Analisis de sistemas de potencia Resumen 58 - Arturo Lara

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7.2 RAMAS ACOPLADAS MUTUAMENTE EN Ybarra 229
Aquí no es importante el orden en el que se asignan las etiquetas siempre que las columnas y las filas sigan el mismo orden. Sin embargo, para ser congruentes con las secciones posteriores, se asignarán los números de nodo en las direcciones de las corrientes de rama de la figura 7.5, que también muestra los valores numéricos de las admitancias. Al combinar aquellos elementos de las matrices anteriores que tienen etiquetas idénticas de fila y columna, se obtiene
que es la misma ecuación (1.62) obtenida para Ybarra, porque las figuras 1.23 y 7.5 se refieren a la misma red. Se sustituyen los valores numéricos de las admitancias de rama en la matriz, y se obtienen las ecuaciones de admitancias de nodo de toda la red
0
	—7*14.5
	j8.0
	j4.0
	¡2.5
	;8.0
	-J17.0
	;4.0
	/5.0
	j’4.0
	j’4.0
	—j’8.8
	0.0
	>2.5
	j5.0
	0.0
	—7'8.3
0
l.Qo/—90°
0.68/ -135°
donde K2, V3 y K4 son los voltajes de los nodos medidos con respecto al nodo de referencia e = 0,I2 = 0,I3 = 1.00 / -90° e /4 = 0.68 / -135° son las corrientes externas que se inyectan a los nodos del sistema.	*	%
- -	" V.,
La matriz de coeficientes que se obtuvo en el ejemplo anterior es exactamente igual a la matriz de admitancias de barra que se encontró en la sección 1.12 mediante las reglas generales para la formación de Ybarra. Sin embargo, el enfoque en que se basa la matriz de bloques de construcción tiene ventajas cuando se extiende a redes con ramas acopladas mutuamente, como se demuestra a continuación.
2 RAMAS ACOPLADAS MUTUAMENTE EN Ybarra
El procedimiento que se basa en la matriz de bloques de construcción se extiende ahora a dos ramas mutuamente acopladas que son parte de una red más grande pero que no están inductivamente acopladas a ninguna otra rama. En la sección 2.2, las ecuaciones elementales de tales ramas mutuamente acopladas se desarrollan en la forma de la ecuación (2.24)
230 CAPÍTULO 7 EL MODELO DE ADMITANCIA V CÁLCULO DE REDES
para impedancias y la ecuación (2.26) para admitancias. La notación es diferente aquí porque ahora se usan números, en lugar de ramas, para identificar los nodos.
Supóngase que la impedancia de rama Za, conectada entre los nodos @ y (n), está acoplada a través de la impedancia mutua ZM a la impedancia de rama Zb que a su vez está conectada entre los nodos @ y (y) de la figura 7.6. Las caídas de voltaje Va y Vb debidas a las corrientes de rama Ia e Ib están, entonces, dadas por la ecuación de impedancias elementales que corresponde a la ecuación (2.24) en la forma
Va vb
Za ZM
ZM Zb
la' h
(7-12)
en la que la matriz de coeficientes es simétrica. La impedancia mutua ZM se considera posi-
tiva cuando las comentes Ia e Ib entran en las terminales señaladas con puntos en la figura
7.6a), de la manera que se analizó en la sección 2.2; las caídas de voltaje Va y Vb tienen
entonces las polaridades mostradas. Al multiplicar la ecuación (7.12) por la inversa de la
matriz de impedancias elementales
Za	ZM	1 =	1	1	Zb	~ZM
ZM	Zb	ZaZb~ZM ,~Zm	Za
Ya Ym
Ym Yb
se obtiene la forma de admitancias de la ecuación (2.26) para las dos ramas
Ya
YM
(7-14)
FIGURA 7.6
Dos ramas mutuamente acopladas eos
á) parámetros de impedancia y b) las
admitancias correspondientes.
