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AUX-004-apuntes-escalas-axiomatica

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ESCALA 
 
 
CONCEPTO DE ESCALA 
 
El dibujo técnico, empleado tanto en la ingeniería como en la arquitectura, tiene como 
finalidad representar objetos en una hoja o lámina de dibujo, para su diseño, especificación, 
construcción y mantenimiento. Dichos objetos tienen, por lo regular, dimensiones mayores 
que las de la hoja de papel en el que se les desea representar, por lo cual se presenta la 
necesidad de reducir proporcionalmente todas las dimensiones lineales del citado objeto, de 
manera que pueda hacerse con claridad. 
 
A la proporción que guardan las dimensiones del objeto representado en la lámina de dibujo 
con respecto a sus dimensiones reales es lo que se conoce con el nombre de Escala. La 
definición que se establece en la norma NOM – Z – 6 Dibujo técnico – Escalas (NOM, de 
las siglas en español de Norma Oficial Mexicana), en concordancia con la norma 
internacional ISO 5455 (ISO, de las siglas en inglés de International Organization for 
Standarization), Technical drawings – Scales (Dibujos técnicos - Escalas), es: 
 
“Escala: razón de la dimensión lineal de un elemento de un objeto como está 
representado en el dibujo original a la dimensión lineal real del mismo 
elemento de dicho objeto”. 
 
Nótese que el primer término de la razón, o numerador, se relaciona con la longitud dibujada 
del objeto, mientras que el segundo término de la razón, o denominador, lo hace con su 
longitud real. 
 
Según el mismo documento citado, se establecen tres tipos de escalas: 
 
 escala natural, que se emplea cuando las dimensiones del dibujo son iguales a las del 
objeto representado y, por lo tanto, con razón 1:1; 
 
 escala de ampliación, que se usa cuando se requiere amplificar las dimensiones del 
objeto real al ser representado en el dibujo, y su razón es mayor que 1:1. Se dice que es 
mayor conforme dicha razón se incrementa; 
 
 escala de reducción, que se aplica cuando se necesita disminuir proporcionalmente las 
medidas lineales del objeto real al representarlo en la lámina de dibujo, y en la que su 
razón es menor que 1:1. Se dice que es menor en la medida en que la citada razón se 
decrementa. 
 
La designación completa de una escala deberá consistir de la palabra “ESCALA” seguida de 
la indicación de su razón: ESCALA 1:1 para la escala natural, ESCALA X:1, para la escala 
de ampliación, y ESCALA 1:X para la escala de reducción, donde X deberá ser 
preferentemente un número entero. 
 
Debido a la amplia aceptación que ha tenido en el mundo el uso del Sistema Internacional de 
Unidades, conocido simplemente como Sistema Internacional o SI, en todo este libro se 
adoptará como unidad de longitud al metro (símbolo m), así como el milímetro (símbolo mm) 
y el kilómetro (símbolo km) como su submúltiplo y su múltiplo, respectivamente, de 
conformidad con las normas NOM – Z – 1 Sistemas de Unidades e ISO 1000, SI units and 
recommendations for the use of their multiples and of certain other units (Unidades SI y 
recomendaciones para el uso de sus múltiplos y de otras unidades adecuadas). Aquí cabe 
destacar que el SI ha sido aceptado incluso por los Estados Unidos de América, en donde su 
aplicación práctica ha costado mucho tiempo y grandes esfuerzos, al grado de que a la fecha 
aún no se ha podido consolidar. 
 
Conviene hacer notar que la escala empleada en el dibujo técnico se designa con una razón 
adimensional, lo que implica que para su interpretación, las dimensiones del dibujo y del 
objeto real deberán establecerse con la misma unidad de medida. De aquí que también se le 
conozca como escala numérica. Por ejemplo, si un dibujo está trazado a escala 1:5, se puede 
interpretar que cada unidad dibujada representa 5 unidades reales, es decir, que cada 1 mm 
dibujado representa 5 mm reales, o bien, que cada 1 m dibujado representa 5 m reales. 
 
Ejemplo 
 
En la Figura 1 se muestra el segmento AB que representa el largo total de una máquina que 
está dibujada a escala 1:20. Determine la longitud real correspondiente. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 Segmento AB que representa el largo total de una máquina 
cuya longitud dibujada es 76 mm. 
 
Una forma sencilla de resolver el problema es estableciendo una regla de tres: la razón 1:20 es 
como la longitud dibujada (símbolo Ld) mostrada es a la longitud real (símbolo Lr) que 
representa, es decir, 1 : 20 :: 76 mm : Lr. La respuesta es 1520 mm, equivalente a 1.520 m. 
 
Nota: Por lo regular, las reglas métricas con las que se cuenta están graduadas en centímetros. 
 
EJERCICIOS 
 
Problema: Determine la longitud dibujada que represente a escala 1:500 el largo de un puente 
que tiene 56.500 m de longitud. 
 
Respuesta 
 
Procediendo con base en una regla de tres, se puede escribir 1 : 500 :: Ld : 56.500 m. Por lo 
tanto, la respuesta es que la longitud dibujada del puente será de 113 mm. 
Problema: En el plano de una casa-habitación dibujada a escala 1:75, la fachada está 
representada por el segmento CD, como se muestra en la Figura 2. Determine su longitud real. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 Segmento CD que representa el largo de la fachada de una casa-habitación 
cuya longitud dibujada es de 116 mm. 
 
Respuesta 
 
Dado que la longitud dibujada de la fachada es de 116 mm, por medio de la siguiente regla de 
tres, 1 : 75 :: 116 mm : Lr, se obtiene la respuesta de 8.700 m que es la longitud real de dicha 
fachada. 
 
Problema: En la Figura 3 se muestra la proyección horizontal de una sección de uno de los 
pisos de un edificio de oficinas, en la que se puede verificar que la distancia entre columnas es 
de 7.50 metros. Como se puede observar, la medida dibujada de dicha distancia es de 37.5 
mm. Determine a qué escala está dibujado el plano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 Proyección horizontal de una sección de uno de los pisos 
de un edificio de oficinas. 
 
