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Universidad San Pedro “Facultad de Ciencias Contables y Administrativas” 
 ALEX IPARRAGUIRRE ZAVALETA 1 MATEMÁTICA EMPRESARIAL I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 DOCENTE: ALEX IPARRAGUIRRE ZAVALETA 
 Correo electrónico: alexiparraguirrepucp@hotmail.com 
 
 
 
Universidad San Pedro “Facultad de Ciencias Contables y Administrativas” 
 ALEX IPARRAGUIRRE ZAVALETA 2 MATEMÁTICA EMPRESARIAL I 
 
 MÓDULO DE APRENDIZAJE N°01 
 FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES Y ADMINISTRATIVAS 
 ESCUELA DE ADMINISTRACIÓN 
 ESCUELA DE ADMINITRACIÓN HOTELERA Y TURISMO 
 ESCUELA DE ECONOMIA Y NEGOCIOS INTERNACIONALES 
Docente: Alex José Iparraguirre Zavaleta AAssiiggnnaattuurraa:: MMaatteemmááttiiccaa EEmmpprreessaarriiaall II 
 
 
MMOOTTIIVVAACCIIÓÓNN:: 
LA MATEMÁTICA Y SU APLICACIÓN 
DENTRO DE LA VIDA COTIDEANA 
Cuando se descubrió el conjunto de los números 
irracionales, se observó que la colección de las 
magnitudes geométricas (por ejemplo los segmentos) 
era más completa que el conjunto de los números 
racionales, entonces se construyó una herramienta 
matemática más amplia denominada álgebra 
geométrica. Los principales elementos del álgebra 
geométrica fueron los segmentos de recta, donde a 
partir de ellos se definieron las operaciones de 
cálculo, por ejemplo, la adición se interpretaba como 
la unión de los segmentos. (En forma colineal uno a 
continuación de otro), la sustracción como la 
eliminación de una parte del segmento minuendo 
igual al segmento sustraendo, la multiplicación de 
segmentos originó la aparición del sistema 
bidimensional (la representación en el plano 
cartesiano), la división resultaba posible sólo bajo la 
condición de que la dimensión (tamaño del 
segmento) dividendo era mayor que la dimensión del 
divisor. El álgebra geométrica también interpretaba 
las identidades algebraicas. Los ejemplos siguientes, 
conocidos desde tiempos inmemorables, muestran 
claramente el uso de áreas de figuras geométricas 
para “demostrar” identidades algebraicas. 
Pruebas geométricas de algunas identidades 
algebraicas 
Los ejemplos siguientes, conocidos desde tiempos 
inmemoriales, muestran claramente el uso de las 
áreas de figuras geométricas para “demostrar” 
identidades algebraicas. 
Trinomio Cuadrado Perfecto 
 
= + + +
ba
b
a
B C
A D
b2
a2
ab
ab a
2 ab ab b2
 
 
Área de ABCD= (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 
  222 bab2aba 
 
 
b a - b
a
a - b
b
b
a
(a-b)
2
b
2
 
 (a – b)2= a2 – b(a – b) – b(a – b) – b2 
  222 bab2aba 
 
 
Desarrollo de un Trinomio al cuadrado 
 
 
ab
ac bc
ab ac
bc
a
2
b
2
c
2
a b c
a
b
c
 
 
bc2ac2ab2cba)cba( 2222 
 
 
CAPACIDAD: Resuelve operaciones con expresiones algebraicas de variable real con 
las diversas situaciones presentadas utilizando sus propiedades y algoritmos 
 
 
Universidad San Pedro “Facultad de Ciencias Contables y Administrativas” 
 ALEX IPARRAGUIRRE ZAVALETA 3 MATEMÁTICA EMPRESARIAL I 
 
NNOOCCIIOONNEESS PPRREEVVIIAASS 
 EXPRESIÓN ALGEBRAICA 
Es toda asociación de constantes numéricas y letras 
(variables), entrelazados por cualquiera de los 
operadores matemáticos de: adición, sustracción, 
multiplicación, división, potenciación y radicación, o 
una combinación limitada de éstos. Para que una 
expresión sea considerada algebraica, una variable 
nunca se debe ubicar como exponente de una 
potenciación o como índice de una radicación. 
 
25 23/12/1 yxyx2   
22 )2(53   723 x7x3x5   
33 x5xy2  
z
y4
x2E )y;x(  
zyx8 23 
1z
z5yx5
F
2
)z;y;x(


 
1xxP 2)x(  13
y
x5
x2M
2
3
)x(  
Nota: 
Cualquier expresión que no cumpla con los requisitos 
mencionados se denomina expresión no algebraica o 
trascendente. 
Ejemplos 
 
xsecx3W;x5 4)x(
3x  ; 
 ....xxxx1P 432)x(  
 
CLASIFICACION DE LAS 
EXPRESIONES ALGEBRAICAS 
 
Las expresiones algebraicas se pueden clasificar según 
la naturaleza de sus exponentes o por el número de 
sus términos. 
 
