Analisis de sistemas de potencia Resumen 49 - Arturo Lara

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6.5 LA LÍNEA DE TRASMISIÓN LARGA: INTERPRETACIÓN DE LAS ECUACIONES 193
El segundo término en la ecuación (6.26), [(F^-	disminuye en magni
tud y está retrasado en fase desde el extremo receptor hasta el extremo generador. Se llama voltaje reflejado. En cualquier punto a lo largo de la línea, el voltaje es la suma de las componentes de los voltajes incidente y reflejado en ese punto.
Como la ecuación de la corriente es similar a la del voltaje, se puede considerar que la corriente está compuesta de las componentes incidente y reflejada.
Si la línea se termina en su impedancia característica Zc, el voltaje en el extremo receptor VR es igual a IRZC y no hay onda reflejada de voltaje ni de corriente, como se puede ver al sustituir IRZC por VR en las ecuaciones (6.26) y (6.27). A la línea terminada en su impedancia característica se le conoce como línea plana o línea infinita. Este último término surge del hecho de que una línea infinita no puede tener una onda reflejada. Generalmente, las líneas de potencia no terminan en su impedancia característica, pero las líneas de comunicación frecuentemente sí terminan, con el fin de eliminar la onda reflejada. Un valor típico de Zc es dfcAGft	uTirávcrAoy	SYparaia de dos circuitos en paralelo. Por
lo general, el ángulo de fase de Zc está entre 0 y -15°. Las líneas con conductores agrupados tienen valores bajos de Zc porque tienen una L más baja y una C más alta que las de las líneas con un conductor por fase.
En la práctica con sistemas de potencia, la impedancia característica es conocida algunas veces como impedancia de sobrevoltaje. Sin embargo, el término “impedancia de sobrevoltaje” por lo general se reserva para el caso especial de líneas sin pérdidas. Si una línea no tiene pérdidas, su resistencia serie y su conductancia paralelo son cero y la impedancia característica se reduce al número real 7¿ / C, que tiene las dimensiones de ohms cuando L es la inductancia serie de la línea en henrys y C es la capacitancia en paralelo en farads. También, la constante de propagación y = Jzy para la línea de longitud l se reduce al número imaginario j(i =ja> LC U porque la constante de atenuación a que resulta de las pérdidas de la línea es cero. Frecuentemente, cuando se trata con altas frecuencias o con sobrevoltajes debidos a rayos, se desprecian las pérdidas y la impedancia de sobre voltaje empieza a ser importante. La cargabilidad a la impedancia de sobrevoltaje (CIS) de una línea es la potencia entregada por ella a una carga puramente resistiva que es igual a la impedancia de sobrevoltaje. Cuando la línea está así cargada, suministra una corriente de
donde | VL | es el voltaje línea a línea en la carga. Debido a que la carga es puramente resistiva,
r \vl\
o con | en kilovolts,
PLf
CIS = MW
Jlíc
(6.28)
Algunas veces, los ingenieros de potencia encuentran conveniente expresar la poten-
194 CAPÍTULOS RELACIONES DE VOLTAJE Y CORRIENTE EN UNA LÍNEA DE TRASMISIÓN
cia trasmitida por la línea en términos de por unidad de los CIS, esto es, como la relación entre la potencia trasmitida y la cargabilidad a la impedancia de sobrevoltaje. Por ejemplo, la cargabilidad permisible de una línea de trasmisión se puede expresar como una fracción de su CIS y el CIS da una comparación de las capacidades que tienen las líneas de llevar - carga.* 1 * * *
Una longitud de onda X es la distancia entre dos puntos de una onda a lo largo de la _ . ..	„ línea qUe difieren 360° o 2 tt radianes en fase. Si /3 es el defasamiento en radianes por milla,
la longitud de onda en millas es
2 77 ‘
A = y	(6.29)
La velocidad de propagación de una onda en millas por segundo es el producto de la longitud de onda en millas y la frecuencia en hertz, o
2tt/
Velocidad =	-y-	(6.30)
Para la línea sin pérdidas de longitud / metros, /3 = ZirfjLCH y las ecuaciones (6.29) y (6.30) dan
X = —?=m	velocidad = m/s
fJIc	Jlc
Cuando se sustituyen los valores de L y C en estas ecuaciones para la línea aérea de pocas pérdidas, se encuentra que la longitud de onda es aproximadamente 3 000 millas a una frecuencia de 60 Hz y que la velocidad de propagación es muy cercana a la velocidad de la luz en aire (aproximadamente 186 000 millas/s o 3 x 108 m/s).
Si no hay carga en una línea, IR es igual a cero y los voltajes incidentes y reflejados son iguales en magnitud y en fase en el extremo receptor, como puede ser determinado mediante las ecuaciones (6.26) y (6.27). En este caso, las corrientes incidente y reflejada son iguales en magnitud, pero están defasadas 180° en el extremo receptor. Así, las corrientes incidente y reflejada se cancelan una a la otra en el extremo receptor de una línea abierta pero, a menos que la línea sea sin pérdidas y que la atenuación a sea cero, no se cancelarán en otro punto de la línea.