Respuesta 
 
Con base en la definición de escala (numérica), se puede afirmar que la escala deberá ser la 
proporción entre 37.5 mm y 7.50 m, es decir, escala 37.5 mm : 7.50 m. Al dividir dicha 
proporción entre 37.5 mm (ambas medidas para que la proporción no se altere), la escala 
queda 37.5 mm/37.5 mm : 7.50 m/37.5 mm, y por tanto, escala 1 : 200. 
 
 
USO DEL ESCALÍMETRO 
 
El escalímetro es un instrumento que tiene por objeto simplificar el proceso de empleo de la 
escala en la elaboración e interpretación de planos usados en la ingeniería y en la arquitectura. 
Por lo regular tienen forma de barra con sección triangular, de 300 mm de longitud útil, y que 
por lo tanto cuentan con seis escalas diferentes. 
 
Todas las escalas de los escalímetros del sistema métrico están graduadas en metros, a menos 
que claramente esté indicada la unidad de medida. El escalímetro está construido de tal 
manera que se pueda leer directamente en él, la longitud real que representa un segmento 
dibujado a la escala indicada. Así, para el caso del segmento EF mostrado en la Figura 4, que 
tiene una longitud dibujada de 48 mm, representa 4.800 m de longitud real a escala 1:100, 
valor que se puede comprobar al plantear la regla de tres 1 : 100 :: 48 mm : Lr, del cual se 
obtiene como resultado una longitud real de 4800 mm, es decir, 4.800 m. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4 Segmento EF que representa 4.800 m a escala 1:100. 
 
Si este mismo segmento EF se mide con la escala 1:20 del escalímetro, ahora la lectura será de 
960 mm, la cual se puede verificar al resolver la siguiente regla de tres 1 : 20 :: 48 mm : Lr 
(ver Figura 5). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5 Segmento EF que representa 960 mm a escala 1:20. 
 
De manera similar, el mismo segmento EF representará 2.400 m a escala 1:50, resultado que 
puede obtenerse al plantear la regla de tres 1 : 50 :: 48 mm : Lr (ver Figura 6). 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6 Segmento EF que representa 2.400 m a escala 1:50. 
 
Asimismo, si se mide el multicitado segmento EF con la escala 1:25 del escalímetro, aquél 
representará 1.200 m de longitud real, como puede observarse en la Figura 7. También para 
este caso se puede verificar el resultadoa partir de la regla de tres 1 : 25 :: 48 mm : Lr. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 7 Segmento EF que representa 1.200 m a escala 1:25. 
 
De la misma manera como se procedió en los párrafos anteriores, se puede comprobar que el 
mismo segmento EF representará 6 m a escala 1:125, y 3.600 m a escala 1:75. 
 
No siempre será posible encontrar la escala requerida en el escalímetro, por ejemplo la escala 
1:5000, pero en la mayoría de los casos esta escala será submúltipla o múltipla decimal de 
alguna existente, en este caso la escala 1:50, y con ella se podrá obtener el resultado con solo 
multiplicar la lectura realizada en el escalímetro por un factor decimal. 
 
Para deducir el valor de dicho factor, se determinará la longitud real que representa el 
segmento EF con 48 mm de longitud dibujada a escala 1:5000: estableciendo la regla de tres 
correspondiente, 1 : 5000 :: 48 mm : Lr, se obtiene que la longitud real será de 240 000 mm, es 
decir, 240 m. El segmento EF medido con la escala 1:50 del escalímetro proporciona la lectura 
de 2.400 m, como se muestra en la Figura 8, por lo que, en este caso, el factor decimal 
buscado será de 100, puesto que 240 m es 100 veces 2.400 m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8 Segmento EF que medido con la escala 1:50 proporciona una lectura de 2.400 m, 
representa 240 m a escala 1:5000. 
Se puede observar que el citado factor de 100 se puede determinar a partir de la proporción 
existente entre el denominador de la escala requerida, en este caso 5000, con el denominador 
de la escala existente, en este ejemplo 50. 
 
Por lo tanto, para efectuar la lectura con una escala que sea submúltipla o múltipla decimal de 
otra con la que se cuente en el escalímetro, será suficiente con agregar, o quitar, el número de 
ceros que tenga de más, o de menos, el denominador de la escala deseada con respecto a la 
escala que se tenga en el escalímetro. 
 
Aquí conviene hacer notar que quitar ceros equivale a mover el punto decimal a la izquierda, 
tantos lugares como ceros se requiera quitar. Por ejemplo, a escala natural 1:1, el segmento EF 
se podrá medir empleando la escala 1:100, y a la lectura obtenida se le moverá el punto 
decimal dos lugares a la izquierda; como se muestra en la Figura 9, la lectura es de 4.800 m, 
por lo que el resultado a escala 1:1 será de 0.048 m, es decir, 48 mm, que es justo lo que mide 
dicho segmento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9 Segmento EF medido con la escala 1:100 proporciona una lectura de 4.800 m; 
a escala natural, 1:1, representa 48 mm. 
 
Con base en este último resultado, se puede establecer que es posible usar la escala 1:100 
como una regla común, con solo cambiar la unidad de medida a centímetros, en lugar de 
metros. 
 
Los pasos para leer correctamente el escalímetro están listados a continuación. Se empleará 
una línea GH, con una longitud dibujada de 32 mm, con fines demostrativos. Se mostrarán 
varias ilustraciones para cada conjunto de casos. 
 
Conjunto 1 
 
La escala 1:100 puede ser empleada para realizar lecturas con las siguientes escalas: 1:100, 
1:1000, 1:10 000, 1:100 000, 1:10, 1:1, y escalas que sean otras submúltiplas decimales, por 
ejemplo, 1:10’000 000. 
 
Para la escala 1:100, el 1 representa 1 m de longitud real, por lo que cada línea de subdivisión 
representará 0.100 m. Por lo tanto, el segmento GH representará 3.200 m (ver Figura 10). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10 El segmento GH representará 3.200 m a escala 1:100. 
 
