Analisis-Funcional

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Teoŕıa, procedimientos de demostración y
ejercicios de Análisis Funcional
Lic. Alejandro Alonso Fúster
Dra. Lućıa Argüelles Cortés
FACULTAD DE MATEMÁTICA, FÍSICA
Y COMPUTACIÓN
Universidad Central “Marta Abreu”de Las Villas
Cuba
2005
Índice General
1 Una aproximación al estudio del Análisis Funcional 1
1.1 Orientaciones metodológicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Caracteŕısticas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Sobre el enfoque global en el curso de Análisis Funcional . . . 5
1.4 Preámbulo al texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.1 Influencia del Análisis Clásico en el Análisis Funcional 7
1.4.2 Generalización de la geometŕıa al Análisis Funcional . . 10
1.4.3 Importancia de los espacios normados generales . . . . 11
1.5 Panorámica del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Espacios normados 15
2.1 Espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Espacios de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4 Desigualdades de Hölder y Minkowski . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3 Operadores lineales 45
3.1 Continuidad, acotación y norma de un operador lineal . . . . . 45
3.1.1 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2 Espacio de operadores lineales acotados . . . . . . . . . . . . . 60
3.2.1 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3 Operadores inversos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.3.1 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.4 Operadores cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.4.1 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.5 Operadores casi cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
i
3.5.1 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.6 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4 Espacios duales y operadores conjugados 99
4.1 Funcionales lineales continuos en espacios normados . . . . . . 99
4.2 Teorema de Hahn-Banach. Estructura del Espacio Dual . . . . 101
4.2.1 Aplicaciones del Teorema de la Acotación Uniforme al
caso de funcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.2.2 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.3 Espacio Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.3.1 Operadores Conjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.3.2 Conjugado de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.3.3 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.4 Convergencia Débil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.4.1 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.5 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5 Conjuntos compactos y Operadores totalmente continuos 142
5.1 Conjuntos compactos en espacios normados . . . . . . . . . . 143
5.2 Operadores lineales totalmente continuos . . . . . . . . . . . . 144
5.2.1 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.3 Ejercicios resueltos aplicados a la resolución de ecuaciones in-
tegrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.4 Ejemplos Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
6 Operadores autoconjugados. Teoŕıa espectral 180
6.1 Operadores autoconjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
6.1.1 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
6.2 Espectro de un operador lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
6.2.1 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
6.3 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
ii
Caṕıtulo 1
Una aproximación al estudio
del Análisis Funcional
El Análisis Funcional es un producto de las matemáticas modernas que con-
densa resultados de diferentes ramas del análisis tales como: las ecuaciones
diferenciales ordinarias y parciales, ecuaciones integrales, cálculo variacional,
análisis numérico, teoŕıa de aproximaciones y otros. Se ha demostrado que
resulta sumamente importante para una mejor comprensión de resultados ya
obtenidos y por obtener. Hoy d́ıa, es imposible trabajar en temas del análisis
sin algún conocimiento de los métodos y herramientas que nos proporciona.
El análisis clásico trabaja en espacios eucĺıdeos n−dimensionales, de donde
tenemos las nociones de funciones, convergencia, etc. El Análisis Funcional
extiende y generaliza considerablemente algunas nociones como espacio, con-
vergencia y función. Los elementos de los espacios ahora no sólo serán
números o n−uplos de números sino elementos de naturaleza arbitraria, por
ejemplo: funciones, medidas, sucesiones. Estos espacios pueden tener infini-
tas dimensiones y éstas pueden ser contables o no. Además de funciones se
tienen aplicaciones (transformaciones) de espacios en otros, por lo que en ca-
sos especiales podemos hablar de funcionales y operadores. La convergencia
y los ĺımites serán también redefinidos de manera muy general para espacios
muy abstractos.
La forma muy general de estas nociones básicas permite aplicar los resul-
tados en otras ramas distintas de las matemáticas. Algunos resultados están
muy cerca de los clásicos del análisis, pero en otros casos difieren considerable-
1
mente de las ideas que se tienen de los espacios euclideanos n−dimensionales.
Resulta un hecho que las interpretaciones geométricas son muy importantes
para entender muchos métodos del Análisis Funcional, es por esto que resul-
ta necesario conocer las nociones geométricas en cualquier momento en esta
especialidad.
Las herramientas algebraicas son, también, de suma importancia y comple-
tan la idea de que existen tres ramas de las matemáticas (geometŕıa, álgebra
y análisis) que se encuentran conectadas de una manera muy evidente.
Este texto comienza desde un recordatorio de algunos conceptos y se va
adentrando en la teoŕıa mı́nima necesaria para resolver múltiples problemas
del Análisis Funcional.
1.1 Orientaciones metodológicas
La asignatura Análisis Funcional es una de las de mayor grado de abstracción
a la cual se enfrenta el estudiante de Licenciatura en Matemática. Esto se
debe a su carácter unificador, destinado a la obtención de resultados muy
generales que pueden ser aplicados prácticamente en todas las ramas de la
Matemática. Lo anterior explica por qué esta asignatura es considerada si-
multáneamente como básica espećıfica y como asignatura del ejercicio de la
profesión.
El enfoque intŕınseco del Análisis Funcional constituye una dificultad para
la generalidad de los estudiantes que la reciben a la altura del cuarto año
de la carrera, tras haber recibido otras asignaturas básicas y del ejercicio de
la profesión, donde se han aprendido algunas técnicas un tanto espećıficas
del Análisis Funcional. Entre estas asignaturas pueden citarse el Análisis
Matemático, la Topoloǵıa y la Teoŕıa de la Medida e Integración.
La dificultad que se ha aludido ha sido reconocida por estudiantes de todas
las universidades del páıs en diversos contextos, por lo cual la impartición
del Análisis Funcional constituye un reto pedagógico para los profesores del
claustro de la carrera, agravado por la carencia de textos con caracteŕısticas
idóneas.
2
El texto básico carece expĺıcitamente de ejercitación y los textos de con-
sulta que pueden utilizarse (que se refieren en la bibliograf́ıa de este texto)
manifiestan algunos de los señalamientos siguientes:
• Solo muestran algunos ejercicios propuestos, ninguno resuelto.
• Indican respuestas cualitativas de algunos ejercicios propuestos. En
algunos casos se esboza la aplicaciónde ciertos artificios.
Por lo antes señalado reviste importancia acometer la didáctica especializa-
da de esta asignatura a partir de la elaboración de un libro como material
de estudio que posea las caracteŕısticas requeridas, en particular, cubrir los
contenidos planteados en el Plan de Estudios de la Carrera de Matemática.
La intención del texto es viabilizar la adquisición de habilidades en las técni-
cas del Análisis Funcional, que deben lograrse mediante las formas organi-
zativas de docencia tales como el seminario, cuya preparación debe estar
apoyada en una adecuada orientación del trabajo independiente.
El seminario es propicio para debatir tanto aspectos teóricos como prácticos,
por lo que se ha prestado atención al desarrollo de ejemplos de ambos tipos
en el texto. Por tanto, complementando el texto con una gúıa apropiada, se
puede estimular la independencia en el estudiante, potenciar la inclusión de
temas novedosos del perfil del especialista (de acuerdo con el Plan de Estu-
dio), seleccionar las actividades preparatorias para el desarrollo del seminario
y basar la ejecución de actividades de reafirmación de conocimientos.
1.2 Caracteŕısticas del texto
El presente libro es el resultado de varios años de trabajo de los profesores de
la asignatura Análisis Funcional y surge debido a la necesidad de que tanto
los estudiantes como los profesores puedan utilizar un texto metodológica-
mente apropiado para el desarrollo del proceso docente-educativo.
El mismo está estructurado mediante seis caṕıtulos que abarcan temas básicos
de la formación del profesional en esta asignatura. Cada uno de los caṕıtu-
los presenta los esenciales teóricos dosificados en eṕıgrafes que muestran las
3
definiciones, relaciones teóricas fundamentales y comentarios que contribuyen
a la fijación del conocimiento. El desarrollo de los ejercicios está preparado
para que el profesor pueda viabilizar la enseñanza problémica y para que el
estudiante pueda estudiar de forma tutorial bajo la orientación del docente
porque se han explotado creativamente las facilidades del editor1 para este fin.
Como caracteŕıstica general, la forma de presentación de los caṕıtulos confiere
una unidad metodológica al texto. Este hecho, unido a que el tratamiento
teórico es general y el contenido es consecuente con los requerimientos de la
ejercitación seleccionada, hace del texto un material bibliográfico auto con-
tenido.
Con el fin de reafirmar y ampliar la formación profesional relacionada con
el ejercicio de la profesión, en el penúltimo caṕıtulo se han introducido ejer-
cicios relacionados con la aplicación práctica de la teoŕıa de Fredholm a la
resolución de ecuaciones integrales, lo cual refuerza el carácter extraordinario
de este texto en cuanto a su aplicabilidad.
Sobre la base de resultados ya publicados, relativos a la aplicación de mo-
dernos métodos de enseñanza en el aprendizaje de la Matemática, en algunos
casos vinculados al uso de la computación, en la confección del presente libro
se manifiestan las siguientes perspectivas que confieren aspectos novedosos
al texto:
• Se han utilizado las extraordinarias ventajas que ofrece el LaTeX en
cuanto al manejo de la simboloǵıa estructural, con vistas a instrumentar
la condición tutorial del conocimiento, lo cual aumenta notablemente
la calidad del autoestudio. Esto puede apreciarse a lo largo de los
ejercicios que son explicados en este libro.
• Se han aprovechado invariantes metodológicas para el desarrollo de
algunos temas, tales como la determinación de la norma de un operador,
en particular de un funcional.
• Se ha procurado facilitar tanto al profesor como al estudiante la con-
cepción del seminario como forma de concretar el papel integrador de
la asignatura. A este fin contribuye la forma en que se ha diseñado la
resolución de los ejercicios.
1LaTeX
4
• Se viabiliza la comprensión del estudiante en lo relativo al tratamiento
de la modelación matemática en problemas del Análisis Funcional, si
el profesor aplica las reglas heuŕısticas que caracterizan el método de
enseñanza problémica.
• Se facilita al profesor el montaje de una ingenieŕıa didáctica, debido a
que se ha utilizado un enfoque apropiado mediante el cual los ejercicios
se presentan de forma natural en el contexto de la presentación teórica
y los ejercicios propuestos no son simplemente ejercicios adicionales,
sino que constituyen un complemento, puesto que se originan en los
ejercicios resueltos o los generalizan.
1.3 Sobre el enfoque global en el curso de
Análisis Funcional
Para el logro de valores éticos en el estudiante, es muy útil que gane concien-
cia de la relevancia de los hechos precedentes y del esfuerzo mantenido del
hombre para alcanzar nuevas conquistas como respuesta a los retos sociales.
Por esto se impone abordar de forma sistemática y organizada el contenido
con un enfoque que proyecte en particular la historia de la profesión.
La presentación realizada toma en consideración diversas dimensiones o ĺıneas
de la relación Análisis Funcional-contexto histórico con caracteŕısticas uti-
litarias bien definidas. Entre las dimensiones pueden citarse las siguientes:
Psicológica: Busca la motivación por la aplicación de potentes resultados
que conducen al manejo de valores éticos inherentes a la matemática,
tales como la elegancia, la precisión y la concisión.
Epistemológica: Destinada a materializar las relaciones con otras disci-
plinas. En este caso son claros los v́ınculos con las más notables
propiedades topológicas de los espacios métricos, entre ellas la caracteri-
zación de la continuidad de funciones definidas entre espacios métricos
(ampliamente utilizada en la resolución de los ejercicios), el teorema de
Baire (base de la demostración del teorema general de la acotación uni-
forme) y las caracterizaciones de la compacidad en espacios métricos,
expĺıcitamente resumidas en el caṕıtulo 5 por su relevancia práctica en
5
el mismo.
Como proyección de la teoŕıa estudiada se han aplicado resultados
básicos del Análisis Funcional en diversas áreas, como por ejemplo el
teorema de la acotación uniforme en Análisis Matemático; la teoŕıa de
operadores inversos en Matemática Numérica y en Ecuaciones Diferen-
ciales; la noción de convergencia débil en la teoŕıa de funciones genera-
lizadas y la teoŕıa espectral en la resolución de ecuaciones integrales.
Lógica: Mediante la dosificación de procesos inductivo-deductivos. En este
texto se procura un balance entre lo general y lo particular y una con-
catenación teórico-práctica basada en los esenciales mı́nimos y la ade-
cuada aplicación de la experiencia acumulada.
Axiológica: Debe garantizar la derivación de valores partiendo de la ase-
quibilidad del conocimiento a partir de las caracteŕısticas de la pre-
sentación, la forma de usar las técnicas y el lenguaje. El objetivo
es lograr la actualidad en la información, profundizar la especificidad
cultural e inculcar un compromiso social mediante el análisis de los he-
chos y de la labor de eminentes profesionales. En el presente estudio
hay nombres expĺıcitos de gran significación cient́ıfica en la historia del
Análisis Funcional, entre ellos: Stefan Banach (1892-1945) pionero en
el estudio de los espacios normados y de sus aplicaciones a partir de
1922; David Hilbert (1862-1943) considerado el más célebre matemático
alemán de la primera mitad del siglo XX, con aportes en casi todas las
ramas de la matemática (fue contemporáneo de Otto Hölder (Alema-
nia, 1859-1937)); Hermann Minkowski (1864-1909), matemático y f́ısico
alemán de origen ruso, creador de algunos tipos de espacios que fueron
la base del progreso de la Teoŕıa de la Relatividad y Frederich Riesz
(1880-1956), húngaro, que continuó y generalizó la obra de Hilbert.
