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Gauss y el mito de los primeros cien números / CIENCIORAMA 1 
 
 
Karl Friedrich Gauss 
 
Gauss y el mito de los primeros cien números 
Carlos Velázquez 
 
Su majestad Gauss, príncipe de las matemáticas 
Karl Friedrich Gauss nació el 30 de abril de 1777 en Brunswick, Alemania. 
La vida de Gauss estuvo envuelta a tal punto en la resolución de 
problemas matemáticos, que incluso saber su propia fecha de nacimiento 
supuso un reto matemático para él. Su madre, Dorothea Benzer, por 
alguna razón nunca recordó la fecha exacta del nacimiento de su hijo, 
pero paradójicamente sí recordaba que Karl Friedrich nació un miércoles, 
ocho días antes del festival de la Ascensión, el cual ocurría 40 días 
después de la Pascua. Cuando Gauss fue consciente de esto, ideó un 
método para calcular cuándo ocurrieron las Pascuas de los años pasados 
y cuándo ocurrirían las de los futuros, de modo que ya no había que 
esperar a observar los acontecimientos astronómicos que determinan la 
 
Gauss y el mito de los primeros cien números / CIENCIORAMA 2 
 
fecha, a saber: primer domingo después de la luna llena tras el equinoccio 
de primavera en el hemisferio norte. Complicado de recordar ¿no? 
Gauss fue un niño genio. Aprendió a leer por sí mismo y practicó 
aritmética elemental desde muy pequeño; se dice que a los tres años 
encontró y corrigió un error en las cuentas de la nómina de su padre. 
Más tarde Gauss diría de sí mismo que había aprendido a sumar antes 
que a hablar -como de toda afirmación acerca de uno mismo, no 
deberíamos descartar alguna pequeña presunción de su parte-. 
 
 
Figura 1. Gauss nació y creció en la ciudad alemana de Brunswick. La ilustración 
corresponde a un boceto de la ciudad en el siglo XVI. 
Imagen tomada de: 
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/24/Braun_Braunschweig_UBHD.jpg 
 
A los siete años Gauss ingresó a una de las escuelas de primeras letras 
de Brunswick -el equivalente a una primaria-, donde se supone que ocurrió 
la celebrada anécdota de la suma de los primeros cien números que 
resolveremos adelante, ¿pero será un mito tejido alrededor del nombre de 
Gauss debido a su endemoniada capacidad para las matemáticas? 
Su fama de niño genio hizo que pronto fuera conocido en todo su 
condado natal, y a los 14 años fue presentado ante el duque de 
Brunswick, quien lo apoyó para que ingresara al Collegium Carolinum, hoy 
Universidad Técnica de Brunswick. Aquí, Gauss volvió a sorprender a todos 
por su gran facilidad para las lenguas, ya que dominó el griego y el latín 
con facilidad. De hecho, hubo un momento en que dudó entre las 
matemáticas o la filología, pero a partir de los 17 años se dedicó de lleno 
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/24/Braun_Braunschweig_UBHD.jpg
 
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a la gran pasión de su vida: la aritmética. Esto lo testimonia una de las 
frases que solía repetir: "la matemática es la reina de las ciencias, y la 
aritmética es la reina de las matemáticas". 
A los 19 años, durante una estancia en la Universidad de Göttingen, 
Gauss escribió su más célebre obra, Disquisitiones Arithmeticae. En ella 
recogió todos los resultados que había descubierto hasta entonces y creó 
el fundamento para una nueva rama de las matemáticas, la teoría de los 
números. Esta teoría se dedica a estudiar las propiedades de los números 
y más específicamente de los números enteros (ver, Sobre los números 
reales, naturales, imaginarios..., en Cienciorama). Si te parece que esto 
suena a algo muy sencillo, te diré que contra lo que nuestra intuición nos 
indica, la teoría de los números es una de las disciplinas más difíciles de 
las matemáticas, y muchos de los problemas más arduos que tienen por 
resolver las matemáticas modernas están en ese campo. 
Las contribuciones de Gauss no se limitaron a las matemáticas puras 
o que no tienen una aplicación práctica inmediata, hizo aportaciones 
fundamentales y decisivas a la astronomía, a la geodésica y a muchas 
ramas de la física, como el magnetismo y la óptica, a tal punto que 
muchos de los resultados que obtuvo con sus nuevos métodos 
matemáticos sólo pudieron ser mejorados hasta la segunda mitad del siglo 
XX. 
 
