Ondas planas en medios conductores - Arturo Lara (1)

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23- Ondas planas en medios conductores
Se supone ahora que o 0, pero se seguirá considerando que p f = 0 y que J/ = 0. La ecuación apropiada para cualquier componente de E y B es ahora (24-7), que queda como
dz2
dip	d2ip	n
'dZ	8,2
(24-36)
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cuando i// = i// (z,f). Se vuelve a intentar resolverla con una onda plana de forma (24-19) y cuando ésta se constituye en (24-36) se encuentra que k y co deben ahora estar relacionadas entre sí por la relación de dispersión
k2 = co2/i€ + zcogo	(24-37)
en lugar de (24-17). Dado que sólo interesan aquí los campos que varían en forma armónica con el tiempo, es decir, que no se amortiguan con el tiempo, se requiere que co sea tanto real como positiva. Por lo tanto, solamente puede satisfacerse (24-37) si k es una cantidad compleja; de acuerdo con esto se supone que k tiene la forma
k=±(a + ifi)	(24-38)
donde a y ¡3 son reales y positivos. Sustituyendo en (24-37) se obtiene
a2 — /?2 + 2zcr/5 = cc2/ie + icjpo	(24-39)
Dado que las partes real e imaginaria deben ser iguales por separado, se tienen
a2-£2 = <o2^
2afi = copo
(24-40)
(24-41)
donde se ha supuesto que p,e y o son reales; en la sección 24-8 se vuelve a tocar este punto. Ahora se pueden despejar a y resultando
(24-42)
(24-43)
(Nótese que cuando o - 0 las ecuaciones anteriores se reducen a a = co s/pe = co/r y (3 - 0, como debería ser).
Estos resultados se suelen expresar en función de un parámetro sin dimensiones, Q, que, por razones que se darán más adelante, se define como
p=—	(24-44)
o
de manera que
(24-45)
(24-46)
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Más aún, muy a menudo resulta conveniente expresar k en la forma
* = 1*1^	(24-47)
de modo que al utilizar (24-22) y (24-38) se obtiene que k = a + = |&|(cosí2 + z senil) y, por lo tanto,
a = |A-|cos2 /? = |X|senii
|&| = (a2 +/?2)l/2 = wV~/i€
1/4
o P tan = — a
(24-48)
(24-49)
(24-50)
Ahora que se tienen todos estos resultados complicados, se tratará de descubrir qué significado tienen y, en particular, cuáles son las consecuencias físicas de una constante de propagación k compleja.
Si se sustituye k = a + ¿(3 en (2449) se obtiene
(24-51) dado que i2 = — 1. A una función de este tipo se le denomina onda viajera amortiguada porque su amplitud no es constante sino que decrece con la distancia en la dirección de propagación por el factor e — Pz. El origen de este término se encuentra en la conductividad, puesto que (3 ^0 solamente cuando a^O. Es evidente que esto debe estar relacionado con la pérdida de energía de la onda debida a la resistencia y a la correspondiente disipación de energía en forma de calor, y en breve se considerará esto en detalle. Si se compara la forma del término de propagación con f de (24-11), se encuentra que en este caso la velocidad está dada por
í	2	11/2
l [i+(i/o1/2+i)
(24-52)
y se puede observar que, en general, v<(pe) ~ i/2 o que v<pnoconductor debido a (24-12). Por tanto, otro de los efectos de la conductividad del medio es hacer que la onda viaje más lentamente. La longitud de onda puede calcularse de la misma manera en que se obtuvo (24-27), encontrándose que
2% _ 2ttv _ 2vr í	2
« av^ t [l + (l/e2)]'/2+l
(24-53)
lo que, desde luego, está de acuerdo con (24-28). Dado que v ha disminuido, se observa que X < X no conductor, de modo que la onda de la misma frecuencia tiene una longitud de onda más corta que la que tendría en un medio no conductor con el mismo valor de pe.
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Puesto que, según (24-44), Q depende de la frecuencia co, (24-52) muestra que la velocidad de onda v ya no es constante, sino que también es una función de la frecuencia, es decir, se tiene v - v (co). A este fenómeno se le denomina dispersión y, por lo tanto, un medio conductor es un ejemplo de lo que se conoce como un medio dispersivo. Para entender la principal consecuencia de este hecho, supóngase que se está manejando un campo muchc más complicado, descrito como una superposición de ondas viajeras sinusoidales como, por ejemplo, la primera suma de (24-28). Dado que k ya no es constante sino una función de co, cada una de las ondas componentes de la suma viajará a una velocidad diferente, de modo que en un tiempo posterior el valor numérico de la superposición en una z dada será diferente, es decir, la/órma de la superposición habrá variado. Muy a menudo se suele describir este fenómeno diciendo que la superposición altera su forma a medida que se propaga.
