z)Xv(z)]-¿Zs |
(•'S(r) dZ	7c(/)	J
+ Términos del orden de (A/)2
(17-24)
con lo que ha sido posible, después de sustituir (17-21), escribir la integral sobre de (17- 23) como una integral sobre C, dado que todos los términos en ella se evalúan sobre C(t), es decir, la curva limitante original. Si ahora se sustituye (17-24) en (17-20) y se hace que Az->0, los términos que originalmente eran de orden de (Ai)2 y superiores desaparecerán, quedando
-dF=JsHda + 9c(BXv}ds
(17-25)
El primer término, ya es el resultado de la variación de B, de modo que es el segundo término el que resulta debido al movimiento.Si ahora se sustituye (17-25) en( 17-3) y en(l 7-8), se obtienen la fem inducida y la integral de línea del campo eléctrico en el sistema en movimiento. Si a estas cantidades se les denota con una prima y se vuelve a utilizar (1-23), se encuentra que
&' = ($)&-ds= - J'J^-da + (fí(vXB)-ds	(17-26)
que, con la ayuda de (1-67) puede expresarse como
(17-27)
de manera que
V X(E'-vXB)= -
di
(17-28)
ya que (17-27) es aplicable a cualquier curva limitante.
Es importante recordar que estas tres últimas ecuaciones numeradas contienen cantidades referidas a y medidas en sistemas diferentes. Las cantidades primas son aquéllas que serían observadas por alguien en el sistema en movimiento y, por tanto, en reposo con respecto a él. Por otro lado, las cantidades v, BydB/dZ serían medidas por un observador estacionario en el sistema coordenado sin primas (al que a menudo se llamará sistema de laboratorio); esto es así porque la derivación se basó esencialmente en la figura 17-6 y todo se escribió uesde el punto de vista de alguien que observa la curva C en movimiento.
Teniendo estos comentarios en mente, se puede ahora obtener una interpretación para el argumento del rotacional en (17-28), considerando la fuerza sobre una carga puntual q tal como la describirían estos dos observadores hipotéticos. Desde el punto de vista del ob
Medios en movimiento
335
servador estacionario, lo que se tiene es una carga g moviéndose a velocidad v en una inducción B, por lo que la fuerza que actúa sobre ella está dada por (17-2) como F =q (E +vX B), siendo E el campo eléctrico en este sistema. Para el observador que se mueve con el sistema primo, la carga q se encuentra en reposo y, por tanto, la única posible fuerza electromagnética que él podría expresar de acuerdo con (17-2) sería F’ = qE’, siendo aquí E’ el campo eléctrico en el sistema en movimiento. Si se restringe la situación a casos donde la aceleración es nula o despreciable, como se ha estado haciendo en forma consistente, entonces se puede considerar que ambos sistemas son inerciales, y de la mecánica se sabe que las dos fuerzas deberán ser las mismas, esdecir,que F' = F. Al igualar las dos expresiones de las fuerzas, se encuentra que los campos de ambos sistemas están relacionados entre sí como sigue:
E' = E + vXB	(17-29)
Se observa ahora que el argumento del rotacional de (17-28) es en realidad el campo eléctrico del sistema no primo, de tal suerte que la ecuación puede escribirse como
VxE=-j	(17-30)
que es exactamente la misma que (17-10), que se encontró para el caso de medio estacionario. En otras palabras, la ley de inducción de Faraday, cuando se escribe de esta manera, tiene una forma que es independiente del movimiento del medio. [ Aquí de nuevo, cuando se consideren velocidades relativas, v, que sean comparables a la velocidad de la luz en el vacío, en el capítulo 28, se encontrará que (17-29) necesitará ser modificada; sin embargo, las conclusiones acerca de (17-30) no sufrirán modificación alguna.]