1.4 Preámbulo al texto
Con vistas a propiciar una motivación inicial para un acercamiento al texto,
brindamosaqúı una exposición informal que constituye una visión escueta de
ideas previas que contribuyen a la comprensión de la perspectiva del presente
libro.
6
1.4.1 Influencia del Análisis Clásico en el Análisis Fun-
cional
Para adquirir una idea de cómo se originó la teoŕıa del Análisis Funcional, es
útil tomar en consideración algunos hechos basados en la geometŕıa clásica,
como los que se exponen a continuación:
• En el espacio Rn de n-plos de coordenadas reales, se pueden definir
dos operaciones: una de suma (que permite la traslación) y otra de
multiplicación por un escalar (o dilatación en sentido amplio) y estas
operaciones dotan a este espacio de una estructura de espacio vectorial,
lo cual ofrece la posibilidad de expresar algebraicamente propiedades
afines de la geometŕıa (por ejemplo, el segmento xy es paralelo al zu si
el vector y − x es igual al vector u− z).
• La distancia euclideana permite fundamentar la noción de convergen-
cia de una sucesión de puntos en Rn. La formalización del concepto
de distancia euclideana entre dos puntos x, y como una aplicación de
valores positivos definida sobre el producto cartesiano de Rn por śı mis-
mo, posee tres propiedades muy caracteŕısticas asociadas a la noción
heuŕıstica de la separación entre dos puntos: la propiedad triangular,
que expresa que en todo triángulo XY Z, la longitud del lado XY es
menor que la suma de las longitudes de los otros dos lados; la propiedad
de invarianza del valor de la distancia al permutar la notación de los
puntos considerados y la propiedad de nulidad del valor de la distancia
si y sólo si los puntos coinciden.
De aqúı que Rn está dotado de una estructura métrica que presen-
ta dos propiedades básicas, sobre las cuales descansa la teoŕıa clásica
de funciones, esto es, el Análisis Matemático: el teorema de Cauchy-
Bolzano (una sucesión es convergente si y sólo si es de Cauchy) y el
teorema de Bolzano-Weirstrass (de toda sucesión acotada se puede ex-
traer una subsucesión convergente). La suficiencia para la convergencia
en el teorema de Cauchy-Bolzano ofrece un modelo de comportamiento
de Rn que debe recuperarse en espacios más generales mediante una
caracteŕıstica expĺıcita, lo cual origina la noción de espacio métrico
completo.
• La relación entre las caracteŕısticas vectorial y métrica (euclideana,
7
por lo que Rn se designa entonces como En) está dada por las dos
propiedades que pueden expresarse aśı:
(1) La distancia d(x, y) entre los puntos x, y no cambia si los dos puntos
se someten a la misma traslación, esto es: d(x+z, y+z) = d(x, y).
(2) La distancia entre los puntos x, y queda multiplicada por el módulo
del escalar que dilata ambos puntos, es decir:
d(cx, cy) = |c| d(x, y).
Tomando z = −y en la primera propiedad se tiene
d(x− y, 0) = d(x, y),
lo cual significa que es suficiente conocer las distancias al origen
para determinar las distancias entre todos los puntos.
Por tanto, el número d(x, 0) adquiere una relevancia especial que
tiene las propiedades siguientes:
d(x, y) ≥ 0 , d(x, 0) = 0 ⇔ x = 0, d(cx, 0) = |c| d(x, 0)
d(x + y, 0)
Prop. (1)
= d(x + y − y,−y) = d(x,−y)
≤ d(x, 0) + d(0,−y)︸ ︷︷ ︸
d((−1)(0),(−1)y)
Prop. (2)
= d(x, 0) + |−1|︸︷︷︸
=1
d(0, y)
= d(x, 0) + d(0, y)
Por invarianza
= d(x, 0) + d(y, 0)
A la aplicación p(x) = d(x, 0) de valores positivos definida sobre Rn se
le llama norma y de acuerdo con lo anterior cumple las propiedades:
(N1) p(x) = 0 ⇔ x = 0;
(N2) p(cx) = |c| p(x);
(N3) p(x + y) ≤ p(x) + p(y).
• El concepto de norma se vincula estrechamente al de producto escalar
de cualquier par de vectores de Rn:
x = (x1, x2, ..., xn) y = (y1, y2, ..., yn)
8
definido aśı:
(x| y) =
n∑
i=1
xi yi,
debido a que
(x| x) =
n∑
i=1
x2i ≡ (d(x, 0))2 = (p(x))2.
Este producto obedece a las leyes siguientes:
(x1 + x2| y) = (x1| y) + (x2| y)
(cx| y) = c (x| y)
(x| y) = (y| x)
(x| x) ≥ 0; (x| x) = 0 ⇔ x = 0;
y además la desigualdad fundamental
|(x| y)| ≤ p(x) p(y)
Luego para dos vectores no nulos x, y se tiene que
|(x| y)|
p(x) p(y)
≤ 1 ⇒ −1 ≤ (x| y)
p(x) p(y)
≤ 1
y este hecho origina la noción de ángulo α entre dos vectores x, y
mediante la definición
cos α =
(x| y)
p(x) p(y)
.
La importancia de esta relación radica en que nociones tales como la
perpendicularidad entre vectores, aśı como resultados asociados (por
ejemplo el teorema de Pitágoras) se generalizan a espacios arbitrarios
siempre que exista un producto que satisfaga la axiomática del producto
escalar analizado.
9
1.4.2 Generalización de la geometŕıa al Análisis Fun-
cional
Aunque desde la época de Euclides se sab́ıa que la validez de los teoremas
de la geometŕıa dependen sólamente de la axiomática que gobierna el com-
portamiento de los entes geométricos y no de la naturaleza de dichos entes,
durante mucho tiempo la imagen f́ısica de los conceptos de punto, recta,
ángulo, etc., ejerció una gran limitación al campo de aplicación de los teore-
mas.
Con el desarrollo del Análisis Matemático, la perspectiva axiomática para la
aplicación práctica de los resultados ganó fuerza, y por tanto trascendió del
marco de En. Son muy notables los problemas que plantean los ejemplos
siguientes:
1) Dada una matriz K = (kij) y un vector y = (y1, ..., yn) ∈ En, hallar un
vector x = (x1, ..., xn) ∈ En tal que:
n∑
j=1
kij xj = yi i = 1, ..., n
De forma precisa, la incógnita es una función x con dominio en el
conjunto {1, ..., n} tal que
x(i) = xi i = 1, ..., n
Entonces, x constituye un punto en un cierto conjunto de funciones.
Nótese que una matriz es un caso particular de una función de dos
variables, y sobre la base de esta analoǵıa, Ivar Fredholm (Suecia, 1866-
1927) planteó el problema que se presenta a continuación.
2) Dada una función de dos variables k(t, s), t, s ∈ [a, b], la función y(t) y el
parámetro λ, hallar una función x(t) tal que
λx(t) +
∫ b
a
k(t, s)x(s) ds = y(t)
Como en el caso de la teoŕıa de ecuaciones algebraicas se tiene una in-
terpretación geométrica de la misma por su relación con En, Hilbert se
10
propuso hallar un enfoque geométrico análogo para la teoŕıa de Fred-
holm, y esto lo llevó a introducir espacios de dimensión infinita cuyos
elementos eran sucesiones o funciones con ciertas caracteŕısticas, donde
se puede definir la noción de distancia, perpendicularidad u ortogona-
lidad, etc. En la teoŕıa de Hilbert se generaliza la noción de punto,
pero se mantiene análoga la fórmula para la distancia. En sus traba-
jos, Minkowski generaliza la noción de distancia en un cierto sentido;
pero impĺıcitamente la generalización del concepto de distancia se teńıa
desde que Pafnuty Chebychev (Rusia, 1821-1894), en la teoŕıa de aprox-
imación de una función continua x por un polinomio P (t), al evaluar
la bondad de la aproximación, utilizaba el valor de
d(x, P ) = sup
t∈[a,b]
|x(t)− P (t)| ,
ya que posee todas las propiedades reseñadas para la distancia.
1.4.3 Importancia de los espacios normados generales
La creación de las teoŕıas abstractas de espacios métricos, normados, hilber-
tianos, etc., donde sólo se fijan los axiomas a los que obedecen estos con-
ceptos, permite deducir un grupo de teoremas que después puede aplicarse a
diversas teoŕıas particulares y aśı se evita repetir para cada teoŕıa particular
el mismo razonamiento.
Usualmente, la teoŕıa general se enriquece mediante las tres v́ıas siguientes:
• Buscando analoǵıas de “buenas”propiedades establecidas en espacios
concretos. Aśı, por ejemplo, se generalizan las nociones de espacio
completo y de conjunto compacto. En el caso de esta última noción, el
proceso de transferencia de la misma a espacios infinito-dimensionales
conduce a un concepto cualitativamente más amplio que el que se tiene
en En.
• Aumentando la cantidad de estructuras disponibles sobre un conjunto,
ya que hay más propiedades y resultados que pueden ser utilizados. Por
ejemplo, si en un espacio normado se consideraademás un producto
como operación interna, que satisface ciertas compatibilidades tanto
con la estructura algebraica de espacio vectorial como con la estructura
11
topológica de norma, entonces la teoŕıa se hace más rica porque se
pueden considerar además las especificidades de otras teoŕıas tales como
la de ideales.
• Estableciendo relaciones entre diversos espacios mediante morfismos
apropiados. Entre ellos se destacan los que dan lugares a los espacios
normados siguientes:
L(E) = {T : E → E, T lineal} (completo si E es completo)
E′ = {f : E → K, f lineal} .
La importancia de L(E) reside en que constituye el marco apropiado
para la teoŕıa espectral, la cual resulta una generalización a espacios
infinitos de la reducción de una matriz a la forma diagonal, mientras
que la del espacio E′ radica en que permite obtener resultados de rep-
resentación que logran la identificación de espacios arbitrarios con es-
pacios conocidos.
1.5 Panorámica del texto
El presente texto consta de seis caṕıtulos, especializados en técnicas del Análi-
sis Funcional lineal a partir del segundo.
Las principales ideas de cada caṕıtulo pueden resumirse como sigue:
• El segundo caṕıtulo, relativo a espacios normados, destaca la axiomática
esencial del concepto de norma e introduce por su relevancia la noción
de espacio de Banach como caso particular de espacio métrico comple-
to, ya que dicha noción fundamenta un conjunto sustancial de resulta-
dos muy importantes en las aplicaciones. A su vez, son introducidos
los espacios de Hilbert como casos particulares de espacios de Banach,
debido a que constituyen la generalización natural de los espacios eucĺı-
deos (donde existe el concepto de ortogonalidad) y además constituyen
también el marco apropiado para el básico teorema de Riesz.
Los espacios normados resultan el caso más sencillo de espacios vec-
toriales topológicos, y en los ejemplos resueltos se fortalece la idea de
la compatibilidad entre la estructura algebraica de espacio vectorial y la
12
estructura topológica asociada a la norma mediante la demostración de
la continuidad de las operaciones de espacio vectorial. Se muestra una
forma general del teorema de la acotación uniforme que se particulariza
posteriormente en el cuarto caṕıtulo.
• El tercer caṕıtulo estudia los operadores lineales con una gran inciden-
cia práctica como muestran los tipos abordados en la ejemplificación:
integrales, diferenciales, de diferencias finitas, de transformadas, ma-
triciales, de retardo, de evaluación, de proyección, etc.
Dentro de la clase de los operadores lineales se estudian y caracterizan
subclases distinguidas por su potencia teórica: los operadores conti-
nuos, los inversibles y los cerrados.
Aqúı se establece la equivalencia entre operadores continuos y aco-
tados, lo cual facilita el manejo de diversas formas equivalentes de la
noción de norma de un operador.
En cuanto a los operadores inversibles se investigan las condiciones
para garantizar la continuidad del inverso y se demuestran diversas
relaciones entre los conceptos de operador cerrado y operador contin-
uo.
• En el cuarto caṕıtulo, la noción de norma de un operador se particula-
riza al caso de funcionales lineales continuos, que constituyen su objeto
de estudio. Los resultados teóricos que se manejan se dividen en tres
sentidos: el primero, enfatizar las aplicaciones anaĺıticas del teorema
de Hahn-Banach; el segundo, particularizar al caso de algunos fun-
cionales el teorema de la acotación uniforme analizado en el caṕıtulo
2 y el tercero, introducir la importante noción (por su aplicación en
optimización) de operador lineal adjunto y del concepto derivado en el
contexto de espacios de Hilbert que se denomina como conjugado de
Hermite.
• El quinto caṕıtulo trata una clase con propiedades especiales, que es
usual en la teoŕıa de las ecuaciones integrales y en los procesos de
sumación: ésta es la clase de los operadores totalmente continuos.
• El sexto caṕıtulo se utiliza para aplicar los fundamentos teóricos del
13
caṕıtulo anterior, vinculados con el desarrollo de rudimentos de la teoŕıa
espectral.
Finalmente se ofrece un ı́ndice de materias para ayudar al lector a localizar
las principales definiciones y las nomenclaturas de los teoremas que son es-
tudiados y aplicados en el texto.
