C4-Guias-de-onda

Vista previa del material en texto

C4-Guias de onda 1 
Aplicaciones de Optoelectrónica en Medicina Semestre 2010-II 
4. GUÍAS DE ONDA 
 
Debido a efectos difractivos, los haces de luz van incrementando su sección transversal a 
medida que viajan en el espacio libre. Estos efectos pueden corregirse mediante lentes, y de 
hecho, los primeros sistemas de comunicaciones a través del espacio libre se basaron en el 
uso de estos dispositivos para lograr transmitir el haz a distancias muy grandes. La 
alternativa a esto es el empleo de conductos dieléctricos que confinan la luz y permiten que 
viaje por grandes distancias con pérdidas mínimas. La óptica de ondas guiadas se encarga de 
describir los fenómenos relacionados con estos conductos dieléctricos conocidos como guías 
de onda. Las aplicaciones de este tipo de elementos van desde el desarrollo de sistemas que 
permitan llevar la luz a lugares de difícil acceso, hasta el desarrollo de dispositivos ópticos 
miniaturizados y opto electrónicos que requieran confinar un haz de luz para realizar su 
función. 
 
Las guías de onda se basan en el confinamiento de la luz, efecto que se logra mediante el 
uso de dos medios con índice de refracción diferente. El medio con índice de refracción 
menor (núcleo) se embebe en el medio con índice de refracción mayor (revestimiento o 
cubierta); la luz queda confinada en el medio el núcleo debido a reflexión total interna. La 
geometría de las guías de onda puede ser plana (slab, strip) o cilindrica, siendo esta última la 
más utilizada (fibras ópticas). 
 
4.1 Guías de onda planas 
Las guías de onda plana con geometría rectangular son las más utilizadas en dispositivos de 
óptica integrada. Para el análisis de la propagación de una onda en este tipo de dispositivos, 
es conveniente iniciar considerando una guía de onda formada con dos espejos planos. 
 
4.1.1 guías de onda planas con espejos. 
Para el análisis de propagación en estas 
guías se hacen las siguientes 
consideraciones: 
 
• Espejos ideales (reflejan la luz sin 
perdidas) 
• Un haz de luz incide a un ángulo θ 
en el espejo y la luz rebota 
múltiples veces en los espejos sin perdidas de energía (la luz es guiada entonces en la 
dirección z). 
 
Modos en la guía de onda. 
Muchos efectos importantes en esta guía de onda no son explicados por la óptica de rayos. 
Para considerar estos efectos podemos asociar a cada rayo una onda electromagnética 
d z 
y 
θ 
x 
C4-Guias de onda 2 
Aplicaciones de Optoelectrónica en Medicina Semestre 2010-II 
plana transversal (TEM). El campo electromagnético total será entonces la suma de 
todas estas ondas. 
 
Parámetros de la onda plana TEM: 
• Longitud de onda 
n
0λλ = 
• Numero de onda 0nkk = 
• Velocidad de fase 
n
c
c 0= 
Se considera además que la onda está polarizada en la dirección x y que su vector de onda 
esta en el plano yz haciendo un ángulo θ con el eje z. Al igual que el rayo, la onda se refleja 
en el espejo superior viajando a un ángulo - θ, luego es reflejada por el espejo inferior para 
repetir el viaje inicial. La polarizacion de la onda no cambia en cada reflexión, además, 
cada vez que se refleja, la onda sufre un cambio de fase de ππππ. Esto asegura la condición de 
frontera de que la suma de cada onda y su propia reflexión sea cero para que el campo total 
en el espejo sea nulo. 
 
