12-Movimiento-curvilAneo

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XI. MOVIMIENTO CURVILÍNEO 
 
 
En el estudio del movimiento rectilíneo nos bastaba un número para 
determinar la posición o la velocidad o la aceleración de la partícula en 
estudio. Pero para determinar esas propiedades del movimiento de una 
partícula que describa una trayectoria curva, necesitaremos conocer tanto 
una magnitud como una dirección. De modo que será conveniente traba-
jar, a partir de ahora, con vectores. 
Consideremos un automóvil transitando 
por una carretera curva, aumentando su ra-
pidez. Si lo observamos desde un punto O 
fuera de la carretera, para situarlo debere-
mos conocer la distancia a la que se en-
cuentra y en qué dirección se mide esa dis-
tancia. Representaremos el caso mediante 
una curva arbitraria y un punto sobre ella. 
Al punto O lo llamaremos origen, y desde 
éste al punto trazaremos un vector, el vec-
tor de posición. 
Un tiempo después, el punto ocupará una nueva posición. Y la dife-
rencia entre estas dos posiciones será el desplazamiento. Ahora el despla-
zamiento también es una cantidad vectorial, tal que 
�̅� + ∆�̅� = �̅�′ 
 
 
 
Puesto que la velocidad media es la razón del desplazamiento al 
tiempo, la representaremos con un nuevo vector, que tendrá la misma 
∆�̅� = �̅�′ − �̅� 
 
Movimiento curvilíneo 
 
242 
 
dirección del desplazamiento. Observemos que la magnitud del desplaza-
miento, es decir, la magnitud del vector, es menor que la longitud reco-
rrida por la partícula entre las dos posiciones consideradas. 
 
|∆�̅�| ≠ ∆𝑠 
 
Si el lapso considerado es infinitamente 
pequeño, la razón del desplazamiento al 
tiempo será la velocidad de la partícula en 
ese instante. Ahora bien, si la segunda posi-
ción se acerca todo lo posible a la primera, 
la línea que las una, que será la dirección 
tanto del desplazamiento como de la velo-
cidad, será tangente a la trayectoria. Esta 
propiedad es de especial importancia en el 
estudio de la Cinemática de la partícula. 
tiene la velocidad otra propiedad igualmente 
importante: la magnitud del desplazamiento 
es ahora del mismo tamaño que la longitud 
recorrida por la partícula. Es decir 
 
|∆�̅�| = ∆𝑠 
 
�̅� =
𝑑�̅�
𝑑𝑠
 ; |�̅�| = 𝑣 =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
 
 
Para facilitar las explicaciones que daremos en lo futuro, a partir de 
ahora entenderemos por rapidez el tamaño o magnitud de la velocidad. 
La aceleración media, que es la razón del cambio de velocidad al 
tiempo, será un vector cuya dirección dependerá tanto del cambio de di-
rección de la velocidad como de su cambio de magnitud. Lo mismo se 
puede afirmar de la aceleración, que es la razón del cambio de velocidad 
a un tiempo infinitamente pequeño. Estudiaremos esta cantidad emplean-
do distintos sistemas de referencia. 
 
 
 
 
 
Movimiento curvilíneo 
 
243 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 a) Dado que 𝑠 = 0.1𝑡2, y que 𝑣 = 𝑑𝑠 𝑑𝑡⁄ , entonces v=0.2t. Para 
𝑡 = 2𝑠, 𝑠 = 0.4 𝑦𝑣 = 0.4. Como se halla en el tramos recto de la vía: 
 
 
 
 b) Puesto que 𝑣𝑚 = ∆𝑟 ∆𝑡⁄ 
𝑣𝑚 = 0.4/2 
 
 
 
 
 c) De las expresiones empleadas en el inciso a, pero para t = 5, se 
obtiene s = 2.5, v = 1. Ahora el tren se encuentra en un tramo curvo; ha 
recorrido 1 m de la circunferencia BC. El radio que une su posición con el 
centro de la curva forma un ángulo θ = s / R de 1 / 0.8 = 1.25 rad con la 
vertical, es decir, de 71.6°. Para determinar tanto la magnitud como la 
dirección del vector de posición �̅� calculemos las distancias x y y: 
𝑥 = 1.5 + 0.8 sen 71.6° = 2.26 
𝑦 = 0.8 − 0.8 cos 71.6° = 0.548 
Por tanto, 𝑟 = √2.262 + 0.5482 
Y tan𝛽 = 0.548/2.26 
 
 
 
 
 Ejemplo. La figura representa la 
vía de un tren de juguete. El tren parte 
del punto A y avanza conforme a la 
expresión s = 0.1 t
2
, si t se da en s, s es 
la distancia en m del tren al punto A, 
medida sobre la vía. Tomando dicho 
punto A como origen, determine: a) la 
posición y la velocidad del trenecito 
cuando t = 2 s; b) Su velocidad media 
durante los dos primeros segundos. c) 
Su posición y su velocidad cuando t = 
5 s. d) El tiempo que requiere para 
volver al punto de partida. 
 