14
Caṕıtulo 2
Espacios normados
La noción de módulo (o valor absoluto) de un número real es muy importante
porque a partir de él se define un indicador de la cercańıa entre dos números
cualesquiera: éste consiste en considerar el módulo de la diferencia entre
ellos, es decir, se puede definir la aplicación:
d : R× R −→ R+ aśı: d(x, y) = |x− y|
Con este concepto se puede definir inmediatamente la noción de ĺımite de
una sucesión {xn} a x, se denota xn → x y se dice que xn tiende a x:
xn −→ x def.≡ ∀² > 0 ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 d(xn, x) = |xn − x| < ²
La relevancia de este hecho es que permite dotar a R de una estructura no
sólo algebraica, sino anaĺıtica en el sentido de que hace posible manejar la
noción de convergencia.
Si se intenta buscar cuáles son las propiedades del valor modular que ha-
cen posible este salto cualitativo, se puede observar que en relación con las
operaciones de suma y multiplicación de números reales se cumple que:
|λx| = |λ| |x|
|x + y| ≤ |x|+ |y|
y además |0| = 0.
Si se trata de generalizar estas propiedades y convertirlas en axiomática de
15
una aplicación de valores positivos definida sobre cualquier espacio vectorial,
también denominado lineal, se tendrá la definición de norma que va a con-
stituir un marco apropiado de estudio de un elevado número de propiedades
de gran impacto en el Análisis Funcional.
2.1 Espacios normados
Un espacio lineal X sobre el conjunto de los números reales R (de los com-
plejos C) se denomina espacio normado si para todo x ∈ X se pone en
correspondecia un número no negativo ‖x‖ llamado norma de x, tal que se
cumplan los tres axiomas siguientes:
1) ‖x‖ = 0 ⇒ x = 01
2) ‖λx‖ = |λ| ‖x‖
3) ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖
(Ejercicios Resueltos 1 y 2)
Todo espacio normado X resulta un espacio métrico para la aplicación
d : R× R −→ R+
dada por:
d(x, y) = ‖x− y‖ ,
(Ejercicio resuelto 3)
por lo que adquiere sentido la noción de bola y consecuentemente la no-
ción topológica de conjunto abierto.
La denominación de bola responde a la forma geométrica del conjunto que
corresponde a la utilización de la norma euclideana en el espacio tridimen-
sional.
El conjunto Sr(x0) = {x ∈ X : ‖x− x0‖ < r} se llama bola abierta con
1x = 0 ⇒ ‖x‖ = 0 por lo que el axioma 1) se puede sustituir por si y sólo si como
consecuencia del axioma 2).
16
centro en el punto x0 ∈ X y radio r > 0. El conjunto S̄r(x0) = {x ∈ X :
‖x− x0‖ ≤ r} se llama bola cerrada de centro en el punto x0 ∈ X y radio
r > 0. El conjunto σ(x0) = {x ∈ X : ‖x− x0‖ = r} se llama esfera con
centro en el punto x0 ∈ X y radio r > 0. Un conjunto A ⊂ X se denomina
acotado si es posible encerrarlo en una bola (abierta o cerrada). (Ejercicio
resuelto 4)
El número
Diam(A) = sup
x,y∈A
‖x− y‖
se denomina diámetro del conjunto A ⊂ X.
La nomenclatura de diámetro se justifica porque esta noción generaliza la
de diámetro de un ćırculo y la importancia de este concepto radica en que
proporciona una v́ıa alternativa para probar que un conjunto de un espacio
métrico está acotado:
A está acotado ⇔ Diam(A) < +∞.
(Ejercicio propuesto 2)
El número
d(x,A) = inf
y∈A
‖x− y‖
se denomina distancia de un punto x ∈ X a un conjunto A ⊂ X.
El número
d(A,B) = inf
x∈A,y∈B
‖x− y‖
se denomina distancia entre los conjuntos A, B ⊂ X.
Un conjunto se llama abierto si para cualquier x0 ∈ M existe un r > 0
tal que, Sr(x0) ⊂ M . Un punto a ∈ X se llama punto de acumulación del
conjunto M ⊂ X si en cualquier bola Sr(a) existe un punto x ∈ M(x 6= a).
El conjunto de todos los puntos de acumulación del conjunto M se designa
por M ′. El conjunto M ∪M ′ se llama clausuradel conjunto M y se denota
mediante M̄ . Un conjunto M ⊂ X se llama cerrado si M = M̄ .
Una sucesión {xn} ⊂ X(n ∈ N) se llama convergente hacia el elemento
17
x0 ∈ X y se escribe xn −→ x0 si ‖xn − x0‖ −→
n→∞
0. Una caracterización muy
útil de punto de clausura es la siguiente:
x ∈ M̄ ⇔ ∃{xn} ⊂ M : xn → x.
(Ejercicio resuelto 5)
Un conjunto L ⊂ X se denomina variedad lineal si de x, y ∈ L se deduce que
λ1x + λ2y ∈ L, para cualesquiera λ1, λ2. Si la variedad lineal es un conjunto
cerrado en X, entonces se llama subespacio.
Se llama segmento, que une los puntos x, y ∈ X, al conjunto de puntos
del tipo αx+(1−α)y, α ≥ 0. Un conjunto A ⊂ X se llama convexo si el seg-
mento que une cualesquiera dos puntos de A, está contenido totalmente en A.
Las nociones topológicas de conjunto compacto y de conjunto relativamente
compacto adquieren en un espacio métrico formas especiales muy prácticas
porque pueden establecerse en términos de sucesiones. Debido a que todo
espacio normado es métrico, estas formas son válidas también en los espacios
normados.
Un subconjunto A ⊆ (E, δ) se dice que es relativamente compacto si to-
da sucesión infinita {xn} ⊂ A contiene al menos un punto de acumulación
x′ ∈ E.
En otras palabras A ⊆ (E, δ) es compacto si todo subconjunto infinito de
A posee un punto de acumulación contenido en E. En particular, un espacio
métrico (E, δ) es compacto si para toda sucesión infinita {xn} ⊂ E existe, al
menos, una subsucesión {xnk} que converge a x′ ∈ E.
Sobre un mismo espacio pueden definirse varias normas y es posible que éstas
estén relacionadas. Dos normas ‖x‖1 y ‖x‖2 en un espacio lineal X se llaman
equivalentes si existen dos números α, β > 0 tales que, para cualquier x ∈ X
se cumple la desigualdad α ‖x‖1 ≤ ‖x‖2 ≤ β ‖x‖1. (Ejercicios resueltos 6 y
7)
Algunas normas de uso más común
Se resumen seguidamente algunas definiciones de norma en diversos tipos de
espacios familiares tales como: espacios de n−uplos de escalares; espacios de
18
sucesiones y espacios funcionales constituidos por funciones continuas, con-
tinuamente diferenciables, acotadas, medibles y de variación acotada. Cada
uno de ellos se denomina con la notación que se utilizará en lo sucesivo.
• En el espacio Em
‖x‖ =
[
m∑
k=1
|xk|2
] 1
2
• El espacio lp(p > 1) de las sucesiones acotadas x = (x1, x2, ...)(xk ∈
R(xk ∈ C)) que satisfacen la condición
∑∞
k=1 |xk|p < ∞
‖x‖ =
[
m∑
k=1
|xk|p
] 1
p
• El espacio lm de los vectores x = (xk)mk=1(xk ∈ R(xk ∈ C)),
‖x‖ =
m∑
k=1
|xk|
• El espacio lmp (p > 1) de los vectores x = (xk)mk=1(xk ∈ R(xk ∈ C)),
‖x‖ =
[
m∑
k=1
|xk|p
] 1
p
• El espacio C[a, b] de las funciones continuas sobre [a,b]
‖x‖ = max
t∈[a,b]
|x(t)|
• El espacio Ck[a, b] de las funciones k veces continuamente diferenciables
sobre [a,b]
‖x‖ =
k∑
i=0
max
t∈[a,b]
∣∣x(i)(t)
∣∣
• El espacio M [a, b] de las funciones acotadas sobre [a, b]
‖x‖ = sup
t∈[a,b]
|x(t)|
19
• El espacio L̃p[a, b] de las clases de funciones medibles en el intervalo
[a, b] según la relación de igualdad en casi todas partes
‖x‖ =
[∫ b
a
|x(t)|pdt
] 1
p
, 1 ≤ p < ∞
• El espacio V [a, b] de las funciones de variación acotada sobre [a, b] con
la norma:
‖x‖ = |x(a)|+
b∨
a
x(t).
La función x(t) real dada en [a, b] se llama función de variación acotada
si existe una constante c tal que para toda partición del segmento
[a, b] : a = t0 < t1 < ... < tn = b
se cumple la desigualdad:
n∑
k=1
|x(tk)− x(tk−1)| < c.
La variación total de una función de variación acotada sobre [a, b] es
un número
b∨
a
x(t) = sup
n∑
k=1
|x(tk)− x(tk−1)| ,
donde la cota superior se toma sobre todas las posibles particiones
finitas del segmento [a, b].
Se puede observar que el espacio lm es un caso particular de los espacios
lmp (p > 1) cuando p vale 1, por lo que resulta natural extender la notación
lmp al caso p ≥ 1 porque la aplicación no constituye una norma para p < 1.
(Ejercicio resuelto 8)
2.2 Espacios de Banach
El concepto de espacio de Banach es muy importante porque en ellos resultan
válidos los teoremas más significativos del Análisis Funcional, por ejemplo
el teorema de la Acotación Uniforme (que se particularizará en el siguiente
caṕıtulo) y los teoremas del inverso acotado y del gráfico cerrado (que se
estudiarán en el próximo caṕıtulo).
20
Definición 2.2.1 Sea (X, d) un espacio métrico. Una sucesión {xn} ⊂ X
se denomina fundamental si para cualquier ² > 0 existe un N = N(²) tal
que, para cualquier n > N y todos los p naturales se cumple la desigualdad
d(xn+p, xn) < ². Un espacio X se denomina completo si toda sucesión fun-
damental converge en él. Un espacio normado completo se denomina espacio
de Banach.
(Ejercicios resueltos 9, 10 y 11)
El teorema de la Acotación Uniforme basa su demostración en el teorema
de Baire, por lo que se introducen a continuación las definiciones topológicas
que fundamentan este último teorema.
Un conjunto A ⊂ X se llama denso en X, si Ā = X. Un conjunto A ⊂ X se
llama nunca denso en X, si
Int(Ā) = ∅
Definición 2.2.2 A es de 1ra categoŕıa si es unión contable de conjuntos
nunca densos.
Definición 2.2.3 A es de 2da categoŕıa si no es de 1ra categoŕıa.
Proposición 2.2.1 A
I
∪B = C
II
, entonces B es de 2da categoŕıa.
Proposición 2.2.2 ∅ es nunca denso2 ⇒ ∅ de 1ra categoŕıa ⇒ ∅ no es de
2da categoŕıa.
La forma más directa de demostrar el teorema de Baire es considerarlo como
corolario de un teorema que establece una caracteŕıstica de los conjuntos de
primera categoŕıa en los espacios completos.
Teorema 2.2.1 Sea X un espacio métrico completo. A ⊂ X, A de 1racategoŕıa.
Entonces Å = ∅.
Corolario 2.2.1.1 (Teorema de Baire) Sea X 6= ∅, X espacio métrico
completo. Entonces X es de 2da categoŕıa.
2Por la definición.
21
Demostración[Teorema de Baire]
Supongamos lo contrario, es decir, suponer que X es de 1ra categoŕıa, en-
tonces ◦
X = X = ∅ contrario a la hipótesis
Combinando el teorema de Baire y la proposición 2.2.1, se puede construir
un procedimiento de demostración de que un conjunto dado es de segunda
categoŕıa:
Procedimiento 1
(P1) Escribir la unión disjunta X = A ∪B, donde X es un espacio métrico
completo.
(P2) Garantizar que A es un conjunto de primera categoŕıa.
(P3) Inferir que B es un conjunto de segunda categoŕıa.
Apliquemos el Procedimiento 1 para demostrar que el conjunto de los
irracionales (I) es de 2da categoŕıa en R con la topoloǵıa usual.
(P1) Q ∪ I = R, donde A = Q, B = I, X = R.
(P2) A = Q es la unión contable de sus puntos, cada uno de los cuales es
un conjunto nunca denso.
(P3) I es de 2da categoŕıa3, Q
I
∪ I = R
II
4.
En el enunciado del teorema de la acotación uniforme interviene la noción
de seminorma, que es una aplicación que satisface los axiomas N2 y N3
establecidos para la norma.
Teorema 2.2.2 (Teorema de la Acotación Uniforme) Sean X un es-
pacio de Banach no vaćıo, α ∈ I, x ∈ X, pα(x) ≥ 0. {pα}α∈I familia de
seminormas continuas. Si
sup
α∈I
pα(x) < +∞ ∀x ∈ X
entonces,
sup
α∈I
sup
‖x‖≤1
pα(x) < +∞
3Aplicando la proposición 2.2.1.
4Por el Teorema de Baire.
22
Demostración
Formemos An = {x ∈ X : pα(x) ≤ n ∀α ∈ I}
Notemos que An es cerrado puesto que
An =
⋂
α∈I
p−1α [0, n]
además ⋃
n
An ⊂ 5X ⊂ 6
⋃
n
An
concluyendo,
X7 =
⋃
n
An =
⋃
n
Ān
Esto implica que existe n0 ∈ N : An0 = Ān0 tiene un punto interior, es decir,
∃x0 ∈ X, r > 0 tales que
B(x0, r) ⊂ An0 .