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Figura 2. Las contribuciones de Gauss a la ciencia son innumerables, entre otras están su 
invento del heliotropo --instrumento para mediciones geodésicas-- y del primer precursor 
del telégrafo, la modelación del campo magnético de la Tierra y la medición de la órbita 
de varios cuerpos celestes. Créditos al final. 
 
Sin embargo, uno de sus descubrimientos más célebres podría parecernos 
relativamente modesto hoy en día: en su famoso Disquisitiones 
Arithmeticae Gauss demostró que es posible trazar un polígono regular de 
17 lados usando sólo regla y compás. Quizá no parezca trascendental, 
pero el hecho es que desde la época griega sólo se sabía de las reglas 
para construir triángulos regulares, cuadrados, pentágonos y una figura de 
15 lados iguales usando sólo regla y compás, además de todas las figuras 
que doblan este número de lados. Hasta que Gauss hizo su descubrimiento 
 
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se pensaba que no existía ninguna otra figura que pudiera trazarse usando 
sólo regla y compás. 
Para darnos uno idea de qué tan trascendente fue este hecho para 
las matemáticas, diría que es equivalente a que los químicos de hoy en 
día descubrieran un nuevo elemento del que jamás hubieran sospechado 
su existencia. En el fondo, podemos decir que este descubrimiento les 
mostró a los matemáticos todo un nuevo mundo de posibilidades en el 
que se mezclaban la aritmética, el álgebra y la geometría. 
 
 
 
Figura 3. Gauss demostró que era posible construir un polígono regular de 17 lados 
utilizando sólo regla y compás. 
Imagen tomada de: http://sp8.fotolog.com/photo/40/6/1/prism/1096953090_f.jpg 
 
Por último, antes de pasar a las anécdotas, te menciono que las 
contribuciones más importantes de Gauss a la astronomía consistieron en 
el cálculo de la órbita de algunos cuerpos celestes recién descubiertos -
asteroides y planetas-, lo cual era necesario para saber hacia dónde 
apuntar el telescopio para volver a encontrarlos. Para ello hay que realizar 
un trabajo matemático arduo y hay que trabajar con muchas mediciones, 
con incertidumbres y errores asociados, de modo que hay que saber cómo 
http://sp8.fotolog.com/photo/40/6/1/prism/1096953090_f.jpg
 
Gauss y el mito de los primeros cien números / CIENCIORAMA 6 
 
tratar con cautela las cifras. Mientras trabajaba en todo esto Gauss inventó 
varios métodos para poder hacer predicciones aceptables, y entre otras 
cosas describió las propiedades de una gráfica que nos da la forma típica 
en que se presentan las incertidumbres aleatorias alrededor de un valor 
promedio. Hoy en día conocemos esta gráfica como la campana de Gauss, 
y es el compañero infaltable de todos los científicos que trabajamos en 
los laboratorios de todo el mundo, y también para los economistas y 
sociólogos. 
 
 
Figura 4. La curva normal o campana de Gauss, es la mejor manera de representar la 
distribución de una variable aleatoria alrededor de su valor promedio. Imagen tomada de: 
http://i.stack.imgur.com/QiTPe.png 
 
La suma celebre 
Ahora que ya hemos obtenido un panorama de la vida de Gauss, te 
propongo que regresemos a la niñez de este genio y revisemos uno de los 
problemas que se dice que resolvió de pequeño y que se ha vuelto un 
clásico de los escritos de divulgación, la suma de los primeros 100 
números: "En la década de los 1780 un maestro de primaria en Alemania les 
planteó a sus estudiantes el tedioso trabajo de sumar los primeros 100 números 
enteros. El maestro esperaba que sus pupilos se mantuvieran ocupados y 
http://i.stack.imgur.com/QiTPe.png
 
Gaussy el mito de los primeros cien números / CIENCIORAMA 7 
 
silenciosos alrededor de una media hora, sin embargo uno de ellos, de forma 
casi inmediata dio con la respuesta correcta y se la entregó al maestro. Este 
niño prodigio era Karl Friedrich Gauss." 
Antes de discutir lo que se sabe acerca de la anécdota misma, te 
propongo que resolvamos este ejercicio matemático, que resulta bastante 
entretenido. 
¿Sumar los primeros 100 números? Bueno, para que no queden 
dudas, esto quiere decir sumar 1+2+3+4+5+6… hasta llegar a 100. Creo 
que es obvio que simplemente ponernos a sumar será un trabajo tedioso y 
fácilmente podemos cometer algún error, así que ¿cómo podemos generar 
una respuesta rápida y a prueba de errores? En realidad es posible usar 
varios métodos, pero veamos los dos más clásicos. 
 