𝑟 = 0.4 m ; 𝑣 = 0.4m 𝑠⁄ → 
𝑣𝑚 = 0.2m 𝑠⁄ → 
 𝑟 = 2.33 m 13.6° 
 𝑣 = 1 m/s 71.6° 
Movimiento curvilíneo 
 
244 
 
d) Puesto que 𝑠 = 0.1𝑡2, y se desea conocer el tiempo en que vuelve a 
pasar por A, ha de calcularse la lon-gitud de toda la vía: 
𝑠 = 2𝜋(0.8) + 2(1.5) = 8.03 
Por lo que 8.03 = 0.1𝑡2, de donde 
𝑡 = √8.03/0.1 
 
 
 
 
 
Componentes cartesianas. Cinemática 
 
Consideremos una partícula movién-
dose en una curva arbitraria y elijamos un 
sistemas de referencia cartesiano, como se 
muestra en la figura. La posición de la partí-
cula en un instante arbitrario queda perfec-
tamente determinada mediante un vector 
que una el origen con la partícula; si las 
coordenadas de ésta son x y y. entonces el 
vector de posición será 
 
 
 
 
Si lo derivamos respecto al tiempo, obtendremos primero la veloci-
dad y luego la aceleración de la partícula. Como los vectores unitarios i y 
j tienen magnitud y dirección constantes, las derivadas quedan como si-
gue. 
�̅� =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑖 +
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑗 
 
 
 
�̅� =
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑡
𝑖 +
𝑑𝑣𝑦
𝑑𝑡
𝑗 
 
 
 
 
𝑡 = 8.96 𝑠 
�̅� = x𝑖 + y𝑗 
�̅� = 𝑣𝑥𝑖 + 𝑣𝑦𝑗 
�̅� = 𝑎𝑥𝑖 + 𝑎𝑦𝑗 
Movimiento curvilíneo 
 
245 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Procederemos a escribir las ecuaciones del movimiento como lo hi-
cimos en el caso del movimiento rectilíneo. Las componentes de la velo-
cidad y la aceleración los obtendremos derivando las de la posición. 
 
𝑥 = 𝑡3 − 30𝑡2 + 280𝑡 
𝑣𝑥 = 3𝑡
2 − 60𝑡 + 280 
𝑎𝑥 = 6𝑡 − 60 
𝑦 = 𝑡2 − 10𝑡 + 600 
𝑣𝑦 = 2𝑡 − 10 
𝑎𝑦 = 2 
Para t=10 
𝑥 = 1000 − 3000 + 2800 = 800 
𝑣𝑥 = 300 − 600 + 280 = −20 
𝑎𝑥 = 60 − 60 = 0 
 
𝑦 = 100 − 100 + 600 = 600 
𝑣𝑦 = 20 − 10 = 10 
𝑎𝑦 = 2 
Comparando los resultados 
 
�̅� = 800𝑖 + 600𝑗 
𝑟 = √8002 + 6002 
tan 𝛼 =
600
800
 
 
𝑟 = 1000m 36.9° 
 
�̅� = −20𝑖 + 10𝑗 
 Ejemplo. Las coordenadas de un 
buque que se mueve en las proximi-
dades de un puerto son x = t
3
–
30t
2
+280t yy=t
2 
–10t+600, donde tan-
to x como y resultan en m si t se da en 
s. Determine la posición, velocidad y 
aceleración del buque cuando t=10 s. 
 
Movimiento curvilíneo 
 
246 
 
𝑣 = √202 + 102 
tan𝛽 =
10
20
 
 
 
 
�̅� = 2𝑗 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para obtener la ecuación de x tendremos que integrar vx 
𝑥 = ∫(22 − 8𝑡)𝑑𝑡 = 22𝑡 − 4𝑡2 + 𝑐 
Como en t=0, x=0, entonces c=0 
𝑥 = 22𝑡 − 4𝑡2 
𝑣𝑥 = 22 − 8𝑡 
𝑎𝑥 = −8 
𝑦 = 25 − 𝑡2 
𝑣𝑦 = −2𝑡 
𝑎𝑦 = −2 
Igualando y con 0 
0 = 25 − 𝑡2 ; 𝑡 = 5 
Para t = 5 
𝑣𝑥 = −18 ; 𝑣𝑦 = −10 
 
 
 
𝑎𝑥 = −8 ; 𝑎𝑦 = −2 
 
 
 
𝑣 = 22.4 m/s 26.5° 
𝑎 = 2 m/s2 ↑ 
Ejemplo. El movimiento curvilíneo de una partícula se puede de-
finir mediante las expresiones y = 25 – t
2
 con una vx=22 – 8t, donde y 
está en in, vx en in/s y t en s. Se sabe que cuando t=0, x=0. Diga cuá-
les son la velocidad y la aceleración de la partícula cuando y=0 y 
dibuje su trayectoria. 
 
𝑣 = 20.6 in/s 29.1° 
 𝑎 = 8.25 in/s2 14° 
Movimiento curvilíneo 
 
247 
 
Para dibujar la grafica tabulare-
mos x y y 
 
 
t 0 1 2 3 4 5 
x 0 18 28 30 20 10 
y 25 24 21 16 9 0 
 
 
 
Componentes cartesianas. Cinética 
 
 De la segunda ley de Newton hemos deducido que la resultante de las 
fuerzas que actúan sobre una partícula tiene una magnitud igual al pro-
ducto de la masa de dicha partícula por la aceleración que sufre, y tiene la 
dirección de esa aceleración; por tanto, podemos escribir las siguientes 
ecuaciones: 
ΣFx = max 
ΣFy = may 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En un instante cualquiera del 
movimiento, el diagrama de cuerpo 
libre de la pelota es el siguiente: 
y 
x25 
10 
Ejemplo. Un jugador de golf gol-
pea una pelota en la dirección mos-
trada en la figura con una rapi-dez de 
50 m/s, desde una sobreele-vación de 
12 m. Despreciando toda resistencia 
del viento, determine: a) el tiempo en 
que la bola alcanza la altura máxima; 
b) la altura máxima que al-canza; c) el 
tiempo en que llega al suelo; d) la 
velocidad con que llega, e) el alcance 
horizontal D de la bola. Y escriba la 
ecua-ción cartesiana de la trayectoria. 
 
