Analisis de sistemas de potencia Resumen 22 - Arturo Lara

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3.2 GENERACIÓN TRIFÁSICA 85
' N = velocidad del rotor en revoluciones por minuto (rpm)
fm = 7V/6O, frecuencia mecánica en revoluciones por segundo (rps).
La ecuación (3.1) establece que una máquina de dos polos y 60 Hz opera a 3 600 rpm, mientras una de cuatro polos lo hace a 1 800 rpm. Por lo general, los turbogeneradores de vapor que queman combustibles fósiles son máquinas de dos polos, mientras las unidades hidrogeneradoras son máquinas más lentas con muchos pares de polos.
Debido a que un ciclo de voltaje (360° de la onda de voltaje) se genera cada vez que un par de polos pasa una bobina, se debe distinguir entre los grados eléctricos usados para expresar el voltaje y la corriente, y los grados mecánicos usados para expresar la posición del rotor. En una máquina de dos polos, estos grados son iguales. Como puede observarse al multiplicar ambos lados de la ecuación (3.1) por 2tt, para cualquier máquina el número de grados eléctricos o radianes es igual a P/2 veces el número de grados mecánicos o radianes. Por lo tanto, en una máquina de cuatro polos, se producen dos ciclos o 720 grados eléctricos por revolución de 360 grados mecánicos.
En este capítulo, a menos que se establezca algo diferente, todas las mediciones angulares se expresan en grados eléctricos y el eje directo siempre adelanta al de cuadratura en 90 grados eléctricos en la dirección de rotación contraria a las manecillas del reloj, sin importar el número de polos o el tipo de construcción del rotor.
GENERACIÓN TRIFÁSICA
Los devanados de campo y armadura de la máquina sincrónica descritos en la sección 3.1 se distribuyen en ranuras alrededor de la periferia del entrehierro. La sección A.l del apéndice muestra que esos devanados distribuidos se pueden reemplazar a lo largo de sus ejes por bobinas concentradas con inductancias propias y mutuas apropiadas. La figura 3.4 muestra tres bobinas —a, b y c— que representan los tres devanados de la armadura en el estator de una máquina de rotor cilindrico y una bobina concentrada/ la cual representa el devanado de campo distribuido en el rotor. Las tres bobinas estacionarias de la armadura son idénticas y cada una tiene una de sus dos terminales conectada al punto común o. Las otras tres terminales están señaladas como a, b y c. El eje de la bobina a se elige a 0d = 0o, y en sentido contrario a las manecillas del reloj; alrededor del entrehierro, están los ejes de la bobina b a 0d = 120° y de la bobina c a 0d= 240°. En la sección A.l del Apéndice se muestra, para una máquina de rotor cilindrico, que:
. i
· Cada una de las bobinas concentradas a, byc tiene uña inductancia propia Ls, que es igual a las inductancias propias Laa, Lbb y Lcc de los devanados distribuidos de la armadura que representan las bobinas, así que
Ls = Laa=Lbb = Lcc	~	(3.2)
· Las inductancias mutuas Lab, Lbc y Lca entre cada par adyacente de bobinas concentradas son constantes negativas designadas por -M„ así que
-Ms = Lab = Lbc = Lca	(3.3)
86 CAPÍTULO 3 LA MÁQUINA SINCRÓNICA
0d-O
Eje a
FIGURA 3.4
Generador trifásico idealizado que muestra las bobinas idénticas de armadura a, b y c, y la bobina de campo f. El eje directo adelanta al de cua- dratura en 90° en sentido contrario al de las manecillas del reloj.
• La inductancia mutua entre la bobina de campo f y cada una de las bobinas del estator varía con la posición del rotor 0d en la forma de una función coseno con valor máximo M* de forma que
Laf = Mf COS 0d
Lbf = Mfcos(0d - 120°)	(3.4
¿^ = ^008(^- 240°)
La bobina de campo tiene una inductancia propia constante Lff. Esto se debe a que en l máquina de rotor cilindrico (y también en la de polos salientes), el devanado de campo produce sobre el eje d un flujo a través de una trayectoria magnética similar en el estáte* para todas las posiciones del rotor (sin considerar el pequeño efecto de las ranuras de la armadura).