Probemos que {pα(x)} está uniformemente acotada sobre ‖x‖ < 2r. Consi-
deremos que x está en la bola B(x0, r). Entonces x admite la descomposición
x =
x1︷ ︸︸ ︷(
x0 +
x
2
)
−
x2︷ ︸︸ ︷(
x0 − x
2
)
= x1︸︷︷︸
∈B(x0,r)
− x2︸︷︷︸
∈B(x0,r)
aplicando pα
pα(x) = pα(x1)︸ ︷︷ ︸
∈B(x0,r)
+ pα(−x2)︸ ︷︷ ︸
pα(x2)∈B(x0,r)⊂An0
≤ 2n0 ∀α ∈ I.
1. Si 2r ≥ 1, entonces
sup
‖x‖≤1
pα(x) ≤ 2n0 ∀α ∈ I,
de donde
sup
α∈I
sup
‖x‖≤1
pα(x) ≤ 2n0 < +∞.
5Por construcción
6∀x, {pα} está acotada
7Completo, luego de 2da categoŕıa.
23
2. Si 2r < 1, entonces1
2r
> 0. Sea m
∈N >
1
2r
> 1.
Consideremos x : ‖x‖ ≤ 1,
m >
1
2r
⇒ 1 > 2r > 1
m
⇒ ‖x‖
m
≤ 2r ‖x‖︸︷︷︸
≤1
⇒
∥∥∥ x
m
∥∥∥ ≤ 2r
aplicando pα(x) α ∈ I
pα
( x
m
)
≤ 2n0
Entonces,
pα(x) ≤ 2mn0.
De aqúı que
sup
‖x‖≤1
pα(x) ≤ 2mn0 ⇒ sup
α∈I
sup
‖x‖≤1
pα(x) ≤ 2mn0 < +∞.
2.3 Espacios de Hilbert
Un espacio lineal real se llama eucĺıdeo si a todo par de sus elementos x, y
se le pone en correspondencia un número real denotado (x | y) y llamado
producto escalar, el cual debe cumplir los axiomas siguientes:
1) (x | x) ≥ 0, (x | x) = 0 si y sólo si x = 0
2) (x | y) = (y | x)
3) (λx | y) = λ(x | y) para cualquier λ ∈ K
4) (x + y | z) = (x | z) + (y | z)
Un espacio lineal complejo se llama unitario si a todo par de elementos suyos
x, y se le pone en correspondencia un número complejo denotado (x | y) y
llamado producto escalar, siempre que se cumplan los axiomas siguientes:
(1) (x | x) ≥ 0, (x | x) = 0 si y sólo si x = 0,
(2) (x | y) = (y | x),
24
(3) (λx | y) = λ(x | y) para cualquier λ ∈ C,
4) (x + y | z) = (x | z) + (y | z).
Del axioma (1) y de la desigualdad de Cauchy-Buniakovski8 se desprende
que en espacios eucĺıdeos y unitarios se puede introducir la norma mediante
la igualdad ‖x‖ =
√
(x | x) (Ejercicios propuestos 1 y 2). Un espacio H con
producto escalar (eucĺıdeo o unitario) se llama de Hilbert si es completo con
respecto a esta norma. (Ejercicio resuelto 12, ejercicios propuestos 3, 4 y 5)
Se llama ángulo entre dos elementos no nulos x e y y de un espacio de
Hilbert real a un ángulo ϕ comprendido entre 0 y π tal que
cos ϕ =
(x | y)
‖x‖ ‖y‖
Los elementos x, y ∈ H se llaman ortogonales y se escribe x⊥y si (x | y) = 0.
Un conjunto de elementos z ∈ H tales que (z | x) = 0 para cualquier
x ∈ M ⊂ H se denota M⊥.
Un sistema de elementos h1, h2, ... ∈ H se llama ortogonal si
(hi | hj) = δij =
{
1 para i 6= j,
0 para i = j.
El sistema de elementos x1, x2, ... ∈ H se llama linealmente independiente si
para cualquier n ∈ N el sistema x1, x2, ..., xn es linealmente independiente.
2.4 Desigualdades de Hölder y Minkowski
La demostración de la desigualdad de Hölder se basa en propiedades de las
funciones convexas, por lo que se estudia en ocasiones bajo la denominación
de desigualdad de convexidad y su utilidad fundamental se explica porque
interviene en la demostración de la desigualdad de Minkowski. La impor-
tancia de esta última está dada porque fundamenta la demostración de la
desigualdad triangular en ciertos espacios. Es por esto que resulta útil pre-
sentarlas agrupadas en diversas formas: para sumas finitas, para series y para
integrales, como se resumen a continuación.
8|(x | y)|2 ≤ (x | x)(y | y).
25
Desigualdades de Hölder. Sean p, q dos números reales positivos deter-
minados por la relación 1
p
+ 1
q
= 1.
(1) Para cualesquiera números x1, ..., xn; y1, ..., yn,
n∑
k=1
|xkyk| ≤
{
n∑
k=1
|xk|p
} 1
p
{
n∑
k=1
|yk|q
} 1
q
.
(2) Para cualesquiera números x1, ..., xn, ...; y1, ..., yn, ..., tales que,
∞∑
k=1
|xk|p < ∞,
∞∑
k=1
|yk|q < ∞,
se tiene,
∞∑
k=1
|xkyk| ≤
{ ∞∑
k=1
|xk|p
} 1
p
{ ∞∑
k=1
|yk|q
} 1
q
.
(3) Para cualesquiera funciones continuas x(t), y(t) sobre una región T ,
∫
T
|x(t)y(t)| dt ≤
{∫
T
|x(t)|p dt
} 1
p
{∫
T
|y(t)|q dt
} 1
q
.
Desigualdades de Minkowski. Sea 1 ≤ p < ∞.
(1) Para cualesquiera números x1, ..., xn; y1, ..., yn,
{
n∑
k=1
|xk + yk|p
} 1
p
≤
{
n∑
k=1
|xk|p
} 1
p
+
{
n∑
k=1
|yk|p
} 1
p
.
(2) Para cualesquiera números x1, ..., xn, ...; y1, ..., yn, ..., tales que
∞∑
k=1
|xk|p < ∞,
∞∑
k=1
|yk|p < ∞,
se tiene,
{ ∞∑
k=1
|xk + yk|p
} 1
p
≤
{ ∞∑
k=1
|xk|p
} 1
p
+
{ ∞∑
k=1
|yk|p
} 1
p
.
26
(3) Para cualesquiera funciones continuas x(t), y(t) sobre una región T ,
{∫
T
|x(t) + y(t)|p dt
} 1
p
≤
{∫
T
|x(t)|p dt
} 1
p
+
{∫
T
|y(t)|p dt
} 1
p
.
Una aplicación F : X −→ Y , X e Y espacios normados, se llama continua
en el punto x0 ∈ X, si para cualquier ² > 0 existe δ = δ(x0) > 0 tal que, para
todo x0 ∈ Sδ(x0), f(x) ∈ S²(f(x0)). Una aplicación F : X −→ Y se llama
continua, si es continua en cada punto x0 ∈ X. Una aplicación F : X −→ Y
se llama uniformemente continua, si para cualquier ² > 0 existe δ = δ(²) > 0
tal que, para todo x0 ∈ X de x ∈ Sδ(x0) se deduce que f(x) ∈ S²(f(x0)).
(Ejercicios resueltos 15, 16 y 17, ejercicio propuesto 6)
También es válida y muy útil desde el punto de vista práctico, la siguiente ca-
racterización de la continuidad de una función definida entre espacios métri-
cos mediante el concepto de sucesión y que se conoce con la denominación
de función sucesionalmente continua. Se tiene en este caso que:
f es continua en x ≡ f es sucesionalmente continua en x
≡ [xn −→ x ⇒ f(xn) −→ f(x)].
(Ejercicio resuelto 14)
2.5 Ejercicios Resueltos
1. Probar que en el espacio X de las funciones acotadas sobre [a, b],
p(x) = sup
t∈[a,b]
|x(t)| x ∈ X
constituye una norma.
Solución:
1)
p(x) = 0 ⇒ sup
t∈[a,b]
|x(t)| = 0 ⇒ |x(t)| = 0 ∀t ∈ [a, b]
⇒ x(t) = 0 ∀t ∈ [a, b] ⇒ x = 0.
27
2)
p(αx) = sup
t∈[a,b]
|(αx)(t)| = sup
t∈[a,b]
|αx(t)| = sup
t∈[a,b]
|α| |x(t)| = |α| sup
t∈[a,b]
|x(t)|
= |α| p(x) α ∈ K x ∈ X.
3) Sean x, y ∈ X t ∈ [a, b]
|(x + y)(t)| = |x(t) + y(t)| ≤ |x(t)|+ |y(t)|
≤ sup
t∈[a,b]
|x(t)|
︸ ︷︷ ︸
p(x)
+ sup
t∈[a,b]
|y(t)|
︸ ︷︷ ︸
p(y)︸ ︷︷ ︸
cota superior
⇒ sup
t∈[a,b]
|(x + y)(t)|
︸ ︷︷ ︸
p(x+y)
≤ p(x) + p(y).
2. En el espacio de las funciones continuamente diferenciables sobre [a, b]
determinar si las siguientes expresiones constituyen normas:
a) max
t∈[a,b]
|x′(t)|;
b)
(
max
t∈[a,b]
|x′(t)|
)
+ |x(a)|.
Solución al inciso a) Denominemos p(x) = max
t∈[a,b]
|x′(t)|
p(x) = 0 ⇒ max
t∈[a,b]
|x′(t)| = 0 ⇒ |x′(t)| = 0 ∀t ∈ [a, b]
⇒ X ′(t) = 0 ∀t ∈ [a, b] ⇒ x(t) es constante en [a, b]
; x = 0
Conclusión: p no es una norma.
Solución al inciso b) Denominemos p(x) = max
t∈[a,b]
|x′(t)|+ |x(a)|
p(x) = 0 ⇒ max
t∈[a,b]
|x′(t)| = 0 ∧ |x(a)| = 0
Por el razonamiento hecho en el inciso a), x(t) es constante en
[a, b] y x(a) = 0, lo cual indica que la constante es necesariamente
0.
∴ p(x) = 0 ⇒ x = 0.
28
Es necesario analizar si se cumplen los restantes axiomas;
p(αx) =
(
max
t∈[a,b]
|(αx)′(t)|
)
+ |(αx)(a)|
= max
t∈[a,b]
|αX ′(t)|︸ ︷︷ ︸
|α||x′(t)|
+ |α| |x(a)|
= |α|
(
max
t∈[a,b]
|x′(t)|+ |x(a)|
)
︸ ︷︷ ︸
p(x)
Veamos el último axioma
p(x + y) = max
t∈[a,b]
|(x + y)′(t)|+ |(x + y)(a)|
Pero por las definiciones
max
t∈[a,b]
|(x + y)′(t)|+|(x + y)(a)| =
(
max
t∈[a,b]
|x′(t) + y′(t)|
)
+|(x + y)(a)|
Para todo t ∈ [a, b] se tiene
|x′(t) + y′(t)| ≤ |x′(t)|+ |y′(t)| ≤ max
t∈[a,b]
|x′(t)|+ max
t∈[a,b]
|y′(t)|
∴ max
t∈[a,b]
|x′(t) + y′(t)| ≤ max
t∈[a,b]
|x′(t)|+ max
t∈[a,b]
|y′(t)|
A partir de la expresión de p(x + y) llegamos a que
p(x + y) ≤ max
t∈[a,b]
|x′(t)|+ max
t∈[a,b]
|y′(t)|+ |x(a)|+ |y(a)|
= max
t∈[a,b]
|x′(t)|+ |x(a)|
︸ ︷︷ ︸
p(x)
+ max
t∈[a,b]
|y′(t)|+ |y(a)|
︸ ︷︷ ︸
p(y)
3. Probar que todo espacio normado es métrico.
Solución:
Sea X un espacio normado. Definamos:
d(x, y) = ‖x− y‖ ,
donde d satisface los axiomas siguientes:
29
1) d : X ×X −→ R+;
2) d(x, y) = ‖x− y‖ = ‖(−1)(y − x)‖ = |−1| ‖y − x‖ = d(y, x);
3) d(x, y) = 0 ⇒ ‖x− y‖ = 0 ⇒ x = y;
4) d(x, y) = ‖x− y‖ = 9 ‖(x− z) + (z − y)‖ ≤ ‖x− z‖︸ ︷︷ ︸
d(x,z)
+ ‖z − y‖︸ ︷︷ ︸
d(z,y)
.
De aqúı que se cumplen los axiomas de distancia, por lo que (X, d) es
un espacio métrico.
4. Hallar las formas geométricas de las bolas siguientes:
4.1) S̄1(0) en E
3.
4.2) S̄1(0) en R3 con la norma ‖x‖ = max
i=1,2,3
|xi|.
4.3) S1(f0) en C[a, b].
Solución al inciso 4.1) S̄1(0) = {(x1, x2, x3) ∈ R3 : x21 + x22 + x23 ≤ 1}
(esfera centrada en el origen y radio 1).
