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Analisis de sistemas de potencia Resumen 41 - Arturo Lara

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5.2 DIFERENCIA DE POTENCIAL ENTRE DOS PUNTOS DEBIDA A UNA CARGA 161
FIGURA 5.1
Líneas del flujo eléctrico que se originan en las cargas positivas distribuidas
uniformemente sobre la superficie de un conductor cilindrico aislado.
campo. La intensidad del campo eléctrico en volts por metro es igual a la fuerza en newtons por coulomb sobre un coulomb de carga en el punto considerado. La integral de línea, entre los dos puntos, de la fuerza en newtons que actúa sobre un coulomb de carga positiva, es el trabajo hecho para mover la carga desde el punto de más bajo al de más alto potencial y es numéricamente igual a la diferencia de potencial entre los dos puntos.
Considere, como se muestra en la figura 5.2, un conductor largo y recto que lleva una carga positiva de q C/m. Los puntos Px y P2 se localizan a las distancias Dx y Z>2 metros desde el centro del conductor, respectivamente. El conductor es una superficie equipotencial y para calcular el flujo externo al conductor, se puede considerar que la carga distribuida uniformemente sobre él es equivalente a la carga concentrada en su centro. La carga positiva sobre el conductor ejercerá una fuerza de repulsión sobre las cargas positivas colocadas en el campo. Por esta razón, y porque en este caso, D2 es mayor que DX9 se debe realizar trabajo sobre la carga positiva para moverla de P2 a estando Px a un potencial mayor que P2. La diferencia en potencial es la cantidad de trabajo realizado por coulomb de carga que se mueve. Por otro lado, si el coulomb de carga se mueve desde Px a P2. se libera energía, y la cantidad de trabajo o energía es la caída de voltaje desde Px a P2 en newtons-metro. La diferencia de potencial es independiente de la trayectoria que se siga. La forma más simple de determinar la caída de voltaje entre dos puntos es calcular el voltaje entre las superficies equipotenciales que pasan a través de Px y P2 mediante la integración de la intensidad de campo sobre una trayectoria radial entre las superficies equipotenciales. Así, la caída de voltaje instantánea entre Px y P2 es
FIGURA 5.2
Trayectoria de integración éntre dos puntos externos a un conductor
cilindrico que tiene una carga positiva distribuida uniformemente.
162 CAPÍTULO 5 CAPACITANCIA DE LÍNEAS DE TRASMISIÓN
' fD2 Q ' d
v12= Edx =	-—— ax = -—-
1	•'d1	'd¡ 2irkx 2irk
d2
ln-± V
(5-3)
donde q es la carga instantánea sobre el conductor en coulombs por metro de longitud. Observe que la caída de voltaje entre los dos puntos, dada por la ecuación (5.3), puede ser positiva o negativa dependiendo de que la carga que causa la diferencia de potencial sea positiva o negativa y de que la caída de voltaje se calcule desde el punto más cercano al conductor hasta el más alejado, o viceversa. El signo de q puede ser positivo o negativo y el término logarítmico es positivo o negativo dependiendo de que Z>2 sea mayor o menor que Pp
5.1 CAPACITANCIA DE UNA LÍNEA DE DOS CONDUCTORES
La capacitancia de una línea de dos conductores se define como la carga sobre los conductores por unidad de la diferencia de potencial entre ellos. En forma de ecuación, la capacitancia por unidad de longitud de la línea es
C = - F/m
V
(5.4)
donde q es la carga sobre la línea en coulombs por metro y v es la diferencia de potencial entre los conductores en volts. Por conveniencia, de aquí en adelante se hará referencia a la capacitancia por unidad de longitud solamente como capacitancia y se indicarán las dimensiones correctas para las ecuaciones desarrolladas. La capacitancia entre dos conductores se puede encontrar al sustituir en la ecuación (5.4) la expresión para v en términos de q dada por la ecuación (5.3). Se puede encontrar el voltaje vaé entre los conductores de la línea de dos hilos que se muestra en la figura 5.3, si se calcula la caída de voltaje debida a la carga qa en el conductor a y después la caída de voltaje debida a la carga qb sobre el conductor b. Por el principio de superposición, la caída de voltaje del conductor a al b, debida a las cargas en ambos conductores, es la suma de las caídas de voltaje causadas por cada una de las cargas por separado.