Para la escala 1:1000, el 1 representa 10 m de longitud real, por lo que cada línea de 
subdivisión representará 1 m. Por lo tanto, el segmento GH representará 32 m (ver Figura 11). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 11 El segmento GH representará 32 m a escala 1:1000. 
 
Para la escala 1:10 000, el 1 representa 100 m de longitud real, por lo que cada línea de 
subdivisión representará 10 m. Por lo tanto, el segmento GH representará 320 m (ver Figura 
12). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 12 El segmento GH representará 320 m a escala 1:10 000. 
 
Para la escala 1:100 000, el 1 representa 1000 m de longitud real, por lo que cada línea de 
subdivisión representará 100 m. Por lo tanto, el segmento GH representará 3200 m (ver 
Figura 13). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 13 El segmento GH representará 3200 m a escala 1:100 000. 
Para la escala 1:10, el 1 representa 0.100 m de longitud real, por lo que cada línea de 
subdivisión representará 0.010 m. Por lo tanto, el segmento GH representará 0.320 m, es decir, 
320 mm (ver Figura 14). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 14 El segmento GH representará 320 mm a escala 1:10. 
 
Para la escala 1:1, el 1 representa 0.010 m de longitud real, por lo que cada línea de 
subdivisión representará 0.001 m. Por lo tanto, el segmento GH representará 0.032 m, es decir, 
32 mm (ver Figura 15). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 15 El segmento GH representará 32 mm a escala 1:1. 
 
Resumen 
 
Escala Respuesta 
 
1:100 3.200 m 
1:1000 32 m 
1:10 000 320 m 
1:100 000 3200 m 
1:10 0.320 m = 320 mm 
1:1 0.032 m = 32 mm 
 
Conjunto 2 
 
La escala 1:20 puede ser empleada para realizar lecturas con las siguientes escalas: 1:20, 
1:200, 1:2000, 1:20 000, 1:200 000, 1:2, y escalas que sean otras submúltiplas decimales, por 
ejemplo, 1:20’000 000. 
 
Para la escala 1:20, el 1 representa 1 m de longitud real, por lo que cada línea de subdivisión 
representará 0.100 m y las subdivisiones de éstas últimas 0.020 m. Por lo tanto, el segmento 
GH representará 0.640 m, es decir, 640 mm (ver Figura 16). 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 16 El segmento GH representará 640 mm a escala 1:20. 
 
Para las demás escalas citadas, determinar cuánto representa cada unidad del escalímetro, con 
base en la regla de agregar o quitar ceros explicada anteriormente. 
 
Escala Respuesta 
 
1:20 0.640 m = 640 mm 
1:200 6.400 m 
1:2000 64 m 
1:20 000 640 m 
1:200 000 6400 m 
1:2 0.064 m = 64 mm 
 
Conjunto 3 
 
La escala 1:125 puede ser empleada para realizar lecturas con las siguientes escalas: 1:125, 
1:1250, 1:12 500, 1:125 000, 1:12.5, 1:1.25, y escalas que sean otras submúltiplas decimales, 
por ejemplo, 1:12’500 000. 
 
Para la escala 1:125, el 1 representa 1 m de longitud real, por lo que cada línea de subdivisión 
representará 0.100 m. Por lo tanto, el segmento GH representará 4 m (ver Figura 17). 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 17 El segmento GH representará 4 m a escala 1:125. 
 
Para las demás escalas citadas, determinar cuánto representa cada unidad del escalímetro, con 
base en la regla de agregar o quitar ceros explicada anteriormente. 
 
 
 
Escala Respuesta 
 
1:125 4 m 
1:1250 40 m 
1:12 500 400 m 
1:125 000 4000 m 
1:12.5 0.400 m = 400 mm 
1:1.25 0.040 m = 40 mm 
 
Ejemplo 
 
Determinar la longitud real que representa el segmento IJ mostrado en la Figura 18, a escala 
1:75000. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 18 Problema de ejemplo de uso del escalímetro. A escala 1:75 000, el segmento IJ 
representa una longitud real de 3300 m. 
 
EJERCICIOS 
 
Problema: Encontrar la longitud real que representa el segmento KL a escala 1:5 (Figura 19). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 19 Problema de uso del escalímetro. 
 
Respuesta 
 
La longitud real que representa el segmento KL a escala 1:5 es de 0.210 m, es decir, 210 mm. 
 
Problema: Encontrar la longitud real que representa el segmento MN a escala 1:25 000 
(Figura 20). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 20 Problema de uso del escalímetro. 
Respuesta 
 
A escala 1:25 000, la longitud real que representa el segmento MN es de 600 m. 
 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEMA 1 FUNDAMENTOS PARA EL ANÁLISIS GRÁFICO 
 
Geometría formal 
 
Definición de geometría 
 
Geometría es la parte de la matemática que estudia 
los problemas de forma, medida y posición de 
elementos geométricos, así como las relaciones 
entre ellos, por medio de procedimientos 
específicos. 
 
Para entender mejor este concepto se requiere tener 
idea de lo que son los elementos geométricos, así 
como de lo referente a su forma, medida y posición. 
 
Son elementos geométricos, por ejemplo: el punto, 
el ángulo,las figuras planas, y los poliedros; dentro 
de ellos, se consideran como los básicos: 
a) el punto que, como ente geométrico, no 
tiene forma ni medida; sólo tiene posición 
con respecto a algún marco de referencia 
como los ejes cartesianos; 
b) la línea, cuya forma puede ser recta, curva, 
quebrada o mixta y su medida es la 
longitud; 
c) la superficie, que puede ser plana, cilíndrica 
o esférica, y a cuya medida se denomina área 
(conviene hacer énfasis que superficie es el 
nombre del elemento geométrico, y área es 
su medida; es incorrecto usarlos como 
sinónimos); 
 
 
d) el cuerpo, que puede ser una pirámide 
triangular, un cono circular recto o un 
dodecaedro regular siendo el volumen su 
medida geométrica. 
 