Movimiento curvilíneo 
 
248 
 
 
∑𝐹𝑦 = 𝑚𝑎 
𝑃 =
𝑃
𝑔
𝑎 
𝑎 = 𝑔 
O sea, que en cualquier posición 
la aceleración de la pelota es igual a 
la gravedad. 
Elegimos ahora un sistema de 
referencia cartesiano y escribimos 
las ecuaciones del movimiento: 
 
En x’x 
𝑎𝑥 = 0 
𝑣𝑥 = 50 (
4
5
) = 40 
𝑥 = 40 𝑡 
 
En y’y 
𝑎𝑦 = −9.81 
𝑣𝑦 = 50 (
3
5
) − 9.81 𝑡 = 30 − 9.81 𝑡 
𝑦 = 12 + 30 𝑡 −
9.81
2
 𝑡2 
 
 a) La pelota alcanza la altura máxima cuando vy=0 
0 = 30 − 9.81 𝑡 
𝑡 =
30
9.81
 
 
 
 En ese tiempo; y será la altura máxima 
 
𝑦 = 12 + 30(3.06) −
9.81
2
(3.062) 
 
 
𝑡 = 3.06 𝑠 
𝑦 = 57.9 m 
Movimiento curvilíneo 
 
249 
 
 b) Que llegue al suelo significa que y=0 
0 = 12 + 30 𝑡 −
9.81
2
𝑡2 
9.81 𝑡2 − 60 𝑡 − 12 = 0 
Las raíces de ésta ecuación son 𝑡1 = 6.31 ; 𝑡2 = −0.1939 . La ne-
gativa no significa nada en este problema. 
 
 
 c) Al llegar al suelo 
𝑣𝑥 = 40 
𝑣𝑦 = 30 − 9.81(6.31) = −31.9 
𝑣 = √402 + 31.92 
tan 𝜃 =
31.9
40
 
 
 
 
La ecuación cartesiana de la tra-yectoria, que es de la forma y = f(x), 
la obtendremos despejando t de la ecuación de x y sustituyendo en la de y. 
𝑡 =
𝑥
40
 
 
𝑦 = 12 + 30 (
𝑥
40
) −
9.81
2
(
𝑥
40
)
2
 
 
 
 
Que es la de una parábola cuyo eje es paralelo al de las yes. 
 
 
 
 
 
 
 
t = 6.31 s 
𝑣 = 51.2 m/s 38.6° 
𝑦 = 12 + 0.75 𝑥 − 3.07(10−3)𝑥2 
Ejemplo. Se desea que un pro-
yectil que se disparará en dirección 
normal a la ladera mostrada llegue 
exactamente al punto B. Diga con qué 
rapidez debe disparase para lograrlo. 
 
Movimiento curvilíneo 
 
250 
 
 Sabemos que en cualquier instante el proyectil sufrirá la aceleración 
de la gravedad. Elegiremos un sistema de referencia con uno de los ejes 
en dirección de la ladera y emplearemos las ecuaciones del movimiento. 
 
 En x’x 
𝑎𝑥 = 32.2 sen 30° = 16.1 
𝑣𝑥 = 16.1 𝑡 
𝑥 = 8.05 𝑡2 
 En y’y 
𝑎𝑦 = −32.2(
√3
2
) = −16.1√3 
𝑣𝑦 = 𝑣0 − 16.1 𝑡 √3 
𝑦 = 𝑣0𝑡 − 8.05 𝑡
2√3 
 
 En B, x = 750 ; y = 0 
750 = 8.05 𝑡2 
𝑡 = 9.65 
0 = 𝑣0(9.65) − 8.05(9.65)√3 
𝑣0 = 8.05(9.65)√3 
 
 
 
 
 
Componentes intrínsecas. Cinemática 
 
 Este apartado es, sin lugar a dudas, el más importante de la cinemáti-
ca. Las componentes de la aceleración que ahora estudiaremos están rela-
cionadas íntimamente con las características esenciales del movimiento. 
Por eso, algunos autores las llaman naturales. En efecto, una de ellas mide 
el cambio de magnitud de la velocidad, la otra, su cambio de dirección. 
La figura representa una partícula moviéndose en una curva cualquie-
ra. El sistema de referencia que emplearemos se elige de la siguiente ma-
nera: En dirección de su velocidad, es decir, tangente a la trayectoria en 
ese punto, elegimos un eje que llamamos tangencial. Perpendicular a él 
𝑣0 = 134.6 ft/s 
Movimiento curvilíneo 
 
251 
 
(es decir, normal) tomamos el otro eje de referencia, que se llama eje 
normal, y se dirige hacia el centro de la curva. 
Los vectores unitarios en esas direccio-
nes serán el vector unitario tangencial, et y 
el vector unitario normal en. Expresada en 
forma polinómica, la velocidad será 
 
�̅� = 𝑣𝐞𝐭 
 
 Derivaremos esta expresión con el fin 
de obtener la aceleración de la partícula. 
Puesto que tanto v como et son variables 
 
�̅� =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝐞𝐭 +
𝑑𝐞𝐭
𝑑𝑡
𝑣 
 
 El término dv/dt nos resulta familiar, pues es la razón de cambio de la 
rapidez (i. e., de la magnitud de la velocidad) con respecto al tiempo. Pero 
para comprender el término det/dt derivaremos primero el vector unitario 
tangencial respecto a su dirección. Como se puede apreciar en la figura, si 
dicho vector unitario se desvía un ángulo d, su punta describe un arco 
ds, cuya longitud es igual al producto del radio por en ángulo: dado que el 
radio es la magnitud del vector unitario, o sea 1, entonces d = ds; ade-
más la magnitud de det = ds, es decir, d = det por lo que podemos afir-
mas que la magnitud de la derivada es 1 y, como se aprecia en la figura, el 
vector obtenido es perpendicular al vector unitario tangente. Por tanto, 
det/d = en. 
 