El primero con el último 
Notemos que si sumamos 100+1 obtendremos 101, si sumamos 99+2=101, 
98+3=101, o sea, si vamos sumando el primer número con el último, luego 
el segundo con el penúltimo, el tercero con el antepenúltimo, etcétera, 
siempre obtendremos el mismo resultado. ¿Cuántas veces podemos hacer 
esto? Podemos hacerlo exactamente 50 veces, ya que con cien números 
podemos formar 50 parejas. Esto significa que la suma de 
1+2+3+...+98+99+100 es exactamente igual que sumar 101 cincuenta veces, 
o bien, 50 x101=5050. ¡Tan-tán! Casi mágico ¿no lo crees? 
 
 
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Figura 5. Un método para resolver la suma es formar parejas que al sumarse siempre dan 
el mismo resultado. 
 
El triángulo con dientes 
Bueno y para no quedarnos con ninguna duda, comprobémoslo mediante 
el segundo método. Si representamos a 1 mediante un cuadrado, a dos 
mediante dos cuadrados, etc., y los ordenamos de manera creciente, 
entonces podemos formar la figura de una escalera, ver la figura 6. Hacer 
la suma se reduce a calcular el área de esta figura que podemos 
considerar un triángulo con dientes. Primero calculemos el área del 
triángulo sin los dientes, que será simplemente la base (que mide 100) por 
la altura (que también mide 100) dividida entre dos lo cual es (100 x 
100)/2 = 5000. Sin embargo nos falta sumar el área de los dientes. Cada 
uno de los dientes vale la mitad de una unidad, y tenemos una de estas 
mitades por cada columna, de modo que el área total que ocupa es 
100/2=50. Juntando nuestros dos resultados tenemos que el área total es 
5000 + 50 = 5050, como habíamos obtenido mediante el razonamiento 
anterior. 
¡Increíble! La primera vez que supe cómo hacer esta suma me quedé 
gratamente sorprendido del poder de razonamiento y de la elegancia del 
resultado, aunque debo confesar que pasó mucho tiempo para que viera 
cómo esto se puede extender a otras sumas más complicadas. Con esto 
queda clara la genialidad temprana de Gauss. Sin embargo, las 
matemáticas son tan extensas y los hechos anecdóticos suelen estar 
salpicados por tantas imprecisiones que deberíamos tener cuidado a la 
hora de darlos por sentado. Incidentalmente, la leyenda suele decir que el 
niño Gauss utilizó el primer método. 
 
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Figura 6. Otro método para realizar la suma de los primeros 100 números. En este caso 
dividimos la figura en dos formas geométricas conocidas y el problema se reduce a 
calcular sus áreas. En la figura solo tomamos los primeros 30 números para ejemplificar 
el método. 
 
Gauss y el mito de la suma 
Hasta aquí no hay duda del personaje fuera de serie que tenemos entre 
manos, pero su genialidad hizo que se tejieran muchos mitos a su 
alrededor. En particular el mito de la suma de los primeros 100 números 
suele contarse muy a menudo. Lo primero que debemos saber es que 
Gauss no fue el primero en resolver este problema ya que su solución se 
conoce al menos desde el siglo VIII d.C., y fue propuesto y resuelto por 
 
Gauss y el mito de los primeros cien números / CIENCIORAMA 10 
 
Alcuino de York, un monje matemático inglés que trabajó en la Escuela 
Palatina de Carlomagno. Sin embargo, la anécdota no remarca el hecho de 
que Gauss haya sido el primero, sino que lo hubiera resuelto teniendo 
escasos nueve años. 
Pero como siempre es bueno caminar sobre seguro, no está de más 
preguntarse ¿qué pruebas se tienen de que Gauss resolvió esta suma? Esta 
pregunta es la misma que hace no mucho se hizo Brian Hayes. Él, en su 
calidad de escritor sobre temas de la ciencia, había escuchado sobre la 
anécdota de Gauss, pero cuando él mismo la repitió en uno de sus 
escritos se dio cuenta de que jamás había reparado en los detalles de 
esta historia. Como en todo lo que uno hace con cuidado y en especial 
tratándose de cuestiones históricas, le empezaron a surgir dudas y quiso 
saber a fondo cómo habían ocurrido las cosas. Después de un buen rato 
de buscar se dio cuenta de que era una de las narraciones con más 
variaciones que se pueden encontrar, así que decidió llegar a la raíz del 
asunto y ver cuál era la fuente primaria de la que se derivaba toda esta 
multiplicidad de relatos y emprendió una épica búsqueda bibliográfica. 
 