Y para concluir la explicación de términos 
involucrados en el concepto de geometría, se puede 
comentar que las relaciones que pueden existir entre 
elementos geométricos son, por ejemplo, la 
distancia entre dos puntos, el ángulo que existe 
entre dos rectas, o bien, la semejanza de dos figuras 
planas. 
 
Se puede clasificar a la geometría, según su campo 
de estudio, en: 
 1. plana; 
 2. espacial; 
 
y según el procedimiento que se use para la 
resolución de los problemas, en: 
a) analítica, que se apoya en el álgebra y el 
cálculo; 
b) descriptiva, que emplea procedimientos de 
tipo gráfico basados en la teoría de 
proyecciones; 
c) formal, que aplica conceptos creados en la 
mente (entes formales). 
 
Conviene aclarar que esta clasificación no pretende 
ser la ideal, sino que se propone con fines 
explicativos y didácticos. 
 
En las siguientes líneas se intentará desarrollar lo 
que aquí se denomina geometría formal, de manera 
que, con base en el análisis, se vayan descubriendo 
los conceptos, las definiciones y las proposiciones 
que se requieren estudiar para lograr cumplir con un 
objetivo importante de la enseñanza del dibujo 
técnico, que a la letra dice: 
 "que el alumno emplee los conceptos 
fundamentales de la geometría plana 
básica para la resolución de problemas de 
 2 
ingeniería utilizando los instrumentos y 
métodos adecuados; ..." 
 
Demostración de algunos teoremas 
fundamentales del triángulo 
 
El estudio de la geometría formal tiene sus orígenes 
en la obra clásica de Euclides (Los Elementos, s. III 
a. C.), que fue el primer tratado de matemáticas 
demostrativas que registró la historia, y que aún en 
nuestros días sigue vigente, sobre todo por el 
método que emplea para el desarrollo de su trabajo. 
 
Dicho método es, poco más o menos, lo que 
actualmente se conoce como método axiomático, 
que consiste en establecer, previamente a todo 
razonamiento, aquellas proposiciones, llamadas 
axiomas, que necesariamente se admiten sin 
demostración, para deducir de ellas, sin otro 
recurso que la lógica, todo el conjunto de 
proposiciones del sistema (en este caso, el 
geométrico). 
 
Aquí cabe mencionar que el método axiomático no 
es exclusivo de la geometría formal, sino que, en 
general, se aplica para el estudio de cualquier otra 
rama de la matemática. 
 
Las proposiciones del sistema que no son axiomas 
se denominan teoremas, los cuales deben dedu-
cirse por medio de la lógica a partir de los axiomas 
y/o proposiciones previamente demostradas. 
 
También será necesario establecer definiciones, tan 
clara y exactamente como sea posible, aunque, de la 
misma manera que para las proposiciones, se 
emplearán los términos más sencillos y 
fundamentales de la geometría sin intentar 
definirlos, y a los cuales se les denominará 
términos no definidos, como lo son el punto, la 
recta y el plano, así como relaciones geométricas 
no definidas, tales como las relaciones de 
congruencia, semejanza y equivalencia, entre otras. 
 
Una definición es simplemente una convención, un 
cambio de palabras, que se establece con el 
propósito de abreviar la exposición, sin introducir 
ningún concepto nuevo. Por ejemplo, para evitar 
referirse al conjunto formado por tres puntos no 
colineales y los segmentos de recta determinados 
por cada pareja de dichos puntos, a este concepto se 
le define como triángulo (conviene hacer notar que 
previamente se requiere definir lo que es un 
segmento de recta). 
 
Al sistema de términos, conceptos, relaciones y 
proposiciones establecidos y/o deducidos por medio 
de la aplicación del método axiomático se le llama 
sistema axiomático. 
 
Todo sistema axiomático debe cumplir con las 
siguientes características: 
a) debe estar completo, es decir, que los 
axiomas establecidos deben ser suficientes 
para obtener a todas las demás propo-
siciones del sistema; 
b) debe ser consistente, lo que indica que no 
se deben incluir dos proposiciones que se 
contradigan entre sí; y 
c) debe cumplir con la condición de inde-
pendencia, que se refiere a que ningún 
axioma sea deducible de otros axiomas. 
 
Para ejemplificar las características anteriores se 
desarrollará una analogía con un sistema de 
ecuaciones del álgebra que, aunque no tiene 
relación con el método axiomático, sí logra ilustrar 
adecuadamente las características mencionadas, 
como se presenta a continuación. 
 
 
3
Sea la ecuación x + 2y = 5; como sistema de ecua-
ciones estaría incompleto para ser compatible deter-
minado; si se le agregara la ecuación 2x + 4y = 9, el 
sistema así formado sería incompatible, puesto que 
no tiene solución (sería inconsistente); y, por 
último, si la segunda ecuación fuese 3x + 6y = 15, 
esta ecuación sería linealmente dependiente de la 
primera, por lo cual tampoco tendría solución única. 
 
Entonces, un sistema de ecuaciones compatible 
determinado deberá conformarse por el número de 
ecuaciones que garantice la obtención de una 
solución única (el sistema debe estar completo), que 
ninguna de las ecuaciones del sistema contradiga a 
cualquier otra (el sistema debe ser consistente), y 
que todas las ecuaciones del sistema sean 
linealmente independientes. 
 
Con respecto a la razón por la cual son necesarias 
las demostraciones para el estudio fundamentado 
de la geometría, se puede mencionar la vigencia en 
todas las ramas de la ciencia de lo que se denomina 
Ley de la razón suficiente, la cual establece que 
toda aseveración que se haga debe estar bien 
fundada, es decir, presentarse con argumentos lo 
suficientemente fuertes que apoyen su veracidad 
(que concuerde con los hechos y con la realidad). 
 
A continuación se presenta una construcción lógica 
del sistema axiomático de una parte de la 
geometría plana relacionada con el triángulo, 
partiendo de los términos no definidos, las 
relaciones no definidas y los axiomas, y con base 
en las ideas de Hilbert sobre las demostraciones 
de los teoremas, según las cuales no se considera 
válido para éstas el movimiento de los entes geomé-
tricos, tal como lo hizo Euclides en su obra. 
 
