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Analisis de sistemas de potencia Resumen 48 - Arturo Lara

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6.4 LA LÍNEA DE TRASMISIÓN LARGA: SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 189
s
VR + ZIR
(6.5)
Para encontrar Is, se observa que la corriente en la capacitancia en derivación en el extremo generador es KsK/2, que sumada a la corriente en la rama serie da
s - ys~^ R 2 R
(6.6)
Al sustituir Vs, de la ecuación (6.5), en la ecuación (6.6), se obtiene
s ~ yR
ÍR
(6.7)
Las ecuaciones (6.5) y (6.7) se pueden expresar en la forma general
Vs = AVR + BIR
(6-8)
donde
is = cvr + dir
(6-9)
(6.10)
B = Z
A las constantes ABCD se les llama algunas veces constantes generalizadas de circuito de la línea de trasmisión. En general, son números complejos. Ay D son adimensionales e iguales entre sí, si la línea es la misma cuando se ve desde cada terminal. Las dimensiones de B y C son los ohms y los mhos o siemens, respectivamente. Las constantes se aplican a cualquier red lineal, pasiva y con cuatro terminales en dos lados, y cada uno tiene un par de ellas. A tal circuito se le conoce como red de dos puertos.
Fácilmente se puede dar un significado físico a las constantes. Si en la ecuación (6.8) IR es cero, se observa que A es la relación VS/VR sin caiga. De igual forma, B es la relación VS/IR cuando el extremo receptor está en cortocircuito. La constante A es útil en el cálculo de la regulación. Si VR>FL es el voltaje en el extremo receptor a plena carga para un voltaje en el extremo generador 7S, la ecuación (6.3) da
Por ciento de regulación =	x 100
(6.11)
En la tabla A.6 del apéndice se enlistan las constantes ABCD para varias redes y combinaciones.
190 CAPÍTULO 6 RELACIONES DE VOLTAJE Y CORRIENTE EN UNA LÍNEA DE TRASMISIÓN
6A LA LÍNEA DE TRASMISIÓN LARGA: SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
La solución exacta de cualquier línea de trasmisión, y la que se requiera con un alto grado de exactitud al calcular líneas de 60 Hz con más de 150 millas de largo, debe considerar el hecho de que los parámetros de la línea no están agrupados sino distribuidos uniformemente a lo largo de la línea.
En la figura 6.8 se muestra una fase y la conexión al neutro de una línea trifásica. No se muestran los parámetros concentrados porque se considerará la solución de la línea con la impedancia y la admitancia uniformemente distribuidas. En la figura 6.8 se considera un elemento diferencial de longitud dx en la línea, a una distancia x desde el extremo receptor de la línea. Entonces, z dx y y dx son la impedancia serie y la admitancia paralelo de la sección elemental, respectivamente. V e I son los fasores que varían con x.
La corriente promedio en la línea es (/ + 7+ d!)/2 y el incremento de V en la distancia dx se expresa lo suficientemente aproximado como
I + I + dI
dV =		—— zdx = Izdx
2
(6.12)
cuando los productos de las cantidades diferenciales se desprecian. De manera similar,
V + V + dV di =			ydx = Vydx
(6.13)
Entonces, de las ecuaciones (6.12) y (6.13) se tiene
dV
~d^=IZ
(6-14)
y
di
(6.15)
Al derivar las ecuaciones (6.14) y (6.15) con respecto ax, se obtiene
Generador
FIGURA 6.8
Diagrama esquemático de una línea de trasmisión que muestra una fase y el neutro de regreso. Se indican la nomenclatura para la línea y el elemento de longitud.