Para obtener los modos de propagación en la guía de onda se utiliza la condición de auto 
consistencia. Esta establece que después de reflejarse dos veces, la onda debe 
reproducirse a si misma. Así, los modos pueden definirse como campos que mantienen la 
misma distribución transversal y polarizacion a lo largo de todo el eje de la guía de 
onda. Utilizando la óptica geométrica puede demostrarse que la relación de fase para la 
condición de auto consistencia está dada por: 
 
( ) ( ) Κ,2,1,212sin22 ==+= mmqd ππθ
λ
π
 
 
Los ángulos de rebote que satisfacen esta condición son entonces: 
 
Κ,2,1,
2
sin == m
d
mm
λθ 
 
El campo asociado a cada uno de estos ángulos se conoce como el modo de orden m. De 
aquí podemos ver que el modo con m=1 tiene el menor ángulo de rebote, mientras que para 
valores de m mas grandes los ángulos son mas oblicuos. 
 
La componente en y del vector de propagación esta limitada (cuantizada) a los valores 
dados por: 
 
Κ,2,1,sin2sin0 ==== md
mnkk mmym
πθ
λ
πθ 
 
Una onda guiada tendrá vectores de propagación con componentes (0, ky, kz) y (0, - ky, kz) y 
la variación en la dirección z tendra entonces la forma exp(- j kz z). Las constantes de 
propagación son entonces: 
 
C4-Guias de onda 3 
Aplicaciones de Optoelectrónica en Medicina Semestre 2010-II 
( )mmmmmz kkkkk θθβθβθβ 22222 sin1coscoscos −==⇒=⇒== 
 
Utilizando la condición de auto consistencia obtenemos entonces los valores de las 
constantes de propagación de los modos: 
 
2
22
22
d
m
km
πβ −= 
 
De aquí notamos que los modos de alto orden viajan con constantes de propagación menores. 
 
Distribuciones de campo. 
La amplitud compleja del campo total en la guía de onda es la superposición de dos ondas 
planas TEM que rebotan en los espejos. Utilizando la condición de auto consistencia, 
podemos escribir la amplitud compleja del campo como: 
 
)exp()(),( zjyuazyE mmmx β−= , 
 
La distribución de campo para cada modo se ve en la figura. Podemos ver que los modos de 
alto orden tienen mayores oscilaciones en la dirección y. Además, para todos los modos, el 
campo es cero en los espejos y por lo tanto se satisfacen las condiciones de frontera. 
 
 
 
Numero de modos en la guía de onda. 
Utilizando los ángulos de rebote que satisfacen la condición de auto consistencia podemos 
determinar el número de modos permitido en la guía de onda: 
 
2d
M
λ•
= (entero menor más cercano) 
 
Este es el numero máximo de modos en que la onda puede viajar en la guía. Nótese que 
esto depende de la fuente de excitación. A partir de aquí podemos establecer las siguientes 
condiciones de operación: 
 
• 012 =⇒≤ Md
λ
, la guía no soporta ningún modo. 
 
• 1221 =⇒≤< Md
λ
, la guía soporta un solo modo (monomodal). 
 
C4-Guias de onda 4 
Aplicaciones de Optoelectrónica en Medicina Semestre 2010-II 
• 
d
c
d
2
2 minmax =⇒= υλ , longitud de onda (frecuencia) de corte de la guía de onda. 
 
Podemos ver que el número de modos aumenta con la frecuencia, o equivalentemente, 
aumenta al reducirse la longitud de onda de la fuente de excitación. 
 
Velocidad de grupo. 
Un pulso de luz con frecuencia angular centrada en ω y constante de propagación β viaja a 
una velocidad de grupo dada por: 
 
d
v
d
ω
β
= 
 
Evidentemente, en estas guías de onda cada modo tendrá una velocidad de grupo distinta. 
Considerando la constante de propagación y evaluando la derivada obtenemos: 
 
cosm mv c θ= 
 
Nótese que los modos de alto orden viajan a una velocidad menor dado que se retrasan 
porque la trayectoria de zig-zag que siguen es más larga. 
 
