apunte-5-marzo

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Bolas abiertas
Sea d una me´trica y x¯0 un punto en Rn
(1) La bola abierta con centro en x¯0 y radio r > 0, es el conjunto:
B(x¯0, r) = {x¯ ∈ Rn|‖x¯− x¯0‖ < r}
Conjuntos Abiertos
Definicio´n. Un conjunto V ⊂ Rn se dice que es abierto si para cada x¯ ∈ V existe una bola abierta
B(x¯, r) contenida en V . Es decir si para cada x¯ ∈ V existe r > 0 tal que B(x¯, r) ⊂ V .
Ejemplo: Mostraremos que una bola abierta es un conjunto abierto.
Demostracio´n. Sea x0 ∈ Rn y sea r > 0. Vamos a ver que B(x0, r) es un conjunto abierto. Sea
x ∈ B(x0, r) proponemos R = r−‖x−x0‖ < r, por lo tanto R > 0 sea y ∈ B(x,R) se tiene entonces
que ‖y − x‖ < R por lo tanto
‖y − x0‖ = ‖y − x+ x− x0‖ ≤ ‖y − x‖+ ‖x− x0‖ ≤ R+ ‖x− x0‖ = r
por lo tanto y ∈ B(x0, r)
Ejemplo: El espacio Rn es un conjunto abierto, pues dado cualquier x¯ ∈ Rn, toda bola abierta B(x¯, r)
esta contenida en Rn.
Ejemplo: Mostraremos que el ∅ es abierto.
Demostracio´n. Suponemos que el ∅ no es abierto ∴ ∃ x ∈ ∅ para el cual no es posible hallar una
bola abierta B(x¯, r) contenida en ∅. Pero esto no es posible ya que el ∅ no tiene elementos.
Entonces suponer que el ∅ no es abierto ! ∴ ∅ es abierto.
Ejemplo: Mostraremos que el semiplano superior V = {(x, y) ∈ R2|y > 0} es abierto respecto de la
norma ‖ ‖1.
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Demostracio´n. Sea v0 = (x0, y0) ∈ V se tiene entonces que y0 > 0. Elegimos r = y0 consideremos
la bola abierta B1(v0, y0) sea v = (x, y) ∈ B1(v0, y0) se tiene entonces que ‖v − v0‖ < y0 es decir
|x− x0|+ |y − y0| < y0 y queremos ver que y > 0 procederemos por contradiccio´n
Primero supondremos que y=0 se tiene entonces que
|x− x0|+ |y − y0| = |x− x0|+ |y0| < y0
es una contradiccio´n
Ahora procederemos a suponer que y < 0
|x− x0|+ |y − y0| = |x− x0|+ (−y) + y0 < y0
es tambie´n una contradiccio´n. Por lo tanto y > 0
Definicio´n: Sea A un subconjunto de Rn
(1) Un elemento a¯ ∈ A se dice que es un punto interior de A, si existe una bola abierta con centro
en a¯ contenida en A es decir si ∃ r > 0 tal que B(a¯, r) ⊂ A.
Ejemplo: Mostraremos que todo punto del disco x2 + y2 < 1 es un punto interior.
Demostracio´n. Sea p = (a, b) tal que a2+y2 < 1 y sea r = 1−‖p‖ = 1−√a2 + b2. Sea p1 ∈ B(p, r)
se tiene entonces que
d(p1, 0) = ‖p1 − 0‖ = ‖p1‖ = ‖p1 − p+ p‖ ≤ ‖p1 − p‖+ ‖p‖ < r + ‖p‖ = 1− ‖p‖+ ‖p‖ = 1
∴ ‖p1‖ < 1 ∴ p1 es un punto interior del disco unitario y como p es arbitrario, entonces todo punto
del disco unitario es interior
Ejemplo: Mostraremos que el conjunto V = {(x, y) ∈ R2|y > x2} es un conjunto abierto.
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Demostracio´n. Si (a, b) es un punto del conjunto V, entonces b > a2 sea γ = b− a2 y consideremos
(x, y) tal que
√
(x− a)2 + (y − b)2 < � lo que implica que
|x− a| < � y |y − b| < �
usando que a2 = x2 − 2(x− a)a− (x− a)2 tenemos que
y > b− � = a2 + γ − � > x2 − 2(�)a− �2 + γ − � >︸︷︷︸
para � adecuado
x2
Ejemplo: Mostraremos que en R un intervalo abierto es un conjunto abierto.
Demostracio´n. Sea x ∈ (a, b) y consideremos L = min{x− a, b− x} entonces
B(x, L) = (x− L, x+ L) ⊂ (a, b)
esto es x es un punto interior de (a,b) y como x es arbitrario todo punto de (a,b) es interior ∴ (a,b)
es un conjunto abierto de R
Conjuntos Cerrados
Definicio´n. Un conjunto F ⊂ Rn se dice que es cerrado si su complemento F c = Rn−F es un conjunto
abierto.
(2) La bola cerrada con centro x¯0 y radio r ≥ 0 es el conjunto:
B¯(x¯0, r) = {x¯ ∈ Rn|‖x¯− x¯0‖ ≤ r}
Proposicio´n: Toda bola cerrada en Rn es un conjunto cerrado.
Demostracio´n: Sea x¯0 ∈ Rn y r ≥ 0. Probaremos que la bola cerrada B¯(x0, r) es un conjunto
cerrado, es decir, que su complemento Rn − B¯(x0, r) es un conjunto abierto.
Sea pues x¯ ∈ Rn − B¯(x0, r). Mostraremos que existe una bola abierta B(x¯, R) contenida en
Rn− B¯(x0, r). Como x¯ no esta´ en la bola cerrada B¯(x0, r), se tiene entonces que ‖x¯− x¯0‖ > r.
Definamos R = ‖x¯− x¯0‖ − r > 0, esto equivale a r = ‖x¯− x¯0‖ −R.
Veamos que B(x¯, R) ⊂ Rn − B¯(x0, r)
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luego ‖x¯− x¯0‖ < R+ ‖y¯ − x¯0‖ ∴ ‖x¯− x¯0‖ −R < ‖y¯ − x¯0‖, es decir, r < ‖y¯ − x¯0‖.
Esto significa que y¯ 6∈ B¯(x¯0, r), es decir, y¯ ∈ Rn − B¯(x¯0, R).
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