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9.3 EL MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON 325 Al invertir esta matriz simple de 2 x 2, se determinan las correcciones iniciales 4 i-i 0 — 0.6 '-0.150' Ax<°> 0 4 -0.3 -0.075 que da los primeros valores de la iteración para x} y x2 en la forma: X(D = x(0) + Ax(0) = 0 0 + (-0.150) = -0.150rad x£> = x(20) + Ax(20) = 1.0 + (-0.075) = 0.925 Las correcciones exceden la tolerancia especificada, así que se continúa el proceso. Segunda iteración. Los nuevos errores son M1* = -0.6 - 4(0.925)sen(-0.15) -0.3 - 4(0.925)2 4- 4(0.925)cos(-0.15) = ' -0.047079' -0.064047 ■ y al actualizar la jacobiana, se calculan las nuevas correcciones ’M1)' 3.658453 - 0.597753' -1 — 0.047079 ’-0.016335' * "l -0.552921 3.444916 -0.064047 -0.021214 - Estas correcciones también exceden el índice de precisión, así que se continúa iterando con los nuevos valores corregidos .. á x<2) = -0.150 + (-0.016335) = -0.166335 rad x<2) -= 0.925 + ( -0.021214) = 0.903786 Al continuar con la tercera iteración, se encuentra que las correcciones Ax^ y Ax23) son (cada una) más pequeñas en magnitud que la tolerancia estipulada de 10-5. Así, se calcula la solución x(4) = -0.166876 rad; x<4) = 0.903057 ? Los errores resultantes son insignificantes, como se puede verificar fácilmente. En este ejemplo en realidad se ha resuelto el primer problema de flujos de potencia por el método de Newton-Raphson. Esto es debido a que las dos ecuaciones no lineales del ejemplo, son las del flujo de potencia para el sistema simple mostrado en la figura 9.3, gl(x1,x2,u) =P2(xl,x2,u) - (Pg2-Pd2) = 4IKJ |K>|seii62 4-0.6 = 0 (9.36) g2(xt,x2,u) = Q2(xl,x2,u) - (Qg2 - Qd2) = 4|jz2|2 - 4IKJ |r2|cos32 4- 0.3 = 0 (9.37) 326 CAPÍTULO 9 SOLUCIONES DE FLUJOS DE POTENCIA FIGURA 9.3 Sistema que corresponde a las ecuaciones de flujos de potencia del ejemplo 9.4. donde Xj representa el ángulo 82 y x2 representa la magnitud de voltaje | K21 en la barra (2). F control u denota la magnitud de voltaje \V\ | de la barra de compensación y al cambiar s valor del especificado de 1.0 por unidad, se puede controlar la solución del problema. E este libro no se investigará esta característica de control, pero en su lugar, se hará énfasis e la aplicación del procedimiento de Newton-Raphson en los estudios de flujos de potencia. 9 A LA SOLUCIÓN DE FLUJOS DE POTENCIA DE NEWTON-RAPHSON Se expresarán los voltajes de barra y las admitancias de línea en forma polar para aplicar e’ método de Newton-Raphson a la solución de ecuaciones de flujo de potencia. Cuando en la ecuaciones (9.6) y (9.7) n se hace igual a i y los términos correspondientes se separan de 1 sumatorias, se obtiene . N l - * p¡ = + E l^r^lcosí^ + 8n - 5,) (9.*: n = l n^i 2i = -\y>\2B„ - £ \Ky„Y,„| sen (6in + 8„- 3,) (9.?® n = l - n#/ - Estas ecuaciones se pueden derivar fácilmente con respecto a los ángulos y a las magnitude de voltaje. Los términos que incluyen G/z y 2?,, surgen de la definición de Yy en la ecuació (9.1) y del hecho de que el ángulo (8n - 8¡) sea cero cuando n = i. Por ahora, se pospondrá la consideración de las barras de voltaje controlado y se cor siderará que todas las barras (excepto la de compensación) son de carga con demandas conocidas Pdi y Qdi. La barra de compensación tiene valores especificados para 8j y \V} |, y par cada una de las otras barras de la red se tienen que calcular las dos variables de estado 5 ? \V¡ | en la solución de los flujos de potencia. Los valores conocidos de Pdí y Qdi corresponde al negativo de las constantes b mostradas en las ecuaciones (9.27) y (9.28), de la manera qu se hizo notar en el ejemplo 9.4. En cada una de las barras que no son de compensación, lo valores estimados de 8, y |Fi | corresponden a los estimados de x^ y x20) de la secciór anterior. Los errores que corresponden a la Ag de la ecuación (9.34) se obtienen de la ecuaciones (9.8) y (9.9) al escribir los errores de potencia para una barra típica de carga (7), 9.4 LA SOLUCIÓN DE FLUJOS DE POTENCIA DE NEWTON-RAPHSON 327 t AP = p ' _ P i 1 i, prog 1 i, cale (9.40) A<2, Qit prog Qi, cale (9.41) Por simplicidad, ahora se escribirán las ecuaciones de error para un sistema de cuatro barras y será obvia la forma de extender estas ecuaciones para los sistemas con más de cuatro barras. Para la potencia real Pi9 se tiene dP¿ dP¿ db2 2 dó3 AP, dP¡ dP¡ dP¡ Aá2+—A53+—Aá4+—A|K2| dpi ap. Los últimos tres términos se pueden multiplicar y dividir por sus respectivas magnitudes de voltaje sin alterar sus valores, y de esta manera se obtiene (9-42) ap(. dP¡ dP¡ dPl ÁP¡ = — Aá2 + — AS3 + — A<54 + | K| ‘ db2 2 db3 3 35 4 2 dS4 dP¡ A|K2| <W |r2| dPj aiki + 4 a|r4| IKl (9-43) , , dP¡ A|r3| + 1/3 a|r3| |r3| Como se verá más adelante hay ciertas ventajas al poner la ecuación en esta forma. Una ecuación similar para los errores se puede escribir para la potencia reactiva Qh dQ¡ dQi ¿Q, dQ, A|K| dQ, db4 a|K2| |k2| dQ¡ A|r,| + IK3lww- ITZI dQ‘ A|K4l + a|r4| |k4| Cada barra del sistema que no es de compensación tiene dos ecuaciones parecidas a AP, y A£>r Al juntar todas las ecuaciones de error en forma de una matriz-vector se llega a (9.44) dp2 ~d8¡ dp2 dp2 dp2 |K«'w J12 dP4 d82 ap^ 984 ap4 |K2l¿w dQ2 d82 9Q2 as4 dQ2 J21 J22 9Q4 d82 as4 dQ4 d\V^\ ap4 dQ2 dQ4 S82 ap2 A54 ap4 A|K2| Ik2| A£)2 aik4i |V4I A04 Correcciones Errores (9.45) Jacobiana 328 CAPÍTULO 9 SOLUCIONES DE FLUJOS DÉ PCFTÉÑC1Á No se pueden incluir los errores para la barra de compensación porque AT^ y están indefinidos cuando Px y Qx no se programan. También se omiten de las ecuaciones todos los términos en que intervienen Aá! y A| | porque ambas correcciones son cero en la barra de compensación. La forma partida de la ecuación (9.45) hace énfasis en los cuatro tipos diferentes de derivadas parciales que están en la jacobiana J. Los elementos de J12 y J22 tienen multiplicadores de la magnitud de voltaje porque así resulta una jacobiana más simple y simétrica. Al seleccionar este formato se ha usado la siguiente identidad dPi A|K| dP, A l2^x^t=«x*1 (9-46) Elemento de J12 Corrección y las correcciones son A|^ |/|l^ | en lugar de A|J^|, como se muestra. La solución de la ecuación (9.45) se encuentra por iteración de la siguiente manera: · Estimar los valores 3/0) y |E¡|(0) para las variables de estado. · Usar los estimados para calcular: 7^lc y Q(0¿ic de las ecuaciones (9.38) y (9.39), : ' los errores A7>(0) y AQ(0) de las ecuaciones (9.40) y (9.41) y los elementos de las derivadas parciales de la jacobiana J. · Resolver la ecuación (9.45) para las correcciones iniciales A¿><0) y A| |(0)/| |(0). · Sumar las correcciones encontradas a los estimados iniciales para obtener SQ) = + A3<0) (9.4" / A|K|(0)\ * |P<I(1) = |^.|<0) + AlF¡|<0> = |P<I(O) 1 + (9/ · Usar los nuevos valores 5*° y \Vt |(1) como los valores iniciales de la iteración 2 y continu’* el proceso. En términos más generales, las ecuaciones actualizadas para los valores iniciales de Ik variables de estado son 5,<*+1> = + A5(U (9.2 í AlKl^U |l<|<*+1) = + A|^\(k) = |p;.H 1 + ' - (9.f |P<|' ’ ] Para el sistema de cuatro barras, la submatriz Jn tiene la forma
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