FMM de un devanado trifásico - Rosalina Alvarado Tirado

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FMM de un devanado trifásico
En condiciones de corriente trifásica tenemos en el inducido de la máquina tres sistemas separados en el espacio 120° y 240" y alimentados con corrientes sinusoidales desfasadas también 120° y 240°. Para tales devanados se pueden expresar las siguientes ecuaciones de f.m.m. si el origen del sistema de coordenadas se supone que esté en el eje de la fase A:
F<(t, a) — [F»*i eos a -f- FpM eos 3a + F,M eos 5a -f-... -f-
Ff»v eos va 4- ...] sen t';	(4-31)
(4-32)
La f.m.m. resultante correspondiente a cada armónico considerado separadamente se puede hallar sumando los armónicos dados de las tres fases.
Para el armónico fundamental de f.m.m. del devanado trifásico obtenemos, según § 4-2 [fórmulas (4-7) a (4-10)], la siguiente expresión :
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F.M.M. DE LOS DEVANADOS DE C.A.
Fut. ■) = 2 F»*i scn — a) = Fi sen (o# — a). (4-34)
De aquí se deduce que el armónico fundamental de la f.m.m. re-
sultante en un devanado trifásico ya no representa una onda pulsa-
toria o estacionaria en el espacio como en el caso de un devanado
monofásico, sino una onda progresiva en la superficie interior del
estator. La amplitud de esta onda es igual a la f.m.m. resultante del
armónico fundamental por polo:
F.=	=
Z	Jt p	p
De manera análoga, es fácil demostrar que, para otro número de
2.i
fases m y devanados desplazados un ángulo con corrientes desplazadas en ellos el mismo ángulo, la amplitud de la onda fundamental de f.m.m. será igual a
(4-35)
F,
m m V 2 wkwi .
— , Cp»i =	—-— ' =
Z	Jt p
0,45
I.
(4-36)
P
Para determinar la velocidad de desplazamiento en el cntrehierro de la onda sinusoidal del armónico fundamental de f.m.m. determinado por la ecuación (4-34), consideremos un punto invariablemente fijo en esta onda y que se desplaza con ella. Para este punto la relación es
sen (tur — a) = constante, o
o>r — a = constante.
Derivando esta expresión con respecto al tiempo r, obtenemos
</a n
w	y- =0,
dt
por lo que la velocidad angular de la onda es
da
dt ’
(4-37)
es decir, cualquier punto definido (rígidamente fijo) sobre una onda de f.m.m. giratoria se desplaza alrededor de la superficie interior del estator con velocidad angular <i>. En una máquina sincrónica el rotor gira a la misma velocidad angular (en unidades angulares eléctricas)
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y en el mismo sentido, es decir, la onda fundamental de f.m.m. del devanado del estator se desplaza alrededor del estator simultáneamente con éste.
El contenido del precedente análisis matemático de la f.m.m. del
devanado del estator con respecto a su armónico fundamental se puede
expresar como sigue.
Cuando hay presentes tres ff.mm.mm. sinusoidales en un estator,
separadas 120" eléctricos entre sí y pulsatorias con fase de tiempo
de 120°, se substituye cada una de ellas por las ff.mm.mm. sinusoida-
les que tienen amplitudes iguales a la mitad de la amplitud de la
f.m.m. pulsatoria y que se desplazan en sentidos contrarios. En este
caso las ff.mm.mm. progresivas en sentidos opuestos al de rotación
del rotor se cancelan o anulan, ya que se desplazan 120° entre sí
mientras las ff.mm.mm. que se desplazan en el mismo sentido que el
rotor se suman y producen una f.m.m. resultante sinusoidal en el es-
3	.
pació con amplitud igual a multiplicado por la máxima amplitud
de la f.m.m. pulsatoria que se desplaza simultáneamente con el rotor.
De la misma manera podemos sumar las ff.mm.mm. de cualquier armónico de orden más alto de las tres frases. Para v = 3, obtenemos
fas =
4-
sen <i)t eos 3a_ + sen
y para v = 5,
sen (col + 5a) =
F#s -f- FpM sen <ot eos 5a + sen i tul
	
	= Fa sen (tof + 5a).
