03-trigonometria

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Trigonometría
Carlos Hernández Garciadiego
Instituto de Matemáticas, Facultad de Ciencias UNAM
2014
Carlos Hernández Garciadiego (Institute) Trigonometría 2014 1 / 23
Ángulos y su medición
Dadas dos semirectas OA y OB, si hacemos girar OA hasta llegar a
OB, decimos que se generó un ángulo ]AOB.
Medidas de ángulos
Una vuelta completa mide:
360 grados
2π radianes (el perímetro de un círculo de radio 1 es 2π)
360 grados → 2π radianes
x grados → y radianes
Carlos Hernández Garciadiego (Institute) Trigonometría 2014 2 / 23
Ángulos y su medición
Dadas dos semirectas OA y OB, si hacemos girar OA hasta llegar a
OB, decimos que se generó un ángulo ]AOB.
Medidas de ángulos
Una vuelta completa mide:
360 grados
2π radianes (el perímetro de un círculo de radio 1 es 2π)
360 grados → 2π radianes
x grados → y radianes
Carlos Hernández Garciadiego (Institute) Trigonometría 2014 2 / 23
Ángulos y su medición
Dadas dos semirectas OA y OB, si hacemos girar OA hasta llegar a
OB, decimos que se generó un ángulo ]AOB.
Medidas de ángulos
Una vuelta completa mide:
360 grados
2π radianes (el perímetro de un círculo de radio 1 es 2π)
360 grados → 2π radianes
x grados → y radianes
Carlos Hernández Garciadiego (Institute) Trigonometría 2014 2 / 23
Ángulos y su medición
Dadas dos semirectas OA y OB, si hacemos girar OA hasta llegar a
OB, decimos que se generó un ángulo ]AOB.
Medidas de ángulos
Una vuelta completa mide:
360 grados
2π radianes (el perímetro de un círculo de radio 1 es 2π)
360 grados → 2π radianes
x grados → y radianes
Carlos Hernández Garciadiego (Institute) Trigonometría 2014 2 / 23
Cuando se mide en grados, se pueden utilizar grados minutos y
segundos, o grados y fracción decimal
32.5892◦ = 32◦ 35′ 21′′
Si el giro se hace en contra del mov de las manecillas del reloj, el
ángulo es positivo
Si el giro se hace a favor del mov de las manecillas del reloj, el ángulo
es negativo
Carlos Hernández Garciadiego (Institute) Trigonometría 2014 3 / 23
Cuando se mide en grados, se pueden utilizar grados minutos y
segundos, o grados y fracción decimal
32.5892◦ = 32◦ 35′ 21′′
Si el giro se hace en contra del mov de las manecillas del reloj, el
ángulo es positivo
Si el giro se hace a favor del mov de las manecillas del reloj, el ángulo
es negativo
Carlos Hernández Garciadiego (Institute) Trigonometría 2014 3 / 23
Cuando se mide en grados, se pueden utilizar grados minutos y
segundos, o grados y fracción decimal
32.5892◦ = 32◦ 35′ 21′′
Si el giro se hace en contra del mov de las manecillas del reloj, el
ángulo es positivo
Si el giro se hace a favor del mov de las manecillas del reloj, el ángulo
es negativo
Carlos Hernández Garciadiego (Institute) Trigonometría 2014 3 / 23
Trigonometría del triángulo rectángulo
senB = bc =
c. opuesto
hipotenusa
cosB = ac =
c. adyacente
hipotenusa
tanB = ba =
c. opuesto
c. adyacente
cscB = cb =
hipotenusa
c. opuesto
secB = ca =
hipotenusa
c.adyacente
cotB = ab =
c. adyacente
c.opuesto
Carlos Hernández Garciadiego (Institute) Trigonometría 2014 4 / 23
Un avión de control remoto se eleva formando un ángulo de 15◦ con
respecto al piso. si se desploma a 35 m del punto de partida (medido
horizontalmente) ¿qué altura alcanzó?
Una señora con estatura de 1.6 m proyecta una sombra del doble de
su estatura. ¿qué ángulo forma el sol con el suelo?
Deseamos encontrar la altura de una montaña. Junto a su base hay
una reserva ecológica. La distancia entre los puntos de la reserva más
cercano y más lejano a la montaña es de 1500 m. Si los ángulos
tomados desde esos puntos y la punta de la montaña miden 40◦ y
55◦, ¿qué altura tiene la montaña a partir de su base?
Carlos Hernández Garciadiego (Institute) Trigonometría 2014 5 / 23
Un avión de control remoto se eleva formando un ángulo de 15◦ con
respecto al piso. si se desploma a 35 m del punto de partida (medido
horizontalmente) ¿qué altura alcanzó?
