18 Teorema de Helmholtz - Arturo Lara

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1- 18 Teorema de Helmholtz
No se demostrará aquí este teorema, sino que simplemente se enunciará como un auxiliar para comprender la motivación de muchos de los procedimientos que se utilizarán más adelante. De hecho quedará demostrado más adelante, pero parte por parte.
El teorema trata sobre la cuestión de qué información se requiere para calcular un campo vectorial. Básicamente, la respuesta es que si se conocen la divergencia y el rotacional del campo vectorial en todos los puntos de una región finita, entonces el campo vectorial puede ser encontrado en forma única. Considérese un campo vectorial F = F (x,y, z) = F (r) y supóngase que las funciones V*F = b (r) y V X F = c (r) están dadas para todos los puntos de un volumen finito V; es decir, que son funciones conocidas de la posición. Entonces, si se definen las siguientes dos funciones,
(1-106)
(1-107)
el teorema indica que se puede encontrar F a partir de
F-F(r)= - V0+VX&
(1-108)
Algunas relaciones vectoriales
53
En estas expresiones, |r — r'| es la magnitud del vector de posición relativa dado por (1-12) y que se muestra en la figura 1-12.
Dado que F puede encontrarse a partir de ellas, su divergencia y su rotacional a menudo reciben el nombre de fuentes del campo. El punto r para el que se evalúa F recibe el nombre de punto de campo, mientras que el punto r en el que se evalúan las fuentes para propósitos de integración, recibe el nombre de punto fuente; dr es entonces un elemento de volumen en la posición del punto fuente. De manera similar, las derivadas en (1-108) involucran a las componentes del punto de campo r.
Si hay fuentes al infinito, es decir, que no todas ellas estén restringidas aun volumen finito, este teorema no es absolutamente correcto debido a que se deben también incluir ciertas integrales de superficie que involucran a F. Tales situaciones serán manejadas por métodos especiales a medida que surjan en el texto.
Mucho del contenido del electromagnetismo moderno tiene que ver con diversos campos vectoriales eléctricos y magnéticos. En consecuencia, mucho del esfuerzo debe concentrarse en encontrar las expresiones para sus divergencias y sus rotacionales a partir de resultados experimentales fundamentales; este teorema demuestra por qué es importante conocerlas. Cuando se conoce el conjunto completo de estas ecuaciones fuentes, se les da el nombre de ecuaciones de Maxwell y, de hecho, constituyen la descripción fundamental del campo electromagnético.
1-19 Algunas relaciones vectoriales
A continuación se enlistan algunos resultados generales que son de gran utilidad para evaluar y simplificar muchas de las expresiones que se encuentran al usar vectores; ya se ha visto algún ejemplo en (1-29) y (1-30). El primer conjunto de estas expresiones puede comprobarse en forma directa, pero algunas veces resulta tedioso; tal comprobación es más fácil de realizar en coordenadas rectangulares, dado que los vectores unitarios involucrados son constantes. Para completar, nótese que V2 A en (1-122) solamente puede resolverse, como se hizo con (1 -47), en caso de componenetes rectangulares, para otros sistemas coordenados, (1-122) debe tomarse como la definición de V2 A y evaluarse a partir del resto de la identidad
	(AXB)-(CXD) = (A-C)(B-D)-(A-D)(B-C)
	(1-109)
	¿Z z . du . . dA -j- ( wA) = —r A+u —r~ do ' do	do
	(1-110)
	^-(A-B)=^-B+A--^
¿Zo	do	do
	(MU)
	4(AXB)=-^XB+AX^
do	do	do
	(1-H2)
	V(i/ + ü) = Vw +Vv
	(1-113)
	V(íw) = wVr + rVw
	(1-H4)
	V(A-B) = BX(VXA) + AX(VXB) + (B-V)A + (A-V)B
	(1-H5)
	V-(A + B) = V• A+ V B
	(1-116)
	V -(mA) = A-(Ví/)4- m(V - A)
	(1-H7)
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Vectores
	V-(AXB) = B-(V XA) —A-(VxB)
VX(A + B) = VXA+VXB
V X (wA) = (Vu) X A-F w(V X A)
Vx(AXB) = (V-B)A —(V • A)B + (B-V)A —(A-V)B
VX(VXA) = V(V-A)-V2A
	(1-118)
(1-H9)
(1-120)
(1-121)
(1-122)
donde
(A- V)B = x^x-^- + Ay^ + AZ-^ j
/	dBv dB
+ y A -x—F A -x—FA -z— A dx y dy z dz
J dB,	t dB	t dBz
+ z| A -x	F A -x	F A —x—
\	dx	- dy dz
(1-123)
Si se toma a A como constante, aunque arbitrario, para efecto de (1-117) y (1-120), y a B como constante para efecto de (1-118), y además se utilizan (1-59) y (1-67), se obtienen tres teoremas de integración muy interesantes y a veces de gran utilidad:
V udr
(M24)
(1-125)
(1-126)
Otra manera de interpretar el significado del gradiente y del rotacional resulta de (1-124) y (1-125), si se considera un volumen pequeño, AF, y se procede como se hizo para obtener (1-66); se encontrará que
Vz/ = lim --^(f)uda
(1-127)
VxA= lim -r^y(£daXA	(1-128)
a v .0 A F js
Por último, si se integra (1-117) sobre un volumen y se usa (1-59), se tiene
(1-129)
Conside'rese el caso particular en que u - Bx ; aquí (1-129) queda como
Funciones de coordenadas relativas
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(f)Bx(A-da) = f [A-VBX + Bx(y • A)~\dr	(1-130)
Dado que existen expresiones similares para las otras dos componentes de B, se puede pre ver que (1-130) conducirá a
<^B(A-Ja) = J [(A-V)B + B(V• A)]<h
1-20 Funciones de coordenadas relativas
A medida que se avanza en ei estudio de este texto, constantemente se encuentran funciones que dependen exclusivamente de las diferencias entre coordenadas, es decir, que son funciones exclusivamente de las combinaciones x — x’, y — y' y z — z . De acuerdo con (1-13), se puede ver que estas combinaciones son simplemente las componentes del vector de posición relativa, R, de ahí el nombre de “coordenadas relativas” parax — x’, etc. Las funciones de este tipo tienen propiedades que permiten simplificar muchas de las expresiones que aparecerán posteriormente, por lo que es muy conveniente considerarlas en este punto.
Sea f una función de este tipo;/podría ser un escalar o la componente de un vector. Dado que f es función únicamente de las coordenadas relativas, se puede expresar como /(R) = f (x — x', y —y', z ~z') = f(X, Y, Z), donde X =x ~xr, Y -y —y', Z =z ~z. Usando la regla de la cadena de la derivación, se encuentra que
df = df dX _ df dx dX dx dx	y
9/ _ df dX _	9/
dx' dX dx' dX
de manera que
3/(R) _ 3/(R)
dx dx'
(1-132)
Existen expresiones similares para las derivadas en y y en z. A partir de (1-14) se puede
definir un operador del, en función de las coordenadas primas, tal como
. 9	.9	.9
V =x-3~— +y-~-r +Z75-7
dx	J dy dz
(1-133)
Si ahora se calcula el gradiente de/según (1-37) y se usan (1-132) y (1-133), se obtiene
V/(R)=-V'/(R)
(M34)
lo que demuestra que cuando se manejan funciones de coordenadas relativas, los operadores V y pueden intercambiarse siempre y cuando el signo también se cambie.
Si el vector A es función solamente de las coordenadas relativas, A (R), y en esta manera Ax (R), Av (R) y Az (R), entonces se pueden aplicar (1-32) y sus análogas a (1-42) y (1-43) para obtener resultados similares a (1-134):
· • A(R)= — V'-A(R)	(1-135)
· X A(R) = - V' X A(R)	(1-136)
56
Vectores
El operador laplaciano que se definió en (1-45) no cambia:
V2/(R) = V'2/(R)
(1-137)
Ejemplo
La magnitud del vector de posición relativa, R, dada por (1-14), es un importante ejemplo del tipo de función que se está estudiando. Por derivación directa de (1-14) se encuentra que
3/? = .v -	dR
íl.x R	dx'
(1-138)
con expresiones similares para las derivadas en y y en z. Si se combinan estos resultados con (1-41), (1-133) y (1-13), se tiene
R
V'/?- =R
A
(1-139)
donde k es el vector unitario en la dirección del vector de posición relativa. Se encontrarán
	resultados similares para funciones de R:
	
