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Analisis de sistemas de potencia Resumen 12 - Arturo Lara

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2.2 BOBINAS MAGNÉTICAMENTE ACOPLADAS 45
y el flujo mutuo </>12 que enlaza ambas bobinas, como se muestra en la figura 2.4c). Los enlaces de flujo de la bobina 2 debidos a la acción única de i2 son
A 22 = ^2^22 ~ ^22*2	(2.16)
donde L22 es la inductancia propia de la bobina 2, y los enlaces de flujo de la bobina 1, debidos únicamente a z2, son
A12 —	” ^12*2
Cuando ambas corrientes actúan juntas, los enlaces de flujo se suman para dar
^1 ~ ^11 + ^12 — ^11A + ^12*2
^2 — ^21 + ^22 — ^21A	^22^2
(2-17)
(2.18)
El orden de los subíndices de ¿12 y ¿21 no es importante ya que la inductancia mutua es una propiedad recíproca única de las bobinas, así que ¿12 = ¿21. La dirección de las corrientes y la orientación de las bobinas determinan el signo de la inductancia mutua, que es positivo en la figura 2.4 porque ix e i2 magnetizan en el mismo sentido.
Cuando los enlaces de flujo varían con el tiempo, las caídas de voltaje a través de las bobinas en la dirección de las corrientes que circulan por ellas son	. .. ,
¿/Aj	di |	di 2
V1 = flíl + ~dT = ri¿1 + ~di + ¿12 ~di
(2.19)
í/A2	di i	^2	/o
V2 = r2Í2 + ~dT = r2Í2 + L2l~dí+L22~dF	(	}
Generalmente, los signos positivos de las ecuaciones (2.19) y (2.20) se asocian con una bobina que está absorbiendo potencia desde una fuente como si la bobina fuera una carga. Por ejemplo, si e z2, en la figura 2.4, tienen simultáneamente valores positivos, entonces la potencia instantánea está siendo absorbida por la bobina 2. Si ahora se invierte la caída de voltaje a través de la bobina 2 de tal forma que v2 = se tiene
d A 2	di j di 2
v2 ~	= ~r^2	= ~r^2 ~	^22~dt	(2.21)
Para valores positivos instantáneos de v2 e i2 la potencia está siendo suministrada por la bobina 2. Así, los signos menos de la ecuación (2.21) son característicos de una bobina que actúa como un generador entregando potencia (y energía en el tiempo) a una carga externa.
En estado permanente, los voltajes y corrientes de ca en las bobinas, las ecuaciones (2.19) y (2.20) toman la forma fasorial
V\ — (ri + J^^ii) A + (jcüL12)Z2
Z11	Z 12
(2.22)
46 CAPÍTULO 2 TRANSFORMADORES
F2 = (jú)L21)I1 + (r2 + }ú)L22)I2
Z21	Z22
(2.23)
Aquí se usó la letra minúscula zfJ para distinguir las impedancias de bobina de las impedancias de nodo Zy. En la forma matriz-vector, las ecuaciones (2.22) y (2.23) quedan
Vi
2n
2 21
212	A
2 22	^2
(2-24)
Debe notarse que las V son las caídas de voltaje a través de las terminales de las bobinas, y las Zson las corrientes que circulan en las bobinas. El inverso de la matriz de coeficientes es la matriz de admitancias dada por
Vil V12 y2i yn
ZU Z12	_ 			 Z22	212
221	Z22\	(211222 ~ 2122) L “Z21
Al multiplicar la ecuación (2.24) por la matriz de admitancias se obtiene
A = Vn ?i2
h ^21	?22	^2
(2.25)
(2.26)
Por supuesto, los parámetros y y z con los mismos subíndices no son simplemente recíprocos uno del otro. Si se selecciona I2 =■ 0 en la ecuación (2.24) y las terminales de la bobina 2 están abiertas, se obtiene que la impedancia de entrada de la bobina 1 al estar en circuito abierto es
A /2=o
(2.27)
Si las terminales de la bobina 2 están cortocircuitadas, V2 = 0 y entonces, la impedancia de entrada de la bobina 1 al estar en cortocircuito es, como lo muestra la ecuación (2.26),
r2=o
_i	Z12
= Vil = -2T11 " — z22
(2.28)
~ zn
Al sustituir en la ecuación (2.28) las expresiones de las ecuaciones (2.22) y (2.23) que definen a zzy, el lector puede demostrar que la reactancia aparente de la bobina 1 se reduce por la presencia de la bobina 2 cortocircuitada. Un resultado similar se encuentra en el capítulo 3 para la máquina sincrónica bajo condiciones de cortocircuito.