A partir del factor de amortiguamiento e - Pz en (24-51) se puede deducir que la distancia en la que la amplitud disminuye por un factor 1 ¡e es igual a Az = 1/3. Esta cantidad es normalmente representada por 5 y recibe el nombre de distancia de atenuación o profundidad de penetración, siendo una medida muy conveniente del amortiguamiento, ya que se puede pensar que la onda ha desaparecido básicamente después de viajar unos cuantos valores de 5. Resulta posible expresar esto de diversas maneras por medio de (24 -41), (24-52), (24-53) y (24-28):
1 _ 2a _ 2 _ 477 _ 2
/3	poto pov pocjX povX
(24-54)
donde X es la longitud de onda en el medio.
Para completar las cosas es necesario verificar que todas las conclusiones expuestas son también válidas para ondas que viajan en la dirección negativa de z. Al sustituir k = — (a + zj3) en (24-19) se encuentra que
=	(24-55)
y, si se le compara con (24-11), se observa que sí representa una onda que viaja a la dirección correcta con la misma velocidad v = co/q que se encontró en (24-52). Además, dado que los valores de z están ahora disminuyendo, el factor exponencial e$z decrecerá también a medida que la onda progresa, de modo que se sigue representando una atenuación.
Existe todavía otra manera muy interesante y a menudo muy útil de describir e interpretar los resultados obtenidos. Si se realiza una comparación puramente formal entre (24-19), (24-11) y (24-13) es posible observar que siempre se puede definir una “velocidad de onda”, V, y un “índice de refracción”, N, mediante
(24-56)
co _ co _ co
k a + i/3	|£| e
(24-57)
donde u — c/v es lo que se podría llamar el índice de refracción regular porque se reduce al valor apropiado para un no conductor según (24-14). Por lo tanto, se puede decir que
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un medio absorbente (/3 =# 0) es aquél que tiene un índice de refracción complejo, estando asociada la aparición de la parte imaginaria con la atenuación.
Hasta ahora, todo lo que se ha concluido acerca de los efectos de la conductividad se ha basado en el comportamiento de una sola componente <//. Considérese ahora la relación entre los campos E y B. Se revisa el trabajo realizado a partir de (24-29), se observará que no hay nada que dependa de que k sea real; por tanto, las ecuaciones de Maxwell en la forma (24-32) son todavía válidas, excepto la última, que provino de (244) y que ahora toma la forma
kz X B = — (/rece 4- zjm)E	(24-58)
Por lo tanto, los campos siguen siendo transversales a la dirección de propagación, mientras que
B = |zXE	(24-59)
otra vez, según (24-33). Todo lo que se requiere, pues, es averiguar si (24-58) se satisface. Si se sustituye en ella (24-59) y se utilizan (1-30) y 1 ■ E = 0, se encuentra que se vuelve (k2 — peco2 ipo(o)E = 0, que queda satisfecha aún con E¥= 0 debido a la relación de dispersión (24-37). Pero ahora k es compleja, y si se utiliza la forma (2447) en (24-59) se puede encontrar que los campos se relacionan ahora mediante
B= J^-e,í2zXE	(24-60)
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Para entender el significado del factor de fase c‘^ se deben encontrar las partes reales de E y B. Si en (24-29) se vuelve a escribir Eo como EOae¿a, donde EOa es real, y después se utiliza (24-38), se obtendrá
E = EOae-^e'(az'<Jí+d)
B= ÉzxE0/'^,(a2^'+d+SÍ)
w
(24-61)
de modo que
Ereai = EOae Pzeos(az-coi + &)
(24’62)
Breal = —zXEOae eos(az-cot + d + O)
(O
pudiéndose entonces expresar la amplitud de Breai como BOíZ = (|Zc|/cj)z X EOa. Al comparar estas expresiones con (24-35) se observa que en un medio conductor EyByano están en fase y que la diferencia de fase, £2, es positiva, de acuerdo con (24-50). Esto significaque E y B ya no alcanzan sus mínimos y máximos juntos, ni se extinguen juntos. Se les puede comparar cuantitativamente. Supóngase que la fase, es decir, el argumento del coseno, tiene un valor definido P en una posición dadaz0 y en un tiempo para el campo eléctrico, es decir, P — az0 — cotp + 17. Entonces la inducción alcanzará el mismo valor relativo en este punto en un tiempo tg cuando la fase tenga el mismo valor, de modo que
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p = OZo _	+ á+í2. Al igualar estas expresiones se encuentra que los tiempos se rela
cionan entre sí por medio de
tB-ÍE+ >tE
(24-63)
lo que demuestra que B alcanzará su máximo, por ejemplo, en este punto, después que E; en otras palabras, B va detrás de E como función del tiempo. Por.otro lado, a un tiempo dado í0, las posiciones en las que B y E tienen la misma fase se relacionan por medio de
¿B %e ¿'''¿E
O
(24-64)
de modo que se puede decir que B va por delante de E como función de la posición. Este efecto, junto con la atenuación, queda ilustrado de manera esquemática en la figura 24-5, que muestra la situación en un instante dado y para una k positiva. (Debe compararse esta figura con la figura 244).
Otro efecto que se desprende de (24-62) es una alteración de las magnitudes relativas, encontrándose por medio de (2449) que
|Erea,l
I ® real I
(24-65)
El valor de esta relación es mayor que el valor que era aplicable en el caso de un no conductor, como puede verse en (24-34). Así, la magnitud de B comparada con la de E resulta relativamente mayor en un conductor que en un no conductor.