Se considerarán que son conocidos los conceptos de 
punto, línea, recta, superficie, plano y cuerpo, y 
se tratarán de explicar algunas relaciones no 
definidas por medio de lo que se denominarán 
definiciones descriptivas. 
 
Términos no definidos 
1. punto (símbolo: · ) 
2. línea 
3. recta (símbolo:  ) 
4. superficie 
5. plano 
6. cuerpo 
Relaciones no definidas 
1. incidencia de dos elementos geométricos 
2. coincidencia 
3. congruencia (símbolo:  ) 
4. semejanza (símbolo: ~ ) 
5. equivalencia (símbolo: = ) 
 
Definición descriptiva. Se dice que un punto 
incide en una línea si dicho punto está contenido en 
ella. 
 
Definición descriptiva. Se dice que una línea 
incide en una superficie si la línea está 
completamente contenida en la superficie 
mencionada, es decir, todos los puntos de la línea 
están contenidos en dicha superficie. 
 
Definición descriptiva. Se dice que dos elementos 
geométricos son coincidentes si cada punto de uno 
de ellos ocupa el mismo lugar que el del punto 
correspondiente al otro. 
 
Definición descriptiva. Se dice que dos elementos 
geométricos son congruentes si ambos tienen la 
misma forma y la misma medida. 
 
Definición descriptiva.Dos elementos geométricos 
son semejantes si tienen la misma forma. 
 
Definición descriptiva. Dos elementos geométricos 
son equivalentes si tienen la misma medida. 
 
Axioma 1. Dos puntos diferentes determinan una 
recta y sólo una (A: recta). 
 
Definición 1. Si A y B son dos puntos sobre una 
recta r, entonces el segmento AB (denotado por 
AB o BA ), es el conjunto compuesto por los 
puntos A, B, y todos los puntos de r que estén entre 
A y B. A estos puntos se les denomina extremos del 
segmento (símbolo: ). 
 
Definición 2. Si tres o más puntos diferentes tienen 
la propiedad de estar sobre la misma recta, entonces 
se dice que dichos puntos son colineales. 
 
Definición 3. Sean O y A dos puntos sobre una 
recta r. El conjunto formado por O y todos los 
puntos de r que están del mismo lado de A con 
respecto a O se llama semirrecta. El punto O se 
denomina vértice de la semirrecta (símbolo:  ). 
 
Definición 4. El conjunto formado por dos semi-
rrectas que tienen el mismo vértice se llama ángulo 
 
 
4
(símbolo: <). Si las dos semirrectas coinciden, 
entonces el ángulo que determinan se llama nulo o 
perígono. Si las dos semirrectas no coinciden pero 
están sobre una misma recta, el ángulo se llama 
llano (símbolo: ). 
 
Definición 5. Por extensión, se considerará también 
que al conjunto formado por una semirrecta y un 
segmento, tales que el vértice del primero coincida 
con un extremo del segundo, o bien, al conjunto de 
dos segmentos tales que un extremo del primero 
coincida con un extremo del segundo, se le deno-
minará ángulo, siendo en estos casos el vértice del 
ángulo el punto de coincidencia. 
 
Definición 6. Para todo ángulo se considerará a una 
de sus semirrectas como la de inicio y la otra como 
la semirrecta de término. Todo ángulo no nulo 
divide al plano en dos regiones: la que queda 
comprendida desde la semirrecta de inicio hasta la 
de término en sentido dextrógiro (antihorario) se le 
llamará región interior del ángulo y a la otra se 
denominará región exterior del ángulo. 
 
Definición 7. Dos ángulos que tienen un mismo 
vértice y una semirrecta común, y que la semirrecta 
no común del segundo no esté contenida en la 
región interior del primero, reciben el nombre de 
ángulos adyacentes. 
 
Definición 8. Dos ángulos adyacentes tales que sus 
semirrectas no comunes no son coincidentes y 
pertenecen a la misma recta se denominan ángulos 
suplementarios. 
 
En el siguiente axioma, en realidad conjunto de 
axiomas, se establecen las condiciones para las 
cuales dos ángulos, o bien dos segmentos, son 
congruentes entre sí. Este conjunto de axiomas 
también se emplea frecuentemente en el álgebra. 
Con base en ellos será posible posteriormente 
definir ángulo recto y rectas perpendiculares. 
 
Axiomas 2. Congruencia 
 1. Todo ángulo (segmento) es congruente a sí 
mismo, es decir, si las dos semirrectas 
(extremos) de dos ángulos (segmentos) 
dados coinciden respectivamente, entonces 
los dos ángulos (segmentos) son con-
gruentes (A: identidad). 
 2. Si un ángulo (segmento) es congruente a 
otro, entonces el segundo es congruente al 
primero (A: reciprocidad). 
 3. Si un ángulo (segmento) es congruente a 
otro, y éste a su vez es congruente a un 
tercero, entonces el primero es congruente 
al tercero (A: transitividad). 
 
Definición 9. Se llama ángulo recto a aquel ángulo 
que es congruente a su ángulo suplementario 
(símbolo: ) ) 
 
Definición 10. Dos rectas m y n son perpendicula-
res si se cortan entre sí formando ángulos adya-
centes congruentes, es decir, ángulos rectos. 
 
Definición 11. Dos ángulos tales que la suma de sus 
medidas es equivalente a un ángulo recto se les 
llama ángulos complementarios. 
 
Axioma 3. Todo segmento o ángulo se puede 
subdividir de una única manera en n segmentos 
(ángulos) adyacentes congruentes, para cualquier 
entero positivo n (A: subdivisión). 
 
Axioma 4. La medida del todo es equivalente a la 
suma de las medidas de sus partes (A: = partes). 
 
Axioma 5. Una medida (cantidad) puede ser sus-
tituida por otra equivalente, en cualquier expresión 
o ecuación (A: sustitución). 
 