Una señora con estatura de 1.6 m proyecta una sombra del doble de
su estatura. ¿qué ángulo forma el sol con el suelo?
Deseamos encontrar la altura de una montaña. Junto a su base hay
una reserva ecológica. La distancia entre los puntos de la reserva más
cercano y más lejano a la montaña es de 1500 m. Si los ángulos
tomados desde esos puntos y la punta de la montaña miden 40◦ y
55◦, ¿qué altura tiene la montaña a partir de su base?
Carlos Hernández Garciadiego (Institute) Trigonometría 2014 5 / 23
Un avión de control remoto se eleva formando un ángulo de 15◦ con
respecto al piso. si se desploma a 35 m del punto de partida (medido
horizontalmente) ¿qué altura alcanzó?
Una señora con estatura de 1.6 m proyecta una sombra del doble de
su estatura. ¿qué ángulo forma el sol con el suelo?
Deseamos encontrar la altura de una montaña. Junto a su base hay
una reserva ecológica. La distancia entre los puntos de la reserva más
cercano y más lejano a la montaña es de 1500 m. Si los ángulos
tomados desde esos puntos y la punta de la montaña miden 40◦ y
55◦, ¿qué altura tiene la montaña a partir de su base?
Carlos Hernández Garciadiego (Institute) Trigonometría 2014 5 / 23
Carlos Hernández Garciadiego (Institute) Trigonometría 2014 6 / 23
Carlos Hernández Garciadiego (Institute) Trigonometría 2014 7 / 23
Carlos Hernández Garciadiego (Institute) Trigonometría 2014 8 / 23
Resolución de triángulos rectángulos
Dado un triángulo rectángulo, para determinarlo completamente,
basta conocer
Dos lados
Un ángulo agudo y un lado
En el primer caso, con T. Pitágoras se conoce el tercero y con
cualquier razón. trigonométrica se conocen los ángulos
En el segundo caso, con alguna razón trigonométrica se conoce otro
lado y se aplica el primer caso.
Carlos Hernández Garciadiego (Institute) Trigonometría 2014 9 / 23
Resolución de triángulos rectángulos
Dado un triángulo rectángulo, para determinarlo completamente,
basta conocer
Dos lados
Un ángulo agudo y un lado
En el primer caso, con T. Pitágoras se conoce el tercero y con
cualquier razón. trigonométrica se conocen los ángulos
En el segundo caso, con alguna razón trigonométrica se conoce otro
lado y se aplica el primer caso.
Carlos Hernández Garciadiego (Institute) Trigonometría 2014 9 / 23
Resolución de triángulos rectángulos
Dado un triángulo rectángulo, para determinarlo completamente,
basta conocer
Dos lados
Un ángulo agudo y un lado
En el primer caso, con T. Pitágoras se conoce el tercero y con
cualquier razón. trigonométrica se conocen los ángulos
En el segundo caso, con alguna razón trigonométrica se conoce otro
lado y se aplica el primer caso.
Carlos Hernández Garciadiego (Institute) Trigonometría 2014 9 / 23
Resolución de triángulos rectángulos
Dado un triángulo rectángulo, para determinarlo completamente,
basta conocer
Dos lados
Un ángulo agudo y un lado
En el primer caso, con T. Pitágoras se conoce el tercero y con
cualquier razón. trigonométrica se conocen los ángulos
En el segundo caso, con alguna razón trigonométrica se conoce otro
lado y se aplica el primer caso.
Carlos Hernández Garciadiego (Institute) Trigonometría 2014 9 / 23
Resolución de triángulos rectángulos
Dado un triángulo rectángulo, para determinarlo completamente,
basta conocer
Dos lados
Un ángulo agudo y un lado
En el primer caso, con T. Pitágoras se conoce el tercero y con
cualquier razón. trigonométrica se conocen los ángulos
En el segundo caso, con alguna razón trigonométrica se conoce otro
lado y se aplica el primer caso.
Carlos Hernández Garciadiego (Institute) Trigonometría 2014 9 / 23
Ángulos 30◦, 45◦ y 60◦
sen 45◦ = 1√
2
cos 45◦ = 1√
2
tan 45◦ = 1
sen 30◦ = 12 cos 30
◦ =
√
3
2 tan 30
◦ = 1√
3
sen 60◦ =
√
3
2 cos 60
◦ = 12 tan 60
◦ =
√
3
Carlos Hernández Garciadiego (Institute) Trigonometría 2014 10 / 23
Círculo unitario y razones trigonométricas
Si P (x , y) está sobre el círculo unitario y en el primer cuadrante, el
segmento OP forma un ángulo agudo B con el eje X , entonces,
sabemos que
cosB =
Px
1
= x senB =
Py
1
= y
así que las coordenadas de P son (cosB, senB)Carlos Hernández Garciadiego (Institute) Trigonometría 2014 11 / 23
Extendemos las definiciones de coseno y seno para cualquier ángulo B
considerando un punto P en el círculo unitario, tal que el segmento
OP forme un ángulo B con el eje X
cosB = primera coord de P
senB = segunda coord de P
Si el ángulo B es negativo, lo medimos a favor de las manecillas del
reloj.