La carga qa sobre el conductor a de la figura 5.3 origina superficies equipotenciales en la vecindad del conductor b como se muestra en la figura 5.4. Se evitan las superficies equipotenciales distorsionadas si se integra la ecuación (5.3) a lo largo de la trayectoria alterna, en lugar de la directa, de la figura 5.4. Para determinar vab, debida a qa, se sigue la trayectoria a través de la región no distorsionada y se observa que la distancia en la ecuación (5.3) es el radio ra del conductor a y la distancia D2 es la distancia de centro a centro de los conductores a y b. De igual forma, para determinar vab debida a qb, se observa que las distancias D2 y D{ son rbyD, respectivamente. Se convierte a la notación fasorial (qa y qb son fasores), y se obtiene
FIGURA 53
Sección transversal de una línea con conductores paralelos.
5.3 CAPACITANCIA DE UNA LÍNEA DE DOS CONDUCTORES 163
o	D	q.	r.
^ = ¿2-ln-+fMn-^V	(5.5)
2irk	r	lirk D
a
debido a qa	debido a qb
y como para una línea de dos conductores qa~- qb,
ab ~
<la
2vk
( D	rb\
ln	In^ V
ra	D
(5.6)
o al combinar los términos logarítmicos, se obtiene
(5.7)
La capacitancia entre los conductores es
c
“ V.„
2trk
\ F/m
(5.8)
Si ra = rb = r,
ab
irk
1^77) F/m
(5.9)
FIGURA 5.4
Superficies equipotenciales de una
porción de campo eléctrico origina-
do por un conductor a cargado (que
no se muestra). El conductor b causa
que las superficies equipotenciales se
distorsionen. Las flechas indican las
trayectorias opcionales de integra-
ción entre un punto sobre la superfi-
cie equipotencial del conductor b y
el conductor a, cuya carga q^ es el
origen de las superficies equipoten-
ciales mostradas.
164 CAPÍTULO 5 CAPACITANCIA DE LÍNEAS DE TRASMISIÓN
La ecuación (5.9) da la capacitancia entre conductores de una línea de dos conductores. Si la línea se alimenta desde un transformador que tiene una derivación central a tierra, la diferencia de potencial entre cada conductor y la tierra es la mitad de la diferencia de potencial entre los conductores, y la capacitancia a tierra o capacitancia al neutro es
2irk	w
Cn = Can = Cbn =	=	F/m al neutro	(5.10)
” an bn v^¡2 Xr^D¡ry	>
En la figura 5.5 se ilustra el concepto de capacitancia al neutro.
La ecuación (5.10) corresponde a la (4.25) de la inductancia. Debe observarse cuidadosamente una diferencia entre las ecuaciones para la inductancia y la capacitancia. El radio en la ecuación para la capacitancia es el radio exterior real del conductor y no el radio medio geométrico (RMG) del conductor como en la fórmula de la inductancia.
La ecuación (5.3), de la que se obtuvieron las ecuaciones (5.5) a (5.10), se basa sobre la suposición de una distribución uniforme de la carga sobre la superficie del conductor. Cuando otras cargas están presentes, la distribución de la carga sobre la superficie del conductor no es uniforme y las ecuaciones que se obtienen de la (5.3) no son estrictamente correctas. Sin embargo, la no uniformidad de la distribución de carga se puede despreciar por completo en líneas aéreas puesto que el error en la ecuación (5.10) es de sólo 0.01%, aun para distancias tan próximas como aquéllas en las que D/r = 50.
Como la ecuación (5.10) se obtuvo para un conductor cilindrico sólido, surge la pregunta acerca del valor a usarse en el denominador del argumento del logaritmo cuando el conductor es trenzado. Como el flujo eléctrico es perpendicular a la superficie de un conductor perfecto, el campo eléctrico en la superficie de uno trenzado no es igual al de uno cilindrico. Por lo tanto, la capacitancia para un conductor trenzado calculada al sustituir el radio externo del conductor por r en la ecuación (5.10), será algo errónea por la diferencia entre el campo en la vecindad del conductor trenzado y el campo cercano al conductor sólido. Sin embargo, el error es muy pequeño porque solamente se afecta el campo en la parte más próxima al conductor. Por tanto, para calcular la capacitanciase usa el radio externo del conductor trenzado.
Después de que se ha determinado la capacitancia al neutro, se puede encontrar la reactancia capacitiva que se presenta entre un conductor y el neutro para una permitividad relativa kr = 1, mediante la expresión para C dada en la ecuación (5.10), y así obtener
Xc =	=	x 109 ln — Í1 • m al neutro	(5.11)
2tt/C f	r
a) Representación de la capacitancia línea a línea
b) Representación de la capacitancia línea a neutro
FIGURA 5.5
Relación entre los conceptos de capacitancia línea a línea y capacitancia línea a neutro.

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