Aplicações da Diferencial em Funções Diferenciáveis

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APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN DIFERENCIABLE
Se dice que una función y=f(x) es diferenciable en un punto si su 
incremento puede escribirse de la forma
y es tal que no depende de los incrementos y 
cuando .
xxxxxgf ∆∆+∆=∆ ),()( η
0),( →∆xxη 0→∆x
)(xg x∆
APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL
Ejemplo: Determinar si la función es diferenciable.
Calculemos el incremento
si hacemos se tiene 
que donde no depende de y 
cuando por lo tanto, podemos decir 
que la función y = f (x) es diferenciable.
)(xg
xxxf 3)( 2 +=
)(3)()()( 2 xxxxxfxxff ∆++∆+=−∆+=∆
xxxxxxxxxxxxf ∆+∆+∆=+−∆++∆+∆+=∆ 32)3(332 2222
xxxxxg ∆=∆+= ),(,)32()( η
xxxxxgf ∆∆+∆=∆ ),()( η
xxxxf ∆∆+∆+=∆ )()32(
0),( →∆=∆ xxxη 0→∆x
f∆
x∆
APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL
xxxxxgf ∆∆+∆=∆ ),()( η
Se tiene entonces que si y=f(x) es diferenciable, su incremento 
se puede expresar como , pero surge 
la pregunta ¿quién o qué es g(x)?
Para responder la pregunta, dividamos entre , de este 
modo se tiene que 
tomando el límite de cuando se tiene
de donde se tiene que por lo tanto 
),()(
),()(
xxxg
x
xxxxxg
x
f
∆+=
∆
∆∆+∆
=
∆
∆
η
η
f∆ x∆
x
f
∆
∆ 0→∆x
0)(),(lim)(lim
),()(
lim
000
+=∆+=
∆
∆∆+∆
=
∆
∆
→∆→∆→∆
xgxxxg
x
xxxxxg
x
f
xxx
η
η
)()(' xgxf =
xxxxxff ∆∆+∆=∆ ),()(' η
APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL
Se tiene entonces que el incremento de una función 
diferenciable y = f(x) se puede escribir como
al primer término se le llama diferencial de f y se 
representa por y al segundo término
se le conoce como término no lineal .
Ahora si consideramos a la función identidad f(x)=x , se tiene 
que f’(x)=1 por lo que , pero como y = f (x) = x 
se tiene que por lo que podemos reescribir a la 
diferencial de f como
xxxxxff ∆∆+∆=∆ ),()(' η
xxf ∆)('
xxfxfd ∆= )(')( xxx ∆∆ ),(η
xxfd ∆=)(
xxd ∆=
xdxfxfd )(')( = )('
)( xf
dx
xfd =→
Diferencial de f término no líneal
Interpretación geométrica.
APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL
)('tan xf
dx
dy ==α
xxxdxxff ∆∆+=∆ ),()(' η
xxxdff ∆∆+=∆ ),(η
xxxdff ∆∆=−∆ ),(η
APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL
Puesto que la diferencial de la función y = f (x) es una nueva 
función de x podemos volver a diferenciarla es decir:
Sea al diferenciar nuevamente la función se 
tiene
puesto que que se deriva respecto a x , dx se considera 
constante, por lo tanto la segunda diferencial de la función está
dada por 
xdxfxfd )(')( =
( )dxxdxf
dx
dxfdd )('))(( =
( ) dxxdxf
dx
dxfdd )('))(( =
22 )()('')( xdxfxfd =
APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL
33 )()(''')( xdxfxfd =
al continuar repitiendo el proceso se obtendrán las diferenciales 
sucesivas
44 )()()( xdxfxfd IV=
55 )()()( xdxfxfd V=
nnn xdxfxfd )()()( =
M
APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL
¿ Qué pasa con el término no lineal del 
incremento?
¿Para qué sirven las diferenciales sucesivas?
¿La diferencial sólo sirve para calcular el valor aproximado 
del y cosas así?
xxx ∆∆ ),(η
CONTINUEMOS
o46cos
APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL
Supongamos que una función f (x), la podemos representar por
entonces al derivarla sucesivamente n veces obtenemos 
...)()().()()()()( 66
5
5
4
4
3
3
2
210 +−+−+−+−+−+−+= axcaxcaxcaxcaxcaxccxf
...)(6).(5)(4)(3)(2)(' 56
4
5
3
4
2
321 +−+−+−+−+−+= axcaxcaxcaxcaxccxf
...)()5(6).()4(5)()3(4)()2(32)('' 46
3
5
2
432 +−+−+−+−+= axcaxcaxcaxccxf
...)()4)(5(6).()3)(4(5)()2)(3(4)2(3)(''' 36
2
543 +−+−+−+= axcaxcaxccxf
...)(
)3(2
)!3(
).(
2
)!2(
)()!1(!)( 33
2
21 +−
+
+−
+
+−++= +++ axc
n
axc
n
axcncnxf nnnn
n
M
APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL
ax =
1)(' caf = 22 !22)('' ccaf == 33 !3)2(3)(''' ccaf == n
n cnaf !)( =
!2
)(''
2
af
c =
!3
)('''
3
af
c =
!
)(
n
af
c
n
n =
∑
∞
=
−=
0
)(
!
)(
)(
n
n
n
ax
n
af
xf
...)(
!
)(...)(
!3
)(''')(
!2
)´́ ())((')()( 32 +−++−+−+−+= n
n
ax
n
afaxafaxafaxafafxf
0)( caf =
)(0 afc = )('1 afc =
Al valuar a la función y sus derivadas sucesivas en se 
obtiene:
, , , ,
de donde los valores de las constantes son 
, , , ,
finalmente se tiene que
expresión que al representarla por medio del símbolo de sumatoria 
queda
SERIE DE TAYLOR
APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL
ahora, de acuerdo a la figura
y como ;
por lo que ∑
∞
=
=
0 !
))((
)(
n
nn
n
dxaf
xf
L++++== ∑
∞
= 6
))(('''
2
))((''
)(')(
!
)(
)(
32
0
dxafdxaf
dxafaf
n
afd
xf
n
n
xax ∆=−
dxx =∆ xdax =−
si recordando que la diferencial n-esima está dada por 
, al valuarla en se obtiene , 
y sustituyendola se llega a
nnn dxxfxfd ))(()( = ax = nnn dxafafd ))(()( =
f
expresión mediante la cual es posible representar una función f por 
una suma infinita de sus diferenciales sucesivas en un punto .ax =
APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL
Taylor1.ggb Taylor2.ggb
L+++=−
6
))(('''
2
))(('')(')()(
32 dxafdxafdxafafxf
L+++=∆
6
))(('''
2
))(('')(')(
32 dxafdxafdxafxf
L++++=
6
))(('''
2
))(('')(')()(
32 dxafdxafdxafafxf
Diferencial de f término no líneal
!
))((
6
))(('''
2
))(('')(')()()(
32
n
dxafdxafdxafdxafafxPxf
nn
+++++=≈ L
Si se consideran sólo los n primeros términos, se obtendrá un 
polinomio P(x) de grado n llamado Polinomio de Taylor que es 
una aproximación de f (x)
APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL
∑
∞
=
=
0
00
!
),(
),(
n
n
n
yxfd
yxf
Consideremos la función z = f( x, y), la diferencial total de f está dada
por y del mismo modo que una función y=g(x)
tiene una segunda diferencial, f(x,y) también la tiene siendo esta
y al sustituir en la expresión
obtenemos
2
2
22
2
2
2
2 )(2)(),( dy
y
fdxdy
yx
fdx
x
fyxfd
∂
∂+
∂∂
∂+
∂
∂=
dy
y
f
dx
x
f
yxfd
∂
∂
+
∂
∂
=),(
L+








∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
+
+








∂
∂
+
∂
∂
+=
2
),(
2
2
),(
2
2
),(
2
2
),(),(
00
)(2)(
2
1
),(),(
000000
0000
dy
y
f
dxdy
yx
f
dx
x
f
dy
y
f
dx
x
f
yxfyxf
yxyxyx
yxyx
APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL
2
),(
2
2
),(
2
2
),(
2
2
),(),(
00
)(
2
1
)(
2
1
),(),(
000000
0000
dy
y
f
dxdy
yx
f
dx
x
f
dy
y
f
dx
x
f
yxfyxf
yxyxyx
yxyx
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
+
+
∂
∂
+
∂
∂
+≈
Si consideramos los tres primeros términos, obtendremos una 
aproximación de la función f(x,y) alrededor del punto dada 
por
que corresponde a una expresión de la forma
),( 00 yx
22 CyBxyAxEyDxFz +++++=
APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL
FEyDxCyBxyAxz +++++= 22
la expresión anterior corresponde a una superficie cuadrática cuya 
forma depende del signo del término donde24 BAC −=∆
0),(
0
2
2
22
2
2
2
2
>
∂
∂
>





∂∂
∂−
∂
∂
∂
∂=∆
x
yxf
yx
f
y
f
x
f
0),(
0
2
2
22
2
2
2
2
<
∂
∂
>





∂∂
∂−
∂
∂
∂
∂=∆
x
yxf
yx
f
y
f
x
f
0
22
2
2
2
2
<





∂∂
∂−
∂
∂
∂
∂=∆
yx
f
y
f
x
f
aprox 2da deriv 1.mws
APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL
DERIVADA DE FUNCIONES IMPLÍCITAS
Sea la función donde , calcular la
las derivadas parciales y 
Para calcular las derivadas parciales indicadas, sería 
necesario despejar de la expresión la variable 
z , labor que en la mayoría de los casos es muy complicada 
y más difícil que la obtención de la misma derivada.
Por ejemplo: si tratamos de despejar la variable z de la 
expresión , podremos hacer muchos intentos
sin lograrlo. Por tal razón es muy conveniente establecer 
un método de derivación que no requiera de despejar a z . 
0),,( =zyxF ),( yxfz =
x
z
∂
∂
y
z∂
∂
0),,( =zyxF
02 =− zyexz
APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL
Consideremos la función donde 
al diferenciar ambas expresiones obtenemos de la primera
y de la segunda 
al sustituir dz en dF se tiene
factorizando dx y dy 
para garantizar que la expresión anterior se cumple para todo 
valor de las variables x , y , se tiene que dx=dy=0 , pero esta 
condición no es factible ya que si se cumpliera, resultaría que 
las variables x, y serían constantes, por lo tanto la condición será
0),,( =zyxF ),( yxfz =
0=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂= dz
z
Fdy
y
Fdx
x
FdF dy
y
zdx
x
zdz
∂
∂+
∂
∂=
0=





∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂= dy
y
zdx
x
z
z
Fdy
y
Fdx
x
FdF
0=





∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
= dy
y
z
z
F
y
F
dx
x
z
z
F
x
F
dF
APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL
0=
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
x
z
z
F
x
F
0=
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
y
z
z
F
y
F
x
z
∂
∂
y
z
∂
∂
z
F
x
F
x
z
∂
∂
∂
∂
−=
∂
∂
z
F
y
F
y
z
∂
∂
∂
∂
−=
∂
∂
de donde al despejar las derivadas y se tiene que 
así, si haciendo se obtiene que
¡¡no fue tan difícil!! 
02 =− zyexz 02 =−= zyexzF
zyzy ye
z
ye
z
z
F
x
F
x
z 22 =
−
−=
∂
∂
∂
∂
−=
∂
∂
y
z
ye
ze
z
F
y
F
y
z
zy
zy −=
−
−−=
∂
∂
∂
∂
−=
∂
∂
APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL
DERIVADA DE SISTEMAS DE FUNCIONES IMPLÍCITAS
En geometría analítica del espacio, se establece que una curva tiene 
por ecuaciones 
expresión que representa un sistema de funciones implícitas. Como 
sabemos una curva puede representarse mediante sus ecuaciones 
paramétricas de la forma



=
=
0),,(
0),,(
:
zyxG
zyxF
C





=
=
=
)(
)(
)(
:
tgz
tfy
thx
C
Si definimos a la variable x como el parámetro t de la curva 
obtenemos
APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL





=
=
=
)(
)(:
xgz
xfy
tx
C
donde para analizar la curva C se requiere calcular las derivadas 
de las funciones ; , pero como ya se comentó, 
el problema de obtener las ecuaciones paramétricas de C puede 
ser más complicado que la misma obtención de las derivadas 
requeridas. Por lo tanto conviene establecer la forma de calcular 
las derivadas de y = f (x) y z = g (x) a partir de el sistema de 
funciones implícitas
)(xfy = )(xgz =



=
=
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF
APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL
Sea el sistema de funciones implícitas F(x,y,z)=0 y G(x,y,z)=0 
donde y=y(x) y z = z(x) al diferenciar las funciones se obtiene 
; ; ;
Sustituyendo dy y dz en dF y dG
0=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂= dz
z
Fdy
y
Fdx
x
FdF 0=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂= dz
z
Gdy
y
Gdx
x
GdG dx
dx
dy
dy = dx
dx
dz
dz =
0=





∂
∂
+





∂
∂
+
∂
∂
= dx
dx
dz
z
F
dx
dx
dy
y
F
dx
x
F
dF
0=





∂
∂
+





∂
∂
+
∂
∂
= dx
dx
dz
z
G
dx
dx
dy
y
G
dx
x
G
dG
factorizando dx
; 
0=





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= dx
dx
dz
z
F
dx
dy
y
F
x
F
dF 0=





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= dx
dx
dz
z
G
dx
dy
y
G
x
G
dG
como y para que las ecuaciones se cumplan para toda x0≠dx
APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL
0=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
dx
dz
z
F
dx
dy
y
F
x
F
0=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
dx
dz
z
G
dx
dy
y
G
x
G
x
F
dx
dz
z
F
dx
dy
y
F
∂
∂
−=
∂
∂
+
∂
∂
x
G
dx
dz
z
G
dx
dy
y
G
∂
∂
−=
∂
∂
+
∂
∂
reorganizando las expresiones se llega al sistema lineal 
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
=+
=+
de la forma
donde los coeficientes son ; ; ;
, , , 
y
Fa
∂
∂=11 z
Fa
∂
∂=12 y
Ga
∂
∂=21 z
Ga
∂
∂=22
las incógnitas son ; 
dx
dy
x =1 dx
dz
x =2
y los términos independientes ; 
, 
x
Fb
∂
∂−=1 x
Gb
∂
∂−=2
APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL
Al aplicar la regla de Cramer para resolver el sistema se llega a
zy
GF
J
zx
GFJ
z
G
y
G
z
F
y
F
z
G
x
G
z
F
x
F
z
G
y
G
z
F
y
F
z
G
x
G
z
F
x
F
dx
dy
−=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
−=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
=
zy
GFJ
xy
GFJ
z
G
y
G
z
F
y
F
x
G
y
G
x
F
y
F
z
G
y
G
z
F
y
F
x
G
y
G
x
F
y
F
dx
dz
−=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
−=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂−
=
APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL
Ejemplo:
De un tronco de diámetro D , se desea obtener una viga que tenga 
una sección rectangular de área máxima, ¿cuáles deben ser las 
medidas de la sección de la viga?
Resolución:
Por un lado, el área de la sección de la viga está dada por y 
del teorema de Pitágoras se tiene que 
xyA =
222 Dyx =+
APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL
Definamos a y
donde y 
0),,( =−= AxyAyxF 0),,( 222 =−+= DyxAyxG
)(xAA = )(xyy =
El punto crítico de se obtiene cuando , así, de la derivada
de sistemas de funciones implícitas se tiene que
0=
dx
dA
0==
yA
GF
J
yx
GF
J
dx
dA
0=
yx
GF
J 0≠
yA
GF
J
xyxyxy
yx
xy
y
G
x
G
y
F
x
F
yx
GFJ =⇒=⇒=−==
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
= 2222 022
22
por lo tanto siempre y cuando 
Sustituyendo en se tiene que por lo 
finalmente 
222 Dyx =+ 222 Dx =
; 
2
Dx =
2
Dy =
APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL
M.E.M. Enrique Arenas Sánchez
earenass@hotmail.com