Definición 12. Se denomina grado sexagesimal, o 
simplemente grado, a la medida de un ángulo 
correspondeinte a la nonagésima parte de un ángulo 
recto. Por tanto, el ángulo recto tiene una medida de 
90 grados sexagesimales, que se escribe como 90°. 
 
Definición 13. Se dice que dos segmentos son 
adyacentes si están situados sobre una misma recta, 
tienen un extremo común y ningún extremo de uno 
está entre los extremos del otro. 
 
Definición 14. Al punto que divide a un segmento 
en dos segmentos adyacentes congruentes se le 
denomina punto medio. 
 
Definición 15. A la semirrecta que divide a un 
ángulo en dos ángulos adyacentes congruentes se le 
llama bisectriz. 
 
Definición 16. Al conjunto de n puntos diferentes 
con n mayor o igual a tres, A1, A2, . . . , An, A1, no 
 
 
5
tres de ellos consecutivos colineales, y de los n 
segmentos A A1 2 , A A2 3 , . . . , A An n1 y A An 1 
determinados, tal que ninguno de dichos segmentos 
se interseca con otro se denomina polígono simple. 
A los puntos se les llama vértices del polígono, 
siendo cada uno de los segmentos mencionados un 
lado del polígono. 
 
Definición 17. Dos polígonos con el mismo número 
de lados se llaman semejantes si cumplen con los 
dos requisitos siguientes: 
 1. que exista una correspondencia uno a uno 
entre los lados de uno y otro polígono, de 
manera que los lados de ambos polígonos 
sean respectivamente proporcionales; dos 
lados que se corresponden de esta manera se 
denominan lados homólogos; 
 2. que los ángulos formados entre cada pareja 
de lados adyacentes de un polígono sean 
congruentes, respectivamente, a los ángulos 
formados por los lados homólogos del 
segundo; a los ángulos que se corresponden 
de esta manera se conocen como ángulos 
homólogos. 
 
Definición 18. Dos polígonos con el mismo número 
de lados son congruentes si todos sus lados 
homólogos son congruentes y todos sus ángulos 
homólogos son congruentes. 
 
Definición 19. Al polígono simple que tiene tres 
vértices y, por consiguiente, tres lados se denomina 
triángulo (símbolo: ). 
 
Definición 20. Dos triángulos que tienen sus tres 
lados homólogos congruentes y sus tres ángulos 
homólogos congruentes se llaman triángulos 
congruentes (símbolo:  s s ). 
 
Axioma 6. Si dos triángulos tienen dos lados 
homólogos congruentes y los ángulos homólogos 
determinados por dichos lados también congruentes, 
entonces los dos ángulos opuestos a dichos lados 
son respectivamente congruentes (A: Hilbert). 
 
Las siguientes tres proposiciones, conocidas como 
los criterios de congruencia de triángulos, son 
teoremas y se pueden demostrar. Dado que estas 
demostraciones son complicadas, en este texto se 
omiten. 
 
Teorema 1. Dos triángulos son congruentes si 
tienen respectivamente congruentes dos lados y el 
ángulo formado por dichos lados (T: LAL = Lado-
Ángulo-Lado). 
Es necesario que los ángulos congruentes sean 
aquéllos formados por el par de lados congruentes, 
pues si dos triángulos tienen dos lados congruentes 
y un ángulo, no formado por dichos lados, 
congruente, en general no serán congruentes. Ver 
Figura 1. 
 
 
 AB AB 
  BAC BAC' 
 BC BC ' 
 pero  ABC ABC~ ' 
 
Figura 1. Triángulos no congruentes LAL. 
 
Teorema 2. Dos triángulos son congruentes si 
tienen respectivamente dos de sus ángulos 
homólogos congruentes y uno de sus lados 
homólogos congruentes (T: ALA = Ángulo-Lado-
Ángulo). 
Si dos triángulos tienen dos ángulos congruentes y 
un lado congruente no siendo homólogos, en 
general tampoco serán congruentes. Ver Figura 2. 
 
  EDF E DF' 
 DF DF 
  FED DFE' 
 pero  DEF DE F~ ' 
 
 
Figura 2. Triángulos no congruentes ALA. 
 
Teorema 3. Dos triángulos son congruentes si los 
tres lados de un triángulo son respectivamente 
congruentes a los lados homólogos del segundo 
(T:LLL = Lado-Lado-Lado). 
 
Definición 21. Un ángulo de un triángulo y un lado 
del mismo se denominan opuestos (uno del otro) si 
el vértice del ángulo no pertenece al lado. En caso 
contrario se llaman adyacentes (uno del otro). 
 
Definición 22. Un triángulo se llama rectángulo si 
tiene un ángulo recto. El lado opuesto al ángulo 
 
 
6
recto se denomina hipotenusa. Los otros lados se 
llaman catetos. 
 
Definición 23. Al triángulo que tiene sus tres lados 
congruentes se le denomina triángulo equilátero. 
 
Definición 24. Se conoce como triángulo isósceles 
a aquél que tiene dos lados congruentes. 
 
A continuación se realizará la primera demostración 
de un teorema en este texto. La estructura de dicha 
demostración estará formada por dos columnas, una 
de ‘Razones’ en la que se anotarán las hipótesis, las 
definiciones, los axiomas y/o teoremas en los que 
se basan los ‘Resultados’, que se establecerán en la 
segunda columna. Para simplificar estas 
demostraciones se emplearán los identificadores de 
las proposiciones previamente tratadas y que se 
encuentran al final del enunciado de ellas, y además 
la simbología siguiente: 
 1. hipótesis H: 
 2. definición D: 
 3. axioma A: 
 4. teorema T: 
 
Teorema 4. En todo triángulo isósceles, los ángulos 
opuestos a los lados congruentes son congruentes 
(T: <s isósceles). Ver Figura 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3. Demostración T: <s isósceles. 
 