Utilizando la regla de la cadena, podemos llegar a lo siguiente: 
 
�̅� =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝐞𝐭 +
𝑑𝐞𝐭
𝑑𝜃
𝑑𝜃
𝑑𝑡
𝑣 
 
�̅� =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝐞𝐭 + 𝑣
𝑑𝜃
𝑑𝑡
𝐞𝐧 
 
�̅� =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝐞𝐭 + 𝑣
𝑑𝜃
𝑑𝑠
𝑑𝑠
𝑑𝑡
𝐞𝐧 
Movimiento curvilíneo 
 
252 
 
 
en donde ds/dt = v, y d/ds = 1/, en que  es el radio de curvatura, ya 
que el ángulo es igual al arco entre el radio, tal como se muestra a conti-
nuación: 
𝑑𝜃 =
𝑑𝑠
𝜌
 
 Podemos escribir finalmente que 
 
 
 
 
 
que expresa la aceleración como la suma vectorial de dos componentes 
perpendiculares entre sí. La primera, la componente tangencial es la razón 
de cambio de la rapidez respecto al tiempo y tiene la dirección de la velo-
cidad; y la segunda, que se dirige hacia el centro de la curva, es igual al 
cuadrado de la rapidez dividida entre el radio de curvatura. 
𝑎𝑡 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 ; 𝑎𝑛 =
𝑣2
𝜌
 
 
 La magnitud y la dirección de la aceleración se puede obtener me-
diante las expresiones 
𝑎 = √𝑎𝑡
2 + 𝑎𝑛2 
tan 𝜃𝑡 =
𝑎𝑛
𝑎𝑡
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
�̅� =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝐞𝐭 +
𝑣2
𝜌
𝐞𝐧 
 Ejemplo. Un automóvil comienza a 
moverse desde el punto A de una pista 
circular de 400 ft de radio conforme a 
la expresión s = 4t
2
, donde s es la lon-
gitud que recorre sobre la pista en ft, 
y t el tiempo en s. Calcule el tiempo 
que el automóvil tarda en recorrer un 
cuarto de la pista y diga cuáles serán 
su velocidad y su aceleración en ese 
instante. 
 
400´ 
A 
B 
v 
Movimiento curvilíneo 
 
253 
 
De la expresión de la longitud recorrida obtendremos la rapidez y la 
componente tangencial de la aceleración en cualquier instante. 
𝑠 = 4𝑡2 
𝑣 = 8𝑡 
𝑎𝑡 = 8 
 El cuarto de pista, es decir, el arco 𝐴�̂�, mide 
∆𝑠 = 𝜃𝑟 =
𝜋
2
(400) = 200𝜋 
 Entonces 
200𝜋 = 4𝑡2 
𝑡 = √50𝜋 
 
 
 
 Y en ese instante 𝑣 = 8(12.53) 
 
 
 
𝑎𝑛 =
100.32
400
= 25.1 
𝑎𝑡 = 8 
𝑎 = √25.12 + 82 
tan 𝜃 =
8
25.1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑡 = 12.53 s 
 
𝑣 = 100.3 ft/s ↑ 
𝑎 = 26.4 ft/s2 17.7° 
Ejemplo. Un motociclista que re-
duce uniformemente su rapidez, pasa 
por A a 90 km/h y llega al fondo B de 
la curva vertical, 50 m adelante de A, 
a 54 km/h. Sabiendo que en B el radio 
de curvatura de la carretera es de 100 
m, diga cuáles son la magnitud y la 
dirección de la aceleración de la mo-
tocicleta en ese punto. 
 
 
Movimiento curvilíneo 
 
254 
 
Como la variación de la rapidez es constante, de 𝑎𝑡 = 𝑣 𝑑𝑣/𝑑𝑠 se ob-
tenía 
𝑎𝑡 =
𝑣2
2 − 𝑣1
2
2𝑠
 
 
Puesto que 90 km/h = 25 m/s y 54km/h =15 m/s 
 
𝑎𝑡 =
152−252
2(50)
= −4 
𝑎𝑛 =
𝑣2
𝜌
=
152
100
= 2.25 
𝑎 = √42 + 2.252 
tan 𝜃 =
2.25
4
 
 
 
 
 
Componentes intrínsecas. Cinética 
 
 Nuevamente, de las relaciones entre la resultante del sistema de fuer-
zas y la aceleración de una partícula que establece la segunda ley de New-
ton, podemos escribir 
ΣFx = max 
ΣFy = may 
 
 Conviene tener en cuenta que muchos problemas, aun de movimiento 
plano, exigen un desarrollo en tres dimensiones. En tales problemas se 
puede elegir un tercer eje de referencia, perpendicular al plano del movi-
miento, que cumple con la condición 
 
ΣFz = 0 
 
 Algunos textos llaman binormal al eje que nosotroshemos denomi-
nado de las zetaso de las cotas, por ser perpendicular tanto al eje tangen-
cial como al normal. Este caso lo ilustraremos con el siguiente ejemplo. 
 
𝑎 = 4.59 m/s 29.4° 
Movimiento curvilíneo 
 
255 
 
 
- 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tomando el plano que contiene la cuerda y el péndulo, dibujaremos 
el diagrama de cuerpo libre y el sistema de referencia, sabiendo que el eje 
tangencial (y, por tanto, la velocidad) es perpendicular al plano del dibu-
jo. 
∑𝐹𝑧 = 0 
𝑇cos 25 − 5 = 0 
𝑇 =
5
cos 25
 
 
 
 
∑𝐹𝑛 = 𝑚𝑎𝑛 
𝑇 sen 25 =
5
32.2
𝑣2
𝑟
 
El radio r de la trayectoria es igual a la longitud de la cuerda por el 
seno de 25: O sea 
5
cos 25
sen 25 =
5
32.2
(
v2
2sen 25
) 
tan 25 =
v2
64.4sen 25
 
 
𝑣2 = 64.4(sen 25)(tan25); 
 
 
 
 
Ejemplo. Péndulo cónico. Un 
péndulo de 5 lb de peso atado a una 
cuerda de 2 ft de largo, que forma un 
ángulo de 25° con respecto a la ver-
tical, describe un cono. Determine la 
tensión de la cuerda y la rapidez del 
péndulo. 
 
