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Análisis de Sensibilidad - Samuel Ferrara

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UNIDAD IV: Análisis de Sensibilidad
El ANALISIS DE SENSIBILIDAD consiste en determinar cuánto variará Z al alterar alguno de los recursos o de los coeficientes del funcional, así como también determinar entre qué rangos de valores para los coeficientes y restricciones, la solución optima seguirá siendo optima. 
INTERVALO PARA UN COEFICIENTE DE LA FO:
Es el intervalo de los valores para un coeficiente de la FO para los cuales la base actual permanece óptima. En este intervalo no cambian los valores de las vD, pero el valor de Z puede o no cambiar.
COSTO REDUCIDO:
Para cualquier variable NO básica, el costo reducido de la variable es la cantidad en la cual hay que mejorar el coeficiente de la variable no básica en la FO para que esta sea básica en alguna solución óptima para el PL.
Por ejemplo, si x4 = 0, y su valor de Cj = 10 tenemos que:
	Cj
	10
	…
…
	…
	X4
	
	…
	Zj
	22
	
	Zj - Cj
	12
	…
 Aquí vemos que para que el valor de Zj – Cj sea no positivo, Cj debería ser ≥ 22, es decir, debería ser ≥ al valor de Zj.
HOLGURA COMPLEMENTARIA: cada solución básica en el problema primal tiene una solución básica complementaria en el problema dual, donde los valores respectivos de la FO son iguales, de esta forma, la propiedad de holgura complementaria establece que para cada par de variables asociadas, si una de ellas tiene holgura no negativa, entonces la otra no debe tener holgura.
RESTRICCIÓN ACTIVA: Cuando el recurso correspondiente a esta restricción está agotado. Tiene un valor marginal positivo.
RESTRICCIÓN INACTIVA: Tiene un valor marginal = 0 (es decir, Zj-Cj = 0)
ANALISIS DE FACTIBILIDAD: Al variar los valores de los recursos disponibles, se modifica la región factible y la solución optima puede cambiar, por lo que se determina el rango de variación de bj dentro del cual la solución optima sigue siendo factible
ANALISIS DE OPTIMALIDAD: 
Los Cj definen la pendiente del funcional, por lo tanto si cambian ellos, la pendiente varia también.
ANALISIS DE OPTIMALIDAD para los COEFICIENTES que NO ESTAN en la SOLUCIÓN
∆Cj ≤ Zj – Cj para MAX
			 Para que la solución óptima se mantenga igual
∆Cj ≥ Zj – Cj para MIN
ANALISIS DE OPTIMALIDAD para los COEFICIENTES que ESTAN en la SOLUCIÓN	
El coeficiente Ck podrá variar entre (∆Ck1 - Ck) ≤ Ck ≤ (∆Ck2 + Ck)
Para calcular los valores de ∆Ck se hace con cada variable no básica j.
Para determinar el signo de ∆Ck se verifica lo siguiente:
	
	MAX
	MIN
	∆Ck
	Ck (+)
	(-)
	(+)
	(+)
	
	(+)
	(-)
	(-)
	Ck (-)
	(-)
	(+)
	(-)
	
	(+)
	(-)
	(+)
Si dos ∆Ck tienen el mismo signo, se toma el de menor valor absoluto, es decir, el más restrictivo.
ANALISIS GRAFICO DE SENSIBLIDAD:
Para determinar si la base actual todavía es optima después de cambiar un coeficiente de la FO, observe que al modificar el coeficiente de la FO de una variable, cambia la pendiente de la recta de isoutilidades. La base actual continua siendo óptima siempre que la solución optima actual sea el último punto en la región factible que tenga contacto con las rectas de isoutilidades a medida que uno se desplaza en la dirección en que se incrementa Z (para un problema de MAX). Si la base actual es óptima, los valores de las variables de decisión se conservan sin cambio, pero si podría cambiar el valor optimo de Z.
Para determinar si la base actual sigue siendo optima después de cambiar el segundo miembro de una restricción, empiece por encontrar las restricciones que son activas para la solución optima actual. Como cambiamos el segundo miembro de la restricción, la base actual sigue siendo óptima siempre que el punto donde las restricciones son activas se conserve factible. Incluso si la base actual continua siendo optima, podrían cambiar los valores de las vD y el valor optimo de Z
CAMBIO EN EL LADO DERECHO DE LAS RESTRICCIONES (es decir, cambio en la cantidad de recursos disponibles bk)
Para determinar si un cambio en la cantidad de recursos disponibles modifica la solución básica, se calcula:
=B-1 , donde B-1 es la matriz inversa, formada por los valores aij de las variables de holgura y es el vector correspondiente al lado derecho de las restricciones, con el nuevo valor de la restricción bk modificado.
Si es positivo, entonces la solución actual seguirá siendo básica, sino, debe calcularse la nueva solución por medio del método simplex dual.
Por ejemplo, se tiene la FO siguiente:
Max    2x1 + 7x2 - 3x3 
s.a.:         x1 + 3x2 + 4x3 <= 30
              x1 + 4x2 - x3 <= 10
              x1,x2,x3 >= 0
Y la tabla óptima es la siguiente:
	X1
	X2
	X3
	X4
	X5
	