Campos multimodales. 
Debe notarse que cualquier distribución de campo que satisfaga las condiciones de borde 
será confinado en la guía de onda. La potencia óptica está distribuida entre todos los 
modos de propagación. Además, durante la propagación, hay redistribución de energía 
entre modos debido a que cada uno de estos viaja con distintas constantes de propagación 
y a distintas velocidades de grupo. La potencia óptica a la salida de la guía será entonces 
una combinación lineal de los modos soportados entre los cuales se distribuye la energía; 
evidentemente, la potencia total será la suma de cada uno de estos modos. 
 
 
 
 
C4-Guias de onda 5 
Aplicaciones de Optoelectrónica en Medicina Semestre 2010-II 
4.1.2 Guías de onda planas dieléctricas. 
Una manera práctica para implementar una guía de onda plana es utilizando materiales 
dieléctricos. La guía se forma utilizando materiales con índices de refracción diferentes, y la 
luz se queda confinada por reflexión total interna. El principio de funcionamiento de estos 
dispositivos puede explicarse 
analizandouna guía de onda con las 
siguientes características: 
 
• Guía de onda simétrica 
• Materiales sin pérdidas 
• Núcleo rectangular de ancho d 
con índice de refracción n1 
rodeado por un revestimiento 
con índice de refracción 
menor n2. 
 
 Con referencia a la figura, podemos considerar que los rayos que hacen ángulos θ con el 
eje z en el plano yz sufren reflexiones internas múltiples en la interfaz núcleo-revestimiento. 
Esto se cumple siempre y cuando se satisfaga la condición: 
 
1 12 2
1 1
sin cos
2c
n n
n n
πθ θ − −
   
< = − =   
   
 
 
Los rayos que cumplen con esta condición se propagan sin pérdidas en la dirección z. Los 
rayos que inciden en la interfaz con ángulos mayores se refractan y eventualmente se pierden. 
 
Análisis formal: solución del problema de valores en la frontera (ecuaciones de Maxwell). 
Alternativamente: asociar a cada rayo una onda TEM e imponer la condición de auto 
consistencia para obtener los ángulos de rebote, las constantes de propagación y las 
distribuciones de campo. 
 
Modos en la guía de onda. 
Los parámetros de la onda en la región del núcleo son: 
 
( )0 01 1 0 1 0
1 1
, , 0, sin , cos
c
c n k n k
n n
λλ θ θ= = =k 
 
De igual manera que para las guías de onda con espejos, la condición de auto consistencia 
se obtiene considerando de nuevo la diferencia de fases entre las ondas que debe ser cero o 
múltiplos de 2π. A diferencia de las guías con espejos, el cambio de fase introducido por 
cada reflexión interna (φr) depende ahora de la polarización de la onda y del ángulo de 
incidencia. Puede demostrarse que para ondas TEM, la condición de auto consistencia está 
dada por: 
 
1
22
2
sin
tan sin 1
2 sin
cd m
θπ πθ
λ θ
  − = −  
   
 CONDICIÓN DE AUTOCONSISTENCIA 
C4-Guias de onda 6 
Aplicaciones de Optoelectrónica en Medicina Semestre 2010-II 
 
Esta es una ecuación trascendental en una variable (sinθθθθ), cuya solución proporciona los 
ángulos de rebote θθθθm de los modos de propagación. La solución gráfica de esta ecuación 
muestra en las intersecciones estos ángulos (ver la siguiente figura). Para comparar, los 
ángulos de rebote para guías de onda con espejos (φr=π) se muestran como círculos abiertos. 
Podemos ver también que los ángulos de rebote se encuentran entre 0 y el complemento 
del ángulo crítico, como se esperaba. 
 