25° 
2´ 
5# 
𝑇 = 5.52 lb 
𝑣 = 3.56 ft/s 
Movimiento curvilíneo 
 
256 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dibujaremos el diagrama de cuerpo libre de un carro de F.C. que cir-
cula a la velocidad de diseño. Elegimos un sistema de referencia tal que el 
eje normal se dirija al centro de la curva y el tangencial resulte perpendi-
cular al plano del dibujo. 
 
∑𝐹𝑦 = 0 
𝑁 𝑐𝑜𝑠 𝜙 − 𝑃 = 0 
𝑁 =
𝑃
cos𝜙
 
∑𝐹𝑛 = 𝑚𝑎𝑛 
𝑁𝑠𝑒𝑛 𝜙 =
𝑃
𝑔
𝑣2
𝑟
 
 
Como 180 km / h = 50 m / s 
 
𝑃 𝑡𝑎𝑛 𝜙 =
𝑃
9.81
502
500
 
𝑡𝑎𝑛 𝜙 =
5
9.81
 ; 𝜙 = 27° 
 
 Y mediante trigonometría calculamos la sobreelevación h 
 
ℎ = 1.435sen 27° 
 
 
 
 
 
Ejemplo. Diga cuántos centíme-
tros debe sobreelevarse el riel exte-
rior de una vía curva de 500 m de 
radio, si la velocidad de diseño es de 
180 km/h. La reacción de la vía debe 
ser perpendicular al asiento de los 
durmientes. 
h 
φ 
1.435 m 
ℎ = 0.65 m 
Movimiento curvilíneo 
 
257 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 La velocidad es nula cuando el ángulo es de 35; también es nula en 
ese instante, la componente normal de la aceleración. 
 
∑𝐹𝑛 = 0 
 
𝑇 − 2 cos 35° = 0 
 
 
 
 
 Dibujaremos ahora un diagrama de cuerpo libre del péndulo en una 
posición arbitraria, para determinar su rapidez. 
 
∑𝐹𝑡 = 𝑚𝑎𝑡 
2 cos 𝜃 =
2
𝑔
𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑠
 
𝑔 cos 𝜃 𝑑𝑠 = 𝑣 𝑑𝑣 
 
 Para relacionar el ángulo con la lon-
gitud recorrida, tomaremos un arco di-
ferencial de la trayectoria. 
 
𝑑𝜃 =
𝑑𝑠
4
 
𝑑𝑠 = 4𝑑𝜃 
 
Ejemplo.Un péndulo simple de 2 
lb de peso y 4 ft de largo, oscila en el 
plano vertical. El ángulo máximo que 
forma la cuerda con la vertical es de 
35°. Determine: a) la tensión de la 
cuerda cuando la velocidad del pén-
dulo es nula; b) la velocidad máxima 
del péndulo y la tensión correspon-
diente de la cuerda. 
 
35° 
4 
2 # 
35° 
𝑇 = 1.64 l𝑏 
Movimiento curvilíneo 
 
258 
 
Sustituyendo 
 
4𝑔 cos 𝜃 𝑑𝜃 = 𝑣 𝑑𝑣 
4𝑔∫cos 𝜃 𝑑𝜃 = ∫𝑣 𝑑𝑣 
4𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
𝑣2
2
+ 𝐶 
 
𝑠𝑖 𝜃 = 90° − 35° = 55° ; entonces 𝑣 = 0 
 
4𝑔 sen 55 = 𝐶 
 
4𝑔 sen 55 =
𝑣2
2
+ 4𝑔 sen 55 
 
𝑣 = √8(32.2)(sen 𝜃 − sen 55) 
 
La rapidez máxima se alcanza cuando senθ es máximo, es decir θ= 90° 
𝑣 = √46.59 
 
En esa precisión 
 
∑𝐹𝑛 = 𝑚𝑎𝑛 
 
𝑇 − 2 =
2
𝑔
(
46.59
4
) 
 
 
 
 
 Debe observar el lector que en esta posición la tensión es mayor que 
el peso del péndulo. 
 
 
 
 
 
𝑇 = 2.72 lb 
Movimiento curvilíneo 
 
259 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dibujaremos el diagrama de cuerpo libre de la camioneta al pasar por la 
cima. 
 
∑𝐹𝑛 = 𝑚𝑎𝑛 
2000 − 𝑁 =
2000
𝑔
𝑣2
200
 
Como 30 mi / h = 44 ft / s 
2000 − 𝑁 =
10
𝑔
(442) 
𝑁 = 2000 −
442
3.22
= 1399 
∑𝐹𝑡 = 𝑚𝑎𝑡 
−𝐹𝑟 =
2000
𝑔
(−3) 
𝐹𝑟 =
6000
32.2
= 186.3 
La reacción es 
𝑅 = √13992 + 186.32 
tan 𝜃 =
1399
186.3
 
 
 
 
Conforme aumenta la rapidez del vehículo la magnitud de la reacción 
normal disminuye. A la máxima rapidez con la que puede recorrer la cur-
va, corresponde que la normal sea nula. 
 
∑𝐹𝑛 = 𝑚𝑎𝑛 
Ejemplo.Una camioneta de 2000 
lb que reduce su rapidez a razón de 3 
ft/s
2
 pasa por la cima de una curva 
vertical de 200 ft de radio con una ra-
pidez de 30 mi/h. Calcule la mag-
nitud y la dirección de la reacción del 
pavimento sobre la camioneta. ¿Cuál 
es la máxima rapidez con que puede 
circular un vehículo por ese punto, sin 
despegarse del camino? 
 
