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Analisis de sistemas de potencia Resumen 82 - ArturoSelect

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9.3 EL MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON 325
Al invertir esta matriz simple de 2 x 2, se determinan las correcciones iniciales
	
	
	4
	i-i 0
	— 0.6
	
	'-0.150'
	Ax<°>
	
	0
	4
	-0.3
	
	-0.075
que da los primeros valores de la iteración para x} y x2 en la forma:
X(D = x(0) + Ax(0) = 0 0 + (-0.150) = -0.150rad
x£> = x(20) + Ax(20) = 1.0 + (-0.075) = 0.925
Las correcciones exceden la tolerancia especificada, así que se continúa el proceso. Segunda iteración. Los nuevos errores son
	
	M1*
	=
	-0.6 - 4(0.925)sen(-0.15)
-0.3 - 4(0.925)2 4- 4(0.925)cos(-0.15)
	=
	' -0.047079'
-0.064047
	■
	y al actualizar la jacobiana, se calculan las nuevas correcciones
	
	
	
	
	’M1)'
	
	3.658453 - 0.597753'
	-1
	— 0.047079
	
	’-0.016335'
	* "l
	
	
	
	-0.552921	3.444916
	
	-0.064047
	
	-0.021214
	-
Estas correcciones también exceden el índice de precisión, así que se continúa iterando con los nuevos valores corregidos
..	á
x<2) = -0.150 + (-0.016335) = -0.166335 rad
x<2) -= 0.925 + ( -0.021214) = 0.903786
Al continuar con la tercera iteración, se encuentra que las correcciones Ax^ y Ax23) son (cada una) más pequeñas en magnitud que la tolerancia estipulada de 10-5. Así, se calcula la solución
x(4) = -0.166876 rad; x<4) = 0.903057
? Los errores resultantes son insignificantes, como se puede verificar fácilmente.
En este ejemplo en realidad se ha resuelto el primer problema de flujos de potencia por el método de Newton-Raphson. Esto es debido a que las dos ecuaciones no lineales del ejemplo, son las del flujo de potencia para el sistema simple mostrado en la figura 9.3,
gl(x1,x2,u) =P2(xl,x2,u) - (Pg2-Pd2)
= 4IKJ |K>|seii62 4-0.6 = 0	(9.36)
g2(xt,x2,u) = Q2(xl,x2,u) - (Qg2 - Qd2)
= 4|jz2|2 - 4IKJ |r2|cos32 4- 0.3 = 0	(9.37)
326 CAPÍTULO 9 SOLUCIONES DE FLUJOS DE POTENCIA
FIGURA 9.3
Sistema que corresponde a las ecuaciones de flujos de potencia del ejemplo 9.4.
donde Xj representa el ángulo 82 y x2 representa la magnitud de voltaje | K21 en la barra (2). F control u denota la magnitud de voltaje \V\ | de la barra de compensación y al cambiar s valor del especificado de 1.0 por unidad, se puede controlar la solución del problema. E este libro no se investigará esta característica de control, pero en su lugar, se hará énfasis e la aplicación del procedimiento de Newton-Raphson en los estudios de flujos de potencia.
9 A LA SOLUCIÓN DE FLUJOS DE POTENCIA DE NEWTON-RAPHSON
Se expresarán los voltajes de barra y las admitancias de línea en forma polar para aplicar e’ método de Newton-Raphson a la solución de ecuaciones de flujo de potencia. Cuando en la ecuaciones (9.6) y (9.7) n se hace igual a i y los términos correspondientes se separan de 1 sumatorias, se obtiene
. N	l	- *
p¡ =	+ E l^r^lcosí^ + 8n - 5,)	(9.*:
n = l
n^i
2i = -\y>\2B„ - £ \Ky„Y,„| sen (6in + 8„- 3,)	(9.?®
n = l
- n#/ -
Estas ecuaciones se pueden derivar fácilmente con respecto a los ángulos y a las magnitude de voltaje. Los términos que incluyen G/z y 2?,, surgen de la definición de Yy en la ecuació (9.1) y del hecho de que el ángulo (8n - 8¡) sea cero cuando n = i.
Por ahora, se pospondrá la consideración de las barras de voltaje controlado y se cor siderará que todas las barras (excepto la de compensación) son de carga con demandas conocidas Pdi y Qdi. La barra de compensación tiene valores especificados para 8j y \V} |, y par cada una de las otras barras de la red se tienen que calcular las dos variables de estado 5 ? \V¡ | en la solución de los flujos de potencia. Los valores conocidos de Pdí y Qdi corresponde al negativo de las constantes b mostradas en las ecuaciones (9.27) y (9.28), de la manera qu se hizo notar en el ejemplo 9.4. En cada una de las barras que no son de compensación, lo valores estimados de 8, y |Fi | corresponden a los estimados de x^ y x20) de la secciór anterior. Los errores que corresponden a la Ag de la ecuación (9.34) se obtienen de la ecuaciones (9.8) y (9.9) al escribir los errores de potencia para una barra típica de carga (7),
9.4 LA SOLUCIÓN DE FLUJOS DE POTENCIA DE NEWTON-RAPHSON 327
t
AP = p ' _ P
i 1 i, prog 1 i, cale
(9.40)
A<2,	Qit prog	Qi, cale
(9.41)
Por simplicidad, ahora se escribirán las ecuaciones de error para un sistema de cuatro barras
y será obvia la forma de extender estas ecuaciones para los sistemas con más de cuatro
barras.
Para la potencia real Pi9 se tiene
dP¿ dP¿
db2 2 dó3
AP,
dP¡ dP¡	dP¡
Aá2+—A53+—Aá4+—A|K2|
dpi
ap.
Los últimos tres términos se pueden multiplicar y dividir por sus respectivas magnitudes de
voltaje sin alterar sus valores, y de esta manera se obtiene
(9-42)
ap(.
dP¡	dP¡	dPl
ÁP¡ = — Aá2	+	— AS3	+	— A<54 +	| K|
‘ db2 2	db3 3	35	4	2
dS4
dP¡ A|K2|
<W |r2|
dPj aiki
+ 4 a|r4| IKl
(9-43)
, , dP¡ A|r3|
+ 1/3 a|r3| |r3|
Como se verá más adelante hay ciertas ventajas al poner la ecuación en esta forma. Una
ecuación similar para los errores se puede escribir para la potencia reactiva Qh
dQ¡ dQi ¿Q,	dQ, A|K|
dQ,
db4
a|K2| |k2|
dQ¡ A|r,|
+ IK3lww-
ITZI dQ‘ A|K4l
+	a|r4| |k4|
Cada barra del sistema que no es de compensación tiene dos ecuaciones parecidas a AP, y
A£>r Al juntar todas las ecuaciones de error en forma de una matriz-vector se llega a
(9.44)
dp2
~d8¡
dp2
dp2
dp2
|K«'w
J12
dP4
d82
ap^
984
ap4
|K2l¿w
dQ2
d82
9Q2
as4
dQ2
J21
J22
9Q4
d82
as4
dQ4
d\V^\
ap4
dQ2
dQ4
	