 
 
 
Constantes de propagación para cada modo: 
 
1 0 cosm mn kβ θ= 
 
Los rangos para los ángulos de rebote dan el rango de valores para las constantes de 
propagación: 
 
2
2 0 1 0
1
cos cos 1c m m
n
n k n k
n
θ θ β= ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ 
 
Número de modos. 
El número de modos que soporta la guía de onda puede inferirse de la solución gráfica de la 
ecuación trascendental de auto consistencia. Podemos ver que el valor máximo del ángulo 
es el complemento del ángulo crítico, i.e.: 
 
sin sin cθ θ≤ 
 
Nótese que el espaciamiento entre las curvas que son solución es λ/2d. El número de modos 
(TE) es entonces: 
 
C4-Guias de onda 7 
Aplicaciones de Optoelectrónica en Medicina Semestre 2010-II 
sin
2
c
M
d
θ
λ=& (entero mayor próximo) 
 
Puede demostrarse además que: 
 
0
2
d
M NA
λ
=
g
 (aumentar al entero mayor más cercano) 
 
donde ( ) 122 21 2NA n n= − , es la apertura numérica de la guía de onda. 
 
Distribuciones de campo. 
Para las guías de onda dieléctricas, existe una distribución de campo en la región del núcleo y 
otra distribución para la región del revestimiento. Esto es debido a que las condiciones de 
frontera son diferentes al caso de guías de onda de espejo; esencialmente se requiere que: 
• El campo sea finito dentro en el núcleo 
• El campo se atenúe en el revestimiento (campo evanescente) 
 
El campo en el núcleo es entonces: 
 
)exp()(),( zjyuazyE mmmx β−= , con 1 0 cosm mn kβ θ= 
 
La amplitud compleja es: 
 
2 sin
cos , 0,2,4,
( )
2 2
2 sin
sin , 1,3,5,
m
m
m
y m
d d
u y y
y m
π θ
λ
π θ
λ
   = 
 ∝ − ≤ ≤

  = 
  
K
K
 
 
Puede verse que el campo es armónico, pero no se anula en la frontera (i.e., en la interfaz 
núcleo-revestimiento). Nótese también que los modos de orden superior oscilan a mayor 
frecuencia. 
 
En la región del revestimiento el campo debe igualarse con el del núcleo en la interfaz, y 
debe atenuarse en el infinito (i.e., dentro de la región del revestimiento). Para encontrar la 
distribución de campo que cumple con estas condiciones se utiliza la ecuación de Helmholtz. 
Puede demostrarse que la solución es: 
 
exp( ) ,
2( )
exp( ) ,
2
m
m
m
d
y y
u y
d
y y
γ
γ
 − >∝ 
 < −

 
 
El coeficiente de extinción γm puede expresarse como: 
C4-Guias de onda 8 
Aplicaciones de Optoelectrónica en Medicina Semestre 2010-II 
 
1
2 2
2 0 2
cos
1
cos
m
m
c
n k
θγ
θ
 
= − 
 
 
 
Nótese que para los modos de alto orden (m mayor) el coeficiente de extinción disminuye, 
por lo tanto, estos modos penetran más al revestimiento de la guía de onda. Finalmente, las 
constantes de proporcionalidad para las distribuciones de campo se obtienen igualando los 
campos en y=d/2. Con esto obtenemos una expresión válida para toda y. Algunas de estas 
funciones se muestran en la siguiente figura. 
 
 
 
Nótese que las funciones son ortogonales y un campo arbitrario TE puede entonces 
representarse con la superposición de los modos, i.e.: 
 
( , ) ( )exp( )x m m m
m
E y z a u y j zβ= −∑ , 
 
donde am es la amplitud del modo m. 
 
Velocidad de grupo. 
La velocidad de grupo en este tipo de guías de onda se complica por lo elaborado de la 
condición de autoconsistencia. Al igual que en el caso anterior, cada modo tiene una 
velocidad de grupo que depende del ángulo de rebote. En este tipo de guías el rayo penetra a 
la zona del revestimiento y vuelve a ingresar al núcleo (efecto Goos-Hanchen). Esto indica 
que los rayos viajan una distancia adicional ∆z, que requiere además de un tiempo ∆τ. Puede 
demostrarse que: 
 
1
cos
cz ω
τ β θ
∆ = =
∆
 
 
lo cual implica que los modos más oblicuos recorren esta distancia a una velocidad mayor. 
 