Así, pues,
3
Fa1 =	sen (a>r — 7a) = F-¡ sen (a>r — 7a);
f»u = 2 F*W1 **"	+ 1,fl> = Fn + H«);
F.is = - F,*is sen (<0/ — 13a) = Flt sen (a>t — 13a),
y para los armónicos de orden v,
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F.v = 2 «en (wt ± va) = Fv sen (coi ± va), (4-38) donde
Fv = -1 FHv = 3 VI 2^-1 = 1,35 —/.	(4-39)
2	jt vp	vp
La f.m.m. de las tres fases incluyendo todos los armónicos es
F(l¡ e> = Fj sen (F — a) 4- Fs sen (F 4- 5a) 4- FT sen (F — 7a) 4
4- Fu sen (F 4- 1 la) 4- Fn sen (F — 13a) 4- ... 4- F, sen (F ± va). (4-40)
En la expresión de la f.m.m. resultante, todos los armónicos de orden v = 3k (múltiplo de tres) se cancelan. Todos los armónicos de orden v = = 6k — 1, es decir, v = 5, 11, 17... tienen el múltiplo sen (h»í 4- vp) y por consiguiente giran a la izquierda en sentido contrario al de desplazamiento de la onda fundamental.
Todos los armónicos de orden v = 6k 4- 1, es decir, v = 1, 7, 13... tienen el múltiplo sen (wt — va) y giran por consiguiente a la derecha, es decir, en el mismo sentido que la onda fundamental y el rotor.
Lo anterior puede ser formulado como sigue: si, para obtener el orden de un armónico en la fórmula
v = 6k ± 1,
donde * es un número entero, es necesario asignar un signo 4-, la rotación de un armónico coincidirá con la rotación del armónico fundamental. Si hay que emplear el signo —, el sentido es contrario al de rotación del armónico fundamental.
Como todos los armónicos de f.m.m. son creados por corrientes sinusoidales de la frecuencia fundamental /, tienen la misma frecuencia fundamental f. Por otra parte, un armónico espacial de orden v, comparado con el armónico espacial fundamental, tiene un período de espacio v veces menor y, por consiguiente, un número v veces mayor de pares de polos.
Por consiguiente, / = v pnv, y la velocidad de rotación del armónico con respecto al devanado es
2. _ «t.
vp V
(4-41)
La velocidad del armónico espacial de f.m.m. de orden v con respecto al rotor de una máquina sincrónica es
(4-42)
donde el signo menos corresponde al desplazamiento del armónico en el sentido de la onda de f.m.m. fundamental y el signo más al desplazamiento del armónico en sentido contrario.
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Determinemos la velocidad de rotación de los armónicos de f.m.m. con respecto a los sistemas de estator y de rotor en una máquina sincrónica. Para los armónicos 5.* y 11.a de f.m.m., las velocidades relativas al estator y al rotor estacionario son iguales (en rps) a
1 1
«s = 5 "15 «ii =	«i.
de donde
"i =	4- ll,,ii.
Con entrehierro uniforme y circuito magnético no saturado, la densidad de flujo en el entrehierro es proporcional a la f.m.m. Por tanto, cada armónico de f.m.m. de orden v crea un armónico de campo del mismo orden.
Con rotor estacionario o fijo y el quinto armónico de f.m.m. girando a velocidad de ns rps con respecto a aquél y el 11.* armónico girando a velocidad de nn rps, las ff.ee.mm. inducidas en el rotor tendrán una frecuencia
/a =	— 1 Iprtn — /p
Cuando el rotor gira en sentido contrario al de los armónicos a velocidad nt = 5ns = ll«u, se inducirán ff.ee.mm. de frecuencia más alta en el rotor, o sea
/ata) = ÍP («i + «s) = 5p X 6n# = 6/, y
Za(ii) — Hp(«i + «ii) — Hp X 12nti — 12/i.
En consecuencia, para los armónicos de f.m.m. 7.a y 13.a girando en sentido del rotor,
/atn = 7P («i — «t) = 7p X 6/s, = 6ft
/atis) «= 13p(«i —«is) = 13P X 12ni8 = 12/,.
Así, pues, los armónicos 5.a y 7.a crean en el rotor una frecuencia de 6/f, el 11.a y el 13.a, la frecuencia 12/j; los 17.a y 19.a, la frecuencia 18/i, Y as* sucesivamente.
La presencia de armónicos de espacio más alto en la onda de f.m.m. en un entrehierro uniforme no implica la aparición de armónicos de tiempos más altos en la f.e.m. del devanado del estator. Sin embargo, los flujos debidos a estos armónicos de f.m.m. se desplazan con relación al rotor, originando las pérdidas por corrientes parásitas y, por consiguiente, reduciendo el rendimiento de la máquina. Por esta razón es necesario reducir los armónicos de orden más alto en la curva de f.m.m. de la máquina.
En el caso general, cuando la corriente no es sinusoidal, cada armónico de la corriente origina su propia serie de armónicos de f.m.m. La velocidad de una f.m.m. de orden v debida al armónico de orden p de la corriente se determinan por la ecuación
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Hv =
A* _
vp v
(4-43)
La velocidad angular de la f.m.m. de orden v creada porun armónico de corriente de orden p, con relación al rotor, es
"r
(4-44)
en que el signo menos corresponde a una f.m.m. que gira en el mismo sentido que el rotor.