Analisis de sistemas de potencia Resumen 59 - Arturo Lara

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7.2 RAMAS ACOPLADAS MUTUAMENTE EN Ybarra 233
FIGURA 7.7
Las dos ramas mutuamente acopladas del
ejemplo 7.2 y sus a) impedancias elemen-
tales y b) admitancias elementales en por
unidad.
caso especial en el que uno de los nodos, por ejemplo el nodo @, sea en efecto la referencia, Vn será cero y no será necesario que aparezca la columna @ en la ecuación (7.19); además, In no tiene que representarse explícitamente porque la corriente en el nodo de referencia no es una cantidad independiente. En consecuencia, cuando el nodo @ es la referencia, se pueden eliminar la fila y la columna de ese nodo en las ecuaciones (7.19) y (7.20).
Es importante observar que, frecuentemente, los nodos @, @, @ y (g) no son diferentes. Por ejemplo, supóngase que los nodos ® y (g) son uno y el mismo nodo. En este caso, las columnas ® y (g) de la ecuación (7.19) se pueden combinar puesto que Vn = Vq, y las filas correspondientes se pueden sumar porque In e Ip son parte de la corriente inyectada común. El siguiente ejemplo ilustra esta situación.
Ejemplo 7.2. Como se muestra en la figura 7.7, dos ramas que tienen impedancias iguales a J0.25 por unidad están acopladas a través de una impedancia mutua ZM = JO. 15 por unidad. Encuentre la matriz de admitancias de nodo para las ramas acopladas mutuamente y escriba las ecuaciones de admitancias de nodo correspondientes.
Solución. La matriz de impedancias elementales para las ramas mutuamente acopladas de la figura 7.7a) se invierte como una única entidad para encontrar las admitancias elementales de la figura 7.7Z>), esto es,
j‘0.25 J0.15
j0.15 j’0.25
-j6.25	7'3.75
7'3.75	—7’6.25
Primeramente, las filas y columnas de la matriz de bloques de construcción que multiplica a las admitancias propias elementales entre los nodos (T) y (3), se etiquetan como (3) y (¡) para
FIGURA 7.8
Tres ramas con los acoplamientos mutuos ZMX entre las ramas ay b y
Zm entre las ramas a y c.
234 CAPÍTULO 7 EL MODELO DÉ ADMITANCIA Y CÁLÓULO DE REDES
concordar con la marca del punto en el nodo (3). En seguida, las filas y columnas de la matriz de 2x2 que multiplica a las admitancias propias entre los nodos (2) y (3) se etiquetan como (3) y
(2) en el orden mostrado porque el nodo (5) es el que tiene la marca. Finalmente, los apuntadores de las matrices que multiplican a la admitancia mutua se alinean con los de las admitancias propias para formar un arreglo de 4 * 4, similar al de la ecuación (7.20), en la siguiente forma:
	
	®
	o
	
	
	®
	(X
	
	(3)
	1
	-r
	
	
	1
	-1
	
	
	-1
	1
	(-76.25)
	
	-1
	1
	(>3.75)
	
	
	
	
	
	
	©
	
	
	1
	-1
	
	
	1
	-1‘
	
	
	-1
	1
	(>3.75)
	
	-1
	1
	(->6.25)
Como en la figura 7.7 solamente hay tres nodos, la matriz que se requiere de 3 * 3 se encuentra al sumar las columnas y filas del nodo común (3), para así obtener
(D
® r ->6.25
(2)	J3.75
(D >6.25-/3.75
(D
>3.75
-Í6.25
-j3.75 +/6.25
(3)
>6.25-/3.75
->3.75 + >6.25
->6.25 - >6.25 + 2(/3.75)
Por ejemplo, el nuevo elemento diagonal que representa al nodo (3) es la suma de los cuatro elementos (-J6.25 -J6.25 + j'3.75 + >3.75) en las filas (5) y columnas (3) de la matriz previa. Entonces, las tres ecuaciones de admitancias de nodo en forma de un vector matricial se escriben
	' -j6.25
	>3.75
	>2.50'
	