	S82
	
	ap2
	
	A54
	
	ap4
	
	A|K2|
Ik2|
	
	A£)2
	
	aik4i
|V4I
	
	A04
Correcciones
Errores
(9.45)
Jacobiana
328 CAPÍTULO 9 SOLUCIONES DE FLUJOS DÉ PCFTÉÑC1Á
No se pueden incluir los errores para la barra de compensación porque AT^ y están indefinidos cuando Px y Qx no se programan. También se omiten de las ecuaciones todos los términos en que intervienen Aá! y A| | porque ambas correcciones son cero en la barra de compensación.
La forma partida de la ecuación (9.45) hace énfasis en los cuatro tipos diferentes de derivadas parciales que están en la jacobiana J. Los elementos de J12 y J22 tienen multiplicadores de la magnitud de voltaje porque así resulta una jacobiana más simple y simétrica. Al seleccionar este formato se ha usado la siguiente identidad
dPi A|K| dP, A
l2^x^t=«x*1	(9-46)
Elemento de J12 Corrección
y las correcciones son A|^ |/|l^ | en lugar de A|J^|, como se muestra.
La solución de la ecuación (9.45) se encuentra por iteración de la siguiente manera:
· Estimar los valores 3/0) y |E¡|(0) para las variables de estado.
· Usar los estimados para calcular:
7^lc y Q(0¿ic de las ecuaciones (9.38) y (9.39),	:	'
los errores A7>(0) y AQ(0) de las ecuaciones (9.40) y (9.41) y los elementos de las derivadas parciales de la jacobiana J.
· Resolver la ecuación (9.45) para las correcciones iniciales A¿><0) y A| |(0)/| |(0).
· Sumar las correcciones encontradas a los estimados iniciales para obtener
SQ) =	+ A3<0)	(9.4"
/	A|K|(0)\	*
|P<I(1) = |^.|<0) + AlF¡|<0> = |P<I(O) 1 +	(9/
· Usar los nuevos valores 5*° y \Vt |(1) como los valores iniciales de la iteración 2 y continu’* el proceso.
En términos más generales, las ecuaciones actualizadas para los valores iniciales de Ik variables de estado son
5,<*+1> =	+ A5(U	(9.2
í AlKl^U
|l<|<*+1) =	+ A|^\(k) = |p;.H 1 +	' -	(9.f
|P<|' ’ ]
Para el sistema de cuatro barras, la submatriz Jn tiene la forma

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