𝑅 = 1411 lb 82.4° 
2000′ 
Movimiento curvilíneo 
 
260 
 
2000 =
2000
𝑔
𝑣𝑚á𝑥
2
200
 
𝑣𝑚á𝑥 = √200(32.2) 
𝑣𝑚á𝑥 = 80.2 𝑓𝑡/𝑠 
 
 
 
 Si el conductor intentara circular con una velocidad mayor, se separa-
ría del pavimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Comenzaremos calculando la aceleración del cuerpo en función de 
tiempo. 
𝑎𝑡 = 0.3 
𝑣 = 0.3𝑡 
𝑎𝑛 =
0.3𝑡2
0.8
 
𝑎 = √0.32 + (
0.3𝑡2
0.8
)
2
 
 
Sabiendo que la componente normal de la reacción del disco es igual 
al peso del cuerpo, podemos dibujar un diagrama de cuerpo libre en plan-
ta en donde la fuerza máxima de fricción estática es 
 
Ejemplo. A 0.8 m del centro de 
un disco se coloca un pequeño cuer-
po. Al girar el disco alrededor de su 
centro, el cuerpo aumenta su rapidez 
uniformemente a razón de 0.3 m/s
2
. 
Sabiendo que los coeficientes de fric-
ción estática y cinética entre el cuerpo 
y el disco son 0.5 y 0.4, respectiva-
mente, diga cuánto tiempo después de 
que el disco haya comenzado a mo-
verse, el cuerpo se deslizará. 
 
0.8 m 
𝑣𝑚á𝑥 = 54.7 mi/h 
 
Movimiento curvilíneo 
 
261 
 
𝐹′ = 𝜇𝑠𝑁 = 0.5𝑁 
 
Sabiendo que la fuerza de fricción y la aceleración tienen la misma 
dirección, escribimos: 
∑𝐹 = 𝑚𝑎 
0.5𝑃 =
𝑃
9.81
√0.32 + (
0.3𝑡2
0.8
)
2
 
 
[(9.81)(0.5)]2 = 0.32 + (
0.3𝑡2
0.8
)
2
 
 
0.09𝑡4
0.64
= [(9.81)(0.5)]2 − 0.09 
 
𝑡4 =
64
9
{[(9.81)(0.5)]2 − 0.09} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como la rapidez del osezno es variable, estudiaremos un instante cual-
quiera de su movimiento sobre el iglú. 
 
∑𝐹𝑡 = 𝑚𝑎𝑡 
𝑃 sen 𝜃 =
𝑃
𝑔
𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑠
 
Ejemplo. Desde la parte más alta 
de un iglú semiesférico de 12 ft de 
radio, comienza a deslizarse un osez-
no. Considerando que tanto la veloci-
dad inicial como la fricción son nulas, 
¿a qué altura h se separará el osezno 
del iglú? 
 
12 ft h 
𝑡 = 3.61 s 
Movimiento curvilíneo 
 
262 
 
𝑔∫ sen 𝜃 𝑑𝑠 = ∫𝑣 𝑑𝑣 
En donde 
𝑑𝜃 =
𝑑𝑠
12
 
𝑑𝑠 = 12𝑑𝜃 
12 𝑔∫ sen 𝜃 𝑑𝜃 = ∫𝑣 𝑑𝑣 
−12𝑔 cos 𝜃 =
𝑣2
2
+ 𝑐 
Si θ = 0°; cos θ = 1, v = 0 
−12𝑔 = 𝑐 
−12𝑔 𝑐𝑜𝑠 𝜃 =
𝑣2
2
− 12𝑔 
𝑣2
2
= 12𝑔(1 − cos 𝜃) 
𝑣2 = 24𝑔(1 − cos θ) 
 Por otro lado: 
∑𝐹𝑛 = 𝑚𝑎𝑛 
−𝑁 + 𝑃 cos 𝜃 =
𝑃
𝑔
𝑣2
12
 
 
 Pero N = 0 en el instante en que el osezno está a punto de abandonar 
el iglú. 
𝑃 cos 𝜃 =
𝑃
𝑔
24𝑔(1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃)
12
 
cos 𝜃 = 2(1 − cos 𝜃) 
cos 𝜃 = 2 − 2 cos 𝜃 
3 cos 𝜃 = 2 
cos 𝜃 =
2
3
 
De la geometría: 
ℎ = 12 cos 𝜃 = 12 (
2
3
) 
 
 
 
ℎ = 8 m 
Movimiento curvilíneo 
 
263 
 
Observación 
 
En el problema anterior, del osezno, y en el péndulo simple, obtuvimos 
las siguientes expresiones para la rapidez de los cuerpos. 
𝑣2 = 24𝑔(1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃) 
𝑣2 = 4𝑔(1 − 𝑐𝑜𝑠 35°) 
en donde el 24 y 4 son los dobles de los radios de las trayectorias. O sea, 
que, generalizando 
𝑣2 = 2𝑔𝑟(1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃) 
Además, 𝑟(1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃) es ∆ℎ, según se muestra en la figura 
 
 
 
 
 
 
 
 
de modo que se puede escribir 
 
𝑣2 = 2𝑔 ∆ℎ 
 
 
 
 
Tal expresión vale siempre que la partícula baje de nivel por la acción de 
su peso, por cualquier tipo de trayectoria sobre la que no haya fricción. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑣 = √2𝑔 ∆ℎ 
 
Movimiento curvilíneo 
 
264 
 
30° 
 
25 m/s 
 100 m 
 
 
 
Serie de ejercicios de Cinemática y Dinámica 
MOVIMIENTO CURVILÍNEO1. Un punto se mueve sobre la trayectoria cuya ecuación es y = x
3
, de 
acuerdo con la ley x = 2t+1/t, donde tanto x como y están en in y t en s. 
¿Cuál es su rapidez cuando t = 4 s? 
(Sol. 396 in/s) 
 
2. Una partícula se mueve sobre la curva y = 2x
3
–3x conforme con la 
relación x = t
2
– t, donde si t está en s, tanto x como y resultan en cm. Cal-
cule su velocidad y su aceleración cuando t = 1 s. 
 