7.2 RAMAS ACOPLADAS MUTUAMENTE EN Kbarra 231
que también es simétrica. La matriz de admitancias de la ecuación (7.14), llamada matriz de admitancias elementales de las dos ramas acopladas, corresponde a la figura 7.66). La admitancia propia elemental Ya es igual a Zb¡(Z¿Zb -Z^y expresiones similares se aplican, mediante la ecuación (7.13), para Yb y para la admitancia mutua elemental YM. Se pueden escribir las ecuaciones de caída de voltaje Va= Vm- V„y Vb= Vp- Vq áe Ia figura 7.6 en forma matricial
0
1
(7-15)
en la que la primera fila de la matriz A de coeficientes se asocia con la admitancia de rama Ya y la segunda fila se relaciona con la admitancia de rama Yb. Los voltajes de nodo Vm, Vm Vp y Vq se miden con respecto a la referencia de la red. La corriente de rama Ia en la figura 7.6 se relaciona con las corrientes inyectadas por las dos ecuaciones de nodo Im = Iaeln = - Ia; similarmente, la corriente de rama Ib esta relacionada a las corrientes Ipt Iq por las dos ecuaciones de nodo Ip = Ib e Iq = - Ib. Estas cuatro ecuaciones de corriente arregladas en forma de matriz son
’b
(7.16)
con la matriz de coeficientes igual a la transpuesta de la ecuación (7.15). La ecuación (7.15) se sustituye para las caídas de voltaje en la ecuación (7.14) para encontrar
M
(7-17)
y al premultiplicar ambos lados de esta ecuación por la matriz Ar de la ecuación (7.16), se obtiene
(7-18)
232 CAPÍTULO 7 ÉL MODELO DE ADMITANCIA Y CÁLCULO DE REDES
Cuando se realizan las multiplicaciones indicadas en la ecuación (7.18), el resultado da las ecuaciones de admitancias de nodo de las dos ramas mutuamente acopladas en forma matricial
(7.19)
Las dos ramas mutuamente acopladas son realmente parte de una red más grande y así, la matriz de 4 x 4 de la ecuación (7.19), forma parte de una matriz más grande de admitancias de nodo para todo el sistema. Las etiquetas @@ y @ indican las filas y columnas de la matriz del sistema a la que pertenecen los elementos de la ecuación (7.19). Así, por ejemplo, la cantidad que está en la fila (n) y en la columna @ de la matriz de admitancias de nodo del sistema es y en forma similar se hace para los otros elementos de la ecuación (7.19).
La matriz de admitancias de nodo de las dos ramas acopladas se puede formar directamente de una inspección visual de las ecuaciones. Esto resulta más claro cuando se escribe la matriz de coeficientes de la ecuación (7.19) en una forma alternativa
(7.20'
Para obtener la ecuación (7.20) se multiplica cada elemento de la matriz de admitancia elementales por la matriz de 2 x 2 de bloque de construcción. Las etiquetas que se asignan ? las filas y columnas de los multiplicadores en la ecuación (7.20) se determinan fácilmente Primeramente, se observa que la admitancia propia Ya se mide entre los nodos @ y (n) cor el punto en el nodo (m). De aquí, la matriz de 2 x 2 que multiplica a Ya en la ecuación (7.2 tiene filas y columnas etiquetadas como @ y (n) en ese mismo orden. Entonces, la admitanci: propia Yb entre los nodos @ y @ se multiplica por la matriz de 2 x 2 con las etiquetas (¿ y @ en el orden mostrado ya que el nodo @ está señalado con un punto. Finalmente, la etiquetas de las matrices que multiplican a la admitancia mutua YM se asignan fila por fila ;■ después columna por columna de forma que queden alineadas y concuerden con los y. dados para las inductancias propias. En la matriz de admitancias de nodo de las ecuacione (7.19) y (7.20), la suma de las columnas (y de las filas), es cero. Esto se debe a que ninguna de los nodos @,	@ y se ha considerado como nodo de referencia de la red. En e