Solución al inciso 4.2) S̄1(0) = {max(|x1| , |x2| , |x3|) ≤ 1}.
max(|x1| , |x2| , |x3|) ≤ 1 ⇔ |x1| ≤ 1, |x2| ≤ 1 ∧ |x3| ≤ 1
⇔ −1 ≤ x1 ≤ 1 , −1 ≤ x2 ≤ 1 , −1 ≤ x3 ≤ 1.
Luego, S̄1(0) es un cubo centrado en el origen y con arista de
longitud 2.
Solución al inciso 4.3) S1(f0) =
{
f ∈ C[a, b] : max
t∈[a,b]
|f(t)− f0(t)|< 1
}
.
max
t∈[a,b]
|f(t)− f0(t)| < 1 ⇔ ∀t ∈ [a, b] |f(t)− f0(t)| < 1
⇔ ∀t ∈ [a, b] − 1 < f(t)− f0(t) < 1
⇔ ∀t ∈ [a, b] f0(t)− 1 < f(t) < f0(t) + 1.
Entonces, la ordenada f(t) del gráfico de cada una de las fun-
ciones en la bola centrada en f0 están comprendidas en la banda
determinada por las ordenadas de las funciones f0(t)−1 y f0(t)+1.
9Introduciendo z ∈ X.
30
5. Probar que Diam(A) = Diam(Ā).
Solución:
A ⊂ Ā ⇒ Diam(A) ≤ Diam(Ā).
Sean x, y ∈ Ā.
∃ {xn} , {yn} ⊂ A : xn −→ x ∧ yn −→ y.
Sea ² > 0
∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 d(xn, x) < ² ∧ d(yn, y) < ².
Entonces,
d(x, y) ≤ d(x, xn)︸ ︷︷ ︸
<²
+d(xn, yn) + d(yn, y)︸ ︷︷ ︸
<²
< 2² + Diam(A),
⇒ Diam(Ā) ≤ 2² + Diam(A) ∀n ≥ n0.
Como ² es arbitrario
Diam(Ā) ≤ Diam(A).
6. Indicar normas de R3 para las cuales la sucesión
xn =
(
6n
en
, 2−n+1, 1− 1
n2
)
es convergente. Determinar el ĺımite.
Solución:
Para la norma euclideana o cualquiera equivalente a ella, xn converge
a x = (a, b, c) donde
a = lim
n→∞
6n
en
b = lim
n→∞
2−n+1 c = 1− 1
n2
si cada uno de estos ĺımites existe
a = lim
n→∞
6n
en
b = lim
n→∞
2 · 2−n c = lim
n→∞
(
1− 1
n2
)
a = lim
n→∞
6
en
= 0 b = lim
n→∞
2
2n
= 0 c = lim
n→∞
(
1− 1
n2
)
= 1− 0 = 1
31
Por tanto el ĺımite es (0, 0, 1).
En particular si se designa x = (x1, x2, x3), las normas
‖x‖0 = maxi=1,2,3 |xi| , ‖x‖1 =
3∑
i=1
|xi|
son equivalentes a la euclideana
‖x‖2 =
(
3∑
i=1
|xi|2
) 1
2
Vamos a probar en particular que ‖‖0 es equivalente a la euclideana
‖x‖0
Def.
= max
i=1,2,3
|xi| =
√(
max
i=1,2,3
|xi|
)2
≤
√
|x1|2 + |x2|2 + |x3|2︸ ︷︷ ︸
‖x‖2
≤
√
3
(
max
i=1,2,3
|xi|
)2
=
√
3 ‖x‖0
Se han obtenido las constantes a = 1 y b =
√
3 tales que:
a ‖x‖0 ≤ ‖x‖2 ≤ b ‖x‖0 ,
lo cual significa por la definición que las normas son equivalentes.
Se puede probar que todas las normas sobre un espacio vectorial finito
dimensional son equivalentes y este hecho será utilizado en caṕıtulos
posteriores. Por tanto, el aspecto más interesante de esta comprobación
reside en evaluar las constantes espećıficas a y b para el caso tratado.
7. Si se define en el conjunto de las normas sobre un espacio vectorial la
relación
‖‖1 R ‖‖2 ⇔ ‖‖1 ∧ ‖‖2 son normas equivalentes
32
probar que R es una relación de equivalencia.
Solución:
Hay que probar queR satisface las propiedades de ser reflexiva, simétri-
ca y transitiva.
(1) Propiedad reflexiva. Hay que establecer que
‖ ‖1 R ‖ ‖1
Eligiendo a = b = 1 se tiene trivialmente que
a ‖ ‖1 ≤ ‖ ‖1 ≤ b ‖ ‖1
Por lo que se cumple la propiedad reflexiva.
(2) Propiedad simétrica. Se requiere probar que
‖ ‖1 R ‖ ‖2 ⇒ ‖ ‖2 R ‖ ‖1
‖ ‖1 R ‖ ‖2 ⇒ ∃a, b > 0 : a ‖x‖1 ≤ ‖x‖2 ≤ b ‖x‖1
⇒ ‖x‖1 ≤
1
a
‖x‖2 ∧
1
b
‖x‖2 ≤ ‖x‖1
⇒ 1
b
‖x‖2 ≤ ‖x‖1 ≤
1
a
‖x‖2
⇒ ‖ ‖2 R ‖ ‖1 .
(3) Propiedad Transitiva.
‖ ‖1 R ‖ ‖2 ∧ ‖ ‖2 R ‖ ‖3⇒‖ ‖1 R ‖ ‖3
‖ ‖1 R ‖ ‖2⇒ ∃a1, a2 > 0 : a1 ‖x‖1 ≤ ‖x‖2 ≤ a2 ‖x‖1
‖ ‖2 R ‖ ‖3⇒ ∃b1, b2 > 0 : b1 ‖x‖2 ≤ ‖x‖3 ≤ b2 ‖x‖2 .
De estas desigualdades se deduce:
‖x‖3 ≤ b2 ‖x‖2 ≤ b2a2 ‖x‖1
‖x‖3 ≥ b1 ‖x2‖ ≥ b1a1 ‖x‖1
∴ a1b1︸︷︷︸
a>0
‖x‖1 ≤ ‖x‖3 ≤ a2b2︸︷︷︸
b>0
⇒‖ ‖1 R ‖ ‖3 .
33
8. ¿Constituye
‖x‖ =
[
m∑
k=1
|xk|p
] 1
p
una norma en el conjunto de los vectores x = (xk)
m
k=1 (xk ∈ R) si p < 1
y m ≥ 2?
Solución:
La respuesta es no, veamos qué ocurre cuando tenemos dos vectores
de la forma siguiente:
x =


1/2
0
.
.
.
0


y y =


0
1/2
.
.
.
0


Verifiquemos que no se cumple el tercer axioma de norma10:
‖x + y‖ =
[
2
(
1
2
)p] 1p
= 2
1−p
p
donde 0 < p < 1 ⇒ 1− p
p
> 0 ⇒ 2 1−pp > 1 = ‖x‖+ ‖y‖ .
9. Probar que toda sucesión fundamental está acotada.
Solución:
Sea {xn} ⊂ X una sucesión fundamental.
∀² > 0∃n0 ∈ N tal que ∀n,m ≥ n0 ⇒ ‖xn − xm‖ < ²
En particular
‖xn − xn0‖ < ² y ‖xm − xn0‖ < ² ⇒ xn ∈ B²(xn0) y xm ∈ B²(xn0)
10Desigualdad triangular.
34
Esto significa que la sucesión está acotada a partir del término n0, es
decir, ∀n ≥ n0
‖xn‖ ≤ ‖xn − xn0 + xn0‖ ≤ ‖xn − xn0‖+ ‖xn0‖ < ² + ‖xn0‖
Por tanto,
‖xn‖ ≤ max(‖x1‖ , ‖x2‖ , ..., ‖xn0−1‖ , ² + ‖xn0‖).
10. Sea (X, ‖‖) un espacio de Banach. Probar que (X ×X, ‖‖0) donde
‖(x, y)‖0 = max(‖x‖ , ‖y‖)
es un espacio de Banach.
Solución:
Sea (xn, yn) una sucesión fundamental en X ×X. Se tiene que
∀² > 0∃n0 ∈ N tal que ∀n,m ≥ n0 ⇒ ‖(xn, yn)− (xm, ym)‖0 < ².
Pero
‖(xn, yn)− (xm, ym)‖0 = ‖(xn − xm, yn − ym)‖0
= max(‖xn − xm‖ , ‖yn − ym‖) < ²
∀n,m ≥ n0 ⇒ {xn} y {yn} son sucesiones fundamentales en X. Como
X es un espacio de Banach, existen x, y ∈ X tales que
xn −→
n→∞
x y yn −→
n→∞
y
Obtengamos ahora que (xn, yn) −→ (x, y).
‖(xn, yn)− (x, y)‖0 = ‖(xn − x), (yn − y)‖0
= max(‖xn − x‖ , ‖yn − y‖) −→
n→∞
0
11. Sean (X, ‖‖1) un espacio de Banach, ‖‖1 y ‖‖2 dos normas equivalentes.
Demostrar que (X, ‖‖2) es también un espacio de Banach.
35
Solución
‖‖1 son ‖‖2 equivalentes
Def.⇔ ∃α > 0, β > 0 : ∀x ∈ X α ‖x‖2 ≤ ‖x‖1 ≤ β ‖x‖2
Y {an} es una sucesión fundamental en (X, ‖‖2) si y sólo si
∀² > 0 ∃n0(²) ∈ N : ∀n0 ≥ n ∀p ∈ N ‖an+p − an‖2 <
²
β
Como ∀x ∈ X
‖x‖1 ≤ β ‖x‖2 ⇒ ‖an+p − an‖1 < ²
entonces {an} es una sucesión fundamental en (X, ‖‖1), como este es
de Banach, entonces,
∃a ∈ X : ∀² > 0 ∃n1(²) ∈ N : n ≥ n1 ‖an − a‖1 < α².
Como ∀x ∈ X
α ‖x‖2 ≤ ‖x‖1 ⇒ α ‖an − a‖2 ≤ ‖an − a‖1 ≤ α² ⇒ ‖an − a‖2 ≤ ²
entonces, {an} −→
n→∞
a en (X, ‖‖2). Luego, como {an} es una sucesión
fundamental arbitraria que converge a un punto a ∈ (X, ‖‖2), entonces
(X, ‖‖2) es un espacio de Banach.
12. Sea X un espacio de Hilbert. Sea M ⊂ X. Definimos
M⊥ = {z ∈ X : (z | m) = 0 ∀m ∈ M} .
Probar que M es un subespacio (variedad lineal cerrada).
Solución:
Sean x, y ∈ M⊥ α, β ∈ K. ¿αx + βy ∈ M⊥?
Hay que probar que ∀m ∈ M, (αx + βy | m) = 0
(αx + βy) = α (x | m)︸ ︷︷ ︸
=0
+β (y | m)︸ ︷︷ ︸
=0
= 0
36
Para probar que M⊥ es cerrado es suficiente probar que M̄⊥ ⊂ M⊥.
Consideremos que x ∈ M̄⊥. Entonces existe {xn} ⊂ M⊥ : xn −→ x.
Demostremos que x ∈ M⊥.
Sea m ∈ M . ¿(x | m) = 0?
Tenemos que
(xn | m) = 0 donde xn ∈ M⊥ y m ∈ M
Pero,
(xn | m)︸ ︷︷ ︸
=0
−→
n→∞
(x | m)11
luego (x | m) = 0 ∀m ∈ M . Concluimos con que x ∈ M⊥ y M⊥ es
un subespacio.
13. Probar que:
13.1) Toda función de variación acotada sobre [a, b] es acotada sobre
[a, b].
13.2) La expresión
‖x‖ = |x(a)|+
b∨
a
x(t)
constituye una norma.
Solución al inciso 13.1) Sea P [a, b] el conjunto de todas las parti-
ciones finitas de [a, b]. Entonces
∀x(t) ∈ V [a, b] Def.⇔ ∃c > 0 : ∀p ∈ P [a, b]
n∑
k=1
|x(tk)− x(tk−1)| < c
Consideremos un p = {a, t, b}:
|x(t)− x(a)|+ |x(b)− x(t)| < c ⇒ |x(t)− x(a)| < c
|x(t)| − |x(a)| < |x(t)− x(a)| < c ⇒ |x(t)| < c + |x(a)|
11Consecuencia del Ejemplo Resuelto (5).
37
Solución al inciso 13.2) Probemos ahora que
‖x‖ = |x(a)|+
b∨
a
x(t),
es una norma. Veamos
1)
‖x‖ = 0 ⇔ |x(a)|+
b∨
a
x(t) = 0
⇒ |x(a)| = 0 ∧
b∨
a
x(t) = 0.
Como
n∑
k=1
|x(tk)− x(tk−1)| ≤ sup
n∑
k=1
|x(tk)− x(tk−1)| =
b∨
a
x(t)
entonces, ∀z ∈ [a, b]
| x(z)− x(a)︸︷︷︸
=0
| + |x(b)− x(z)| ≤
b∨
a
x(t) = 0.
Luego, ∀z ∈ [a, b] |x(z)| = 0.
2) Debemos probar que ‖αx‖ = |α| ‖x‖.
‖αx‖ = |αx(a)|+
b∨
a
αx(t)
= |α| |x(a)|+ sup
n∑
k=1
|α(x(tk)− x(tk−1))|
= |α| |x(a)|+ sup
n∑
k=1
|α| |x(tk)− x(tk−1)|
38
= |α| |x(a)|+ |α|
[
sup
n∑
k=1
|x(tk)− x(tk−1)|
]
= |α|
[
|x(a)|+
b∨
a
x(t)
]
︸ ︷︷ ︸
‖x‖
= |α| ‖x‖ .