Los términos dependientes de v en (17-26) y (17-29) reciben, por lo general, el nombre de términos “del movimiento”, mientras que aquéllos que dependen de la variación temporal de B son conocidos como los términos de “transformador”. Algunos problemas pueden entenderse y resolverse de una manera más sencilla si se analízala situación desde el punto de vista del observador en un sistema en movimiento, de tal manera que se utilizan expresiones como fem de movimiento y campo eléctrico de movimiento, dados por
= (£)E„/-ds = (j)(yXB)-ds	(17-31)
Em' = vXB	(17-32)
A continuación se analizan algunos ejemplos de este tipo.
Ejemplo
Para empezar, considérese el sistema ilustrado en la figura 17-3. Ya se ha hecho este análisis por medio de la ley de Faraday en su forma macroscópica (17-3), y se encontró que la fem inducida total estaba dada por (17-5). Dado que B es constante en el tiempo en este caso, la fem debe estar dada completamente por el término de movimiento. Ya que la barra deslizante es la única parte del sistema que se encuentra en movimiento, de (17-32) se ve que solamente ahí puede ocurrir que E’ =# 0. También se observa que E’ está dirigido a lo largo de la barra deslizante, como se muestra en la figura 17-7, y que tiene magnitud constante E’ = Bv, dado que B y v son perpendiculares. También se ilustra la dirección de ds que corresponde a la elección original del sentido positivo de recorrido por el circuito sobre la que se basó el cálculo de <I>dado en (17-4). Así, E’y ds se encuentran con sus direcciones
336
Ley de inducción, de Faraday
B (saliendo)
E
Figura 17-7 El campo eléctrico visto por un observador que se mueve con la barra de la figura 17-3.
encontradas y Er' de ~ ~E' ds ~ - Bvds, por lo que de (17-31) se tiene
(17-33)
en concordancia con (17-5). Dado que la dirección de lacorriente inducida será la misma que la de E', de las figuras 17-7 y 17-3 se desprende que Iind tendrá un sentido como el de las manecillas del reloj, lo que, como ya se vio, concuerda con la ley de Lenz. Aunque en (17-5) se obtuvo el valor correcto de la fem inducida, no era posible entonces“localizarla”, pero ahora es posible observar que se puede atribuir su origen completamente a la situación dentro de la barra deslizante. Además, en este ejemplo se puede atribuir el origen de la corriente inducida a la fuerza magnética producida sobre una carga que se mueve en una inducción, como se podría observar desde un punto estacionario.
Ejemplo
Como una variante del ejemplo anterior, considérese una barra conductora de longitud l que se mueve con una velocidad constante perpendicular a la barra y también perpendicular a una B constante, como se ilustra en la figura 17-8. En este caso no se cuenta con un circuito completo, por lo que no puede existir corriente inducida circulando. En efecto, en el estado estacionario final del sistema no puede existir corriente alguna sobre la barra, por lo que E’ = 0 de acuerdo con (13-25). Pero en este caso (17-29) conduce a
E=-vxB
(17-34)
de manera que el observador estacionario ve un campo eléctrico de magnitud E = Bv diri-
1 B (saliendo)
Figura 17-8 Una barra conductora en movimiento, que no forma parte de un circuito,
Medios en movimiento
337
E
v x B
Figura 17-9 La situación vista por un observador estacionario.
gido hacia arriba a lo largo de la barra, como se muestra en la figura 17-9 que está dibujada desde su punto de vista. Pero este campo eléctrico debe venir de algún lado, y dado que se trata de un material homogéneo, solamente puede venir de cargas superficiales en sus extremos, mismas que tendrán los signos que se indican en la figura. Además, el observador no primo deberá llegar a la conclusión de que existe una diferencia de potencial A Centre los extremos de la barra, que se puede calcular por (5-11) y (17-34), resultando
A<¡> = j~ E-ds = El— Blv
(17-35)
[Nótese que esto tiene elmismo valor numérico que la fem de movimiento dada por (17-33) para el ejemplo anterior, aunque ahora se está hablando de un concepto enteramente diferente.]