4.1.3 Acoplamiento entre guías de onda. 
Un dispositivo que es de gran utilidad en muchas aplicaciones son los acopladores de guías de 
onda. Con estos pueden construirse divisores de haz, moduladores y otros dispositivos, tanto 
en óptica integrada como en fibra óptica. El principio de operación es el acoplamiento 
entre guías de onda. 
C4-Guias de onda 9 
Aplicaciones de Optoelectrónica en Medicina Semestre 2010-II 
 
• Idea básica: aproximar dos 
guías de onda lo suficiente 
como para que exista 
transferencia de potencia 
óptica entre ambas. 
• Análisis: formalmente hay 
que resolver las ecuaciones de 
Maxwell con las condiciones 
de borde adecuadas. Esto se 
simplifica si utilizamos la 
teoría de modos acoplados 
(acoplamiento débil). 
 
Ecuaciones de modos acoplados: 
 
1
21 2
2
12 1
exp( ) ( )
exp( ) ( )
da
jC j z a z
dz
da
jC j z a z
dz
β
β
= − ∆
= − − ∆
, 
 
donde: a1, a2 son las amplitudes de los modos de cada una de las guías de onda, ∆β=β1−β2 
es la diferencia de fase por unidad de longitud y Cij son los coeficientes de acoplamiento 
definidos como: 
 
2
2 2 0
21 2 1 2
1
2
2 2 0
12 1 2 1
2
1
( ) ( ) ( )
2
1
( ) ( ) ( )
2
a d
a
a
a d
k
C n n u y u y dy
k
C n n u y u y dy
β
β
+
−
− −
= −
= −
∫
∫
 
 
Nótese que la razón de variación de a1 es proporcional a a2 (y viceversa). El coeficiente 
de proporcionalidad es el coeficiente de acoplamiento y el factor de diferencia de fase. 
 
Una forma de obtener una solución simple si consideramos que las amplitudes de entrada 
son: a1(0)=a1(0), a2(0)=0. La solución de las ecuaciones es armónica: 
 
1 1
12
2 1
( ) (0)exp cos sin
2 2
( ) (0) exp sin
2
j z
a z a z j z
C j z
a z a z
j
β βγ γ
γ
β γ
γ
 ∆ ∆ = −  
  
∆ = − 
 
 
 
C4-Guias de onda 10 
Aplicaciones de Optoelectrónica en Medicina Semestre 2010-II 
donde: ( ) 12
2
2 2
12 21,2
C C C C
βγ ∆ = + = 
 
.Las potencias ópticas en cada guía de onda se obtienen sabiendo que: 
 
2 2
1 1 2 2( ) ( ) , ( ) ( )P z a z P z a z∝ ∝ 
 
Explícitamente: 
 
2
2 2
1 1
2
12 2
2 1 2
( ) (0) cos sin
2
( ) (0) sin
P z P z z
C
P z P z
βγ γ
γ
γ
γ
  ∆=  +     
=
 
 
De esta forma, podemos ver que la potencia se intercambia de manera periódica entre las 
guías de onda. El período es 2π/γ, además, por conservación de energía se requiere que 
C21=C12=C. 
 
 
Un caso particular que se usa mucho para propósitos prácticos es cuando las guías de onda 
son idénticas, i.e., n1=n2, ββββ1=ββββ2 y ∆β∆β∆β∆β=0. En este caso, las dos ondas guiadas están 
igualadas en fase y las soluciones se simplifican a: 
 
2
1 1
2
2 1
( ) (0)cos
( ) (0)sin
P z P Cz
P z P Cz
=
=
 
 
Nótese que en esta caso la transferencia de potencia puede ser total, i.e., toda la potencia 
óptica guiada en uno de los núcleos puede transferirse a la otra guía de onda. El resultado de 
esto es que podemos hacer un dispositivo para acoplar una cantidad de potencia 
cualquiera de una guía de onda a otra, por ejemplo, para: 
 
C4-Guias de onda 11 
Aplicaciones de Optoelectrónica en Medicina Semestre 2010-II 
0 2
z L
C
π= = → DISTANCIA DE TRANSFERENCIA (Transferencia completa de una guía a otra) 
 
Similarmente, a una distancia z=L0/2 la transferencia es del 50% (acoplador de 3 dB). 
 
