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Ondas EMT - Arturo Lara

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Ondas EMT
Como se hizo notar en el párrafo que siguió a (26-30), un modo EMT es aquél para que el que tanto & z como Jf z son iguales a cero. Al observar (26-25) a (26-28) se podría estar
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Campos en regiones confinadas
tentado a concluir que todas las componentes son también iguales a cero, de manera que
no podría existir dicho modo. Sin embargo, se dividió entre kc2 para obtener estas expre-
siones, de modo que es más seguro regresar a las propias ecuaciones de Maxwell dadas en
(26-17) a (26-24). Haciendo &z = 0 y JC
= 0, en ellos se reducen a
z
9£	96
—£ _l ¿ 9x dy
96
	>
9x
9S.
dy
(26-62)
d%y d%x
9.x dy
9%,
dx
996^
9y
(26-63)
c¿p y kg J
(26-64)
(26-65)
Tanto de (26-54) como de (26-65) se desprende que kg¡cúp = de manera que
s	v2
(26-66)
según (26-8) y (24-12); entonces, de acuerdo con (26-7), kc 2 = 0. Dado que kg = k0, la onda EMT se propagará a lo largo de la guía con la misma velocidad 4/ que tendría una onda plana; puesto que kc =■ 0, la longitud de onda de corte es infinita, por lo que una onda EMT puede tener cualquier frecuencia o longitud de onda.
Puesto que & solamente tiene componentes transversales a la dirección de propagación, debe tener la forma £ = &x X+ & y y, debiendo existir una expresión similar para JC ; así, es posible expresar (26-64) y (26-65) muy simplemente como
JC=ízxg = ^-
cop	Z,
(26-67)
donde Z = (ju/e ) %es la impedancia de la onda plana. Si se comparan (26-67) y (24-94) se puede observar que una onda EMT tiene características similares a las de una onda plana no confinada. Por estas razones, a las ondas EMT también se las conoce como/worfos principales.
Si se sustituyen (26-64) y (26-65) en la primera ecuación de (26-63), se encuentra que de ello resulta la primera ecuación de (26-62); lo mismo resulta ser verdad también para la segunda ecuación de cada conjunto. En otras palabras, (26-63) quedará satisfecha si se satisface (26-62). Al recordar que & * y & son funciones únicamente dex y y, de acuerdo con (26-14), se puede introducir una función escalar, 0 (x,y), y definir &	=
—5 0 / 5 = y & - -5 0 / 5 y, es decir,
£ = - V0	(26-68)
Sé encuentra entonces que la segunda ecuación de (26-62) se satisface debido a que 52 0/5 y 5 x = 52 0/5 x d y, mientras que la primera queda como
Ondas EMT
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92</> . 92</> =n
3.x2 dy2
(26-69)
que es justamente la forma tridimensional de la ecuación de Laplace, de acuerdo con (11-55). Por lo tanto, si primero se toma cualquier solución del “problema de potencial electrostático bidimensional” apropiado, que dé un campo eléctrico normal a la superficie de frontera perfectamente conductora, se le designa por &, después se encuentra 7C a partir de (26-67), se pueden utilizar los resultados de (26-14) y (26-15) para obtener un posible modo EMT para el sistema. El patrón de campo bidimensional que se obtiene de esta manera viajará por la guía con la velocidad v de una onda plana característica del medio.
Sin embargo, las cosas son un poco más complicadas. Si &es normal ala superficie el gradiente del potencial escalar 0 lo es también, según (26-68), y, como se vio en la sección 1-9, 0 debe entonces ser constante sobre la superficie, como se puede apreciar en la figura 1-18. En otras palabras, la superficie conductora debe ser una superficie equipotencial. Pero en la sección 11-1 se encontró que una solución de la ecuación de Laplace que tiene el mismo valor en todos los puntos de la frontera debe también tener el mismo valor constante en cualquier punto de la región. Si éste es el caso, V 0 = 0, de modo que & = 0 y = 0, de acuerdo con (26-68) y (26-67), por lo que después de todo no podrá existir una onda EMT. Por lo tanto, una guía de ondas del tipo de un tubo hueco como el que se ilustra en la figura 26-1 no puede presentar un modo EMT.
Sin embargo, sí puede existir un modo EMT si la guía consiste de por lo menos dos conductores como los dos cables paralelos de la figura 11-10, o los cilindros coaxiales de la figura 6-12. La razón es que, habiendo más de una parte en la superficie limitante, el potencial 0 puede tener un valor constante en una parte de la superficie y otro valor constante distinto en la otra porción o en las otras porciones de la superficie. En tal caso 0 no necesita ser constante en la región entre los conductores, por lo que ahora &= — > 0 puede ya ser diferente de cero, haciendo posible la existencia de un modo EMT.
Figura 26-5 Campos en el modo principal de un cable coaxial.
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Campos en regiones confinadas
Para ilustrar estas ideas, considérese el modo EMT más simple posible de un tipo muy importante de guía.
Ejemplo
Cable coaxial. Este consiste de dos cilindros coaxiales de diferentes radios, a y b, como se ilustra en la figura 6-5. Se utilizan coordenadas polares planas p y sobre el plano perpendicular al eje de los cilindros. La solución general de (26-69) en estas coordenadas está dada por (11-141). Aquí se considera únicamente el caso en que 0 es independiente del ángulo, resultando entonces que
—A + B ln p
(26-70)
donde A y B son constantes. Al sustituir esto en (26-68) y después utilizar (1-85), (26-67) y (1-76), se obtiene
B „	B A
© =	p X.= - — <p
P	Zp
(26-71)
de modo que & solamente tiene una componente radial y -K solamente tiene una componente, como se muestra en la figura. Si se sustituyen estos resultados en (26-14) y (26- 15), y se utiliza (26-66), se
encuentra que los campos de la onda están dados por
E= -	H= - -A<fce“d(V0-'l
P	zpr
(26-72)
La diferencia potencial entre los dos conductores se puede encontrar a partir de (5-11) y resulta
A0 = yZ’E-tZs=-51n^)e/w‘<2/v>-d = A</,oeM(í/c)-d	(26-73)
cuyo valor máximo es A 0O = -B In(6/a), de manera que (26-72) se puede expresar también como
pln(ó/u) ?
(26-74)
De (21-39) se puede calcular la corriente en el conductor interior, si se observa que cuando se elige la trayectoria de integración sobre el plano de la sección entonces (5	= 0, de manera que
(26-75)
donde el valor máximo de la corriente es l^0 — -2tt B/Z. (Habrá una corriente igual y opuesta sobre la superficie en p - b puesto que, si se toma la trayectoria C sobre el conductor cuando p > b, la integral de línea de H debe desaparecer, ya que H = 0 en el interior del conductor perfecto, por lo que la trayectoria no puede encerrar ninguna corriente
Cavidades resonantes
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libre neta.) Si se usa (26-75) se puede expresar el campo magnético en función de la corriente como
	2ttp	*
H =
(26-76)
De (26-73) y (26-75) se observa que la corriente y la diferencia de potencial se encuentran en fase, de modo que su relación es constante y dada por
(26-77)
If Ifü 2<¡r	\a) c
donde Zc recibe el nombre de impedancia característica del cable coaxial.

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