AC-trig-hip

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5.3 Funciónes ez, cos(z), sen(z), cosh(z), senh(z)
1. Función exponencial compleja: ez = excos(y) + exsen(y)i = excis(y), z = x+ yi
(a) Si z = x+ yi, Re(ez) = excos(y), Im(ez) = exsen(y).
(b) Dzexp(z) =
(
excos(y) −exsen(y)
exsen(y) excos(y)
)
(c) Si ex+0i = ex
(d) e0 = 1
(e) ez+w = ezew para toda z, w ∈ C.
(f) e−z = ( ez )−1 para toda z ∈ C.
(g) ez = ez̄ .
(h) |ez | = eRe(z) para toda z ∈ C.
(i) ez 6= 0 para toda z ∈ C.
(j) ez = 1 si y solo si z ∈ 2πZ i .
(k) cos(x) = e
ix+e−ix
2
; sen(x) := e
ix−e−ix
2i
.
(l) cosh(x) = e
x+0i+e−(x+0i)
2
; senh(x) := e
x+0i−e−(x+oi)
2
.
(m) ez =
∑∞
k=0
zk
k!
;
2. Funciones trigonometricas complejas coseno y seno:
cos(z) :=
eiz + e−iz
2
; sen(z) :=
eiz − e−iz
2i
(a) cos(z) = cos(x)cosh(y)− i sen(x)senh(y) ;
Re(cos(z)) = cos(x)cosh(y), Im(cos(z)) = −sen(x)senh(y) ;
(b) Dzcos(z) =
(
−sen(x)cosh(y) cos(x)senh(y)
−cos(x)senh(y) −sen(x)cosh(y)
)
;
(c) sen(z) = sen(x)cosh(y) + i cos(x)senh(y) ;
Re(sen(z)) = sen(x)cosh(y), Im(sen(z) = cos(x)senh(y) ;
(d) Dzsen(z) =
(
cos(x)cosh(y) sen(x)senh(y)
−sen(x)senh(y) cos(x)cosh(y)
)
;
(e) cos(x+ 0i) = cos(x); sen(x+ 0i) = sen(x) ;
(f) cos2(z) + sen2(z) = 1 ;
(g) cos(z + w) = cos(z)cos(w)− sen(z)sen(w) ; sen(z + w) = sen(z)cos(w) + cos(z)cos(w) ;
(h) cos(−z) = cos(z) ; sen(−z) = −sen(z) ;
(i) eiz = cos(z) + i sen(z) ;
seis (j) sen(z) = cos(z − π
2
) ;
(k) sen(π
2
− z) = cos(z) ;
(l) cos(z) =
∑∞
k=0(−1)
k z
2k
(2k)!
;
(m) sen(z) =
∑∞
k=0(−1)
k z
2k+1
(2k+1)!
;
3. Funciones hiperbólicas complejas
cosh(z) :=
ez + e−z
2
; senh(z) :=
ez − e−z
2
;
(a) cosh(z) = cosh(x)cos(y) + i senh(x)sen(y) ;
Re(cosh(z)) = cosh(x)cos(y); Im(cosh(z)) = senh(x)sen(y) ;
(b) senh(z) = senh(x)cos(y) + i cosh(x)sen(y) ;
Re(senh(z)) = senh(x)cos(y); Im(senh(z)) = cosh(x)sen(y) ;
(c) Dzcosh(z) =
(
senh(x)cos(y) −cosh(x)sen(y)
cosh(x)sen(y) senh(x)cos(y)
)
;
(d) Dzsenh(z) =
(
cosh(x)cos(y) −senh(x)sen(y)
senh(x)sen(y) cosh(x)cos(y)
)
;
(e) cosh(x+ 0i) = cosh(x); senh(x+ 0i) = senh(x) ;
(f) cosh2(z)− senh2(z) = 1 ;
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(g) cosh(z + w) = cosh(z)cosh(w) + senh(z)senh(w) ;
senh(z + w) = senh(z)cosh(w) + cosh(z)cosh(w) ;
siete (h) cosh(−z) = cosh(z) ;
senh(−z) = −senh(z) ;
cosh(z) = cos(iz)
sen(iz) = isenh(z)
senh(z) = −icos(iz − π
2
)
(i) ez = cosh(z) + senh(z) ;
e−z = cosh(z)− senh(z) ;
(j) cosh(z) =
∑∞
k=0
z2k
(2k)!
;
(k) senh(z) =
∑∞
k=0
z2k+1
(2k+1)!
;
Ejercicio 6. Determine los valores y conjuntos que se le piden
(a) Determine el conjunto de soluciones de las ecuaciones cos(z) = 0, sen(z) = 0.
Solución:
{z ∈ C|cos(z) = 0} =
{
π
2
+ kπ|k ∈ Z
}
.
{z ∈ C|sen(z) = 0} = {kπ|k ∈ Z} .
(b) Una funci’on f es periodica de periodo α 6= 0 si f(z+α) = f(z) para toda z. Pruebe que la funciones exp(z), senh(z)
y cosh(z) son 2π i periodicas y las funciones cos(z) y sen(z) son 2π periodicas.
(c) Para cada una de las funciones cos(z), sen(z), cosh(z), senh(z) determine las imagenes de las familias de rectas
horizontales y verticales en el plano. Sugerencia: hacerlo para el cos(z) y luego usar las formulas de (
seis
2j) y
siete
3h.
5.4 Función reciproca 1/z, Transformaciones de Moebius az+b
cz+d
y razón cruzada de
cuatro puntos.
En esta sección nos ocupamos del conjunto de funciones biyectivas conformes del plano complejo en si mismo y sus respectivas
extensiones a la esfera de Riemann asi como sus principales propiedades geométricas.
5.4.1 Función reciproca 1/z o función inversa multiplicativa
Función inversa multiplicativa Inv(z) = 1
z
: z 7→ 1
z
, z 6= 0
1. si z es real coincide Inv con la función inversa multiplicativa real.
2. Es invertible y es su propia inversa Inv ◦ Inv(z) = z para toda z 6= 0;
3. Inv(z) = z̄
|z|2
, Inv(z) es diferenciable en C \ {0} y si z = (x, y), Re(Inv(z)) = x
x2+y2
, Im(Inv(z)) = −y
x2+y2
, y su derivada
es DzInv =