 
Figura 7. Ilustración del famoso relato de la solución de Gauss a la suma de los primeros 
100 números. Imagen tomada de: 
 
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http://francis.naukas.com/files/2010/04/dibujo20100415_fanciful_drawing_young_carl_friedri
ch_gauss_receives_instruction_arithmetic_from_schoolmaster_j_g_buttner.png 
 
Al final Hayes llegó a la conclusión de que la mayor parte de las 
biografías y libros más antiguos en los que se relata la anécdota utilizan 
como fuente el escrito de Wolfgang Sartorius, profesor de mineralogía y 
geología en la Universidad de Göttingen, donde Gauss realizó su carrera 
académica en la madurez. El escrito es un memorial que se publicó un 
año después de la muerte de Gauss. Para evitar más confusiones, creo 
conveniente poner directamente lo encontrado por Hayes: 
 
En 1784, después de su séptimo cumpleaños, el pequeño [Gauss] entró en 
una escuela pública donde se enseñaban materias elementales y que estaba 
entonces bajo la dirección de un hombre llamado Büttner. La escuela 
consistía en un aula simple, de techo bajo con un suelo desgastado y 
desigual (...). En esta escuela, que parece haber seguido en gran parte el 
patrón de enseñanza de la Edad Media, el joven Gauss permaneció dos 
años sin que ocurriera algún incidente especial. Para entonces había llegado 
a la clase de aritmética en la que la mayoría de los chicos se mantuvieron 
hasta sus quince años. 
Aquí ocurrió un incidente que Gauss solía recordar en los días de su vejez 
con mucha animación y entusiasmo. En esta clase, el alumno que terminaba 
primero sus ejercicios de aritmética colocaba su pizarra en medio de una 
gran mesa. Encima de ésta, el segundo en terminar colocaba su pizarra y 
así sucesivamente. El joven Gauss acababa de entrar a la clase cuando 
Büttner dictó un problema (la suma de una serie aritmética). El problema 
apenas acababa de dictarse cuando Gauss lanzó su pizarra sobre la mesa 
con las palabras (en el dialecto del bajo Braunschweig): “Allí está”. 
"(...) Al final de la hora todos voltearon sus pizarras hacia arriba. La del 
joven Gauss había sido la primera y solamente tenía una pequeña anotación 
como respuesta. Cuando Büttner dio lectura a la respuesta, para sorpresa 
de todos los presentes, la respuesta de Gauss resultó ser correcta, mientras 
que muchos de los otros estaban equivocados. 
http://francis.naukas.com/files/2010/04/dibujo20100415_fanciful_drawing_young_carl_friedrich_gauss_receives_instruction_arithmetic_from_schoolmaster_j_g_buttner.png
http://francis.naukas.com/files/2010/04/dibujo20100415_fanciful_drawing_young_carl_friedrich_gauss_receives_instruction_arithmetic_from_schoolmaster_j_g_buttner.png
 
Gauss y el mito de los primeros cien números / CIENCIORAMA12 
 
 
Lo interesante de este relato es que no se encuentra la referencia a la 
suma de los primeros cien números por ninguna parte. Cuando Hayes 
buscó cuál era la primera referencia escrita acerca de Gauss resolviendo 
esta suma en particular, sólo la encontró en una biografía de él hecha por 
Ludwig Bieberbach, escrita 82 años después del memorial de Sartorius. 
 
Números triangulares 
Pero para que no nos quedemos en blanco, te diré un resultado que 
Gauss sí obtuvo y que pertenece a la nueva ciencia de la teoría de 
números, se trata del teorema de la descomposición en números 
triangulares. ¿En números qué? Tranquilo, es muy sencillo, decimos que un 
número es triangular si al tomar un número de bolitas igual a ese número 
somos capaces de formar un arreglo triangular. Para que acabes de 
visualizar esta definición ve la figura 8. Debemos notar que 
matemáticamente consideramos que también el 0 es un número triangular. 
 
 
Figura 8. Números triangulares. 
 