3) Sean x(t), y(t) ∈ V [a, b], probemos que ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖.
‖x + y‖ = |(x + y)(a)|+
b∨
a
(x + y)(t)
= |(x + y)(a)|+ sup
n∑
k=1
|(x + y)(tk)− (x + y)(tk−1)|
= |x(a) + y(a)|
+ sup
n∑
k=1
|x(tk) + y(tk)− x(tk−1)− y(tk−1)|
≤ |x(a)|+ |y(a)|
+ sup
n∑
k=1
|[x(tk)− x(tk)] + [y(tk)− y(tk−1)]|
Aplicando la desigualdad de Minkowski (p = 1),
n∑
k=1
|[x(tk)− x(tk)] + [y(tk)− y(tk−1)]| ≤
n∑
k=1
|x(tk)− x(tk−1)|
+
n∑
k=1
|y(tk)− y(tk−1)| .
Luego,
|x(a)|+ |y(a)|+ sup
n∑
k=1
|[x(tk)− x(tk)] + [y(tk)− y(tk−1)]|
≤ |x(a)|+ |y(a)|+ sup
n∑
k=1
|x(tk)− x(tk−1)|
+ sup
n∑
k=1
|y(tk)− y(tk−1)|
39
Agrupando convenientemente,
= |x(a)|+ sup
n∑
k=1
|x(tk)− x(tk−1)|
+ |y(a)|+ sup
n∑
k=1
|y(tk)− y(tk−1)|
= |x(a)|+b∨
a
x(t)
︸ ︷︷ ︸
‖x‖
+ |y(a)|+
b∨
a
y(t)
︸ ︷︷ ︸
‖y‖
= ‖x‖+ ‖y‖ .
14. Probar que la aplicación f2(α, x) = αx es continua.
Solución:
f2 : K ×X −→ X,
donde K es el cuerpo de escalares. Consideremos sobre K×X cualquier
estructura topológica que induzca la convergencia por coordenadas, en
particular
‖(α, x)‖ = max(|α| , ‖x‖).
Probemos que f2 es sucesionalmente continua. Supongamos que,
(αn, xn) −→
n→∞
(α, x).
Hay que probar que
f2(αn, xn) −→
n→∞
f2(α, x),
esto es por definición de f2
f2(αn, xn) = αnxn f2(α, x) = αx;
luego concretamente tenemos que demostrar que:
αnxn −→
n→∞
αx
Def.≡ ‖αnxn − αx‖ −→
n→∞
0.
40
Por esto analizamos el comportamiento de ‖αnxn − αx‖. Introduciendo
el término auxiliar αnx
‖αnxn − αx‖ = ‖αnxn − αnx + αnx− αx‖
= ‖αn(xn − x) + (αn − α)x‖
≤ ‖α(xn − x)‖+ ‖(αn − α)x‖
= |αn| ‖xn − x‖+ |αn − α|︸ ︷︷ ︸
−→
n→∞0
‖x‖
En el primer término de la última suma, se observa que {αn} está aco-
tada por ser convergente, por tanto ∃M > 0 tal que ∀n |αn| ≤ M , de
aqúı que
|αn|︸︷︷︸
≤M
‖xn − x‖︸ ︷︷ ︸
−→
n→∞0
−→
n→∞
0.
15. Probar que la función f(x) = ‖x‖ es continua.
Solución:
f : X −→ R+
Vamos a probar que f es sucesionalmente continua, es decir
[xn −→
n→∞
x ⇒ f(xn)︸ ︷︷ ︸
∈R
−→
n→∞
f(x)︸︷︷︸
∈R
]
Supongamos entonces que
xn −→
n→∞
x
Def.≡ ‖xn − x‖ −→
n→∞
0
Debemos estimar:
|f(xn)− f(x)| = |‖xn‖ − ‖x‖|
Tenemos que
‖xn‖ = 12 ‖(xn − x) + x‖ ≤ ‖xn − x‖+ ‖x‖ ⇒ ‖xn‖ − ‖x‖ ≤ ‖xn − x‖
12Se introduce el ĺımite x.
41
Análogamente
‖x‖ = 13 ‖(x− xn) + xn‖ ≤ ‖x− xn‖︸ ︷︷ ︸
‖xn−x‖
+ ‖xn‖ ⇒ ‖x‖−‖xn‖ ≤ ‖xn − x‖
Como ‖xn − x‖ es mayor que (‖xn‖ − ‖x‖) y también es mayor que el
opuesto de este número (‖x‖−‖xn‖), se infiere que ‖xn − x‖ supera el
valor modular de (‖xn‖ − ‖x‖), de aqúı que
|‖xn‖ − ‖x‖| ≤ ‖xn − x‖ .
A partir de esta estimación se deduce, debido a que
‖xn − x‖ −→
n→∞
0, que ‖xn‖ −→
n→∞
‖x‖ .
16. Sea X un espacio de Hilbert sobre K. Definamos f(x, y) = (x | y),
donde ( | ) es el producto escalar del mismo. Probar que f es una apli-
cación continua.
Solución:
Consideremos sobre X×X cualquier estructura topológica que induzca
la convergencia por coordenadas, en particular,
‖(x, y)‖ = max(‖x‖ , ‖y‖).
De aqúı que se tiene que
(xn, yn) −→
n→∞
(x, y) ⇒
(
xn −→
n→∞
x
)
∧
(
yn −→
n→∞
y
)
Probemos que f es sucesionalmente continua. Supongamos que:
(xn, yn) −→ (x, y);
hay que probar que:
f(xn, yn)︸ ︷︷ ︸
∈K
−→ f(x, y)︸ ︷︷ ︸
∈K
f(xn, yn) = (xn | yn) ; f(x, y) = (x | y),
13Se introduce el término xn.
42
luego hay que demostrar que
(xn | yn) −→ (x | y) Def.≡ |(xn | yn)− (x | y)| −→
n→∞
0.
Por esto vamos a analizar el comportamiento de |(xn | yn)− (x | y)|.
Introduciendo el término auxiliar (xn | y)
|(xn | yn)− (x | y)| = |(xn | yn)− (xn | y) + (xn | y)− (x | y)|
= |((xn | yn)− (xn | y)) + ((xn | y)− (x | y))|
Aplicando propiedades del módulo y del producto interior
≤ |(xn | yn)− (xn | y)|+ |(xn | y)− (x | y)|
= |(xn | yn − y) + (xn − x | y)|
Por la desigualdad de Cauchy-Buniakowski
|(xn | yn − y) + (xn − x | y)| ≤ ‖xn‖︸︷︷︸
≤M
‖yn − y‖︸ ︷︷ ︸
−→
n→∞0︸ ︷︷ ︸
−→
n→∞0
+ ‖xn − x‖︸ ︷︷ ︸
−→
n→∞0
‖y‖
︸ ︷︷ ︸
−→
n→∞0
Por tanto,
|(xn | yn)− (x | y)| −→
n→∞
0
2.6 Ejercicios Propuestos
1. Determinar la forma geométrica de la bola S1(0) en l
2.
2. Probar que:
A está acotado ⇔ Diam(A) < +∞.
3. Probar que en todo espacio unitario
(x | λy) = λ̄(x | y).
4. Probar que en los espacios eucĺıdeos y unitarios la aplicación
‖x‖ =
√
(x | x)
constituye una norma.
43
5. Probar los ejercicios resueltos 14 y 15 a partir de la definición expresada
en téminos de ², δ.
6. Probar que si X es un espacio unitario, x0 ∈ X la aplicación
f(x) = (x, x0), (x ∈ X)
es una aplicación continua, aplicando:
a) la caracterización de función sucesionalmente continua;
b) la definición en términos ², δ;
c) el ejercicio resuelto 16.
44
Caṕıtulo 3
Operadores lineales
Si X, Y son espacios normados y se establece una aplicación T de X en Y ,
el estudio de las peculiaridades de esta función (denominada operador) y
sus principales propiedades conduce a la obtención de esquemas de compor-
tamiento predeterminados en casos aparentemente muy distintos como los
siguientes:
1ro) T (x) = Ax, donde x ∈ Rn y A es una matriz cuadrada de dimensión
n.
2do) T (x) = x′, donde x es una función con derivada continua x′ en un
intervalo [a, b].
3ro) Tx = g, si x es una función continua en [0, 1] y g es la función dada
por:
g(s) =
∫ 1
0
stx(t)dt 0 ≤ s ≤ 1
Este conocimiento resulta muy útil en la teoŕıa de resolución de ecuaciones.
3.1 Continuidad, acotación y norma de un
operador lineal
El conocido concepto de función continua entre espacios métricos adquiere
un matiz especial cuando los espacios son vectoriales y el operador es lineal.
Se verá que en este caso son válidos dos resultados de gran fuerza práctica:
45
el primero establece la equivalencia entre la continuidad en un punto y la
continuidad en todo el espacio. El mismo fundamenta la demostración de
que el concepto de continuidad equivale a un nuevo concepto: el de operador
acotado, más fácil de manejar porque está basado en una desigualdad.
Definición 3.1.1 Sea F un operador con campo de definición D(F ) ⊂ X
y campo de valores R(F ) ⊂ Y . Se llama acotado si transforma cualquier
conjunto acotado de D(F ) en un conjunto acotado en el espacio Y .
Definición 3.1.2 Sean X, Y espacios normados, ambos reales o ambos com-
plejos. Un operador A : X → Y con campo de definición D(A) ⊂ X se llama
lineal si D(A) es una variedad lineal en X y para cualesquiera x, y ∈ D(A),
aśı como para cualesquiera λ1, λ2 ∈ R(λ1, λ2 ∈ C) se cumple la igualdad
A(λ1X1 + λ2X2) = λ1A(X1) + λ2A(X2).
(Ejercicio resuelto 1)
El conjunto N(A) = {x ∈ D(A) : A(X) = 0} se denomina conjunto de
ceros o núcleo del operador A.
La importancia práctica del concepto de operador lineal está dada por la
variedad de operadores muy útiles que satisfacen esta propiedad. Se resumen
seguidamente algunos de ellos, suponiendo en todos los casos un dominio de
definición apropiado. (Ejercicio propuesto 4)
Algunos ejemplos de operadores lineales
(1) El operador nulo: Ax = 0 ∀x ∈ X;
(2) El operador identidad: Ax = 1;
(3) Ax = y si y(s) =
∫ b
a
K(s, t) x(t) dt;
(4) Ax = y si y(s) = x′′(s) + λ x(s);
(5) El operador de diferencias finitas: Ax = y si y(s) = ∆ x(s) + λ x(s),
siendo
∆ x(s) = x(s + ∆ s)− x(s), x : R −→ R;
(6) El operador de transformada: Ax =
∫∞
−∞ e
i k s x(s) ds k ∈ R;
46
(7) Si x = (x1, x2, x3, ...)
A1x =
(
1
2
(x1 + x2),
1
2
(x2 + x3),
1
2
(x3 + x4), ...
)
;
A2x =
( ∞∑
k=1
a1kxk,
∞∑
k=1
a2kxk, ...
)
(8) Ax = y si y(s) = s x(s);
(9) Ax = y si y(s) = x(s− 1);
(10) El operador combinado (evaluación y multiplicación):
Ax = y tal que y(t) = t2 x(0).
Donde A : C[0, 1] −→ C[0, 1];
(11) El operador producto por una función fija:
Ax = y siendo y(t) = θ0(t) x(t);
(12) Operador entre espacios de sucesiones:
Ax = (λ1x1, λ2x2, ..., λnxn, ...), x = (x1, ..., xn, ...) λn ∈ R n ∈ N.
Teorema 3.1.1 Un operador lineal A : X → Y , dado sobre todo X y con-
tinuo en el punto x0 ∈ X es continuo en cualquier punto y ∈ X.
(Ejercicio resuelto 2)
Por tanto un operador lineal A : X → Y con D(A) = X es continuo si
es continuo en el punto 0 ∈ X.
Definición 3.1.3 Un operador lineal A : X → Y con D(A) = X se lla-
ma acotado si existe c > 0 tal que para cualquier x ∈ S̄1(0) es válida la
desigualdad ‖Ax‖ ≤ c.
Teorema 3.1.2 Un operador lineal A : X → Y con D(A) = X es acotado
si y sólo si para cualquier x ∈ X se cumple la desigualdad ‖Ax‖ ≤ c ‖x‖.
47
(Ejercicio resuelto 3, ejercicio propuesto 2)
Teorema 3.1.3 Un operador lineal A : X → Y con D(A) = X es continuo
si y sólo si es acotado.
(Ejercicios resueltos 4, 5 y 6)
Denominación:
L(X, Y ) = {A : X −→ Y tales que A es lineal acotado} .
Definición 3.1.4 El número
‖A‖ = sup
x∈X,‖x‖≤1
‖Ax‖
se denomina norma del operador lineal acotado A : X → Y con D(A) = X.
Proposición 3.1.1 (Definiciones alternativasde norma) Sea A ∈ L(X, Y ).
Definamos,
E = sup
x6=0
‖Ax‖
‖x‖ , C = sup‖x‖≤1
‖Ax‖ ,
B = sup
‖x‖=1
‖Ax‖ , D = inf{k ≥ 0 : ∀x ∈ X ‖Ax‖ ≤ k ‖x‖}.