Los enlaces de flujo con cada una de las bobinas a9 b9 c y/se deben a las corriente propias y a las corrientes en las otras tres bobinas. Por lo tanto, las ecuaciones de los enlace de flujo para las cuatro bobinas se escriben como a continuación se muestra:
3.2 GENERACIÓN TRIFÁSICA 87
Armadura:	*
=	Laaia	+ Labib + Lacic + Lafif = Lsia	- Ms(ib + ic) + Lafif
Xb =	LbaÍa	+ ^bb^b + ^bdc + Lbfif ~ ^Jb	~ Ms(Ja + O + Lbfif	(3.5)
'	Lca^a	+ ^cb^b + ^cdc + ^cf^f	Ms(Ía + ^b) +	Lcf¡f
Campo:
= ^af^a + Lbfib + Lcfic + Lffif	(3-6)
Si ia9 ib e ic son un conjunto de corrientes trifásicas balanceadas, entonces
ia + + zc = 0-	(3.7)
Estableciendo que ia = -(ib + zc), ib = ~(ia + zc) e ic = ~(ia + z¿) en la ecuación (3.5), se obtiene
Aa = (Ls + Ms)Ía + Lafíf
Xb = (Ls + Ms)ib + Lbjij	(3.8)
Ac = (Ls + Ms)ic + Lcfif
Por el momento, se pondrá atención a las condiciones de estado estable. Por lo tanto,, se supondrá que la corriente if es cd, con un valor constante de If, y que el campo rota a velocidad angular constante a>, de forma que para la máquina de dos polos
d6d
— = o> y ed=<»t+ed0	(3.9)
at
La posición inicial del devanado de campo está dada por el ángulo 0dQ, que se puede seleccionar arbitrariamente en t = 0. Las ecuaciones (3.4) dan las expresiones para Laf. Lbfy LCfen términos de 0d. Se sustituye (a>t + 0dQ) por 0d y se usan los resultados junto con if = 7^ en la ecuación (3.8), y se obtiene
Aa = (Ls + Ms)ia +MfIfcos((üt + 6d0)
Xb = {Ls + Ms)ib + MfIfcos^t + 6d0-12Q°}	(3.10)
Ac = (Ls + Ms)ic + MfIf cos(cot + 6d0 - 240°)
La primera de estas ecuaciones muestra que Xa tiene dos componentes de enlaces de flujo, una debida a la corriente de campo If y la otra debida a la corriente de armadura ia que fluye hacia afuera de la máquina por la acción generadora. Si la bobina a tiene una resistencia R,
*
88 CAPÍTULO 3 LA MÁQUINA SINCRÓNICA
la caída de voltaje a través de la bobina de la terminal a a la o en la figura 3.4, está dada por
' va = -Ria-^± = -Ria-(Ls + Ms)^~ + (üMfIfsen(M+ 6d0)	(3.11)
dt	dt J J
Se aplican los signos negativos como se analizó en la sección 2.2 porque se considera que la máquina es un generador. El último término de la ecuación (3.11) representa a una fem interna, que será llamada ea>. Esta fem puede escribirse como
ea' = 41 \Et\ sen(atf + 0d 0)	(3.12)
donde la magnitud rms de |£,.|, que es proporcional a la corriente de campo, se define por
l£,-l =
(3.13)
La acción de la corriente de campo origina que aparezca ea> a través de las terminales de la fase a cuando ia es cero. Por esto se le conoce con varios nombres como voltaje sin carga, voltaje de circuito abierto, voltaje interno sincrónico o fem generada de la fase a. El ángulo indica la posición del devanado de campo (y del eje d) relativa a la fase a en t = 0. De aquí que b =0^- 90° indique la posición del eje q que está 90° atrás del eje d en la figura 3.4. Se toma por conveniencia (como se verá más adelante), = 8 + 90° y entonces, se tiene
0d = í^t + @do) = C^t + 5 + 90°)	(3.14)
donde 0d, coy 8 tienen unidades angulares consistentes. Al sustituir la ecuación (3.14) en la (3.12) y observar que sen(a + 90°) = cos a, se obtiene para el voltaje de circuito abierto de la fase a
ea> = |Eí|cos(tüí 4- 8)	(3.15)
De la ecuación (3.11), el voltaje en terminales va está dado por
va = -Ria - (Ls + Ms)^ + 1/2 |E,|cos(<wí + á)	(3.16)''
Esta ecuación corresponde al circuito deja fase a en la figura 3.5 en el que la fuente es el voltaje sin carga ea> y la carga externa está balanceada en las tres fases.
Los enlaces de flujo Xb y Xc dados por la ecuación (3.10) pueden tratarse de la misma manera que se hizo con Xa. Como los devanados de la armadura son idénticos, se pueden encontrar resultados similares a los de las ecuaciones (3.15) y (3.16), para los voltajes sin carga eb> y e¿ que atrasan a e¿ en 120° y 240°, respectivamente, en la figura 3.5. Por tanto, ey, eb' y qc> constituyen un conjunto de fems trifásicas balanceadas que da lugar a las corrientes de línea trifásicas balanceadas, dadas por