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Unidad 2. Trigonometría 2.4 Ángulo semi-inscrito, Cuadriláteros ciclicos, Potencia Ángulos semi-inscritos Un ángulo se dice semi-inscrito en un arco cuando tiene su vértice en uno de los extremos del arco, uno de sus lados pasa por el otro extremo del arco y el segundo lado es tangente a la circunferencia Teorema 1. Todo ángulo semi-inscrito es igual a la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco Demostración. Prolonguemos el radio BO para formar un diámetro BM. El ángulo ∠ MBC es recto, ya que BC es la tangente, de aquí tenemos que ∠ MBC = ∠ MOB 2 Sabemos también que ∠ MBA = ∠ MOA 2 Entonces ∠ ABC = ∠ MBC − ∠ MBA = ∠ MOB 2 − ∠ MOA 2 = ∠ AOB 2 Ejemplo Considere la tangente al círculo que pasa por el punto D y AB una cuerda que no sea paralela a la tangente. Prolónguese la cuerda AB hasta que intersecte a la tangente en un punto, digamos P. Demuestre que ∠ DPA = ∠ DOA− ∠ BOD 2 Facultad de Ciencias UNAM Geometría Analítica I Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz 1 Unidad 2. Trigonometría 2.4 Ángulo semi-inscrito, Cuadriláteros ciclicos, Potencia Por ser α un ángulo exterior del triángulo 4 APD, tenemos que ∠ DPA+ ∠ DAP = ∠ α Según el resultado anterior tenemos ∠ α = ∠ DOA 2 y por la medida del ángulo inscrito ∠ DPA = ∠ DOA− ∠ BOD 2 Cuadriláteros Por tres puntos no alineados, pasa siempre una circunferencia. En efecto, si tenemos tres puntos A, B y C en el plano, éstos pueden ser considerados como vértices de un triángulo, las mediatrices de sus lados se cortan en el circuncentro que es el centro del círculo que pasa por A, B y C. Cuatro puntos tomados al azar no se encuentran por lo general sobre una circunferencia. Cuando cuatro puntos (o más) se encuentran sobre una circunferencia decimos que son concíclicos (o más brevemente cíclicos). Un polígono se dirá inscrito en una circunferencia si sus vértices están sobre una circunferencia, y el círculo se dice circunscrito al polígono. También diremos que el polígono es cíclico. Diremos que dos lados de un cuadrilátero son adyacentes o bien lados opuestos, de acuerdo a si tienen o no un vértice común. Dos vértices son vértices adyacentes o bien vértices opuestos dependiendo si pertenecen a un mismo lado o no. Las rectas que unen vértices opuestos se llamarán diagonales. Por ejemplo, en el cuadrilátero ABCD, AB, BC, CD, DA son los lados y AC, BD las diagonales Para un cuadrilátero ABCD podemos, además de ver ángulos en A, en B, en C, y en D considerar otros ocho ángulos, que se forman con los lados del cuadrilátero y las diagonales AC y BD, que denotaremos por a,b,c,d,e,f,g,h Facultad de Ciencias UNAM Geometría Analítica I Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz 2 Unidad 2. Trigonometría 2.4 Ángulo semi-inscrito, Cuadriláteros ciclicos, Potencia Si el cuadrilátero es cíclico se tiene: 1. a=d 2. b=g 3. c=f 4. e=h 5. ∠ A+ ∠ C = 180 pues ∠ A = ∠ BAD = 1 2 ∠ BOD ∠ C = ∠ DCB = 1 2 ∠ DOB Por lo tanto ∠ A+ ∠ C = ∠ BAD + ∠ DCB = 1 2 ∠ BOD + 1 2 ∠ DOB = 180o 6. ∠ B + ∠ D = 180 Facultad de Ciencias UNAM Geometría Analítica I Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz 3
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