Carlos Hernández Garciadiego (Institute) Trigonometría 2014 12 / 23
Extendemos las definiciones de coseno y seno para cualquier ángulo B
considerando un punto P en el círculo unitario, tal que el segmento
OP forme un ángulo B con el eje X
cosB = primera coord de P
senB = segunda coord de P
Si el ángulo B es negativo, lo medimos a favor de las manecillas del
reloj.
Carlos Hernández Garciadiego (Institute) Trigonometría 2014 12 / 23
Algunas Identidades Trigonométricas
Pitagórica: cos2 (B) + sen2 (B) = 1
Demostración: El punto
P (cosB, senB)
está en el círculo unitario.
Carlos Hernández Garciadiego (Institute) Trigonometría 2014 13 / 23
Algunas Identidades Trigonométricas
Pitagórica: cos2 (B) + sen2 (B) = 1
Demostración: El punto
P (cosB, senB)
está en el círculo unitario.
Carlos Hernández Garciadiego (Institute) Trigonometría 2014 13 / 23
Reflexiones
Ángulos negativos:
cos (−B) = cos (B)
sen (−B) = − sen (B)
Demostración: El punto Q (cos (−B) , sen (−B)) es el reflejo del
punto P (cosB, senB) sobre el eje X
Carlos Hernández Garciadiego (Institute) Trigonometría 2014 14 / 23
Reflexiones
Ángulos negativos:
cos (−B) = cos (B)
sen (−B) = − sen (B)
Demostración: El punto Q (cos (−B) , sen (−B)) es el reflejo del
punto P (cosB, senB) sobre el eje X
Carlos Hernández Garciadiego (Institute) Trigonometría 2014 14 / 23
Angulos suplementarios:
cos (180◦ − B) = − cos (B)
sen (180◦ − B) = sen (B)
Demostración: El punto Q
(
cos
(
180◦ − B |
)
, sen (180◦ − B)
)
es el
reflejo del punto P (cosB, senB) sobre el eje Y
Carlos Hernández Garciadiego (Institute) Trigonometría 2014 15 / 23
Angulos suplementarios:
cos (180◦ − B) = − cos (B)
sen (180◦ − B) = sen (B)
Demostración: El punto Q
(
cos
(
180◦ − B |
)
, sen (180◦ − B)
)
es el
reflejo del punto P (cosB, senB) sobre el eje Y
Carlos Hernández Garciadiego (Institute) Trigonometría 2014 15 / 23
Ángulos complementarios
cos (90◦ − B) = sen (B)
sen (90◦ − B) = cos (B)
Demostración: El punto Q
(
cos
(
90◦ − B |
)
, sen (90◦ − B)
)
es el
reflejo del punto P (cosB, senB) sobre la recta y = x
Carlos Hernández Garciadiego (Institute) Trigonometría 2014 16 / 23
Ángulos complementarios
cos (90◦ − B) = sen (B)
sen (90◦ − B) = cos (B)
Demostración: El punto Q
(
cos
(
90◦ − B |
)
, sen (90◦ − B)
)
es el
reflejo del punto P (cosB, senB) sobre la recta y = x
Carlos Hernández Garciadiego (Institute) Trigonometría 2014 16 / 23
Reflexión respecto al origen
cos (180◦ + B) = − cos (B)
sen (180◦ + B) = − sen (B)
Demostración: El punto Q (cos (180◦ + B) , sen (180◦ + B)) es el
reflejo del punto P (cosB, senB) sobre el origen
Carlos Hernández Garciadiego (Institute) Trigonometría 2014 17 / 23
Reflexión respecto al origen
cos (180◦ + B) = − cos (B)
sen (180◦ + B) = − sen (B)
Demostración: El punto Q (cos (180◦ + B) , sen (180◦ + B)) es el
reflejo del punto P (cosB, senB) sobre el origen
Carlos Hernández Garciadiego (Institute) Trigonometría 2014 17 / 23
Suma y resta de ángulos
cos (A+ B) = cosA cosB − senA senB
cos (A− B) = cosA cosB + senA senB
Demostración: Se calcula la distancia de Q a U de dos formas
distintas
Carlos Hernández Garciadiego (Institute) Trigonometría 2014 18 / 23
Suma y resta de ángulos
cos (A+ B) = cosA cosB − senA senB
cos (A− B) = cosA cosB + senA senB
Demostración: Se calcula la distancia de Q a U de dos formas
distintas