¿Cuál es el origen de estas cargas superficiales? durante las etapas originales del movimiento, las cargas móviles del conductor fueron sometidas a la acción de la fuerza magnética qv X B dirigida hacia abajo y a lo largo de la barra.Esto provocó unaseparactón de cargas,
E' #= o
E' =A 0
Figura 17-10 La situación vista por un observador
que se mueve junto con la barra.
338
Ley de inducción, de Faraday
haciendo que las positivas se movieran hacia el fondo de la barra,mientras que las negativas debieron ir hacia arriba. Pero estas cargas separadas producen un campo eléctrico que apunta hacia arriba, mismo que presentará la tendencia a disminuir la fuerza total sobre una carga dada en el interior de la barra. Por último,un número suficiente de cargas será separado, por lo que el campo eléctrico E producido por ellas datá una fuerza hacia arriba que balanceará exactamente la fuerza magnética hacia abajo.Este es justamente el estado final de equilibrio que se describe en (17-34).
Pero ahora se tiene que el número de cargas en los extremos debe ser el mismo para ambos observadores, ya que únicamente se necesita un conteo, mismo que ambos pueden realizar igualmente bien. Por lo tanto, el observador en movimiento ve la misma distribución de carga en los extremos que la descrita anteriormente. Pero dado que E’ = 0, en su sistema el observador debe necesariamente tomar la barra como un volumen equipotencial, por lo que la diferencia de potencial entre los extremos debe ser Ai// = 0, en contraste con (17-35) pero en concordancia con el hecho de que en su sistema no puede haber corriente. Sin embargo, estas cargas superficiales producirán un campo Ez 0 en la región exterior a la barra, de modo que su idea de la situación será cualitativamente como la que se muestra en la figura 17-10; los valores de E’ en la superficie pueden calcularse en función de la distribución superficial de carga a partir de (6-4). Así, la utilidad de este ejemplo ha sido demostrar que no necesariamente una situación dada será descrita en exactamente la misma manera por dos observadores diferentes cuando la descripción se hace en función de los campos, sino que su descripción respectiva dependerá de sus movimientos relativos.
Si la barra fuera un dieléctrico en lugar de un conductor, no habría cargas móviles que pudieran ser separadas para lograr una situación comola de la figura 17-9, por lo que es muy posible que en este caso E’no fuera igual a cero. Aquí el dieléctrico en movimiento podría quedar polarizado; en los ejercicios se consideran varios ejemplos de estas situaciones.
Ejemplo
Espira en rotación. Considérese de nuevo la espira con la orientación y dimensiones que se muestran en la figura 17-4. Sin embargo, se supone ahora que B = Box es constante en tiempo, mientras que la espira está girando como un cuerpo rígido alrededor del eje z, a velocidad angular constante gj, de manera que ip es una función del tiempo con la forma <p = cu t + <p0 , siendo <p0 el valor del ángulo para t = 0.
En primer término, se encuentra la fem inducida a partir del punto de vista general dado en (17-3). El flujo se calcula de la misma manera en que se obtuvo (17-14);
0=1 B-ñda~ B^ab eos cp = B0abeos(<¿t + cpf)	(17-36)
Js
Al sustituir esto en (17-3), se puede encontrar que la fem inducida es
& ¡nd = cüBoabsen(a)t + <p0)	(17-37)
Aquí también, si la espira estuviera formada por N vueltas de un alambre enrollado, cada una de las vueltas tendría la fem dada en (17-3 7), de modo que la fem total de la bobina sería N veces má s grande, es decir,
¿’ind ~ NvBoabsen(<¿t 4- <p0)	(17-38)
Lo que se acaba de ver es una forma rudimentaria de generador eléctrico, y es justamente esta aplicación de la ley de Earaday la que hoy día produce la mayor parte de la energía eléctrica en todo el mundo.
Aunque al comparar las fems inducidas dadas por (17-15) y (17-37) se pueden observar similitudes de forma obvias, los mecanismos físicos que intervienen son completamente diferentes; una de ellas es producida poruña inducción cambiante sobre una bobina esta-
Medios en movimiento
339
Figura 17-11 La espira rectangular se encuentra
girando en presencia de una inducción constante.
donaría, mientras que la otra surge en una bobina en movimiento con respecto a una induc- dón constante.