Entonces E ≤ B ≤ C ≤ D ≤ E.
(Ejercicio resuelto 7)
La denominación de norma se justifica por el hecho de que la aplicación
‖A‖ = E = B = C = D constituye una norma sobre el espacio L(X,Y )
(Ejercicio propuesto 3). Tomando en consideración las expresiones equiva-
lentes para la norma de un operador lineal y continuo, se puede construir un
procedimiento para el cálculo de la norma.
Procedimiento 2. Cálulo de la norma de un operador
Sea A ∈ L(X, Y ).
(P1) Verificar que A es un operador (A : X −→ Y ).
48
(P2) Verificar que A es lineal.
(P3) Verificar que A está acotado.
(Es decir ∃k : ∀x ∈ X ‖Ax‖ ≤ k ‖x‖)
Nota: Al terminar (P3) hemos probado que A ∈ L(X,Y )
(P4) Acotar superiormente la norma.
Nota: Al terminar (P4) se concluye que ‖A‖ ≤ k.
(P5) Hallar ‖A‖.
Nota: Si se quiere probar que ‖A‖ = k proceder entonces de una
de las formas siguientes:
1ra forma) Buscar x0 ∈ X, x0 6= 0, tal que
‖Ax0‖
‖x0‖ = k
Nota: Con esto se demuestra que:
‖Ax0‖
‖x0‖ = k ≤ E = ‖A‖ ,
que es la desigualdad contraria a la determinada en (P4).
2da forma) Buscar x0 ∈ X, ‖x0‖ = 1, tal que ‖Ax0‖ = k.
Nota: Con esto se demuestra que:
‖Ax0‖ = k ≤ B = ‖A‖ ,
que es la desigualdad contraria a la determinada en (P4).
(Ejercicios resueltos 8, 9, 10 y 11)
Si en un espacio normado se define una ley interna con las propiedades al-
gebraicas de un producto con identidad e, entonces la estructura de álgebra
que se obtiene se hace compatible con la estructura topológica de espacio
normado exigiendo las condiciones:
49
(1) ‖xy‖ ≤ ‖x‖ ‖y‖;
(2) ‖e‖ = 1.
La primera de estas condiciones conduce a establecer que la ley de producto
es continua, como lo son también las leyes de suma y de multiplicación por
un escalar. (Ejercicio resuelto 12)
3.1.1 Ejercicios Resueltos
1. Sean X e Y , espacios lineales; A : X → Y un operador lineal. De-
mostrar que el operador A transforma un conjunto convexo de D(A)
en un conjunto convexo en el espacio Y .
Solución:
A lineal, S ⊂ X convexo, ¿A(S) convexo?
y1, y2 ∈ A(S) ⇒ ∃x1, x2 ∈ S : y1 = Ax1 ∧ y2 = Ax2.
Sea α ∈ [0, 1]
αy1 + (1− α)y2 = αAx1 + (1− α)Ax2 ⇔ 1A(αx1 + (1− α)x2︸ ︷︷ ︸
∈S
) ∈ A(S)
2. Veamos la demostración del Teorema 3.1.1.
Demostración
Sea y ∈ X. Como X e Y son espacios métricos por ser normados, es
suficiente probar que A es sucesionalmente continuo.
Supongamos que yn → y, entonces ¿A(yn) → A(y)?
A(yn) = A(yn − y + y − x0 + x0)
Por la linealidad de A, se tiene que
A(yn) = A(yn − y + x0) + A(y)− A(x0),
1Por la linealidad de A.
50
pero como A es continuo en x0
yn − y + x0 → x0 ⇒ A(yn − y + x0) → A(x0)
∴ A(yn) → A(x0) + A(y)− A(x0) = A(y)
3. Demostrar que el núcleo N(A) de un operador lineal acotado A : X →
Y es un subespacio del espacio X.
Solución:
Sean x, y ∈ N(A), entonces Ax = 0 y Ay = 0 dos elementos de N(A).
Por la linealidad de A tenemos
A(x + y) = Ax︸︷︷︸
=0
+ Ay︸︷︷︸
=0
= 0 ⇒ x + y ∈ N(A)
y
Aαx = α Ax︸︷︷︸
=0
= 0 ⇒ αx ∈ N(A),
esto nos asegura que N(A) es una variedad lineal, por lo que sólo nos
faltaŕıa probar que es cerrado.
1ra forma) Un conjunto cerrado es aquel donde se verifica N(A) =
N(A). Es suficiente probar que N(A) ⊂ N(A).
x ∈ N(A) ⇒ ∃xn ∈ N(A) : xn −→ x ⇒ Axn︸︷︷︸
0
−→ Ax
Por ser A un operador continuo. De aqúı que Ax = 0 ⇒ x ∈
N(A).
2da forma) N(A)︸ ︷︷ ︸
cerrado
=
Preimagen︷︸︸︷
A−1︸ ︷︷ ︸
continua
( {0}︸︷︷︸
cerrado
)
4. Veamos la demostración del Teorema 3.1.3, es decir
A lineal y continuo ≡ A acotado.
51
Demostración
Supongamos que A es acotado y que xn → 0, entonces
¿Axn → A(0)?
Donde A(0) = 0 por el carácter lineal de A. Como una consecuencia
del Teorema 3.1.2
A acotado ⇔ ∃c > 0 : ‖Axn‖ ≤ c ‖xn‖ .
Luego,
xn → 0 ⇒ ‖xn‖ → 0 ⇒ ‖Axn‖ → 0 ⇒ Axn → 0
Por tanto, A continuo en x0 = 0 ⇒ A continuo.2
Supongamos ahora que A es continuo, entonces ¿será A acotado? Supon-
gamos lo contrario; es decir, para cada n existe xn tal que
‖Axn‖ > n ‖xn‖ ⇒
∣∣∣∣A
(
xn
n ‖xn‖
)∣∣∣∣ > 1
sea yn =
xn
n ‖xn‖,
‖yn‖ =
∣∣∣∣
1
n
xn
‖xn‖
∣∣∣∣ =
1
n
−→ 0, n →∞
pero Ayn 9 0, n →∞, luego A no es continuo en el punto cero y por
tanto no es continuo en ningún punto por el Teorema 3.1.1.
5. ¿Será acotado el operador A : C[0, 1] → C[0, 1], Ax(t) = dx
dt
, cuyo cam-
po de definición L es la variedad lineal de las funciones continuamente
diferenciables sobre [0,1]?
Solución:
2Recordar Teorema 3.1.1
52
Sean A lineal, xn(t) = t
n, x′n(t) = nt
n−1 y Axn = x′n.
‖Axn‖ = ‖x′n‖ = sup
t∈[0,1]
|x′n(t)| = sup
t∈[0,1]
∣∣ntn−1
∣∣ = n
‖xn‖ = sup
t∈[0,1]
|xn(t)| = sup
t∈[0,1]
|tn| = 1
Luego,
{‖xn‖∞n=1} , es un conjunto acotado; pero
{‖Axn‖∞n=1} , no está acotado.
Como podemos apreciar el operador A no está acotado ≡ A no es
continuo.3
6. Sean X, Y , espacios de Banach; A : X → Y un operador lineal acotado
con D(A) = X. ¿Constituyen normas en X las igualdades:
a) ‖x‖1 = ‖Ax‖,
b) ‖x‖2 = ‖x‖ + ‖Ax‖? En caso afirmativo, ¿será X un espacio de
Banach con esta norma?
Solución al inciso a) Vamos a analizar el primer axioma de norma
‖x‖1 = 0 ⇒ ‖Ax‖ = 0 ⇒ Ax = 0
Si N(A) = {0} entonces se puede implicar que x = 0, luego en
general esta aplicación no constituye una norma. En el caso de
que N(A) = {0}, X resulta isométrico a R(A), por lo que seŕıa
completo si este espacio lo es.
Solución al inciso b) Śı. Probemos el primer axioma
‖x‖2 = ‖x‖+ ‖Ax‖ = 0 ⇒ ‖x‖ = 0 ∧ ‖Ax‖ = 0 ⇒ x = 0.
Sea λ un escalar
‖λx‖2 = 4 ‖λx‖+ ‖λAx‖ = |λ| ‖x‖+ |λ| ‖Ax‖ = |λ| ‖x‖2 .
3Recordar Teorema 3.1.2.
4A es lineal.
53
Probemos ahora el axioma triangular, ‖x + y‖2 ≤ ‖x‖2 + ‖y‖2
‖x + y‖2 = ‖x + y‖+ ‖A(x + y)‖
≤ ‖x‖+ ‖Ax‖︸ ︷︷ ︸
‖x‖2
+ ‖y‖+ ‖Ay‖︸ ︷︷ ︸
‖y‖2
Recordemos que en un espacio de Banach toda sucesión funda-
mental debe ser convergente. Probemos esta propiedad,
‖xn+p − xn‖2 −→ 0 ⇒ ‖xn+p − xn‖︸ ︷︷ ︸
≥0
+ ‖A(xn+p − xn)‖︸ ︷︷ ︸
≥0
−→ 0
⇒ ‖xn+p − xn‖ −→
n→∞
0 ∧ ‖A(xn+p − xn)‖ −→
n→∞
0.
Veamos cada sumando por separado,
‖xn+p − xn‖ −→ 0 ⇒ 5∃x ∈ X : ‖xn+p − x‖ −→ 0
y en el otro sumando,
‖A(xn+p − xn)‖ −→ 0 ⇔ 6 ‖Axn+p − Axn‖ −→ 0,
luego, {Axn} es una sucesión fundamental. Entonces
∃y ∈ Y : ‖Axn+p − y‖ −→ 07 ⇒ y = Ax8
Luego,
‖xn+p − x‖2 = ‖xn+p − x‖+ ‖A(xn+p − x)‖ −→ 0
∴ (X, ‖‖2) es de Banach.
7. Demostrar la proposición 3.1.1.
Solución:
1ro)
‖Ax‖
‖x‖ =
∥∥∥∥∥A
(
x
‖x‖
)∥∥∥∥∥ ≤ B ⇒ E ≤ B ≤
9C.
5X es un espacio completo
6Por la linealidad de A.
7Y es de Banach
8A acotado, luego continuo
9Por definición.
54
2do) ‖Ax‖ ≤ k ∀x : ‖x‖ ≤ 1 ⇒ C ≤ D.
3ro) Supongamos que D − E = ² > 0 ⇒ E = D − ² < D − ²
2
Entonces ∀x 6= 0
‖Ax‖
‖x‖ ≤ E < D−
²
2
⇒ ‖Ax‖ <
(
D − ²
2
)
‖x‖ ∀x 6= 0 ¡Absurdo!
Luego, E ≤ B ≤ C ≤ D ≤ E.
8. Demostrar que los siguientes operadores son lineales acotados y hallar
sus normas aplicando el procedimiento 2:
a) A : C[0, 1] → C[0, 1], Ax(t) = ∫ t
0
x(τ)dτ ;
b) A : C[0, 1] → C[0, 1], Ax(t) = t2x(0);
Solución inciso a)
(P1) A es un operador;
(P2) la linealidad es una consecuencia inmediata de la linealidad de
la integral;
(P3) por la definición de norma en C[0, 1] se tiene que,
‖Ax‖ = sup
t∈[0,1]
|(Ax)(t)| = sup
t∈[0,1]
∣∣∣∣
∫ t
0
x(τ)dτ
∣∣∣∣
Podemos acotar la expresión que aparece en el último miembro
∣∣∣∣
∫ t
0
x(τ)dτ
∣∣∣∣ ≤
∫ t
0
|x(τ)| dτ
≤ sup
τ∈[0,1]
|x(τ)|
︸ ︷︷ ︸
‖x‖
sup
t∈[0,1]
|t− 0|
︸ ︷︷ ︸
1
⇒ sup
t∈[0,1]
∣∣∣∣
∫ t
0
x(τ)dτ
∣∣∣∣
︸ ︷︷ ︸
‖Ax‖
≤ 1 ‖x‖ ⇒ sup
‖x‖≤1
‖Ax‖
︸ ︷︷ ︸
‖A‖
≤ 1
55
Para probar la desigualdad en sentido contrario consideremos x0 ∈
C[0, 1] dado por x0(t) ≡ 1 ∀t ∈ [0, 1]. Notemos que ‖x0‖ = 1 y
hallemos ‖Ax0‖.
‖Ax0‖ = sup
t∈[0,1]
∣∣∣∣∣∣
∫ t
0
x0(τ)︸ ︷︷ ︸
=1
dτ
∣∣∣∣∣∣
= sup
t∈[0,1]
|t| = 1.
Entonces
‖Ax0‖ = 1 ≤ sup
‖x‖≤1
‖Ax‖ = ‖A‖ ,
luego ‖A‖ = 1.
Solución al inciso b) Prueba de la linealidad.
A(αx(t) + βy(t)) = t2(αx(0) + βy(0)) = α t2x(0)︸ ︷︷ ︸
Ax(t)
+β t2y(0)︸ ︷︷ ︸
Ay(t)
= αAx(t) + βAy(t)
Hallemos ‖A‖. Por definición de norma en C[0, 1]
‖Ax‖ = sup
t∈[0,1]
|(Ax)(t)|= sup
t∈[0,1]
∣∣t2x(0)
∣∣ ≤ |x(0)| ≤ 1 ‖x‖
entonces,
sup
‖x‖≤1
‖Ax‖
︸ ︷︷ ︸
‖A‖
≤ 1
Rećıprocamente, sea x0(t) ≡ 1 ∀t ∈ [0, 1], por lo que ‖x0‖ = 1
‖Ax0‖ = sup
t∈[0,1]
∣∣t2(1)
∣∣ = 1 ≤ sup
‖x‖≤1
‖Ax‖ = ‖A‖
luego
‖A‖ = 1.