 
 
 
 
 
Demostración: 
 
 RAZONES RESULTADOS 
 
 H: y D:  isósceles AC BC 
 A: subdivisión  ACD DCB 
 A: identidad CD CD 
 T: LAL  ADC BDC 
 D:  s s  DAC CBD 
 qed 
 
 
Las siglas qed significan “que es lo que había que 
demostrar”, y provienen de la frase latina “quod 
est demostrandum”. 
 
La siguiente proposición es un teorema cuya 
demostración no es trivial, y por lo que algunos 
autores la consideran como axioma. 
 
Teorema 5. Por un punto cualquiera del plano 
puede trazarse una perpendicular (símbolo:  ) a 
una recta dada, y sólo una (T:  ). 
Para la demostración se requiere analizar dos posi-
bilidades diferentes: 
Caso 1. El punto está contenido en la recta, ver 
Figura 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4. Demostración T:  , caso 1. 
 
Demostración: 
 RAZONES RESULTADOS 
 
 H: Recta que pasa por 
 A y B; punto A 
 D: ángulo recto Trazo ángulos rectos
 <BAM y <M’AB 
 
 
7
 
 RAZONES RESULTADOS 
 
 D: Los <M’AB y <BAM 
 son suplementarios 
 D: <s suplemen- Las s AM y AM' 
 tarios forman una misma  
 qed 
 
 
Caso 2. El punto no está contenido en la recta, ver 
Figura 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5. Demostración T:  , caso 2. 
 
Demostración: 
 
 RAZONES RESULTADOS 
 
 H:  que pasa por A y 
 B;  C no contenido 
 en la  
 D: s s trazo AD AC tal 
 D:  s s que  DAB BAC 
 A:  trazo  que pasa 
 por C y D 
 A: identidad AE AE 
 T: LAL  AEC AED 
 D:  s s  CEA AED 
 D: CD AB 
 qed 
 
 
Definición 25. A cualquiera de los lados de un 
triángulo se le puede denominar base del triángulo, 
y con respecto a él, al segmento trazado desde el 
vértice del ángulo opuesto hasta su intersección con 
dicha base y perpendicular a ella se le conoce como 
altura del triángulo (ver Figura 6). 
 
 
 
 si AB es la base 
 del triángulo, 
 CD es su altura 
 
 
 
Figura 6. Base y altura de un triángulo. 
 
Definición 26. En el plano, dos rectas se llaman 
paralelas (símbolo: ||s) si coinciden, o bien, si no 
tienen ningún punto común. 
 
Axioma 7. Dados un punto y una recta en el plano, 
existe una recta paralela, y sólo una, a la recta 
dada que pasa por el punto (A: Euclides). 
 
Definición 27. Dos rectas que se intersecan deter-
minan cuatro ángulos, cada uno de ellos formado 
por dos semirrectas consecutivas. A cada pareja de 
ángulos así formados que no sean suplementarios se 
denomina ángulos opuestos por el vértice. 
 
Teorema 6. Los ángulos opuestos por el vértice son 
congruentes (T: <s opuestos por el vértice). 
La demostración de este teorema se basa en la 
definición de ángulos suplementarios, y dado que es 
sencilla, se deja como ejercicio al lector. 
 
Teorema 7. Si una recta r es perpendicular a otra 
recta s, y dicha recta s es perpendicular a una tercera 
recta t, entonces la recta r es paralela a la recta t 
(T:   a dos ||s). Ver Figura 7. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 7. Demostración T:   a dos ||s. 
 
 
 
8
La demostración de este teorema se hará por 
contradicción, para la cual se establece como 
hipótesis la tesis (resultado) contraria a la que se 
desea llegar, y a partir de ella se demuestra que no 
es posible alcanzar la hipótesis original, por lo que 
implica que con ésta hipótesis sólo se puede 
verificar la tesis propuesta. 
Demostración por contradicción: 
 
 RAZONES RESULTADOS 
 
 H: si las  s r y Las  s r y t se in- 
 t no son ||s, y tersecan y por tanto 
 por D: rectas ||s tienen un  común 
 T:  no es posible que r y t 
 sean  s a la  s 
 Por contradicción: si r y t son  s a s 
 implica que r y t 
 deben ser ||s 
 qed 
 
 
Teorema 8. Si una recta es perpendicular a una de 
dos paralelas, entonces es perpendicular a la otra 
(T:  a dos ||s). 
La demostración de este teorema es un resultado 
inmediato del teorema anterior, ver figura 8. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8. Demostración T:  a dos ||s. 
Demostración: 
 
 RAZONES RESULTADOS 
 
 H: a y b son  s 
 a y c son ||s 
 T:  Por P puede trazarse 
 una sola  c’ a b 
 
 RAZONES RESULTADOS 
 
 Suposición: c  c’ 
 T:   a dos ||s c’ debe ser || a a 
 A: Euclides Sólo existe una || a a 
 que pasa por P 
 Por contradicción: c no puede ser  a c’ 
 y por tanto b  a c 
 qed 
 
 
Definición 28. Al polígono simple que tiene cuatro 
vértices y, por consiguiente, cuatro lados se le llama 
cuadrilátero. 
 
Definición 29. Se llaman ángulos opuestos de un 
cuadrilátero a las dos parejas de ángulos cuyos vér-
tices no son consecutivos. 
 
Definición 30. Se conoce como lados opuestos de 
un cuadrilátero a las dos parejas de lados que no tie-
nen ningún extremo común. A los lados que tienen 
un extremo común se les llaman lados adyacentes. 
 
Definición 31. Al cuadrilátero que tiene una de sus 
parejas de lados opuestos paralelos entre sí se deno-
mina trapecio. 
 
Definición 32. Se llama paralelogramo al cuadri-
látero que tiene sus dos parejas de lados opuestos 
paralelos entre sí. A uno de sus lados se le llama 
base del paralelogramo, y con respecto a él, al seg-
mento trazado desde alguno de los vértices no coin-
cidentes con dicho lado y perpendicular a éste se le 
conoce como altura del paralelogramo. 
 