Carlos Hernández Garciadiego (Institute) Trigonometría 2014 18 / 23
Consecuencias
sen (A+ B) = senA cosB + cosA senB
sen (A− B) = senA cosB − cosA senB
cos (2A) = cos2 A− sen2 A
sen (2A) = 2 senA cosA
senA cosB =
1
2
sen (A+ B) +
1
2
sen (A− B)
tan (A+ B) =
tanA+ tanB
1− tanA tanB
Carlos Hernández Garciadiego (Institute) Trigonometría 2014 19 / 23
Consecuencias
sen (A+ B) = senA cosB + cosA senB
sen (A− B) = senA cosB − cosA senB
cos (2A) = cos2 A− sen2 A
sen (2A) = 2 senA cosA
senA cosB =
1
2
sen (A+ B) +
1
2
sen (A− B)
tan (A+ B) =
tanA+ tanB
1− tanA tanB
Carlos Hernández Garciadiego (Institute) Trigonometría 2014 19 / 23
Consecuencias
sen (A+ B) = senA cosB + cosA senB
sen (A− B) = senA cosB − cosA senB
cos (2A) = cos2 A− sen2 A
sen (2A) = 2 senA cosA
senA cosB =
1
2
sen (A+ B) +
1
2
sen (A− B)
tan (A+ B) =
tanA+ tanB
1− tanA tanB
Carlos Hernández Garciadiego (Institute) Trigonometría 2014 19 / 23
Consecuencias
sen (A+ B) = senA cosB + cosA senB
sen (A− B) = senA cosB − cosA senB
cos (2A) = cos2 A− sen2 A
sen (2A) = 2 senA cosA
senA cosB =
1
2
sen (A+ B) +
1
2
sen (A− B)
tan (A+ B) =
tanA+ tanB
1− tanA tanB
Carlos Hernández Garciadiego (Institute) Trigonometría 2014 19 / 23
Ley de los Senos
En un triángulo 4ABC
a
senA
=
b
senB
=
c
senC
Problema: Si dos de los ángulos de un triángulo miden 75◦ y 25◦, y si
el lado opuesto al ángulo de 25◦ mide 6 cm, encontrar todos los otros
elementos.
Problema: Si en un triángulo 4ABC , |AC | = 5 cm y |BC | = 9 cm y
]B = 30◦, encontrar los demás elementos.
Carlos Hernández Garciadiego (Institute) Trigonometría 2014 20 / 23
Ley de los Senos
En un triángulo 4ABC
a
senA
=
b
senB
=
c
senC
Problema: Si dos de los ángulos de un triángulo miden 75◦ y 25◦, y si
el lado opuesto al ángulo de 25◦ mide 6 cm, encontrar todos los otros
elementos.
Problema: Si en un triángulo 4ABC , |AC | = 5 cm y |BC | = 9 cm y
]B = 30◦, encontrar los demás elementos.
Carlos Hernández Garciadiego (Institute) Trigonometría 2014 20 / 23
Ley de los Senos
En un triángulo 4ABC
a
senA
=
b
senB
=
c
senC
Problema: Si dos de los ángulos de un triángulo miden 75◦ y 25◦, y si
el lado opuesto al ángulo de 25◦ mide 6 cm, encontrar todos los otros
elementos.
Problema: Si en un triángulo 4ABC , |AC | = 5 cm y |BC | = 9 cm y
]B = 30◦, encontrar los demás elementos.
Carlos Hernández Garciadiego (Institute) Trigonometría 2014 20 / 23
Carlos Hernández Garciadiego (Institute) Trigonometría 2014 21 / 23
Carlos Hernández Garciadiego (Institute) Trigonometría 2014 22 / 23
Ley de los Cosenos
En un triángulo 4ABC
a2 = b2 + c2 − 2bc cosA
Problema Dos personas salen de la farmacia una caminando y otra en
bicicleta. La que camina va a 1.8 km/h, y la que va en bicicleta va a
8 km/h. Si ambas siguen trayectorias rectas y el ángulo entre las
trayectorias es de 70◦, ¿a qué distancia están después de 30 minutos?
Carlos Hernández Garciadiego (Institute) Trigonometría 2014 23 / 23
Ley de los Cosenos
En un triángulo 4ABC
a2 = b2 + c2 − 2bc cosA
Problema Dos personas salen de la farmacia una caminando y otra en
bicicleta. La que camina va a 1.8 km/h, y la que va en bicicleta va a
8 km/h. Si ambas siguen trayectorias rectas y el ángulo entre las
trayectorias es de 70◦, ¿a qué distancia están después de 30 minutos?
Carlos Hernández Garciadiego (Institute) Trigonometría 2014 23 / 23