Analisis de sistemas de potencia Resumen 1 - Arturo Lara

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CAPITULO
CONCEPTOS
BÁSICOS
Un ingeniero en sistemas de potencia está interesado en las condiciones normales y anormales del sistema eléctrico. Esto requiere que esté familiarizado con los circuitos de ca en estado estable y, en particular, con los circuitos trifásicos. Los propósitos de este capítulo son: revisar algunas de las ideas fundamentales de tales circuitos, establecer la notación que se empleará a lo largo del libro e introducir las expresiones por unidad para el voltaje, la corriente, la impedancia y la potencia. El análisis de los sistemas de potencia modernos se fundamenta en la representación nodal de redes que se logra a través de las matrices de admitancia e impedancia de barra.
1.1 INTRODUCCIÓN
Puede suponerse que la forma de onda del voltaje en las barras de un sistema de potencia es puramente sinusoidal y de frecuencia constante. La mayor parte del desarrollo teórico de este libro está relacionado con las representaciones fasoriales de voltajes y corrientes sinusoidales, y se usarán las letras mayúsculas Ve I(con los subíndices apropiados cuando sea necesario) para indicar esos fasores. Las líneas verticales que encierren a Ve I, esto es, |K| e |Z|, designan las magnitudes de los fasores. Las magnitudes de los números complejos, como la impedancia Zy la admitancia Y, también serán señaladas por líneas verticales. Por lo general, las letras minúsculas indican valores instantáneos. Cuando se especifica un voltaje generado (fuerza electromotriz, fem), se usa frecuentemente la letra E en lugar de V, para enfatizar el hecho de que se está considerando una fem en lugar de una diferencia de potencial entre dos puntos.
Si el voltaje y la corriente se expresan como funciones del tiempo en la forma
2 CAPÍTULO 1 CONCEPTOS BÁSICOS
v *■ 141.4 cos(<dí + 30°)
e	i = 7.07 eos ait	<J
j sus valores máximos son, obviamente, 7máx = 141.4 V, Zmáx = 7.07 A, respectivamente. Las -M líneas verticales no son necesarias cuando se usa el subíndice máx para indicar el valor máximo de Ve I. El término magnitud se refiere al valor cuadrático medio (o rtns, por sus siglas en inglés), que es igual al valor máximo dividido entre /2. Así, para las expresiones anteriores de v e i, se tiene
\V\ = 100 V y |Z| = 5 A
Éstos son los valores medidos por los voltímetros y amperímetros ordinarios. Otro nombre que se le da al valor rms es el de valor efectivo. La potencia promedio que se disipa en un resistor por el paso de una corriente |Z|, es |Z|2 R.
Para expresar estas cantidades como fasores, se emplea la identidad de Euler ejB = eos 0+j sen 0, lo que da
eos 0 = Re{E-'8} =Re{cos 0+ysen 0}	(1.1)
donde Re significa la parte real de. Ahora se puede escribir
v •= Re{v/2100eJ<“,+30°)} = Re{100ej3°°/2 eJ<"'}
i = Re{/25ey<“'+(,O)} = Re{5e;0°?2 eJa,t]
Si la comente es el fasor de referencia, se tiene
7 = 5ej0° = 5/0° = 5 + jOA
y el voltaje que adelanta el fasor de referencia por 30° es
V = 100£;30° = 100/30° = 86.6 + J50 V
Por supuesto, podría no haberse seleccionado como fasor de referencia el voltaje o la corriente cuyos valores instantáneos son v e i, respectivamente, en cuyo caso, las expresiones fasoriales tendrían otros ángulos.
Al especificar el voltaje en los diagramas de circuitos es conveniente poner marcas de polaridad usando los signos más y menos, e indicar así, la terminal que se supone positiva. Para señalar la dirección positiva del flujo de corriente, se coloca una flecha en el diagrama. Por lo general, resulta suficiente utilizar la notación de un subíndice en el circuito monofásico equivalente a un circuito trifásico; sin embargo, generalmente, la notación de doble subíndice es más sencilla de usar cuando se trabaja con las tres fases.
1.2 NOTACIÓN DE UN SUBÍNDICE 3
1.2 NOTACIÓN DE UN SUBÍNDICE
En la figura 1.1 se muestra un circuito de ca, con una fem representada por un círculo. La fem es Eg, y el voltaje entre los nodos a y o, se identifica como Vt. La corriente en el circuito es IL y el voltaje a través de ZL es VL. Sin embargo, para especificar en el diagrama a éstos como fasores de voltajes, se necesitan las marcas + y llamadas marcas de polaridad, además de una flecha para indicar la dirección de la corriente.