Definición 33. Se conoce como rectángulo al 
cuadrilátero que tiene todos sus ángulos 
congruentes. A uno de sus lados se le llama base 
del rectángulo, y con respecto a él, a cualquiera de 
sus lados adyacentes se le denomina altura del 
rectángulo. 
 
Definición 34. Al cuadrilátero que tiene todos sus 
lados congruentes así como todos sus ángulos 
congruentes se le llama cuadrado. 
 
Nota: aquí conviene indicar que los cuadrados son 
un subconjunto de los rectángulos, que a su vez son 
un subconjunto de los paralelogramos, que a su vez 
 
 
9
son un subconjunto de los trapecios, los cuales 
finalmente son un subconjunto de los cuadriláteros. 
 
Definición 35. Si dos rectas paralelas AB y CD son 
cortadas por una transversal PQ en los puntos X y Y 
respectivamente, entonces cada uno de los ángulos 
que las semirrectas XY y YX forman 
respectivamente con las semirrectas XA, XB, y YC, 
YD en la región interior entre las paralelas, se 
llaman ángulos internos entre paralelas. Un par 
de ángulos determinados en regiones distintas del 
plano con respecto a la transversal PQ se llaman 
ángulos alternos internos entre paralelas. En la 
figura 1, <XYA y <YXD , o bien, <BYX y <CXY 
cumplen con la última definición mencionada. 
 
Teorema 9. Si dos rectas paralelas son cortadas por 
una transversal, entonces forman ángulos alternosinternos congruentes (T: alternos internos entre 
||s) (demostración). 
 
Teorema 10. En todo triángulo, la suma de las 
medidas de los ángulos interiores es constante e 
igual a la medida de un ángulo llano, es decir, a 
180° (T:  <s interiores ) (demostración). 
 
Definición descriptiva. Se denomina longitud de 
un segmento, o del lado de un polígono, a la medida 
que tiene dicho elemento geométrico. 
 
Definición 36. Se denomina figura plana simple al 
conjunto formado por una línea finita con extremos 
coincidentes, tal que dicha línea no se interseque 
consigo misma, y todos los puntos del plano en la 
región interior de ella, o bien, al conjunto de dos 
líneas curvas finitas, una línea curva finita y un 
segmento, tales que los extremos de la primera sean 
coincidentes con los extremos del otro elemento 
geométrico y no tengan otras intersecciones entre sí, 
así como todos los puntos del plano dentro de la 
región interior formada, y también al conjunto de 
varias líneas, rectas o curvas, tales que cada pareja 
de líneas adyacentes tengan sólo un punto común y 
que no se intersequen entre sí ninguna pareja de 
líneas no adyacentes, junto con todos los puntos del 
plano en la región interior así determinada. 
 
 
 
Definición descriptiva. El área es la medida que 
tiene una porción limitada de superficie, o bien, en 
el caso de la geometría plana, de figuras planas 
simples. 
 
Axioma 8. (Axiomas de área) 
 
 1. El área de un cuadrado es igual a la longitud 
de su lado elevado al cuadrado. 
 
 2. Si un polígono simple se descompone en n 
polígonos simples, entonces el área del 
primero es equivalente a al suma de las 
áreas de los n polígonos citados. 
 
 3. Si dos polígonos son congruentes, entonces 
sus áreas son equivalentes. 
 
Teorema 11. El área de un rectángulo es equi-
valente al producto de las longitudes de su base y su 
altura (demostración). 
 
Teorema 12. El área de un triángulo rectángulo es 
equivalente a la mitad del producto de la longitud de 
sus catetos (demostración). 
 
Teorema 13. El área de un paralelogramo es equi-
valente al producto de la longitud de su base y su 
altura (demostración). 
 
Teorema 14. El área de un triángulo es equivalente 
a la mitad del producto de la longitud de su base y 
su altura (demostración). 
 
Definición 37. Si dos rectas paralelas AB y CD son 
cortadas por una transversal PQ en los puntos X y 
Y respectivamente, entonces cada uno de los 
ángulos que las semirrectas XY y YX forman 
respectivamente con las semirrectas XA, XB, y YC, 
YD en la región interior entre las paralelas, se 
llaman ángulos internos entre paralelas. Un par 
de ángulos determinados en regiones distintas del 
plano con respecto a la transversal PQ se llaman 
ángulos alternos internos entre paralelas. En la 
Figura 9, <AXY y <DYX, o bien, <YXB y <XYC 
cumplen con la última definición mencionada. 
 
 
Figura 9. Ángulos alternos internos 
entre paralelas. 
 
 
 
10
 
Teorema 15.  <s alternos internos entre s. Si 
dos rectas paralelas son cortadas por una 
transversal, entonces forman ángulos alternos 
internos congruentes (Figura 10). 
 
 
 
Figura 10. Demostración T:  <s alternos internos 
entre s. 
 
Demostración: 
 
 RAZONES RESULTADOS 
 
 A3: subdivisión M, punto medio 
 segmento AB 
  MBAM  
 T:  PMAP  
 T:  a dos ||s QBMQ  
 T:  <s ops vértice  
 T: ALA <APM  <BQM 
 <PMA  <QMB 
 MBAM  
  APM  BQM 
 D:  s s BQAP  
 QMPM  
  
 qed 
 
 
Teorema 16.  <s ints . En todo triángulo, la suma 
de las medidas de los ángulos interiores es constante 
e igual a la medida de un ángulo llano, es decir, a 
180°. La demostración se deja como ejercicio al el 
lector. 
 
Definición descriptiva. Se denomina proyección de 
un segmento sobre otro al segmento determinado 
por la intersección del segundo segmento, con 
perpendiculares a él trazadas desde los extremos del 
primero. 
 
Teorema 17. (del cateto) En todo triángulo rec-
tángulo, el cuadrado de la medida de un cateto es 
equivalente al producto de la proyección de dicho 
cateto sobre la hipotenusa, y la hipotenusa 
(demostración). 
 
Teorema 18. (Pitágoras) En todo triángulo rectán-
gulo, el cuadrado de la hipotenusa es equivalente a 
la suma de los cuadrados de los catetos 
(demostración). 
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