	0
	-1
	5
	1
	-1
	20
	1
	4
	-1
	0
	1
	10
	0
	1
	1
	0
	2
	20
Se desea modificar el valor de b a (20, 30), por lo tanto, se calculara 
Como se puede apreciar, un valor de Xb es negativo, lo que implica que si se modifican de esta forma las restricciones, el valor del funcional óptimo puede seguir mejorándose, por lo que se procede con el método simplex dual para seguir resolviendo.
INTERVALO DE VARIACION DEL LADO DERECHO DE UNA RESTRICCIÓN bK
Para determinar el intervalo en el cual bK puede variar sin modificar la solución básica óptima obtenida, se calculara:
 para cada i y los valores resultantes se sumaran al valor de bk y de acuerdo a los resultados obtenidos se tomaran los más restrictivos como limites del intervalo. 
Por ejemplo, si tomamos esta tabla optima, con valor de b2 = 10, obtendremos que:
	xi
	Bi
	X1
	X2
	X3
	X4
	X5
	x4
	20
	0
	-1
	5
	1
	-1
	x1
	10
	1
	4
	-1
	0
	1
	Zj
	20
	0
	-1
	1
	0
	1
-20/-1 = 20
-10/1 = -10
10+20 = 30 // 10-10 = 0
Por lo tanto, bk podrá tomar cualquier valor entre 0 y 30 sin modificar la base. 0 ≤ bk ≤30
INCLUSION DE UNA NUEVA VARIABLE Xk: Debemos evaluar si la nueva variable es un aporte significativo a los resultados del original. Por lo que, para verificarlo, calculamos el costo reducido de la nueva variable haciendo de cuenta que la incluimos en la tabla simplex optima. Si se cumple que el costo reducido es mayor o igual a cero, entonces se conserva la actual solución optima, en caso contrario, se puede continuar optimizando con el Simplex agregando a la tabla una nueva columna con los valores de B-1 Ak para los valores akj de la tabla, y el valor rk en el campo Zk - Ck
Entonces, El costo reducido para la variable Xk será: rk = Zk - Ck = (CB B-1 Ak) - Ck, donde k es el índice de la nueva variable, CB es el valor de los Cj para las variables que están en la solución y Ak es la columna de coeficientes tecnológicos de la nueva variable. 
Por ejemplo: Se desea estudiar la posibilidad de elaborar un nuevo producto con beneficio neto igual a 8 y que requiere 4, 2 y 5 unidades de los recursos asociados a cada restricción. ¿Conviene elaborar el producto?
Max    9x1 + 12x2
sa:       4x1 + 3x2 <= 180
            2x1 + 3x2 <= 150
            4x1 + 2x2 <= 160
            x1,x2 >= 0
	CB
	X1
	X2
	X3
	X4
	X5
	
	-9
	1
	0
	1/2
	-1/2
	0
	15
	-12
	0
	1
	-1/3
	2/3
	0
	40
	0
	0
	0
	-4/3
	2/3
	1
	20
	Cj-Zj
	0
	0
	1/2
	7/2
	0
	615
Se debe evaluar rk y determinar si este es >=0. (NOTA, en este ejercicio el cálculo esta hecho al revés, es decir (Cj-Zj, ya que es como trabajan algunos libros, pero el resultado será el mismo, ya que ellos toman para el valor de Cj cambiado de signo en la tabla simplex)
En este ejemplo rk=1>=0, por lo cual no conviene la incorporación de esta nueva variable al modelo, es decir, aun cuando sea incorporada no obtendremos un valor óptimo que supere el actual V(P)=615. De todas formas si incluyésemos la variable nueva en la tabla simplex, nos quedaría así
	X1
	X2
	X3
	X4
	X5
	XNew
	