6.4 LA LÍNEA DE TRASMISIÓN LARGA: SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 191
	d2V di
~d¿2=Z&
	(6.16)
	y	d2I dV
¿T2=y&
	(6-17)
Si se sustituyen los valores de dlldx y dVIdx de las ecuaciones (6.15) y (6.14) en las ecuaciones (6.16) y (6.17), respectivamente, se obtiene
	d2V
	(6.18)
	--yzl
dx2 y
	(6-19)
Ahora se tiene por un lado la ecuación (6.18) en la que sólo son variables Ky x y, por otro, la ecuación (6.19) cuyas únicas variables son ly x. Las soluciones de las ecuaciones de Ve I deben ser expresiones que cuando se deriven dos veces con respecto ax, den como resultado la expresión original multiplicada por la constante yz. Por ejemplo, cuando se deriva dos veces con respecto a x la solución para F, se debe obtener yzV. Esto sugiere una forma exponencial en la solución. Suponga que la solución de la ecuación (6.18) es
	r = y41£v^ + A2e~^x
	(6.20)
Al calcular la segunda derivada de V con respecto a x en la ecuación (6.20) se obtiene
	d2V	r r-
~^=yz\A^x +A2,T^X]
	(6.21)
que es yz multiplicada por la solución supuesta para V. Por lo tanto, la ecuación (6.20) es la solución de la ecuación (6.18). Cuando se sustituye el valor de Vdado por la ecuación (6.20) en la ecuación (6.14), se obtiene
	I = -¡L=A.e^x - ~^=A2e~^x y[z/y
	(6.22)
Se pueden evaluar las constantes A\ y A2 usando las condiciones en el extremo receptor de la línea; es decir, cuando x = 0, V = VR e I = IR. Al sustituir estos valores en las ecuaciones (6.20) y (6.22) da
Vr~A\+a2 y Zr= > ~ Mi ~ ^2)
Se sustituye Zc = Jz/ y y al resolver para A,,se tiene
192 CAPÍTULO 6 RELACIONES DE VOLTAJE Y CORRIENTE EN UNA LÍNEA DE TRASMISIÓN
Entonces, se sustituyen los valores encontrados para Ax y Á2 en las ecuaciones (6.20) y
(6.22) y al hacer y =-Jyz, se obtiene
2	2
(6.23)
VR/ZC + IR VR/ZC-IR
	ey	e y
(6-24)
donde Zc = y¡z / y y se llama impedancia característica de la línea y y = ->[zy y se le conoce como constante de propagación.
Las ecuaciones (6.23) y (6.24) dan los valores rms de V e I, así como sus ángulos de fase, en cualquier punto específico a lo largo de la línea a una distancia x, desde el extremo receptor al punto específico, siempre que sean conocidos VR, IR y los parámetros de la línea.
6.5 LA LÍNEA DE TRASMISIÓN LARGA: INTERPRETACIÓN DE LAS ECUACIONES
Tanto y como Zc son cantidades complejas. A la parte real de la constante de propagación y se le llama constante de atenuación a y se mide en nepers por unidad de longitud. La parte en cuadratura de y se llama constante de fase /3 y se mide en radianes por unidad de longitud. Así,
y = a + jp	(6.25)
y las ecuaciones (6.23) y (6.24) dan
VR + IRZC	VR~IRZC
V =	eax£^x +	ce-axe~ll3x	(6.26)
VR/ZC + IR	VR/Z-IR
y	j	r/_^		(6 >27)
Las propiedades de E°“ y £ÍPx ayudan a explicar la variación de los valores fasoriales de voltaje y corriente como una función de la distancia a lo largo de la línea. El término E°“ cambia en magnitud conforme x cambia, pero (que es idéntico a cos px +j sen px) siempre tiene una magnitud de 1 y origina un defasamiento de p radianes por unidad de longitud de la línea.
El primer término en la ecuación (6.26), [(Ffi +	£jPx, se incrementa en mag
nitud y avanza en fase conforme se incrementa la distancia x desde el extremo receptor. Por el contrario, conforme se considera el avance a lo largo de la línea desde el extremo generador hacia el extremo receptor, el término disminuye en magnitud y está atrasado en fase. Ésta es la característica de una onda viajera y es similar al comportamiento de una onda en el agua, la cual varía en magnitud con el tiempo en cada punto, mientras que su fase está retrasada y su valor máximo disminuye con la distancia desde el origen. La variación en el valor instantáneo no se expresa en el término pero está implícito ya que VR e IR son fasores. El primer término en la ecuación (6.26) se llama voltaje incidente.

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