Analisis de sistemas de potencia Resumen 37 - Arturo Lara

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4.8 INDUCTANCIA DE LÍNEAS DE CONDUCTORES COMPUESTOS 145
ciones son que los hilos paralelos son cilindricos y comparten la corriente por igual. El conductor X está compuesto de n hilos idénticos en paralelo, y cada uno lleva una corriente I/n. El conductor Y, que es el circuito de retomo para la corriente en el conductor X, se compone de m hilos idénticos paralelos, y cada uno lleva la corriente -I/m. Las distancias entre los elementos serán señaladas por la letra D con los subíndices apropiados. Al aplicar la ecuación (4.36) al hilo a del conductor X9 se obtienen los enlaces de flujo del hilo a
7 / 1 1
A = 2 X 10"7- ln — + ln — n 1 r'a	Dab
1
1
+ ln ——l- • • • + ln
Dac	D.
de la que
, I {	1
- 2 X 10“7— ln —— m l Daa-
- 1 1
+ ln —	1- ln —	F • • • + ln ——
Dab>	Dac'	Dam
1
(4.37)
Ao = 2 x 10-71n V	Wbv/m	(4.38)
yraLJai1Jac '' ‘ ^an
Se divide la ecuación (4.38) éntre la corriente Un, y se encuentra que la inductancia del hilo a es
La
m .		
Aa	. >lDaa’Dab'Da¿ ■ • • Dam
	= 2nx 10“7 ln „	H/m
7/n	y/r'aDabDac ■ ■ ■ Dan
(4-39)
De igual forma, la inductancia del hilo b es
Aft
Lh = — = 2n X 1CF7 ln b I/n
m ,	-■ "
Db<¿Dbb/Dbc> • • Dbm„ —_	—— H/m
^Dbar'bDbc ••• Dbn
(4.40)
La inductancia promedio de los hilos del conductor X es
T = a	c
^promedio
n
(4.41)
Conductor X
Conductor Y
FIGURA 4.8
Línea monofásica que consiste en dos conductores compuestos.
146 CAPÍTULO 4 IMPEDANCIA SERIE DE LÍNEAS DE TRASMISIÓN
El conductor Xse compone de n hilos que están eléctricamente en paralelo. Si todos los hilos tuvieran la misma inductancia, la del conductor sería el producto de la inductancia de un hilo por 1/n. En este análisis, todos los hilos tienen inductancias diferentes, pero la de todos en paralelo es \/n por la inductancia promedio. Así, la inductancia del conductor X es
=	= La + Lb + Lc + - + L„
r	n	n
Al sustituir la expresión logarítmica para la inductancia de cada hilo en la ecuación (4.42), y después de agrupar términos, se obtiene
Lx = 2 x 10'7
mn 	•— —
^^aa^ab'^ac’ **’	ba’bb'be' ’ ' *	' * * (Dnaf Dnb' Dncf ’ ‘ * Dnrn)	(A, ATA
X ln —	- —	—	—— H/m (4.43)
(DaaDabDac * * ’ Dan)(DbaDbbD bc ' ' ’ ^bn) ’ ’ ' ^^na^nb^nc ' ' ’ ^nn)
donde, para darle a la ecuación una forma simétrica, r/, rb y r' se han reemplazado por Daa, Dbb y D„n9 respectivamente.
Observe que el numerador del argumento del logaritmo en la ecuación (4.43) es la raíz Tww-ésima de mn términos, que son los productos de las distancias desde todos los n hilos del conductor Xa todos los m hilos del conductor Y. Para cada hilo en el conductor X hay m distancias a los hilos del conductor Y y hay n hilos en el conductor X. El producto de las m distancias para cada uno de los n hilos da como resultado mn términos. La raíz mn-ésima del producto de las mn distancias se llama distancia media geométrica entre el conductor X y el Y. Se abrevia Dm o DMG, y también es conocida como la DMG mutua entre los dos conductores.