Según su
número de 
términos
Según la
naturaleza
de su
exponente
Monomio
Polinomio
Binomio
Trinomio
Cuatrinomio
Polinomio
1término
Racional
Irracional
Entera
Fraccionaria
...... 2 términos
3 términos
4 términos
n términos
......
......
......
............ ............
 
 
Del cuadro expuesto, concluimos que la clasificación 
lo realizaremos de acuerdo al número de términos y 
según la naturaleza de los exponentes que afectan a 
la(s) variable(s). A continuación ampliaremos 
expresando lo siguiente: 
Por lo expuesto; analicemos las expresiones: 
 
EXPRESIÓN 
ALGEBRAICA 
CLASIFICACIÓN SEGÚN 
LA NATURALEZA 
NUMÉRICA DE SUS 
EXPONENTES 
 
3 xy 
Es una expresión 
algebraica irracional. 
 
22 yxy2x  
Es una expresión 
algebraica racional 
entera. 
 
2yxy  
Es una expresión 
algebraica racional 
fraccionaria. 
 
54
3
1
7
1
3  
Es una constante 
numérica, por lo que 
será una expresión 
algebraica racional 
entera. 
 
3x2  
No es una expresión 
algebraica, se trata de 
una expresión 
trascendente 
exponencial. 
 
x)1x(  
Es una expresión 
trascendente 
exponencial. 
 )3xx(Cos
22  
Es una expresión 
trascendente 
trigonométrica. 
 
32 xxx1 
No es una expresión 
algebraica porque tiene 
infinitos términos. 
 
 
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 ALEX IPARRAGUIRRE ZAVALETA 4 MATEMÁTICA EMPRESARIAL I 
 
CCOONNTTEENNIIDDOO TTEEÓÓRRIICCOO 
TERMINO ALGEBRAICO (MONOMIO) 
 
Es la expresión algebraica mínima en la cual sus 
elementos no están separados por el signo “+” o el 
signo “–”. Estando asociados sus elementos con los 
operadores matemáticos de: Multiplicación, división, 
potenciación y radicación. 
 
Ejemplo: 
5xyz Es un monomio racional entero. 
73yx
7
5
 Es un monomio racional entero. 
xyz Es un monomio irracional. 






 3
5
x
x Es un monomio irracional. 
24yzx Es un monomio racional 
fraccionario. 
 
Un término algebraico consta de los siguientes 
elementos: 
 
Signo
- 5X Y
2 3
Parte literal: VariablesCoeficientes
Exponentes
 
 
 
TERMINOS O MONOMIOS SEMEJANTES 
 
Dos o más términos son semejantes cuando tienen la 
misma parte literal 
Ejemplo: 3232 yx
4
15
;yx2 
 
OBSERVACIONES. 
 
*Los monomios yzx
85
3 2 ; zyx
85
3 2 son semejantes 
porque poseen iguales variables afectadas de los 
mismos exponentes, asimismo observamos que 
presentan igual coeficiente. Por lo tanto; además de 
ser semejantes, son iguales. 
 
VALOR NUMERICO 
DE UNAEXPRESION ALGEBRAICA 
 
Se denomina valor numérico (V.N.) de una expresión 
algebraica al resultado que se obtiene cuando se 
reemplaza en dicha expresión los valores asignados a 
sus variables. 
En el cuadro anterior se visualiza que P tiene como 
variable a la letra x, siendo reemplazado por un 
valor a, luego; se procede a realizar las operaciones 
indicadas siendo el resultado final su valor numérico. 
De lo expuesto: P(a) 
se lee: “Valor numérico del polinomio P(x) cuando x 
= a” 
Ejemplo : Determinar el valor numérico de: 
cd
ba5 32
 
Si : a = 3; b = 2; c = 6; d = 10. 
Resolución 
Reemplazando los valores en 
cd
ba5 32
 se tiene: 
V. N. = 
)10)(6(
)2()3(5 32
 = 
10x6
8x9x5
 = 
60
360
 
 V. N. = 6 
 
 PRÁCTICA DE CLASE 
1. Calcularel valor de (a + 2b) si los términos 
siguientes son semejantes: 
 3y a + b; 2 5 y8; –0,2y b + 3 
 
a) 13 b) 12 c) 15 d) 9 e) N.A. 
 
2. Dado los términos algebraicos y semejantes: 
 T1 = (m +2a)x6; T2 = (8 + m) x3b – 3. 
Calcular el valor de b2 + b + 1. 
 
a) 13 b) 12 c) 9 d) 8 e) N.A. 
 
3. Indicar la expresión reducida que se obtiene de: 
 P(x) = (a + b) x a + (a + 1) x b + 1 – a b x 5 
si todos los términos son semejantes. 
 
a) x5 b) 2x5 c) –3x5 d) –5x5 e) N.A. 
 