	1
	0
	1/2
	-1/2
	0
	1
	15
	0
	1
	-1/3
	2/3
	0
	0
	40
	0
	0
	-4/3
	2/3
	1
	1
	20
	0
	0
	1/2
	7/2
	0
	1
	615
Si el costo reducido de esta nueva variable hubiese sido cero, entonces el nuevo escenario tendría infinitas soluciones. 
CAMBIO EN LOS COEFICIENTES DE LA FO: En caso de que uno o varios de los coeficientes de la FO se modifiquen, las variables básicas para la solución optima se mantendrán si los nuevos costos reducidos calculados con los nuevos valores de coeficiente son mayoreso iguales a cero. El valor de la FO se modificara de acuerdo al cambio en los valores de C y de qué variables estén en la solución.
· Por lo tanto, para verificar esto haremos: 
· si el cambio se da en solo un coeficiente: donde j es el índice del coeficiente cambiado.
· En caso de que el valor del costo reducido sea menor a 0, entonces se reemplaza(n) los costos en el renglón Zj – Cj con los obtenidos por medio de este cálculo y se sigue optimizando con el algoritmo simplex.
 EJEMPLO: (NUEVAMENTE TENER EN CUENTA, QUE EN EL EJEMPLO LOS VALORES DE Cj SE TOMAN CAMBIADOS DE SIGNO y se hace Cj - Zj, pero el resultado es el mismo aplicando el método simplex tradicional y haciendo Zj-Cj es el mismo.)
Se desea saber que sucede si se modifica los parámetros de la función objetivo, quedando éstos de la siguiente forma: Z = x1 + 5x2 - 2x3. (X4 y X5 son las variables de holgura de la restricción 1 y 2 respectivamente). 
Max    2x1 + 7x2 - 3x3 
sa:         x1 + 3x2 + 4x3 <= 30
              x1 + 4x2 - x3 <= 10
              x1,x2,x3 >= 0
	X1
	X2
	X3
	X4
	X5
	
	0
	-1
	5
	1
	-1
	20
	1
	4
	-1
	0
	1
	10
	0
	1
	1
	0
	2
	20
	
	
	
	
	
	
Debido a que los cambios en los parámetros de la función objetivo se producen en más de una variable consideraremos la siguiente fórmula:
Debido a que al menos uno de los costos reducidos de las variables no básicas se ha vuelto negativo, entonces cambia la actual solución y valor óptimo del problema. Para incorporar esta modificación en la tabla final del Método Simplex se actualiza los costos reducidos asociados a las variables no básicas, además del valor óptimo, quedando como sigue:
	X1
	X2
	X3
	X4
	X5
	
	0
	-1
	5
	1
	-1
	20
	1
	4
	-1
	0
	1
	10
	0
	-1
	1
	0
	1
	10
INCLUSION DE UNA NUEVA RESTRICCIÓN: Para saber si la actual solución y valor óptimo se mantendrá luego de incorporar una nueva restricción al problema se debe evaluar la solución actual y verificar si satisface la nueva restricción. En caso afirmativo, la actual solución también lo será del problema con la nueva restricción, en caso contrario se incorpora la nueva restricción a la tabla final del Simplex del escenario base.
 EJEMPLO: Sin resolver nuevamente el problema, se desea saber que sucede si se considera una nueva restricción de la forma: 3x1 + 2x2 + 3x3 <= 25. (Observación: Considerar mismo modelo y tabla final del ejemplo anterior)
Se evalua la solución actual en la restricción: 3*(10) + 2*(0) + 3*(0) <= 25. No cumple. Por tanto se incorpora esta nueva restricción como fila a la tabla final del Simplex. Adicionalmente, se agrega X6 como variable de holgura asociada a esta nueva restricción: 
	X1
	X2
	X3
	X4
	X5
	X6
	
	0
	-1
	5
	1
	-1
	0
	20
	1
	4
	-1
	0
	1
	0
	10
	3
	2
	3
	0
	0
	1
	25
	0
	1
	1
	0
	2
	0
	20
Una alternativa para encontrar el óptimo a través de esta tabla es formar la identidad (debemos hacer cero el parámetro asociado a X1 en la tercera fila) multiplicando la fila 2 por -3 y sumando dicho resultado a la fila 3. De esta forma se obtiene:
	X1
	X2
	X3
	X4
	X5
	X6
	
	0
	-1
	5
	1
	-1
	0
	20
	1
	4
	-1
	0
	1
	0
	10
	0
	-10
	6
	0
	-3
	1
	-5
	0
	1
	1
	0
	2
	0
	20
Finalmente obtenemos X4, X1 y X6 como variables básicas. Producto de la transformación un lado derecho queda negativo y en este caso podemos continuar adelante utilizando el Método Simplex Dual.

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