En un circuito de ca, la terminal marcada con + es positiva con respecto a la marcada - durante la mitad del ciclo de voltaje, y es negativa con respecto a la otra terminal durante el siguiente medio ciclo. Señalar las terminales permite establecer que el voltaje entre ellas es positivo en cualquier instante, cuando la terminal marcada con el signo más está realmente a un potencial mayor que el de la terminal señalada con menos. Por ejemplo, el voltaje instantáneo v, en la figura 1.1 es positivo cuando la terminal que se señala con el signo más está en verdad a un potencial mayor que el de la terminal marcada con el signo negativo. Para el siguiente medio ciclo, la terminal marcada con el signo positivo será realmente negativa, y vt será negativo. Algunos autores usan sólo una flecha, pero debe saberse si ésta apunta hacia la terminal marcada con el signo más o hacia la que tiene el signo menos, para estar de acuerdo con la convención descrita anteriormente.
La flecha de la corriente realiza una función similar. El subíndice, en este caso L, no es necesario a menos que estén presentes otras corrientes. Obviamente, la dirección real del flujo de corriente en un circuito de ca se invierte cada medio ciclo. La flecha apunta en la dirección de la corriente que se denomina como positiva. Cuando en realidad la corriente fluye en dirección opuesta a la de la flecha, la corriente es negativa. El fasor de corriente es
(1-2)
y
(13)
Debido a que se asignan letras a ciertos nodos del circuito, sus voltajes con respecto al
nodo de referencia pueden indicarse con un subíndice de la letra que identifica al nodo. En la
figura 1.1, el voltaje instantáneo va y el fasor de voltaje Va expresan el voltaje del nodo a con
, respecto al nodo de referencia o; va es positivo cuando a se encuentra a un mayor potencial
que o. Así,
n
=
»b =
FIGURA 1.1
Circuito de ca con una fem Eg y una impedancia de carga Z¿.
4 CAPÍTULO 1 CONCEPTOS BÁSICOS
1.3 NOTACIÓN DE DOBLE SUBÍNDICE
Puede evitarse el uso de marcas de polaridad para los voltajes, así como el de flechas de dirección para las corrientes, mediante la notación de doble subíndice. A su vez, los circuitos trifásicos pueden comprenderse mejor cuando se adopta un sistema de doble subíndice. La convención por seguir es bastante simple.
Para especificar una corriente, se asignan subíndices cuyo orden determina la dirección del flujo de corriente que se considera positivo. En la figura 1.1, la flecha que apunta de a a b define la dirección positiva para la corriente IL asociada a ella. La corriente instantánea iL es positiva cuando la corriente realmente está en la dirección que va de a a b. En la notación de doble subíndice, esta corriente se denotaría como iab, que es igual a -iba.
En la notación de doble subíndice, las letras de los subíndices en el voltaje indican los nodos del circuito entre los cuales éste se presenta. Se seguirá la convención que establece que el primer subíndice denota el voltaje de ese nodo con.respecto al del nodo identificado con el segundo subíndice. Esto significa que el voltaje instantáneo vab a través de ZA del circuito de la figura 1.1, es el voltaje del nodo a con respecto al del nodo b, y que vab es positivo durante la mitad del ciclo en el que a está a un potencial mayor que b. El fasor de voltaje correspondiente es Vab, el cual está relacionado con la corriente Iab que fluye del nodo a al b por medio de
^ab = Iab^A Y ^ab=TAVab	(1-4)
donde ZA es la impedancia compleja (también denominada Zaé), y YA = \/ZA es la admitancia compleja (llamada también Yab).
Se obtiene una corriente o voltaje que está 180° fuera de fase con el original al invertir el orden de los subíndices de la corriente o del voltaje, esto es,
vba = K^180° = Kfc/18Q° = -Vab
La relación entre la notación de un subíndice sencillo y de uno doble para el circuito de la figura1.1 se resume en la forma:
V, = Va = Vao VL = Vb = Vbo IL = Iab ‘
Cuando se escriben las leyes de voltaje de Kirchhoff, el orden de los subíndices es el mismo que tiene el trazo de una trayectoria cerrada a lo largo del circuito. Para la figura 1.1, se tiene
voa + vab + ybn = v	d-5)
Los nodos ny o son el mismo nodo en este circuito y se ha introducido n para identificar más precisamente a la trayectoria. Al i ¿emplazar Voa por -Vao y tomando en cuenta que Vab = IabZA, se obtiene
~Vao + IabZA + Vbn = 0	(1.6)
Y así,	Iab = Va°~V~ = (Vao-Vbn)YA	(1.7)
■ y