Analisis de sistemas de potencia Resumen 57 - Arturo Lara

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7.1 ADMITANCIAS DE RAMA Y DE NODO 225
puede representar por la impedancia de rama Za o por la admitancia de rama Ya, según convenga. La impedancia de rama Za se llama frecuentemente impedancia elemental y de la misma forma, a Ya se le llama admitancia elemental. Las ecuaciones que caracterizan la rama son
' \ Va = ZJa o YaVa = Ia	(7.4)
donde Ya es el recíproco de Za, y Va es la caída de voltaje a través de la rama en la dirección de la corriente de rama la. La rama típica tiene dos variables asociadas Va e Ia que están relacionadas por las ecuaciones (7.4), independientemente de cómo esté conectada la rama a la red. En el presente capítulo se tratará con la forma de admitancias de rama con el fin de establecer la representación de admitancias de nodo de la red de potencia, mientras en el capítulo 8 se tratará la forma de impedancias.
En la sección 1.12 se dieron las reglas para formar la matriz de admitancias de barra de la red. Se recomienda la revisión de dichas reglas porque se va a considerar un método alternativo para la formación de Ybarra. Este nuevo método es más general porque fácilmente se puede extender a redes con elementos que tengan acoplamiento mutuo. El método considera primero cada rama por separado para combinarla después con las otras ramas de la red.
Supóngase que solamente una admitancia de rama Ya se conecta entre los nodos @ y @ que son parte de una gran red de la cual sólo aparece el nodo de referencia en la figura 7.2. Se considera como positiva la corriente que se inyecta dentro de la red en cualquiera de sus nodos, mientras es negativa la corriente que deja la red en cualquiera de los nodos. La corriente Im en la figura 7.2 es esa porción de la corriente total que se inyecta en el nodo @ y. que pasa a través de Ya. De la misma manera, In es la porción de la corriente que se inyecta en el nodo @ que pasa a través de Ya. Los voltajes Vm y Vn son los que se presentan, con respecto a la referencia de la red, en los nodos @ y @, respectivamente. Por la ley de Kirchhoff en el nodo @, Im = Ia y en el nodo @, In = -Ia. Arregladas en forma vectorial, estas dos ecuaciones de corriente son
(7.5)
En la ecuación (7.5) las etiquetas o marcas (m) y ® asocian la dirección de Ia desde el nodo
+
Nodo de referencia
FIGURA 7.2
Caída de voltaje Va de la rama elemental, corriente de rama Ia, corrientes inyectadas Im e Im y voltajes de nodo V„ y Vn con respecto a la red de referencia.
226 CAPÍTULO 7 EL MODELO DE ADMITANCIA Y CÁLCULO DE REDES
@ hasta el nodo @ con las entradas 1 y -1 que, entonces, se dice que éstán en la fila @ y (n), respectivamente. De igual forma, la caída de voltaje en la dirección de Ia tiene la ecuación Va = Vm - V„, que expresada en forma de vector es
0 V
(7-6)
Se sustituye esta expresión de Va en la ecuación de admitancia YaVa = Ia y se tiene
n
(7-7)
y al premultiplicar ambos lados de la ecuación (7.7) por el vector columna de la ecuación (7.5), se obtiene
4
m
1
a
n
(7.8)
que se simplifica para tener
n
Í77T
a
a
i
(7.9 i
a
n
Ésta es la ecuación de admitancias de nodo para la rama Ya y la matriz de coeficientes es la matriz de admitancias de nodo. Se observa que los elementos fuera de la diagonal son iguales a los negativos de las admitancias de rama. La matriz de la ecuación (7.9) es singular porque ni el nodo (m) ni el @ se conectan al de referencia. En el caso particular en el qu° uno de los nodos, por ejemplo el @, sea el nodo de referencia, el voltaje asociado a él, en este caso es cero y la ecuación (7.9) se reduce a una ecuación matricial de 1 * 1
(m
(7.10 •
m
que se obtiene al quitar la fila (n) y la columna (n) de la matriz de coeficientes.