	dg(R) _ dg dR _ dg ¿
dx	dR dx dR x
	(1-140)
	de manera que
	
	
	
	Vg(X)=-Vg(R^^lfl
	(1-141)
	y, en particular,
	
	
	
	^(R")= - V'(Rn) = nRn~
	(1-142)
	Un caso especialmente importante de la ecuación (1-142) corresponden an =
	~1:
(1-143)
La componente x de (1-143) es
1LU=__3 ( 1	(*-O
a.v y r / a.x' \ r )
Al derivar otra vez se obtiene
a2 /j \ = _ _i_ 3(.x--.x')2 a.v2\K/	r>
(1-144)
(1-145)
debido a (1-138). Se pueden encontrar expresiones similares para las segundas derivadas en y y en z, si se suman esas expresiones a (1-145), y si se usan (1-14) y (1-45), se obtiene
2)
R /
3R
R5
de manera que, recordando (1-137),
Funciones de coordenadas relativas
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V2|
(A^O)(1-146)
(1-146) se le añade el último término entre paréntesis como recordatorio de que todos los cálculos efectuados a partir de (1-143) se realizan con la suposición implícita de que R ¥= 0, de manera que se están manejando cantidades finitas. Al recordar que V2 = VV, se puede observar a partir de (1-143) que (1-146) también puede escribirse como
V-
R
R3
V'-
(R^O)
(R y 0)
(1-147)
(1-148)
Encontrar el vector unitario normal a cada punto de la superficie de estas elipsoides.
1-10 Comprobar (1-48) y (1-49) por cálculo directo.
1-11 Resolver el ejemplo de la sección 1-11 integrando sobre y en lugar dex, y de esta manera demostrar que se obtiene el mismo resultado.
1-12 Encontrar la integral de superficie de r sobre la superficie de una esfera de radio a y centro en el origen. Encontrar también la integral de volumen de Vry comparar resultados. 1-13 Dado el campo vectorial A = xyx+ yzy 4- zxi, evaluar el flujo de A a través de la superficie de un paralelepípedo rectangular de lados a, b, c con el origen de uno de los vértices y las aristas a lo largo de las direcciones positivas de los ejes rectangulares, tal como se muestra en la figura 1-41. Evaluar f V • Adr sobre el volumen de este mismo paralelepípedo y comparar resultados.