Definición y propiedades del potencial vectorial - Arturo Lara (1)

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15- Definición y propiedades del potencial vectorial
Al comparar (16-3) con el teorema vectorial general (1-49), que establecen que la divergencia del rotacional es siempre igual a cero, resulta lógico sospechar que debe ser posible escribir
B(r) = VxA(r)	(16-7)
Al campo vectorial A(r) que se introduce así se le da el nombre de potencial vectorial. Más adelante se podrá apreciar que desde muchos puntos de vista es una especie de análogo del potencial escalar 0. De (16-7) se puede deducir que la unidad del A es 1 weber/metro = 1 vol t-segun do/ me tro.
Para que (16-7) tenga alguna utilidad, debe ser posible encontrar una manera explícita para calcular A en función de una determinada distribución de corrientes fuente. Esto se logra demostrando directamente que la ecuación que define a B puede, de hecho, expresarse de esta manera. Si se usan (1-143) y (1-120), se tiene que
R2	\ R /	\ R ) R	\R)X
dado que V X ds = 0 como antes. Sustituyendo en (14-2) se obtiene
al utilizar el hecho de que V opera únicamente sobre las componentes de r. Se puede observar que (16-9) sí tiene la forma de (16-7) y que, por comparación, se puede definir A para esta corriente filamental como
Si existen más de una corriente filamental fuente, se puede aplicar (16-8) a cada uno de los términos de (14-4) para que la resultante de A quede dada por
A(r)=S^^	06-H)
donde Rz = r — rz. De esta manera se ha logrado demostrar que B puede expresarse en la forma (16-7) y además, se ha encontrado un método para calcular A. Nótese que la distribución de cada elemento de corrientes Ijdsi a A se encuentra en ia dirección del propio elemento.
Si en lugar de corrientes filamentales se tuvieran corrientes distribuidas, se podrían utilizar los equivalentes (12-10) para adaptar (16-10); así se encuentra que los potenciales vectoriales producidos por corrientes volumétricas y superficiales están dados, respectivamente, por
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Potencial vectorial
J(r')¿Zr'
R
K(r')da'
R
(16-12)
(16-13)
mientras que el producido por una sola carga puntual en movimiento se obtiene al combinar (14- 29) con el integrando de (16-10) para tener
(16-14)
[Como en la sección 14-5, se usará (16-14) únicamente para el caso en que |v|« c.]
La idea general detrás de todo esto es la de usar las expresiones logradas arriba para encontrar Ay después encontrar B por diferenciación, de acuerdo con (16-7), de manera que el procedimiento sería, en este aspecto, análogo al que se utilizó en electrostática.
Resulta de gran interés encontrar la divergencia de A. Al realizar el producto punto de V con (16-10), se obtiene
y, al utilizar (1-117), (1-143) y (1-16), se encuentra que
v(^)=ds'- v(^)+-£<v-rfs')= - v'(^)-rfs'	(16'16)
ya que V • ds = 0 por la razón conocida. Si se sustituye (16-16) en (16-15) y se utiliza después (1-67) se obtiene
Pero de acuerdo con (148) el integrando es siempre igual a cero y, por lo tanto,
V-A = 0
(16-17)
Aunque (16-17) se obtuvo para una sola corriente filamental, se puede observar que sigue válida para más de una corriente fuente, o sea, cuando A está dada por (16-11).
A pesar de que ya se cuenta con la forma integral (16-12) para calcular A a partir de una distribución de corriente conocida, resulta útil obtener Ja ecuación diferencial que A debe satisfacer en caso de que la información esté dada en otra forma, como ocurrió tan a menudo con (¡) en el capítulo 11. Al obtener el rotacional de ambos miembros de (16-7) y utilizar (1-122), (16-17) y (15-12), se obtiene
VxB = Vx(VxA) = V(V-A)-V2A = — V2A = /x0J
de manera que
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V2A= — M0J	(16-18)
i lo que en coordenadas rectangulares viene a ser
(16-19)
Si se compara esto con (11-1) se puede observar que cada una de las componentes rectangulares de A satisface la ecuación de Poisson.