x
x2+y2
y
x2+y2
−y
x2+y2
x
x2+y2


4. Inv(z) = Inv(z̄)
5. |Inv(z)| = 1
|z|
6. Definición: decimos que un conjunto en el plano es una circunferencia generalizada si es una circunferencia o una recta.
7. La función Inv(z) aplica:
-circunferencias que no pasan por el origen en circunferencias que no pasan por el origen,
-rectas que pasan por el origen en rectas que pasan por el origen,
-circunferencias con centro en el origen en circunferencias con centro en el origen
-el interior del disco de radio 1 en el exterior del disco de radio 1. y
-el semiplano superior en el semiplano inferior y el semiplano derecho (izquierdo) en si mismo.
-en general, aplica circunferencias generalizadas en circunferencias generalizadas.
5.4.2 Transformaciones de Moebius.
Definición 7. Transformaciones de Moebius. Son transformaciones de la forma M(z) = az+b
cz+d
, donde a, b, c, d son complejos
tales que ad − bc 6= 0. y z 6= −d/c, si c 6= 0. Al conjunto de transformaciones de Moebius lo denotaremos por PSL(2,C). Estas
transformaciones se extienden al la esfera de Riemann Ĉ = C ∪ {∞} en la forma siguiente:
Si M(z) = az+b
cz+d
∈ PSL(2,C), c 6= 0, entonces
M(z) =











az+b
cz+d
, z 6= −d/c
∞ , z = −d/c
a/c , z = ∞
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