Es interesante considerar este mismo ejemplo en términos del campo eléctrico de movimiento. En la figura 17-11 se muestra el plano de la espira en un instante dado. La velocidad angular de rotación está dada por cu = co 2, mientras que r es el vector de posición de un punto sobre la espira, con respecto al origen en su centro. Las flechas indican el sentido positivo de recorrido de la espira, que se ha venido utilizando para que la normal ñ de la figura 17-4 apunte aquí hacia afuera del papel. Para la rotación de un cuerpo rígido, la velocidad de cualquier punto está dada por v = co X r, y dado que B está dada por B=Box, se encuentra que el campo eléctrico de movimiento, E»m, se calcula de a partir de (17-32), (1-30) y (1-20), y es
E',. = vXB = — (B-r)te = — BqXuz	(17-39)
Ahora se sustituye esta expresión en (17-31) y se integra sobre todo la espira. De la figura
16- 11 se observa que las ds de las porciones horizontales de longitud b son perpendiculares a z, de modo que, sobre dichas porciones,£>m. ds t. ds = 0, por lo que no contribuyen a la integral. Para los dos lados verticales de longitud a se tiene que ds = dz z y, si y xr son las coordenadas x de los lados izquierdo y derecho, respectivamente, se encuentra que cuando (17-39) se sustituye en (17-31) se obtiene
&m~ (	— Boxlu>dz)+ (a/2 ( — Boxr<¿dz) = u>Boa(xl — xr) (17-40)
Ja/1	J~(a/2)
Con referencia a la figura 17-4, se puede observar quexr=—l/2¿>sen</?, mientras quexr= l/2b sen <p; por lo tanto,~xr = b sen con lo que (17-40) queda como
&m' = cü2?oízZ>sen<p— c¿Boabsen(wt -I- <p0)
(17-41)
exactamente como se encontró en (17-3 7). Sin embargo, ahora se puede observar que mientras existe un campo eléctrico de movimiento asociado con cada punto de la espira, dado por (17-39), únicamente aquellas porciones de la espira que son paralelas a la velocidad angular contribuyen a la fem inducida. En todas las demás porciones el campo eléctrico inducido es perpendicular al desplazamiento, por lo que no puede realizar trabajo alguno sobre una carga que pase por estas porciones de la espira.
340
Ley de inducción, de Faraday
Ejemplo
Generador homopolar. Faraday inventó este interesante aparato. Considérese un disco conductor circular, plano y de radio a que gira a velocidad angular constante, gj, en una B uniforme que es perpendicular al plano del disco. La situaciónseilustraenlafigura 17-12, donde se han tomado tanto B como w apuntando hacia el papel.Existen contactos deslizantes en el eje central 0 y en un punto P en el borde del disco. Se completa el circuito con cables conductores y una resistencia R. En un punto cuyo vector de posición con respecto al origen en el centro es r, la velocidad será v = X r y estará dirigida tangencialmente como se indica. Por lo tanto, existirá un campo eléctrico de movimiento
EXwXr)xB = wSr	(17-42)
dirigido radialmente hacia afuera del disco, que se encuentra a partir de (17-32):
Cuando se sustituye esto en (17-31), se puede observar que la única contribución a la fem inducida provendrá de la parte del disco entre O y P, y dado que ds - dr, se tendrá
&m' = ffiEm'-ds— f uBrdr—^uBa2	(17-43)
Jo	Jo
La corriente resultante en el circuito externo tendrá la dirección que se indica y que corresponde al sentido general de Em ’ . Aunque este tipo de aparatos pueden ser construidos y en realidad funcionan, son en general muy imprácticos porque requieren de grandes dimensiones y de una muy alta velocidad de giro para obtener una fem de valor apreciable. Si en lugar de una configuración como ésta se utiliza una fem externa, como por ejemplo una batería, para producir una corriente a través del sistema, el disco girará, resultando así unmotor hom o polar.