4.1.4 Aplicaciones: interferometría. 
El acoplamiento entre guías de onda tiene muchas aplicaciones en dispositivos de óptica 
integrada. Generalmente, las funciones que realizan estos dispositivos están basadas en 
principios interferométricos. Como veremos más adelante, estos dispositivos pueden 
fabricarse utilizando materiales electro-ópticos para realizar funciones de modulación en 
diversas aplicaciones. 
 
 
4.2 Fibras ópticas 
De acuerdo a los conceptos cubiertos en las secciones anteriores, podemos definir a las fibras 
ópticas como guías de onda con geometría cilíndrica. Al igual que en los casos anteriores, 
podemos utilizar un análisis de óptica de rayos que permite obtener las condiciones bajo las 
cuales se propaga un haz de luz dentro de una fibra óptica. Como en las guías de onda 
dieléctricas, la condición de propagación se establece mediante la reflexión total interna. 
 
Materiales, conceptos básicos y clasificación. 
Una fibra óptica está compuesta por dos cilindros concéntricos de materiales diferentes; la 
condición fundamental para que la fibra confine la luz es que el índice del material del 
cilindro interior (llamado núcleo) tenga un índice de refracción mayor al del cilindro 
exterior (llamado revestimiento). 
 
Materiales: SiO2 (más utilizadas), plástico (iluminación, aparatos electrónicos). 
 
Pueden clasificarse de acuerdo a: 
 
a) Modo de operación. 
i) Monomodales: permiten un solo modo de propagación gracias al tamaño pequeño del 
núcleo (diámetro de núcleo de hasta 8 micras). 
ii) Multimodales: la luz puede propagarse en distintos modos (diferentes trayectorias) 
debido al tamaño del núcleo (diámetros estándar de 50 y 62.6 micras para fibras de 
silicio). 
b) Perfil del índice de refracción del núcleo. 
i) Índice escalonado: el valor del índice de refracción es uniforme en la sección 
transversal del núcleo (monomodales, multimodales). 
ii) Índice gradual: el índice varía radialmente dentro del núcleo de la fibra (casos 
especiales de monomodales, multimodales). 
 
Al igual que en guías de onda planas dieléctricas, podemos llegar a establecer la apertura 
numérica de la fibra óptica: 
 
2 2
1 2NA n n= − APERTURA NUMÉRICA 
 
C4-Guias de onda 12 
Aplicaciones de Optoelectrónica en Medicina Semestre 2010-II 
Este parámetro determina el cono de aceptación de luz de la fibra, y equivalentemente, el 
cono de divergencia que sufre el haz de luz cuando este sale de la fibra. Explícitamente, a 
partir de aplicar la ley de Snell podemos estableces que: 
 
2 2
1 2sin a NA n nθ = = − 
 
Fibras con índice escalonado. 
La diferencia en índice de refracción entre los materiales del núcleo y el revestimiento es 
pequeña. Generalmente, el cambio fraccional de índice dado por: 
 
1 2
1
n n
n
−∆ = 
 
es pequeño (mucho menor a uno). 
 
 
Los rayos guiados en este tipo de fibra tienen que satisfacer las condiciones para que se 
presente la reflexión total interna. Específicamente, los rayos se propagan si inciden en la 
interfaz núcleo-revestimiento a un ángulo mayor al ángulo crítico. Utilizando la 
descripción de la óptica de rayos, pueden identificarse dos tipos de rayos que pueden ser 
guiados por la fibra: rayos meridionales y rayos angulados (siguen trayectorias 
helicoidales). 
 