Si en este momento se cambia el punto de vista, se puede considerar que (16-7) y (16-17) son dos ecuaciones diferenciales fuente para A, en el sentido del teorema de Helmholtz de la sección 1-18. En este caso se pueden encontrar de inmediato las condiciones de frontera que las componentes de A deben satisfacer en una superficie de discontinuidad de propiedades. De (16-17) y (9-6) se encuentra que
ñ(A2-A,)=A2„-J,„=0	(16-20)
de modo que las componentes normales son continuas. Si ahora se sustituye (16-7) en (9-13), se obtiene
ñX(A2-AI) = lim(7?B) = 0	(16-21)
h-*0
ya que, sea cual fuere el comportamiento de B en la capa de transición, existe la certeza de que B debe permanecer finita a medida que el grosor de la capa de transición se reduce a cero, por lo que TzB-^-O a medida que Zz->0. De esta manera se concluye que las componentes tangenciales de A son también continuas. Pero cuando todas las componentes de un vector son continuas el vector mismo resulta continuo a través de esa superficie, por lo que se puede concluir que
A2=A,	(16-22)
en perfecta analogía con la continuidad del potencial escalar 0 expresada por (9-29).
El flujo magnético, <b, puede expresarse también en función del potencial vectorial. Si se sustituye (16-7) en la definición (16-6) y se utiliza el teorema de Stokes (1-67), se encuentra que
0= J (VxA)-¿a = (^)A-¿s	(16-23)
lo que demuestra que el flujo puede escribirse como la integral de línea de A con respecto a una curva limitante de la superficie para la que se desea obtener $. En algunas ocasiones (16-23) viene a ser una alternativa para calcular A cuando es fácil conocer <p a partir de alguna solución previa y cuando el problema tiene la simetría suficiente como para encontrar una trayectoria C conveniente.
Todas las cantidades que en la física reciben el nombre de “potenciales” implican por lo general una cierta ambigüedad relacionada con su valor absoluto, pues por lo común se les introduce como funciones a partir de las cuales se puedan calcular otras funciones de interés por medio de la diferenciación. Esto se vio en el caso del potencial escalar discutido en relación con (5-10), siendo ése indeterminado hasta una constante escalar aditiva. En el caso del potencial vectorial existe una situación similar, pero más complicada. Si se
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Potencial vectorial
revisa el argumento que se utilizó para pasar de (16-9) a (16-10) por medio de (16-7), y si se recuerda el resultado vectorial general (1-48) en el sentido de que el rotacional del gradiente de un escalar es siempre igual a cero, se observará que se puede añadir el gradiente de un escalar arbitrario a (16-10) y aún así obtener el mismo resultado. Para hacer esto más explícito, supóngase que A es un potencial vectorial “adecuado”, es decir, que da el valor correcto de B cuando se le usa en B= V X A. Supóngase ahora que Af es otra función dada por
At(r) = A(r) + Vx(r)	(16-24)
donde x(r) es un campo escalar, pero por lo demás es arbitrario. La inducción Bf que corresponde a Af se obtiene de (16-7) y (148) y es
B’ = VxAf= VXA + Vx?x = VXA = B	(16-25)
De esta manera se ve que ambas inducciones son idénticas. Sin embargo, la propiedad V-A = 0 fue consecuencia directa de la definición original (16-10), y condujo a la muy conveniente condición de continuidad (16-22) y a la ecuación diferencial simple que se obtuvo en (16-18). En consecuencia, resulta razonable que cualquier potencial vectorial que se desee utilizar deberá satisfacer esta misma condición de modo que, además de requerir que Af dé el valor correcto de B,debe requerirse también que Af satisfaga (16-17):
V-A+ = 0	(16-26)
Es obvio que esto implica ciertas restricciones en la elección de x- Se puede observar cuáles serán estas rectricciones si se sustituye (16-24) en (16-26) y se utilizan (16-17) y (1-45): V • At=0 = V • A +V • VX=V2X, y, por lo tanto.
V2X = 0	(16-27)
En otras palabras, no se desea utilizar simplemente cualquier función escalar en (16-24) sino que se requiere además que x sea una solución a la ecuación de Laplace (11-3). [La expresión (16-24) es un ejemplo de lo que se conoce como una transformación de norma, y se estudiará en mayor detalle en el capítulo 22 una vez que se haya completado el desarrollo de la teoría general. El requisito(16-26) y, por tanto (16-27), conducen a la llamada norma de Coulomb.]
El potencial vectorial no resulta tan útil en la magnetostática como se podría esperar por analogía con el potencial escalar en la electrostática. Uno de los problemas es que, aún en muchos casos aparentemente sencillos, no es posible expresar A en una forma cerrada o por lo menos en alguna de las formas que se han visto. Es en el tratamiento de los problemas que dependen del tiempo donde el potencial vectorial se vuelve útil. Sin embargo, se considerarán aquí algunos problemas específicos para ilustrar las propiedades generales que se acaban de tratar.