	
	'h
	j’3.75
	-)6.25
	>2.50
	V2
	=
	h
	/2.50
	>2.50
	->5.00
	V3
	
	h
donde V2 Y ^3 son los voltajes en los nodos (T), (2) y (3) medidos con respecto a la referencia, mientras que /b Z2 e h son las corrientes externas que se inyectan a los nodos respectivos.
La matriz de coeficientes de la última ecuación se puede combinar, como en la sección 7.1, con las matrices de admitancias nodales de las otras ramas de la red con el fin de obtener la matriz de admitancias de nodo de todo el sistema.
Cuando se tienen tres o más ramas acopladas, se sigue el procedimiento anterior. Por ejemplo, las tres ramas acopladas de la figura 7.8 tienen las matrices de impedancia y admitancia elementales dadas por
	Za
	Ztf\
	
	-1
	'Ya
	ymi
	Ym2
	
	Zb
	0
	=
	ymi
	Yb
	Ym3
	%M2
	0
	Zc
	
	Ym2
	yM3
	Yc
(7.21)
7.2 RAMAS ACOPLADAS MUTUAMENTE EN Xbarra 235
Desarrollo de la red de admitancias de nodo de las dos ramas mutuamente acopladas.
Los ceros en la matriz Z surgen porque las ramas b y c no están directamente acopladas. Para todos los valores que no son cero de la corriente Ia de la figura 7.8, las ramas b y c están indirectamente acopladas a través de la rama a, como se muestra por el término de la matriz de admitancias elementales.
Por lo tanto, para formar la matriz Ybarra de una red que tiene ramas mutuamente acopladas, se sigue la secuencia mostrada a continuación:
1. Se invierten las matrices de impedancia elementales de las ramas de la red para obtener las correspondientes matrices de admitancias elementales. Una sola rama tiene una ma-
FIGURA 7.10
Red de admitancias de nodos de las dos ramas mutuamente acopladas que se conectan entre los nodos ® y ©•
236 CAPÍTULO 7 EL MODELO DE ADMITANCIA Y CÁLCULO DE REDES
triz de 1 x 1, dos ramas mutuamente acopladas tiene una matriz de 2 x 2, tres ramas mutuamente acopladas tienen una matriz de 3 x 3 y así sucesivamente.
2. Se multiplican los elementos de cada matriz de admitancias elementales por la matriz
de bloque de construcción de 2 x 2.	,
3. Se etiquetan las dos filas y las dos columnas de cada diagonal de la matriz de bloque de construcción con los números de los nodos terminales de la correspondiente admitancia propia. Es importante etiquetar las ramas acopladas mutuamente en el orden que sigue: primero el número de nodo con la marca (punto) y después el que no, está marcado.
4. Etiquetar las dos filas de cada matriz de bloque de construcción qúe está fuera de Ir
diagonal con números de nodo alineados y consistentes con las etiquetas de la fila asignada en el inciso 3); entonces, etiquetar las columnas consistentes con las etiqueta' de columna del inciso 3).	..
5. Se combinan, por adición, aquellos elementos con filas y columnas que tienen etiqueta - idénticas para obtener la matriz de admitancias de nodo de toda la red. Si uno de los nodos encontrados es el de referencia, se omite su fila y columna para obtener la matri Yb^a del sistema.
7.3 UNA RED DE ADMITANCIAS EQUIVALENTES
Se ha demostrado cómo escribir las ecuaciones de admitancias de nodo para una rama o para cierto número de ramas acopladas mutuamente y que son parte de una red mayor. Ahora s? demostrará que tales ecuaciones se pueden interpretar como si representaran una red con una admitancia equivalente con elementos que no se acoplan mutuamente. Esto puede se- útil cuando se forma la matriz Ybarra para una red que originalmente tiene elementos acoplados mutuamente.
Las corrientes que se inyectan en los nodos de la figura 7.6 se describen en términos de los voltajes y admitancias de nodo por medio de la ecuación (7.19). Por ejemplo, la ecuacic para la corriente Im en el nodo (3) está dada por la primera fila de la ecuación (7.19) como sigue:
Im = Yaym~YaVn + YMVp-YMVq	(7.22
al sumar y restar el término YMVm en el lado derecho de la ecuación (7.22) y combinando términos que tienen coeficientes comunes, se obtiene la ecuación de corrientes de Kirchhc en el nodo (3)
im=Ya(vm- K) + (-YM)(ym - r,) + YM(vm - vq) (7.2.’'
^mn	Imp	Imq
Los dobles subíndices indican las direcciones de las corrientes Imn. Imp e lmq desde el no¿ (3) a cada uno de los otros nodos @, @ y @ de la figura 7.9¿z), respectivamente. Ur análisis similar de la segunda y tercera filas de la ecuación (7.19) conduce a las ecuaciones para las corrientes In e Ip en la forma