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Ondas planas en una dirección arbitraria - Arturo Lara

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Ondas planas en una dirección arbitraria
Para simplificar solamente se han considerado las ondas planas que viajan en una dirección específica, que se tomó como la del eje z. Para usos ulteriores, resulta conveniente generalizar estos resultados para poder describir una onda viajera que se mueve en una dirección arbitraria con respecto a un sistema coordenado dado.
Ya antes se escribió i// = 4¿(z,t) de modo que i// era constante en todos los puntos de un plano perpendicular al eje z, como se ilustra en la figura 24-1. Lo que se desea aquí es que ahora 0 dependa solamente del tiempo t y la distancia, £ de un plano dado al origen, de modo que i// = 0( C,í). Esta situación se muestra en una vista de perfil en la figura
23- 6, donde la orientación del plano se describe por su normal ñ y donde r es el vector de posición de un punto arbitrario sobre el plano. De la figura se desprende que la distancia constante \ está dada por
f = ñ-r	(24-83)
de modo que ésta es la ecuación del plano. Así, para una onda plana de constante de propagación k se tendrá
ip =	= ^oe¿(k¿r-^	(24-84)
Si se toma siempre la normal ñ en la dirección de propagación de la onda, se puede tomar k como positiva y definir un vector de propagación k como
de manera que pueda escribirse
k = kñ = kk
\p = xpoe,(k'r~íet)
(24-85)
(24-86)
como la representación de una onda plana que viaja en la dirección k (con el correspondiente
Ondas planas en una dirección arbitraria
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vector unitario k = ñ). Si, por ejemplo, se refiere esta situación a un conjunto específico de ejes coordenados, se puede escribir
k = kxx + kyy + kzi	(24-87)
y, por lo tanto,
^ = ipoei^x + ^ + k^~^	(24-88)
Puesto que i// puede ser una componente de E o de B, la generalización de (24-29) será
E = Eoe'(kr~",) B = Boe'(k'r_'“í)	(24-89)
quedando ahora por ver que' pasa con las ecuaciones de Maxwell para esta manera más generalizada de escribir los campos.
Con la forma que se ha supuesto (24-88), las análogas de (24-30) son ahora
^ = ík^ 7fy=,k^	^ = ik^ =	t24-90)
lo que significa que el operador del es equivalente a la sustitución A = ik = ikk, con lo que las ecuaciones de Maxwell (24-1) a (244) se vuelven
k-E = 0 k-B = 0	(24-91)
k X E = <eB	k X B = — (qecc 4- zqo)E
que son exactamente las primeras tres de (24-32) más (24-58), con ki reemplazadas por k =£k, como era de esperarse. Por tanto, todavía es cierto que los campos están relacionados por
B=- kXE	(24-92)
donde k y co se conectan por medio de la relación de dispersión (24-37), de manera que todos los resultados de las secciones anteriores pueden aplicarse a este caso general reemplazando simplemente cada 1 por k y cada kz por k • r.
Más tarde será de utilidad contar con una relación explícita entre H y E, misma que puede derivarse a partir de (24-92) puesto que H = B/q, obteniéndose
H=— kXE=fie;ükXE
qw qw
(24-93)
por medio de (24-60). En el muy importante caso especial de un medio no conductor, se puede expresar |Zr|/<o = 1/y = >/ qe, según (24-1 7) y (24-12), de modo que se tiene tam- bie'n que
qv
€ \’/2-
-| kXE=
q/
kXE
Z
(24-94)
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Ondas planas
donde
z=/My/2=/5^y/2/m1/2
(24-95)
recibe el nombre de impedancia de onda. La cantidad Zo — (Mo^o)1^2 ~Moc - 377 ohms es conocida como la impedancia del espacio libre.

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