(Sol. v = 3.16 cm/s 71.6º; a = 6.32 cm/s2 71.6º) 
 
3. Un muchacho situado al borde de un 
precipicio lanza una piedra con una veloci-
dad de 25 m/s formando un ángulo de 30º 
abajo de la horizontal. Si la profundidad del 
lugar en que cae la piedra, respecto al nivel 
del que fue lanzada, es de 100 m, diga: a) 
qué tiempo tarda la piedra en caer; b) el al-
cance horizontal de la piedra; c) con qué ve-
locidad llega la piedra al suelo. 
(Sol. a) 3.42 s; b) 74.0 m; 
c) 50.9 m/s 64.8º) 
 
4. De una bala que ha sido disparada a 480 ft/s formando un ángulo 
de 25º respecto a la horizontal, se desea saber: a) el tiempo que tarda en 
llegar al suelo; b) su alcance; c) la altura máxima a la que llega; d) la 
ecuación cartesiana de su trayectoria. Desprecie la resistencia del aire. 
(Sol. a) 12.60 s; b) 5480 ft; c) 639 ft; d) y = 0.467x – 8.51(10)
-5
 x
2
) 
 
5. Un jugador de futbol es capaz de imprimir a un balón una veloci-
dad inicial de 90 ft/s. Si desea que el alcance del balón sea de 180 ft, ¿con 
qué ángulo respecto a la horizontal debe iniciar el balón su movimiento? 
(Sol. 22.8º ó 67.2º) 
 
Movimiento curvilíneo 
 
265 
 
20 m/s 
15° 
45° 
R 
O 
C 
S 
32’ 
8 40 
3
6 
t (s) 
v (km/h) 
6. Un aficionado patea un balón de fut-
bol, y le imprime una velocidad inicial de 20 
m/s, formando un ángulo de 45º con el cam-
po; pero el campo tiene una inclinación de 
15º respecto a la horizontal. ¿Cuál es el al-
cance R del balón? 
(Sol. 53.4 m) 
 
 
7. La distancia que recorre una partícu-
la, medida a lo largo de una trayectoria cur-
vilínea, en ft, es s = t
3
–16t, donde t está en 
s. Cuando t = 4 s, la partícula se encuentra 
en un tramo cuyo radio de curvatura es de 
32 ft. Calcule la magnitud de la aceleración 
lineal de la partícula en dicho instante. 
(Sol. 40 ft/s
2
) 
 
 
8. Un avión vuela horizontalmente a 900 km/h a 10 000 m de altura, 
describiendo un arco de circunferencia de 1250 m de radio. ¿Cuál es la 
magnitud de su aceleración lineal? 
(Sol. 50 m/s2) 
 
9. Un ciclista da una vuelta completa a 
una pista circular en un lapso de 40 s. Su 
rapidez se muestra en la gráfica de la figura. 
Determine: a) la longitud y el radio de la 
pista; b) la magnitud de la aceleración lineal 
del ciclista cuando t = 2 y cuando t = 30 s. 
(Sol. a) 360 m y 57.3 m; 
 b) a2 = 1.255 m/s
2
; a30 = 1.745 m/s
2
) 
 
 
10. Mientras un automóvil recorre una pista circular de un cuarto de 
milla de radio, reduce su rapidez lineal uniformemente de 60 a 30 mi/h en 
16 s, ¿cuáles son las magnitudes de la aceleración lineal del automóvil al 
principio y al fin de dicho lapso? ¿Qué distancia recorre en esos 16 s? 
(Sol. ao = 6.48 ft/s
2
; a16 = 3.12 ft/s
2
; s = 1056 ft) 
Movimiento curvilíneo 
 
266 
 
30° 
80 m 
2’ 
6’ 
30° 
19° 
ϴ 
DF 
ρ 
11. Un automovilista ingresa en una 
curva contenida en un plano vertical con una 
velocidad de 72 km/h y aplica los frenos de 
modo que, reduciendo su rapidez unifor-
memente, se detiene 50 m adelante. Sabien-
do que el radio de curvatura es constante en 
ese tramo y que la aceleración del automóvil 
al aplicar los frenos es de 6 m/s
2
, determi-
ne: a) el radio de la curva; b) la magnitud de 
la aceleración del automóvil al detenerse. 
(Sol. a) 89.4 m; b) 4 m/s) 
 
12. Un ciclista recorre una pista circular 
horizontal con una rapidez constante de 12 
m/s. Si en una longitud de 80 m el ciclista se 
desvía un ángulo de 30º, diga: a) cuál es el 
radio de la pista; b) cuáles son las magnitu-
des de las componentes normal y tangencial 
de su aceleración; c) cuál es la magnitud de 
su aceleración lineal. 
(Sol. a) 152.8 m; 
b) an = 0.942 m/s
2
; at = 0; a = 0.942 m/s) 
 
13. La figura representa unas canastillas 
de feria. El juego gira alrededor de un eje 
vertical con rapidez angular constante, de 
modo que las canastillas tienen una acelera-
ción de 20 ft/s
2
. ¿Cuál es la magnitud de la 
velocidad lineal de cualquiera de las canasti-
llas? (Sol. v = 10 ft/s) 
 
14. Suponiendo que la Tierra estuviera 
dotada exclusivamente de movimiento de 
rotación, ¿cuál sería la aceleración de un 
cuerpo situado en la ciudad de México? 
Considere que la latitud de México es 19º 
norte, que la Tierra da una vuelta en 24 h y 
que su radio medio mide 6370 km. 
(Sol. 3.18 cm/s
2
) 
Movimiento curvilíneo 
 