∴ ‖A‖ ≤ 1 la igualdad se alcanza cuando x es constante.
9. Dado el operador T : l1 −→ l1 definido por:
T (x1, x2, x3, ...︸ ︷︷ ︸
=x
) = (0, x1, 2x2, x3, 2x4, ...),
56
probar que ‖T‖ = 2.
Solución: La linealidad se demuestra directamente de la definición.
‖Tx‖ = |x1|+ 2 |x2|+ |x3|+ 2 |x4|+ ...
≤ 2 |x1|+ 2 |x2|+ 2 |x3|+ 2 |x4|+ ... ≤ 2 ‖x‖
⇒ ‖T‖ ≤ 2.
Para probar la desigualdad contraria, consideremos el elemento de l1 :
x0 = (0, 1, 0, 0, 0, ...). Entonces ‖x0‖ = 1
Tx0 = (0, 2, 0, 0, ...) ⇒ ‖Tx0‖ = 2
‖Tx0‖
‖x0‖ =
2
1
= 2 ≤ sup
‖x‖6=0
‖Tx‖
‖x‖ = ‖T‖ .
10. En el espacio de Hilbert H el operador de proyección ortogonal sobre
el subespacio L ⊂ H para x = u + v, siendo u ∈ L y v ∈ L⊥ se define
por la igualdad Px = u. Demostrar que el operador P es acotado y
hallar su norma.
Solución:
P es lineal si y = u′ + v′ entonces
P (αx + βy) = αu + βu′ = αP (x) + βP (y)
Sea x ∈ H
‖Px‖ = ‖u‖ ≤
√
‖u‖2 + ‖v‖2 =
√
(u + v | u + v) = ‖x‖ ⇒ ‖P‖ ≤ 1.
La igualdad ‖Px‖ = ‖x‖ se cumple para cualquier u ∈ L por lo que
para todo u 6= 0
‖Pu‖
‖u‖ =
‖u‖
‖u‖ = 1 ≤ sup‖x‖6=0
‖Px‖
‖x‖ = ‖P‖ ,
luego ‖P‖ = 1.
57
11. En el espacio C[−1, 1] consideremos los operadores
Ax(t) =
1
2
[x(t) + x(−t)], (3.1.1)
Bx(t) =
1
2
[x(t)− x(−t)] (3.1.2)
a) Demostrar que A es un operador lineal acotado y hallar su norma.
b) Probar que A2 = A.
Solución al inciso a) Demostremos la linealidad.
A(αx + βy)(t) =
1
2
[(αx + βy)(t) + (αx + βy)(−t)]
=
1
2
[αx(t) + βy(t) + αx(−t) + βy(−t)]
= α
1
2
[x(t) + x(−t)]
︸ ︷︷ ︸
Ax(t)
+β
1
2
[y(t) + y(−t)]
︸ ︷︷ ︸
Ay(t)
Hallemos ‖A‖
‖A‖ = sup
‖x‖=1
‖Ax(t)‖
sup
‖x‖=1
max
t∈[−1,1]
1
2
[x(t) + x(−t)]
≤ sup
‖x‖=1
[
1
2
(‖x‖+ ‖x‖)
]
= sup
‖x‖=1
‖x‖ = 1
La cota superior se alcanza para x ≡ 1, por lo que ‖A‖ = 1.
Solución al inciso b)
A2x(t) =
1
2
[Ax(t) + Ax(−t)︸ ︷︷ ︸
Ax(t)
] = Ax(t)
12. Si {xn} , {yn} son sucesiones fundamentales de un álgebra normada A,
probar que {xnyn} es una sucesión fundamental. Además, si xn −→ x
58
y yn −→ y, pruebe que xnyn −→ xy.
Solución: Hay que probar que
‖xnyn − xmym‖ −→
n,m→∞
0
‖xnyn − xmym‖ = ‖xnyn − xnym + xnym − xmym‖
agrupando = ‖xn(yn − ym) + (xn − xm)ym‖
≤ ‖xn(yn − ym)‖+ ‖(xn − xm)ym‖
Por la definición de Álgebra
≤
≤M︷︸︸︷
‖xn‖ ‖yn − ym‖︸ ︷︷ ︸
−→
n,m→∞0
+ ‖xn − xm‖︸ ︷︷ ︸
−→
n,m→∞0
≤M︷ ︸︸ ︷
‖ym‖
Supongamos ahora que xn −→ x y que yn −→ y.
‖xnyn − xy‖ = ‖xnyn − xyn + xyn − xy‖ = ‖(xn − x)yn + x(yn − y)‖
≤ ‖xn − x‖︸ ︷︷ ︸
−→
n→∞0
‖yn‖︸︷︷︸
≤M
+ ‖x‖ ‖yn − y‖︸ ︷︷ ︸
−→
n→∞0
Observe que el término auxiliar introducido
−xyn + xyn = 0,
pudo haber sido alternativamente
−xny + xny
la demostración se hubiera cambiado por:
‖xnyn − xy‖ = ‖xnyn − xny + xny − xy‖ = ‖xn(yn − y) + (xn − x)y‖
≤ ‖yn − y‖︸ ︷︷ ︸
−→
n→∞0
‖xn‖︸︷︷︸
≤M
+ ‖y‖ ‖xn − x‖︸ ︷︷ ︸
−→
n→∞0
59
3.2 Espacio de operadores lineales acotados
Definición 3.2.1 Sean X e Y , espacios normados, ambos reales o comple-
jos; A,B, operadores lineales acotados definidos sobre todo el espacio X y
con valores pertenecientes a Y . Al suponer según la definición:
(A + B)x = Ax + Bx, λA(x) = λAx, ‖A‖ = sup
x∈X,‖x‖≤1
‖Ax‖
obtenemos el espacio L(X, Y ) normado de operadores lineales acotados.
Definición 3.2.2 En el espacio L(X, X) = L(X) suponemos, por defini-
ción, (AB)x = A(Bx). Por lo tanto L(X) pasa a ser una álgebra con unidad,
donde ésta es el operador idéntico I : X −→ X, Ix = x.
(Ejercicios resueltos 1 y 2)
Definición 3.2.3 Una sucesión An ∈ L(X, Y )(n ∈ N) se llama uniforme-
mente convergente hacia el operador A ∈ L(X,Y ) y se denota An u−→ A
si ‖An − A‖ −→ 0(n −→ ∞). Una sucesión An ∈ L(X, Y )(n ∈ N) se
llama fuertemente convergente hacia el operador A ∈ L(X, Y ) y se denota
An
s−→ A si para todo x ∈ X ‖Anx− Ax‖ −→ 0(n −→∞).
(Ejercicios resueltos 3 y 4)
Teorema 3.2.1 Si Y es un espacio de Banach, L(X, Y ) es un espacio de
Banach.
(Ejercicio resuelto 5)
Teorema 3.2.2 (Principio de acotación uniforme) Sea Λ un conjunto
de ı́ndices de cardinalidad arbitraria y supongamos que la sucesión {Aα},
donde α recorre a Λ, es una colección de elementos de L(X,Y ) donde X es
un espacio de Banach. Si
sup
α
‖Aαx‖ < ∞ ∀x ∈ X
entonces,
sup
α
‖Aα‖ < ∞.
60
Demostración
Aplicaremos el teorema de la acotación uniforme, por lo cual el primer paso
será construir una familia de seminormas continuas.
Sea pα = ‖Aα(x)‖ α ∈ I. Debemos comprobar que cada pα es una semi-
norma.
pα(βx) = ‖Aα(βx)‖ = |β| ‖Aαx‖ = |β| pα(x)
pα(x + y) = ‖Aα(x + y)‖ = ‖Aα(x) + Aα(y)‖
≤ ‖Aα(x)‖+ ‖Aα(y)‖ = pα(x) + pα(y).
Ahora debemos comprobar que cada pα es continua, lo cual se hará mediante
el análisis de la condición de ser sucesionalmente continua.
Supongamos que xn −→ x
pα(xn) = ‖Aα(xn)‖ −→ ‖Aα(x)‖ = pα(x)
↓
Aα(x)
Por hipótesis se tiene,
sup
α
pα(x) = sup
α
‖Aα(x)‖ < +∞ ∀x,
obteniéndose la tesis de acuerdo con el teorema de la acotación uniforme
sup
α
sup
‖x‖≤1
pα(x) = sup
α
sup
‖x‖≤1
‖Aα(x)‖
︸ ︷︷ ︸
‖Aα‖
< +∞.
En particular, cuando Λ = N se obtiene:
Teorema 3.2.3 (Teorema de Banach-Steinhaus) Sean X un espacio de
Banach, An ∈ L(X,Y )(n ∈ N) y la sucesión ‖Anx‖ acotada para cualquier
x ∈ X. Entonces, la sucesión ‖An‖ es acotada.
(Ejercicio resuelto 6)
Agrupemos seguidamente algunas aplicaciones del teorema de la acotación
uniforme que muestran su alcance práctico.
61
Aplicaciones
1.- X espacio de Banach, Y espacio normado y Tn ∈ L(X,Y ). Supongamos
que Tn converge en cada punto x ∈ X. Entonces el operador T definido
por
T (x) = lim
n→∞
Tn(x) está en L(X,Y )
Demostración
Es necesario probar que T es lineal y continuo. Mostremos en primer
lugar la linealidad. Sean α, β escalares; x, y ∈ X.
T (αx + βy)
Def.
= lim
n→∞
Tn(αx + βy)
Tn∈L(X,Y )
= lim
n→∞
(αTn(x) + βTn(y))
= α lim
n→∞
Tn(x) + β lim
n→∞
Tn(y) = αT (x) + βT (y).
Veamos ahora la acotación. Para cada n se tiene que
‖Tn(x)‖ ≤ ‖Tn‖ ‖x‖ ≤ 10K ‖x‖ ∀x ∈ X
Pasando al ĺımite:
‖T (x)‖ ≤ K ‖x‖
2.- X espacio de Banach
F ⊂ X ′ : sup
x′∈F
|x′(x)| < +∞ ∀x ∈ X
Entonces F está acotado.
Demostración
Tomemos en el Teorema 3.2.2 a Y = K entonces,
sup
x∈F
‖x′‖ < +∞.
Teorema 3.2.4 Sean X,Y espacios de Banach; An ∈ L(X,Y )(n ∈ N).
Para que la sucesión An con n −→∞ converja fuertemente hacia el operador
A ∈ L(X, Y ) es necesario y suficiente que:
10Por el Teorema de Banach-Steinhaus
62
1) la sucesión ‖An‖ sea acotada.
2) An −→
n→∞
A fuertemente en una variedad lineal L densa en el espacio X.
(Ejercicio resuelto 7)
Teorema 3.2.5 Sea X un espacio normado, Y un espacio de Banach, A :
X −→ Y un operador lineal y, además, D(A) = X siendo el operador A
acotado sobre D(A). Entonces existe un operador lineal acotado  ∈ L(X,Y )
tal que Âx = Ax para cualquier x ∈ D(A) y
∥∥∥Â
∥∥∥ = ‖A‖.
Por tanto el operador  es una prolongación del operador A que preserva su
norma. (Ejercicio resuelto 8)
3.2.1 Ejercicios Resueltos
1. Sean T, U, V espacios normados, G ∈ L(T, U), H ∈ L(U, V ). Entonces
‖HG‖ ≤ ‖H‖ ‖G‖.
Solución:
‖HGx‖ ≤ ‖H‖ ‖Gx‖ ∀x ∈ T
≤ ‖H‖ ‖G‖ ‖x‖ ∀x ∈ T ⇒ ‖H‖ ‖G‖ ≥ ‖HG‖
2. Sean X,Y, Z espacios normados; An, A ∈ L(X,Y ) y Bn, B ∈ L(Y, Z)
donde n ∈ N y An −→
n→∞
A y Bn −→
n→∞
B. Pruebe que:
BnAn −→
n→∞
BA
en el espacio L(X, Z).
Solución:
‖BnAn −BA‖ = ‖BnAn −BnA + BnA−BA‖
= ‖Bn(An − A) + (Bn −B)A‖
≤ ‖Bn(An − A)‖+ ‖(Bn −B)A‖
≤ ‖Bn‖︸ ︷︷ ︸
≤M
‖An − A‖︸ ︷︷ ︸
−→0
+ ‖Bn −B‖︸ ︷︷ ︸
−→0
‖A‖ −→
n→∞
0
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3. En el espacio l2, para un elemento x = (x1, x2, ...) ∈ l2 pongamos las
sucesiones de operadores
Anx =
(x1
n
,
x2
n
, ...
)
,
Bnx = (0, 0, ..., 0︸ ︷︷ ︸
n
, xn+1, xn+2, ...), n ∈ N.
¿Cuál es el carácter de la convergencia de cada una de las sucesiones?
Solución:
Probemos que An converge uniformemente, lo cual nos da una condi-
ción suficiente para todas las demás convergencias.
‖Anx‖ =
( ∞∑
k=1
∣∣∣xk
n
∣∣∣