La descripción de la óptica geométrica funciona adecuadamente para fibras multimodales 
pero no describe correctamente la propagación en fibras monomodales. El análisis más 
formal se lleva a cabo mediante la óptica de ondas, en donde, al igual que en guías de onda 
dieléctricas, pueden encontrarse las soluciones que representarán los modos de propagación 
en la fibra óptica. 
 
Análisis para ondas guiadas: resolver la ecuación de Helmholtz en coordenadas 
cilíndricas. La solución por separación de variables proporciona una solución en términos 
de modos de propagación. 
 
12 2 2
0
2
,
0,
,
n n r a
U n k U
n n r a
= <
∇ + =  = >
 
 
Se asume que el revestimiento se extiende hasta el infinito dado que es mucho más grande 
que el núcleo. La solución por separación de variables proporciona una solución de la forma: 
 
( , , ) ( )exp( )exp( ) , 0, 1, 2,U r z u r jl j z lφ φ β= − − = ± ± K 
 
C4-Guias de onda 13 
Aplicaciones de Optoelectrónica en Medicina Semestre 2010-II 
Para la dirección r se obtiene la ecuación de Bessel, cuya solución está dada por las funciones 
de Bessel: 
 
( ) , Funcion de Bessel, 1er tipo, orden l.
( )
( ) , Funcion de Bessel modificada, 2o tipo, orden l.
l T
l T
J k r r a
u r
K k r r a
< →
∝  > →
 
 
Al igual que con guías de onda planas dieléctricas, ambas soluciones deben igualarse en r=a 
para obtener las constantes de proporcionalidad. Similarmente, podemos reconocer la 
existencia de una onda evanescente asociada a cada modo, y que varía de acuerdo a la 
función de Bessel correspondiente. Las componentes de campo se encuentran utilizando 
las ecuaciones de Maxwell. 
 
 
 
El análisis permite encontrar los modos HE (campos eléctricos y magnéticos), aunque para 
propósitos prácticos se definen los modos LPlm, que son combinaciones lineales de los 
modos HE. Los modos LP representan modos linealmente polarizados que describen la 
distribución de intensidad óptica en el núcleo de la fibra. 
 
 
Número V (frecuencia normalizada). 
Un parámetro práctico importante es la frecuencia normalizada, conocida también como 
número V. Esta está definida de cómo: 
 
0
2 a
V NA
π
λ
= , 
 
donde a es el radio del núcleo. El uso principal de la frecuencia normalizada es para 
determinar el número de modos que pueden propagarse en la fibra. Puede demostrarse, por 
ejemplo, que para que la fibra soporte un solo modo debe cumplirse que V<2.405 (ver la 
siguiente figura). 
 
C4-Guias de onda 14 
Aplicaciones de Optoelectrónica en Medicina Semestre 2010-II 
 
 
 
Si V es muy grande: 2
2
4
M V
π
≈ NÚMERO DE MODOS (V >>1). 
 
Constantes de propagación. 
De acuerdo a la solución del problema formal, puede verse que cada modo tendrá una 
constante de propagación diferente. Al igual que en guías de onda planas, los modos de alto 
orden tendrán una velocidad menor, generando efectos dispersivos. 
 
Fibras con índice gradual. 
La motivación de utilizar un índice gradual es aumentar la velocidad de los modos de orden 
superior y disminuir los efectos dispersivos. En estas fibras se utilizan índices de refracción 
en el núcleo cuya variación está dada generalmente por la ecuación: 
 
 
 
2 2 1 2
1
1
( ) 1 2 , ,
p
n nr
n r n r a
a n
  − = − ∆ < ∆ ≈  
   
 
 
En esta expresión, p es conocido como el parámetro del gradodel perfil. Para p=1 se 
obtiene un perfil lineal , mientras que para p=2 se obtiene un perfil cuadrático. Cuando p 
tiende a infinito se obtiene un perfil escalonado. 
 