El denominador del argumento del logaritmo en la ecuación (4.43) es la raíz n2-ésima de n2 términos. Hay n hilos y para cada uno hay n términos que consisten en la r’ del hilo por r las distancias desde ese hilo a cada uno de los que están en el conductor X. Así es como se tienen los n2 términos. Algunas veces, la r' se conoce como distancia del hilo a a sí mismo, especialmente cuando se le designa como Daa. Con esto en mente, los términos en el radical del denominador se pueden describir como el producto de las distancias desde cada hilo del conductor a sí mismo y a cada uno de los otros hilos. A la raíz w2-ésima de esos términos se le llama la DMG propia del conductor X, y a la r' del hilo separado se le llama la DMG propia del hilo. A la DMG propia también se le conoce como radio medio geométrico o RMG. La expresión matemática correcta es DMG propia, pero la práctica común ha hecho que el término RMG prevalezca. Se usará RMG con el fin de cumplir con esta práctica y se identificará por Ds.
La ecuación (4.43) en términos de Dm y Ds da
Lx-2X 10-7ln-^- H/m
(4.44)
El lector debe comparar las ecuaciones (4.44) y (4.25).
*	4.8 INDUCTANCIA DE LÍNEAS DE CONDUCTORES COMPUESTOS 1 47
La inductancia del conductor Y se determina de manera similar, y la inductancia de la « línea es
L —	"I" Ly
Ejemplo 4.2. El circuito de una línea de trasmisión monofásica se compone de tres conductores sólidos de radio 0.25 cm. El circuito de retomo se compone de dos conductores de radio 0.5 cm. El arreglo de conductores se muestra en la figura 4.9. Encuentre la inductancia debida a la corriente en cada lado de la línea y la de la línea completa en henrys por metro (y en milihenrys por milla).
Solución. Se encuentra la DMG entre los lados X y Y:
6 .	
= ^ad^ae^bd &be &cd ^ce
Dad = bbe = 9m "
Dae = Dbd - Dce = Vó2 + 92 - /H7
Dcd = 1/92 + 122 = 15 m
6 y	
Dm = V92 X 15 X 1173/2 = 10.743 m
Entonces, se encuentra la RMG para el lado X
9m
6 m
-:-Ob
6 m
c
Lado X
Lado Y
FIGURA 4.9
Arreglo de conductores para el ejemplo 4.2.
♦ 148 CAPÍTULO 4 IMPEDANCIA SERIE DE LÍNEAS DE TRASMISIÓN
&s = ^aa Dab ^ac ^ba ^bb ^bc ^ca ^cb ^cc
= ^(0.25 X 0.7788 X 1(T2)3 X 64 X 122 = 0.481 m
y para el lado Y
Ds = V(0-5 X 0.7788 X 10-2)2 X 62 = 0.153 m
,	10.743
Lx = 2 X 1(T7 In ——— = 6.212 X I0~7 H/m x	0.481
' n 10.743
Ly = 2 X 10"7 In 0	= 8.503 X 10 7 H/m
L = Lx 4- LY = 14.715 X 10"7 H/m
(¿ = 14.715 x lO"7 x 1609 x 103 = 2.37 mH/milla)
En el ejemplo 4.2 los conductores en paralelo de un lado de la línea están separados 6 m y la distancia entre los dos lados de la línea es de 9 m. Aquí resulta importante el cálculo de la DMG. Para conductores trenzados, la distancia entre lados de una línea compuesta de un conductor por lado, es generalmente tan grande que la DMG mutua se puede tomar como igual a la distancia centro a centro con un error insignificante.
Se obtiene un mayor grado de exactitud si se desprecia el efecto del alma de acero del ACSR en los cálculos de la inductancia, siempre que los hilos de aluminio estén en un número par de capas. Se hace más evidente el efecto del alma de acero cuando se tiene un número impar de capas de hilos de aluminio, pero la exactitud es buena si los cálculos se basan solamente sobre los hilos de aluminio.
4.9 EL USO DE TABLAS
Generalmente, las tablas que enlistan los valores de RMG para los conductores estándar están disponibles y dan información para el cálculo de la reactancia inductiva, así como de la capacitancia en paralelo y de la resistencia. Como en Estados Unidos la industria sigue usando unidades como pulgadas, pies y millas, las tablas también lo hacen. Por lo tanto, en algunos de los ejemplos se usarán los pies y millas pero en otros, los metros y kilómetros.
En general, es más deseable la reactancia inductiva que la inductancia. La reactancia inductiva de un conductor de una línea monofásica de dos conductores es
Dm
XL = 2irfL = 2tt/ X 2 X 10"7 In
= 4tt/ X 10"7 In íl/m	(4.45)