267 
 
45° 
20° 
1 m 
𝑣 
50 cm 20 cm 
 
12 cm 
 A C B 
15. El pequeño jet de la figura viaja ho-
rizontalmente con rapidez constante de 540 
km/h y tarda 4 s en desviar su curso 45º. a) 
Calcule la magnitud de la aceleración lineal 
del jet durante dicho lapso. b) Diga cuál es 
el radio del arco de circunferencia que des-
cribe al virar. 
(Sol. a) 29.5 m/s
2
; b) 764 m) 
 
16. Una piedra de 3 kg de peso, atada a 
una cuerda de 1 m de longitud, describe una 
circunferencia en el plano vertical. Determi-
ne la rapidez mínima de la cuerda a la cual 
ésta se rompe, si su resistencia máxima es 
de 9 kg. Diga también cuál es la tensión en 
la cuerda cuando forma un ángulo de 20º 
arriba de la horizontal, si la velocidad lineal 
de la piedra en ese instante es de 5 m/s. 
(Sol. 4.43 m/s; 6.62 kg) 
 
17. Un automóvil de 1000 kg viajaa so-
bre un puente con una rapidez constante de 
10 m/s. El radio de curvatura en la cima del 
puente es de 50 m. Calcule la fuerza que el 
automóvil ejer-ce sobre el puente al pasar 
por dicho punto. Diga también cuál es la 
máxima rapidez con que puede transitar el 
automóvil sin perder el contacto con la cima 
del puente. (Sol. 796 kg ↓; 79.7 km/h) 
 
18. El cuerpo C pesa 25 kg y gira en un 
plano vertical a 8 m/s. Cuando C se encuen-
tra en la posición más baja de su trayectoria, 
como se muestra. a) ¿Qué tensión sufre la 
barra vertical? b) ¿Cuáles son las reacciones 
en los apoyos libres A y B de la flecha? Los 
pesos de las barras son despreciables. 
(Sol. a) 1384 kg; b) 395 kg ↑; 989 kg ↑) 
Movimiento curvilíneo 
 
268 
 
60° 60° 
1 ft 
A O 
O
’ 
Q 
ω 
b 
c 
b 
P P 
φ 
 
30° 30° 
3 m 
45° 
5 
kg 
B 
µ 
𝑣 
19. El sistema mostrado en la figura gi-
ra alrededor del eje vertical O’O. ¿Entre qué 
velocidades puede girar A sin que se desli-
ce? Los coeficientes de fricción estática y 
cinética entre A y el disco son 0.4 y 0.3, 
respectivamente. 
(Sol. 5.03 ft/s < 𝑣 < 14.95 ft/s) 
 
20. Determine la rapidez constante con 
que deben girar las esferas del gobernador 
que se representa en la figura para mantener 
la configuración mostrada. Considere los 
siguientes datos: φ = 45º, P = 2 kg, Q = 10 
kg, b = 0.3 m y c = 0.1 m. 
(Sol. 3.63 m/s) 
 
21. La esfera de la figura está sostenida 
por dos cuerdas y T0 es la tensión en una de 
ellas. Diga cuál será la tensión T1 en cual-
quiera de ellas en el instante en que se corte 
la otra, y cuál, la magnitud de la ace-
leración de la esfera en ese mismo instante. 
(Sol. T1 = 0.5T0; a = 0.866g) 
 
22. El cuerpo de la figura tiene una ma-
sa de 5 kg y sube por el plano inclinado. Al 
pasar por B su rapidez es de 3 m/s y decrece 
a razón de 8 m/s
2
. Determine el coeficiente 
de fricción cinética µ entre el cuerpo y la 
superficie, si el radio de curvatura de la tra-
yectoria en el punto B es de 3 m. 
 (Sol. 0.270) 
 
23. Un vehículo de 1400 kg de masa recorre una curva circular hori-
zontal de 200 m de radio. Re-duce su velocidad uniformemente de 108 a 
72 km/h en una distancia de 50 m. Calcule la magnitud de la reacción del 
pavimentosobre el vehículo cuando éste alcanza los 72 km/h. 
 (Sol. 15 670 N) 
Movimiento curvilíneo 
 
269 
 
𝑣 
𝑣0 
y 
5 m/s 
9.81 kg 
4 m 
A 
B 
β 
B 
C 
m 
A 
h 
200 kg 
60 kg 
50 m 
A 
B 
24. Un carrito de baleros corre por el 
plano horizontal con una velocidad v0 y co-
mienza a subir por una trayectoria curvilínea 
contenida en un plano vertical. Halle una 
expresión que defina su rapidez v en función 
de la altura y que va ascendiendo. ¿Cuál será 
la altura máxima que alcanzará el carrito? 
(Sol. v = (v0
2
 – 2gy)
1/2
; v0
2
/2g) 
 
25. Un carrito de baleros de 9.81 kg de 
peso llega al punto A con una rapidez de 5 
m/s y comienza a descender por la trayecto-
ria circular de 4 m de radio. Determine el 
ángulo β que define el punto en que el carri-
to abandona la superficie y se convierte en 
un proyectil. 
(Sol. 28.5º) 
 
26. Una partícula de masa m se suelta 
sin velocidad inicial desde el punto A de la 
trayectoria lisa contenida en un plano verti-
cal. a) Si h = 3r, ¿cuál es la magnitud de la 
fuerza normal que el bucle ejerce sobre la 
partícula al pasar por B? b) Si la partícula ha 
de recorrer el bucle completo, ¿cuál es la 
altura mínima h a la que debe soltarse? 
(Sol. a) mg; b) 2.5 r) 
 
27. Un carro eléctrico experimental de 
200 kg de peso parte del reposo del punto A 
de la curva circular vertical de 50 m de ra-
dio, y desciende por la acción de su peso y 
de la tracción de sus ruedas, que es constan-
te y de 60 kg. Diga con qué rapidez llegará 
al punto B y cuál será la magnitud de la 
reacción normal de la curva sobre el carro al 
llegar a ese punto. 
(Sol. 38 m/s; 788 kg)