angulos-semi-inscritos

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Unidad 2. Trigonometría 2.4 Ángulo semi-inscrito, Cuadriláteros ciclicos, Potencia
Ángulos semi-inscritos
Un ángulo se dice semi-inscrito en un arco cuando tiene su vértice en uno de los extremos del arco, uno
de sus lados pasa por el otro extremo del arco y el segundo lado es tangente a la circunferencia
Teorema 1. Todo ángulo semi-inscrito es igual a la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco
Demostración. Prolonguemos el radio BO para formar un diámetro BM.
El ángulo ∠ MBC es recto, ya que BC es la tangente, de aquí tenemos que
∠ MBC =
∠ MOB
2
Sabemos también que
∠ MBA =
∠ MOA
2
Entonces
∠ ABC = ∠ MBC − ∠ MBA = ∠ MOB
2
− ∠ MOA
2
=
∠ AOB
2
Ejemplo Considere la tangente al círculo que pasa por el punto D y AB una cuerda que no sea paralela
a la tangente. Prolónguese la cuerda AB hasta que intersecte a la tangente en un punto, digamos
P. Demuestre que
∠ DPA =
∠ DOA− ∠ BOD
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Facultad de Ciencias UNAM
Geometría Analítica I
Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz
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Unidad 2. Trigonometría 2.4 Ángulo semi-inscrito, Cuadriláteros ciclicos, Potencia
Por ser α un ángulo exterior del triángulo 4 APD, tenemos que
∠ DPA+ ∠ DAP = ∠ α
Según el resultado anterior tenemos ∠ α =
∠ DOA
2
y por la medida del ángulo inscrito
∠ DPA =
∠ DOA− ∠ BOD
2
Cuadriláteros
Por tres puntos no alineados, pasa siempre una circunferencia. En efecto, si tenemos tres puntos A, B y
C en el plano, éstos pueden ser considerados como vértices de un triángulo, las mediatrices de sus lados
se cortan en el circuncentro que es el centro del círculo que pasa por A, B y C.
Cuatro puntos tomados al azar no se encuentran por lo general sobre una circunferencia. Cuando cuatro
puntos (o más) se encuentran sobre una circunferencia decimos que son concíclicos (o más brevemente
cíclicos). Un polígono se dirá inscrito en una circunferencia si sus vértices están sobre una circunferencia,
y el círculo se dice circunscrito al polígono. También diremos que el polígono es cíclico.
Diremos que dos lados de un cuadrilátero son adyacentes o bien lados opuestos, de acuerdo a si tienen o no
un vértice común. Dos vértices son vértices adyacentes o bien vértices opuestos dependiendo si pertenecen
a un mismo lado o no. Las rectas que unen vértices opuestos se llamarán diagonales. Por ejemplo, en el
cuadrilátero ABCD, AB, BC, CD, DA son los lados y AC, BD las diagonales
Para un cuadrilátero ABCD podemos, además de ver ángulos en A, en B, en C, y en D considerar otros
ocho ángulos, que se forman con los lados del cuadrilátero y las diagonales AC y BD, que denotaremos
por a,b,c,d,e,f,g,h
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Unidad 2. Trigonometría 2.4 Ángulo semi-inscrito, Cuadriláteros ciclicos, Potencia
Si el cuadrilátero es cíclico se tiene:
1. a=d
2. b=g
3. c=f
4. e=h
5. ∠ A+ ∠ C = 180 pues
∠ A = ∠ BAD =
1
2
∠ BOD
∠ C = ∠ DCB =
1
2
∠ DOB
Por lo tanto
∠ A+ ∠ C = ∠ BAD + ∠ DCB =
1
2
∠ BOD +
1
2
∠ DOB = 180o
6. ∠ B + ∠ D = 180
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