En la figura 2.5 se muestra un circuito equivalente importante para bobinas mutuamente acopladas. La corriente en el lado de la bobina 2 aparece como I2/a y el voltaje en la
2.2 BOBINAS MAGNÉTICAMENTE ACOPLADAS 47
7*1	d¿211 Tl^&>[í<22	¿12/3] Ct?1*2	1 V,_	"4
FIGURA 2.5
Circuito equivalente de ca para la figura 2.4, con la corriente y el voltaje del secundario redefinidos y a = Ni/Nj,
terminal como aV2, donde a es una constante positiva. Sobre el lado de la bobina 1, F¡ e son las mismas que antes. Si escribe la ecuación de voltajes de Kirchhoff alrededor de la trayectoria de cada una de las corrientes e I2ta en la figura 2.5, el lector puede encontrar que se satisfacen exactamente las ecuaciones (2.22) y (2.23). Si a = N}/N2, las inductancias entre paréntesis en la figura 2.5 son las de dispersión, Lu y L2l de las bobinas. Esto se demuestra de las ecuaciones (2.14) a la (2.17), como sigue:
, A r r _	N24>21 _N,
~	M ~ . (<An ^21)	(2.29)
«Ai/
T A r	T / - ^2^22 N2 M<A12 _ N2 ,	.	O 'WX
L21 ~~ L22	Ln/a—	~ i ($22	$12)	(2.30)
l2 ^1	*2 l2 '		'
4>2l
donde </>lz y </>2Z son los flujos de dispersión de las bobinas. Asimismo, con a = Nx/N2, la inductancia en paralelo a£21 es Ia inductancia de magnetización asociada con el flujo mutuo </>21 que enlaza las bobinas debido a puesto que,
Nr N2(f>2l
(2.31)
Al definir las reactancias de dispersión como = (x)Lu y x2 - <i)L2h y a la susceptancia de magnetización en paralelo como Bm = (coaL2iy\ se obtiene el circuito equivalente de la figura 2.6, que es la base del circuito equivalente del transformador real de la sección 2.3.
n	Xi	a2x2	a?r2
-r	VA—-W	f—W	vW	p
1	¿	I
vt	SV	7
FIGURA 2.6
Circuito equivalente de la figura 2.5 con los parámetros de la inductancia renombrados.
48 CAPÍTULO 2 TRANSFORMADORES
2.1 EL CIRCUITO EQUIVALENTE DE UN TRANSFORMADOR MONOFÁSICO
El circuito equivalente de la figura 2.6 se acerca a igualar las características físicas de un transformador real. Sin embargo, tiene tres deficiencias: 1) no muestra alguna transformación de voltaje o de corriente, 2) no provee un aislamiento eléctrico entre el primario y el secundario y 3) no toma en cuenta las pérdidas del núcleo.
Cuando se aplica un voltaje sinusoidal al devanado primario de un transformador real que está sobre un núcleo de acero con el devanado secundario abierto, fluye una pequeña corriente IE, llamada corriente de excitación. La componente mayor de esta corriente se llama corriente de magnetización, y corresponde a la corriente que pasa a través de la susceptancia de magnetización Bm de la figura 2.6. La corriente de magnetización produce el flujo en el núcleo. La componente más pequeña de IE, que contempla las pérdidas en el núcleo de acero, adelanta la corriente de magnetización en 90° y no está representada en la figura 2.6. En primer lugar, las pérdidas del núcleo ocurren debido a que los cambios cíclicos de la dirección del flujo en el acero requieren de energía que se disipa como calor. A esta disipación se le denomina pérdida por histéresis. El segundo tipo de pérdida se debe al hecho de que circulan corrientes que son inducidas en el acero por el flujo variable y que producen pérdidas |Z |27? llamadas pérdidas por corrientes de eddy. Las pérdidas por histéresis se reducen mediante ciertas aleaciones de alto grado de acero para construir los núcleos. Las pérdidas por corrientes de eddy se reducen si se construye el núcleo con hojas de acero laminado. Con el secundario abierto, el circuito primario del transformador es de muy alta inductancia debido al núcleo de acero. IE se toma totalmente en cuenta en el circuito equivalente por medio de una rama de conductancia Gc en paralelo con la susceptancia de magnetización Bm, como se muestra en la figura 2.7.
En un transformador bien diseñado, la densidad de flujo máxima en el núcleo ocurre en la curvatura del lazo de saturación o curva B-H del transformador. Así, la densidad de flujo no es lineal con respecto a la intensidad del campo. La corriente de magnetización no puede ser sinusoidal si se requiere producir un flujo sinusoidal que, a su vez, dé voltajes inducidos ex y e2 sinusoidales cuando el voltaje aplicado también es de este tipo. La corriente de excitación IE tiene un contenido hasta del 40% de la tercera armónica, además de armónicas más altas en menor cantidad. Sin embargo, por conveniencia, IE es considerada como sinusoidal porque su valor es pequeño comparado con el de la corrientenominal y así, es aceptable el uso de Gc y Bm en el circuito equivalente.
FIGURA 2.7
Circuito equivalente para el transformador monofásico con un transformador ideal de relación de espiras a = N}/N2.

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