Modos de propagación. 
C4-Guias de onda 15 
Aplicaciones de Optoelectrónica en Medicina Semestre 2010-II 
Al igual que con las fibras de índice escalonado, existen rayos meridionales y rayos 
angulados. En este caso, ambos tipos de rayos quedan confinados dentro de un cilindro 
imaginario contenido en el núcleo de la fibra. 
 
 
Análisis de modos de propagación: formalmente hay que resolver la ecuación de Helmholtz, 
con la gran diferencia de que en la región del núcleo n=n(r). Esto dificulta el análisis y por 
lo general se utilizan otros métodos aproximados (e.g., WKB). Con estos métodos pueden 
obtenerse aproximaciones prácticas para realizar estimaciones sobre: 
 
Número de modos: 
22
2V
p
p
M
+
≈ 
 
Puede demostrarse que para obtener una reducción máxima en diferencia de velocidades entre 
modos, el valor del parámetro p es 2 (p=2). 
 
Atenuación y dispersión en fibras ópticas. 
La dispersión limita las velocidades de transmisión que pueden utilizarse en las fibras ópticas. 
Esta puede presentarse por las características de la guía de onda (geometría, diferentes 
velocidades para cada modo) o bien por el material. 
 
La atenuación limita la magnitud de potencia óptica que puede transmitirse y determina las 
distancias máximas de transmisión en un solo tramo de fibra. Esta está caracterizada por el 
coeficiente de atenuación, expresado como: 
 
dB/kmen ,) 23.0exp(10
)0(
)( 10 αα
α
z
P
zP z −≈=
−
 
 
El coeficiente de atenuación en las fibras ópticas depende de la longitud de onda. Las 
principales contribuciones son por absorción, dispersión (esparcimiento) de Rayleigh, así 
como también por efectos extrínsecos que se dan durante los procesos de fabricación 
(absorción de agua, por ejemplo). 
 
C4-Guias de onda 16 
Aplicaciones de Optoelectrónica en Medicina Semestre 2010-II 
 
 
Efectos de polarización. 
En muchas aplicaciones la polarización del haz de luz es importante. Durante su propagación 
a lo largo de una fibra, un haz de luz polarizado sufre generalmente cambios en su estado de 
polarización. Debido a imperfecciones en la fibra, el estado de polarización del haz va 
evolucionando hasta que regresa a su estado inicial. La distancia a la cual se repite el estado 
de polarización inicial se le conoce como longitud de abatimiento (beat length) y es un 
parámetro que puede utilizarse para definir la habilidad de una fibra para mantener la 
polarización. Existen fibras especialmente diseñadas para mantener la polarización, y la idea 
básica de estas es minimizar la longitud de abatimiento. 
 
4.3 Dispositivos de óptica integrada 
Los dispositivos de óptica integrada incorporan elementos que permiten realizar una función 
óptica en particular. Podemos pensar, por ejemplo, en implementar dispositivos 
interferométricos utilizando guías de onda planas para obtener instrumentos compactos de 
medición. En general, se busca combinar el funcionamiento de los dispositivos con las 
propiedades de los materiales utilizados para realizar diferentes funciones. 
 
Los materiales que se usan más comúnmente son aquellos que presentan efectos electr-
ópticos o acusto-ópticos. Existen dos efectos electro-ópticos que son los más utilizados: el 
efecto Kerr (dependencia cuadrática con el campo eléctrico aplicado) y el efecto Pockels 
(dependencia lineal con el campo). El material más utilizado es el LiNbO3, sobre todo porque 
responde a voltajes y corrientes relativamente bajos, además de que presenta pérdidas bajas a 
las longitudes de onda de interés. 
 
Utilizando configuraciones interferométricas de óptica integrada en materiales electro-ópticos 
es posible fabricar moduladores de fase, moduladores en amplitud, o acopladores con 
coeficiente de acoplamiento variable. 
 
4.4 Dispositivos de fibra óptica 
Algunos de los dispositivos más utilizados son: 
� Acopladores de fibra óptica. 
� Rejillas de Bragg.