A pesar de su desarrollo directo, la ecuación (7.9) y el procedimiento que lleva a ella son importantes en situaciones más generales. Se observa que el voltaje de rama Va se transforma en los voltajes de nodo Vm y Vn, y de la misma forma, la corriente de rama Ia s: representa por las corrientes Im e In que se inyectan al circuito. La matriz de coeficientes que relaciona los voltajes y corrientes de nodo de la ecuación (7.9) se obtiene del hecho de que en la ecuación (7.8)	7
7.1 ADMITANCIAS DE RAMA Y DE NODO 227
Como se verá en seguida, esta matriz de 2 x 2 también vista en la ecuación (1.64), es un importante bloque de construcción para representar redes más generales. Las etiquetas en las filas y columnas identifican cada elemento de la matriz de coeficientes por el número de nodo. Por ejemplo, en la primera fila y segunda columna de la ecuación (7.11) la entrada -1 se identifica con los nodos @ y (n) de la figura (7.2) y de manera similar se identifican las otras entradas.
Así, las matrices de coeficientes de las ecuaciones (7.9) y (7.10) son simplemente matrices de almacenamiento con etiquetas de filas y columnas que se determinan por los nodos terminales de la rama. Cada rama de la red tiene una matriz similar señalada de acuerdo con los nodos de la red a los que la rama se conecta. Las matrices de las ramas individuales simplemente se combinan sumando todos los elementos que tienen etiquetas de fila y columna idénticos con el fin de obtener la matriz de admitancias de nodo de toda la red. Dicha adición origina que la suma de las corrientes de rama que fluyen desde cada nodo a la red sea igual a la corriente total que se inyecta dentro del nodo, en la forma que establece la ley de corrientes de Kirchhoff. En la matriz total, los elementos Yv que están fuera de la diagonal son el negativo de la suma de las admitancias conectadas entre los nodos (7) y (¿), y el elemento diagonal Y„ es la suma algebraica de las admitancias conectadas al nodo (¿). El resultado total es la Ybana del sistema siempre y cuando, al menos una de las ramas de la red, esté conectada al nodo de referencia, como lo muestra el siguiente ejemplo.
Ejemplo 7.1. En la figura 7.3 se muestra el diagrama unifilar de un pequeño sistema de potencia. El diagrama de reactancias que le corresponde, con las reactancias especificadas en por unidad, se muestra en la figura 7.4. Un generador con una fem igual a 1.25 / 0o por unidad se conecta a través de un transformador al nodo (3) de alto voltaje, mientras un motor con un voltaje intemo igual a 0.85 7-45° se conecta de manera similar al nodo (4). Desarrolle la matriz de admitancias de nodo para cada una de las ramas de la red y entonces escriba las ecuaciones de admitancias de nodo del sistema.
I
FIGURA 7.3
Diagrama unifilar del sistema de cuatro ba-
rras del ejemplo 7.1. No se muestra el nodo
de referencia.
228 CAPÍTULO 7 EL MODELO DE ADMITANCIA Y CÁLCULO DE REDES
FIGURA 7.4
Diagrama de reactanciaspara la figura 7.3.
La referencia es el nodo (0) y las reactancias
y voltajes están en por unidad.
Solución. Las reactancias del motor y del generador se pueden combinar con las respectivas reactancias de los transformadores de elevación de tensión. Entonces, como se muestra en la figura 7.5, las reactancias combinadas y las fems generadas son reemplazadas por fuentes de corriente equivalentes y admitancias paralelo a través de la transformación de fuentes. Se tratarán las fuentes de corriente como inyecciones de corriente externas en los nodos (3) y (4), y se nombrarán las siete ramas pasivas de acuerdo con los subíndices de sus corrientes y voltajes. Por ejemplo, la rama entre los nodos (T) y (3) se denomina rama c. La admitancia de cada rama es, simplemente, el recíproco de la impedancia de la rama y en la figura 7.5 se muestra el diagrama de admitancias resultante con todos los valores en por unidad. Las ramas ay gque están conectadas al nodo de referencia se caracterizan a través de la ecuación (7.10), mientras la ecuación (7.9) se aplica a cada una de las otras cinco ramas. Al hacer que m y n en esas ecuaciones sean igual a los números de nodo en los extremos de las ramas individuales de la figura 7.5, se obtiene
FIGURA 7.5
Diagrama de admitancias en por unidad de la figura 7.4 con fuentes de corriente en lugar de las de voltaje. Los nombres de las ramas a a g concuerdan con los subíndices de los voltajesy corrientes de rama.