6.5 LA LÍNEA DE TRASMISIÓN LARGA: FORMA HIPERBÓLICA DE LAS ECUACIONES
Las ondas de voltaje incidente y reflejada se encuentran rara vez cuando se calcula el voltaje de la línea de potencia. La razón por la que se analizó el voltaje y la corriente de una línea en
1 Véase R. D. Dunlop, R. Gutman y P. P. Marchenko, “Analytical Development of Loadability Characteristics for
EHV and UHV Transmission Lines” (Desarrollo analítico de las características de cargabilidad para líneas de
trasmisión de extra alto y ultra alto voltaje), IEEE Transactions on Poner Apparatus and Systems, vol. PAS-98,
núm. 2,1979, págs. 606-617.
6.6 LA LÍNEA DE TRASMISIÓN LARGA: FORMA HIPERBÓLICA DE LAS ECUACIONES 195
términos de las componentes incidente y reflejada es que tal análisis es útil para tener un mejor entendimiento de algunos de los fenómenos que ocurren en las líneas de trasmisión. Una forma más conveniente de esas ecuaciones para los cálculos de corriente y voltaje de la línea de potencia se encuentra al introducir las funciones hiperbólicas. Estas últimas se definen en forma exponencial de la siguiente manera
senh 0=	fc -	(6.31)
ee + e~e
cosh 0 =	-—-	(6.32)
2
Se encuentra un nuevo conjunto de ecuaciones al rearreglar las ecuaciones (6.23) y (6.24) y sustituir las funciones hiperbólicas por los términos exponenciales. Las nuevas ecuaciones que dan el voltaje y la corriente en cualquier punto a lo largo de la línea son
V=VR cosh y x + IRZC senh y x	(6.33)
VR
I=IR cosh y x + ~ senh y x	(6.34)
Si se considera x = l para obtener el voltaje y la corriente en el extremo generador, se tiene
= VR cosh yl + IjfZ,. senh yl	(6.35)
VR
IS = IR cosh yl + 7 senh yl	{636)
Al examinar estas ecuaciones se observa que las constantes generalizadas del circuito para una línea larga son
,	, ,	„ senhy/
A = cosh yl C =	
Ze
(637)
B = ZC senh yl D = cosh yl
Al resolver las ecuaciones (6.35) y (6.36) para VR e IR en términos de Vs e Is, se tiene
= Vs cosh yl - ISZC senh yl	(6.38)
IR = IS cosh yl - — senh yl	(6.39)
'		 zc
196 CAPÍTULO 6 RELACIONES DE VOLTAJE Y CORRIENTE EN UNA LÍNEA DE TRASMISIÓN
Para líneas trifásicas balanceadas las corrientes en las ecuaciones anteriores son de línea y los voltajes son al neutro, esto es, los voltajes de línea divididos entre V3. Se deben evaluar las funciones hiperbólicas con el fin de resolver las ecuaciones. Como yl es generalmente un número complejo, las funciones hiperbólicas también son complejas y se pueden evaluar con la ayuda de una calculadora o de una computadora.
Para resolver ocasionalmente un problema sin ayuda de la computadora, se pueden seleccionar varios caminos. Las siguientes ecuaciones dan las expansiones de los senos y cosenos hiperbólicos de los argumentos complejos en términos de funciones circulares e hiperbólicas de argumentos reales:
cosh(aZ + yjBZ) = cosh al cos {31 + j senh al sen ¡31	(6.40)
senh(aZ +jf3I) = senh al cos ¡31 +j coshal sen ¡31	(6.41)
Las ecuaciones (6.40) y (6.41) hacen posible el cálculo de funciones hiperbólicas de argumentos complejos. La unidad matemática correcta para ¡31 es el radián, y éste es la unidad encontrada para jBZ al calcular la componente en cuadratura de yl. Se pueden verificar las ecuaciones (6.40) y (6.41) al sustituir en ellas las formas exponenciales de lasfunciones hiperbólicas y las formas exponenciales similares de las funciones circulares.
Otro método para evaluar las funciones hiperbólicas complejas se obtiene mediante las ecuaciones (6.31) y (6.32). Al sustituir a + j/3 por 0, se obtiene
Eaejp + E~aE~jp 1
cosh(a + jfi)				 -(ea¿£ + e~a/-0 )	(6.42)
eaE& — e ae 1	,	,	.
senh(a + j/3) =			= ~(ea/0 - e a/ -& )	(6.43)
Ejemplo 6.3. Una línea de trasmisión de un circuito a 60 Hz tiene una longitud de 370 km (230 millas). Los conductores son del tipo Jtook con espaciamiento plano horizontal y 7.25 m (23.8 pies) entre ellos. La carga en la línea es de 125 MW a 215 kV con un factor de potencia de 100%. Encuentre el voltaje, la corriente, la potencia en el extremo generador y la regulación de voltaje de la línea. Determine también la longitud y la velocidad de propagación de la onda en la línea.
Solución. Con el fin de usar las tablas A.3 a A.5 del apéndice, se seleccionan los pies y las millas en vez de los metros y kilómetros:
Z>eq = V23.8 x 23.8 x 47.6 = 30.0 pies
y de las tablas para el conductor Rook
z = 0.1603 + /(0.415 + 0.4127) = 0.8431/79,04° O/milla	1
y = >[1/(0.0950 + 0.1009)] X 10“6 = 5.105 X 10~6/90° S/milla
			 / 79.04° + 90°
yl = Jyzl = '230v 0.8431 X 5.105 X 10~6 /