Apunte-7-de-septiembre

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Ejercicio.- Supongase que f es integrable en [a,b]. Demostrar que existe
un número x0 ∈ [a, b] tal que∫ x0
a
f(t)dt =
∫ x
x0
f(t)dt
Dem Sea
g(x) =
∫ x
a
f(t)dt−
∫ b
x
f(t)dt
tenemos que F (x) =
∫ x
a
f(t)dt es continua y H(x) = −
∫ b
x
f(t)dt es continua
por lo tanto g es una función continua.
Ahora bien
g(a) =
∫ a
a
f(t)dt−
∫ b
a
f(t)dt = −
∫ b
a
f(t)dt < 0
g(b) =
∫ b
a
f(t)dt−
∫ b
b
f(t)dt =
∫ b
a
f(t)dt > 0
por lo tanto g(a) < 0 < g(b) al ser g continua por el teorema del valor
intermedio ∃x0 ∈ [a, b] tal que g(x0) = 0 por lo tanto
0 = g(x0) =
∫ x0
a
f(t)dt−
∫ b
x0
f(t)dt
Por lo tanto ∃x0 ∈ [a, b] tal que∫ x0
a
f(t)dt =
∫ x
x0
f(t)dt
Teorema(1er Teorema fundamental del cálculo)
Sea f : [a, b] → R, integrable en [a,b] y continua en x0, entonces la
función F : [a, b] → R definida por F (x) =
∫ x
a
f(t)dt es derivable en x0 y
F ′(x0) = f(x0)
Sea f : [0, 1]→ R dada por
f(x) =
{
1 si x 6= 1
2
0 si x = 1
2
2
En este caso F (x) =
∫ x
a
f(t)dt = x ∀x ∈ [0, 1]por lo tanto F es derivable
∀x ∈ [0, 1] pero F ′(x) = 1 ∀x ∈ [0, 1] en particular F ′(1
2
) 6= f(1
2
)
por lo tanto F ′(1
2
) 6= f(1
2
)
el ejemplo anterior muestra que la continuidad de la función f es una
condición suficiente pero no necesaria para garantizar la derivabilidad de F.
El primer teorema fundamental del cálculo establece que, si tomamos una
función continua y la integramos, al derivar la función resultante regresamos
a la función original.
¿Ocurrira lo mismo si primero derivamos una función y luego la inte-
gramos?
Tenemos que por definición
∫ b
a
g′ ≈
n∑
i=1
g′(xi)(xi − xi−1)
g′(xi) es la pendiente de la recta tangente en xi. Si g es una función continua
y el intervalo [xi−1, xi] es pequeño, esta pendiente será muy parecida a la
pendiente de la secante a la gráfica en los puntos (xi−1, g(xi−1)) (xi, g(xi))
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Por el teorema del valor medio (derivada)
g′(xi) ≈
g(xi)− g(xi−1)
xi − xi−1
entonces
g′(xi)(xi − xi−1) ≈ g(xi)− g(xi−1)
Por lo tanto
n∑
i=1
g′(xi)(xi − xi−1) ≈
n∑
i=1
g(xi)− g(xi−1)
Por tanto ∫ b
a
g′ ≈ g(b)− g(a)
si tomamos x ∈ [a, b] ∫ x
a
g′ = g(x)− g(a)
es decir
g(x) =
∫ x
a
g′ + g(a)
es decir si tenemos una función derivable y cuya derivada sea continua y la
derivamos, si luego la integramos regresamos a la función original.
Corolario
Sea f : [a, b] → R continua en [a,b] si g : [a.b] → R es cualquier función
derivable, tal que g′(x) = f(x) ∀x ∈ [a, b] entonces
∫ b
a
f = g(b)− g(a).
Dem Sabemos que
∫ x
a
f = F (x)⇒ F ′(x) = f(x) ∀x ∈ [a, b].
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Si g′(x) = F ′(x)⇒ F (x) = g(x) + c.
Ahora bien F (a) =
∫ a
a
f = 0 pero también F (a) = g(a) + c
por lo tanto 0 = g(a) + c⇒ C = −g(a)
aśı F (x) = g(x)− g(a)
por otro lado F (b) =
∫ b
a
f y también F (b)) = g(b)− g(a) por lo tanto∫ b
a
f = g(b)− g(a)
Ejemplo.- si F (x) =
∫ x
a
1
1+sen(t)
dt hallar F ′(x)
Sol.- F ′(x) = 1
1+sen(x)
Ejemplo.- Si F (x) =
∫ x3
a
1
1+sen(t)
dt hallar F ′(x)
Sol.- Si definimos C(x) = x3 y H(x) =
∫ x
a
1
1+sen(t)
dt entonces
F (x) = H(C(x)) que por la regla de la cadena nos daŕıaF ′(x) = H ′(C(x))C ′(x)
por lo tanto
F ′(x) = H ′(C(x))C ′(x) =
1
1 + sen(x2)
3x2
Una función
F (x) =
∫ h2(x)
h1(x)
f(t)dt
la podemos escribir como
F (x) =
∫ a
h1(x)
f(t)dt +
∫ h2(x)
a
f(t)dt =
∫ h2(x)
a
f(t)dt−
∫ h1(x)
a
f(t)dt
por lo tanto
F ′(x) = f(h2(x))h
′
2(x)− f(h1(x))h1(x)