 
Gauss y el mito de los primeros cien números / CIENCIORAMA 13 
 
Como ves, los números triangulares son sólo una pequeña fracción de 
todos los números. Bueno, sin embargo Gauss se dio cuenta de que: 
"Todo número entero puede obtenerse como la suma de tres números 
triangulares". 
Otra vez ¿qué? No hay que desesperarse, para que entiendas qué 
quiere decir esto nota que: 
2 = 0+1+1 
4 = 0+1+3 
5 = 1+1+3 
... 
20 = 0+10+10 
Este teorema no dice que los números triangulares deban ser distintos, 
pero lo que sí asegura es que cualquier número se puede escribir como la 
suma de tres triangulares. En realidad Gauss estaba tan emocionado con 
su resultado que en su diario está anotado "¡Eureka! num=++" 
 
El mito y la leyenda 
Bien, aquí te he contado sobre la carrera de uno de los matemáticos más 
brillantes que ha habido en la historia de la humanidad. Al final te quise 
mostrar algo que es propio no sólo de la ciencia sino de cualquier 
actividad humana: la tendencia que tenemos a crear mitos, a agregar 
detalles anecdóticos a sucesos del pasado y que no siempre es posible 
comprobar, pero que el tiempo inserta en la memoria colectiva hasta que 
se vuelven parte de ella. 
Con esto quiero decir que es necesario estar siempre atentos a este 
tipo de situaciones y verlas siempre con un poco de escepticismo. 
Por ahora es todo, espero que te haya gustado saber del príncipe 
de las matemáticas. Todos los descubrimientos y la vida de quienes los 
realizan están llenos de anécdotas y acontecimientos que vale la pena 
conocer y recordar, y para saberlos creo que la mejor receta que tenemos 
 
Gauss y el mito de los primeros cien números / CIENCIORAMA 14 
 
es mantener los ojos y la mente bien abiertos y hacer un montón de 
preguntas impertinentes. Hasta luego. 
 
Bibliografía 
-Mariano Santander. Las contribuciones de Gauss a la Física: un panorama. Universidad 
Politécnica de Catalunya, España, 2011. 
-Agustí Reventós & Carlos J. Rodríguez. Gauss y la geometría: geodesia y geometría no 
euclidiana. Universitat Autónoma de Barcelona, España, 2006. 
-Eric Temple Bell. Los grandes matemáticos. Editorial Losada, Buenos Aires, Argentina, 
1948. 
 
Créditos por las Imágenes en la Figura 2: 
Arriba a la derecha tenemos un ejemplo de un heliotropo antiguo: 
http://www.ign.es/ign/none/museoAmpliaciones.do?ampliacion=../resources/museoVirtual/in
strumentos/L075.jpg 
Una vez que su amigo Alexander Von Humboldt convenció a Gauss de trabajar en el 
campo del magnetismo terrestre, sus resultados fueron tan fructíferos que incluso inventó 
los primeros precursores de la comunicación electromagnética. En la ilustración de arriba 
a la derecha vemos un tipo rudimentario de telégrafo, con el que se comunicaba con su 
colaborador Wilhelm Eduard Weber: 
http://histel.com/z_histel/textos_bio/images_bio/gauss_weber_tlg.gif 
La medición de las órbitas de los cuerpos celestes siempre ha representado un 
formidable problema matemático, y en la época del descubrimiento de asteroides y 
nuevos planetas, Gauss ejercitó su extraordinaria capacidad matemática. Su primer triunfo 
lo representó la predicción de la posición donde debía aparecer el recientemente 
observado asteroide Ceres, descubierto en 1801 por Giuseppe Piazzi. 
http://es.wikipedia.org/wiki/Ceres_%28planeta_enano%29#/media/File:Ceres_RC2_Bright_Sp
ot.jpg 
http://www.ign.es/ign/none/museoAmpliaciones.do?ampliacion=../resources/museoVirtual/instrumentos/L075.jpg
http://www.ign.es/ign/none/museoAmpliaciones.do?ampliacion=../resources/museoVirtual/instrumentos/L075.jpg
http://histel.com/z_histel/textos_bio/images_bio/gauss_weber_tlg.gif
http://es.wikipedia.org/wiki/Ceres_%28planeta_enano%29#/media/File:Ceres_RC2_Bright_Spot.jpg
http://es.wikipedia.org/wiki/Ceres_%28planeta_enano%29#/media/File:Ceres_RC2_Bright_Spot.jpg