[En un sentido puramente formal, es justificado asegurar que en realidad las cosas no han cambiado. Si se usa (24-56) en (24-32) se puede expresar B - (kjcú)i X E = (2 X E)/K, y al comparar con (24-33) se observa que en ambos casos la b (compleja) es simplemente igual a 2 X E dividida entre la “velocidad de onda” apropiada].
Todos los resultados obtenidos hasta ahora han sido exactos, aunque un tanto complicados. Resulta conveniente y útil derivar algunas aproximaciones que son aplicables a
Figura 24-5 Campos de onda plana atenuada en un conductor, en un instante dado.
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dos casos extremos. Este procedimiento puede realizarse más fácil en función del parámetro sin dimensiones Q que se definió en (2444). Antes que nada, la definición no es en realidad superfina, puesto que se puede dar una sencilla interpretación física de Q. Para un campo eléctrico que varía armónicamente con el tiempo, es decir, que es proporcional a e - la magnitud de la corriente de desplazamiento sera |3D/8í| = |edE/dí| = eco|E|, mientras que la magnitud de la corriente será |J/| = a|E|. Si ahora se multiplican el numerador y el denominador de (2444) por |E|, se encuentra que es también posible escribir
e=M	(24.^
de modo que se’puede tomar a Q como una medida de la importancia relativa de la corriente de conducción. Resulta útil usar el valor de Q para caracterizar un material como “aislante” o como buen conductor para un valor dado de la frecuencia. De (2444) se desprende que para una conductividad pequeña y altas frecuencias, Q será muy grande, pudiéndose decir que se trata de un aislante. Por otro lado, para una conductividad alta y bajas frecuencias, Q será muy pequeña, tratándose entonces de un buen conductor; por lo general, estos criterios son aplicables a los metales. De acuerdo con esto, se pueden tomar los casos límite que corresponden a Q»\ y cuando Q«\, aproximando los resultados obtenidos anteriormente para obtener fórmulas adecuadas y más fáciles de usar. Para empezar, se toma el caso más parecido al de la sección anterior.
I “Aislante" (Q » 1)
En este caso, 1/22«1, pudiéndose usar la aproximación (1 +	— 1 + nx para jc« 1.
De esta manera, si se mantiene ya sea el término de corriente de primer orden de algo que es finito para un no conductor, o el término de primer orden de algo que se anula,los resultados obtenidos antes se vuelven,aproximadamente,
|k\ = í 1 H	I
\ 422/
tana~2^-¿
X	
(24-68)
(24-69)
(24-70)
|E| t
y, desde luego, sólo existen pequeñas diferencias entre estos resultados y los obtenidos en la sección anterior.
II. “Buen conductor" (□« 1)
Siguiendo un procedimiento similar, se encuentra que las expresiones aproximadas son (con términos de corrección hasta el orden Q solamente):
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|B| =/m1/2 / M£\1/2
|E| \ « J \ Q )
(24-71)
(24-72)
(24-73)
(24-74)
Es práctica común aproximar todavía más estas fórmulas desechando los términos de corrección, obteniéndose
/ 1 \1/2
a = /? = l y fiaíúj
tanfí = 1, de modo que S2 = or 45
2 y/2_ a
/roto / 2vr
(24-75)
(24-76)
(24-77)
(24-78)
Si se compara (24-74) con (24-70) se puede observar que |B| es relativamente mucho mayor que |E| en un buen conductor, en comparación con un aislante, mientras que la diferencia de fase es virtualmente siempre igual a tt/4, de acuerdo con (24-76). De manera similar, (24-77) muestra que la velocidad de onda es mucho menor en el caso de un buen conductor, mientras que (24-78) enuncia que la profundidad de penetración (distancia de anunciación) es del orden de una longitud de ondaer? elconductor, que a su vez es mucho menor que en un aislante.
Un ejemplo numérico puede ser de gran ayuda aquí. Un metal típico como el cobre tiene u~6X 107 (ohm-metro) 1 y e ~ e0. De (2444) se desprende, pues, que
e=—43z^l=9X10->^-10-1^
o \ 0 /
de modo que para que Q« 1 , se debe tener que v« 101 8 hertz. Esto significa que la aproximación es buena durante toda la escala ascendente de frecuencias hasta que se llega a la región ultravioleta,donde de todas maneras se encontrarán efectos mecánicocuánticos. En otras palabras,el casoQ« 1 realmente se ajusta a todos los metales ordinariosmuy bien.
Si se utiliza este mismo valor de a y se toma /i ^¡j.o en (24-78), se encuentra que la profundidad de penetración 6 se vuelve (6.5 X 10 -2)/v1 /z. A frecuencias bajas, esto resulta muy grande, de modo que prácticamente no existe atenuación. Pero para cuando se alcanza el límite inferior de las microondas (v ~ 3 X 109 hertz), se ve que 5 ~ 10 _6 metros, de modo que los campos son esencialmente diferentes de cero sólo dentro de esta pequeña distancia; éste es el origen del término “profundidad pelicular.”