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 ALEX IPARRAGUIRRE ZAVALETA 5 MATEMÁTICA EMPRESARIAL I 
 
 
4. Dado el polinomio: P (x, 2y) = 4x – 2y. 
Señalar: P (2; 2). 
a) 6 b) 4 c) 5 d) 3 e) 1 
 
5. La expresión: EE ((xx;; yy )) == xx nn –– 22 ++ yy 55 –– nn es 
racional entera. ¿Cuántos valores puede tomar “n” 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
6. Obtener la suma de los términos semejantes: 
 (c + 5) x 4c – 3 ; (2c) x c + 9 
a) 17 x 13 b) 11 x 3 c) 8 x 3 
d) 10 x3 e) N.A. 
 
7. Hallar el valor numérico de 3ac ab2 . 
 Para: a = 2, b = 9, c = 1/3. 
a) 12 b) 15 c) 16 d) 18 e) N.A. 
 
8. Hallar el valor de: E =  2RrrR
3
h 22  . 
Para: h = 5, R = 10 , r = 3. 
a) 24 b) 47 c) 235 d) 47 e) N.A. 
 
9. Hallar el valor numérico de: 
)bc)(ac(
)bx)(ax(
)ab)(cb(
)ax)(cx(
)ca)(ba(
)cx)(bx(








 
Para: x = –2, a = 1, b = 3, c = –3. 
a) 0,5 b) 1 c) 0,8 d) 0,4 e) 0,7 
 
10. Hallar el V.N. de la expresión , Para x = 2. 
 3x 4 – 2x 3 – 14x 2 – 1. 
a) 4 b) 5 c)–3 d)13 e) 3 
 
11. Hallar el valor numérico de: 
cd
ba4 32
. 
Si: a = 2, b = 3, c = 1/2, d = 1/3 
a) 2 582 b) 2 632 c) 2 692 
d) 2 592 e) N.A. 
 
12.Si f(x) = x2 + 2x - 1. Calcular : 
 f (0) +f (1) + f (-1). 
a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) N.A. 
13. Si P(x) = x5 - 3x + 6, hallar E en: 
 E = P (2) - P (-2) + P (1) + P (0) 
a) 52 b) 56 c) 62 d) 72 e) N.A. 
 
GRADOS DE UN MONOMIO O 
POLINOMIO 
 
DEFINICIÓN: Se denomina grado de una expresión 
algebraica a una característica relacionada con los 
exponentes de sus variables. Nuestro estudio se 
centrará en el campo de las expresiones algebraicas 
racionales enteras, por lo tanto el grado es un 
número entero positivo. 
Se distinguen dos tipos de grados: Grado Relativo y 
el Grado Absoluto. 
Cuando hablamos del Grado Relativo nos referimos a 
una determinada variable de la expresión; y cuando 
mencionamos el Grado Absoluto, nos referimos a 
todas las variables de la expresión en discusión. 
NOTACIÓN: 
G. A. = Grado Absoluto 
G. R. = Grado Relativo 
 
GRADOS DE UN MONOMIO RACIONAL ENTERO 
1. El Grado Relativo se refiere sólo a una variable y 
está dado por el exponente que afecta a dicha 
variable. 
2. El Grado Absoluto del monomio está dado por la 
suma de los exponentes de sus variables (Suma de los 
grados relativos) 
 
Ejemplo 1: Sea el monomio 5 x 7 y 3 z 6 
GR (x) = 7  Este monomio es de séptimo grado 
con respecto a “x” 
GR (y) = 3  Este monomio es de tercer grado con 
respecto a “y” 
GR (z) = 6  Este monomio es de sexto grado con 
respecto a “z” 
 GA =7 + 3 + 6 
 Este monomio es de grado absoluto 16. 
 
Ejemplos 2: 
Sea el polinomio: 
P(x; y; z) =3x5 y z8 –23 x8 y2 z3 + 5x4 y6 z2 – z9 y2 
Exponente de x  5 8 4 0 
Exponentes de y  1 2 6 2 
Exponentes de z  8 3 2 9 
Grado absoluto 14 13 12 11 
 
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 ALEX IPARRAGUIRRE ZAVALETA 6 MATEMÁTICA EMPRESARIAL I 
 
 
Por la realizado se concluye: 
GR(x) =8  El polinomio es de octavo grado con 
respecto a “x” 
GR(y) = 6 El polinomio es de sexto grado con 
respecto a “y” 
GR(z) = 9  El polinomio es de noveno grado 
con respecto a “z” 
GA = 14  El polinomio es de grado absoluto 
catorce 
 
 PRÁCTICA DE CLASE 
1. Calcular el grado relativo y grado absoluto en los 
monomios. 
a) 8176 zyx
7
2
 b) A(x; y; z) = 135yzx 
Respuesta :………. Respuesta :………. 
c) B(x; y) = 1254 yx3 d) cmnba3
237 
Respuesta :………. Respuesta :………. 
e) M(x; y) = 43mm yx2  f) A(x; y) = abyx n2m 
Respuesta :………. Respuesta :………. 
2. Calcular el grado relativo y grado absoluto en los 
polinomios. 
a) 52723 yx7xy5yx2  
Respuesta :………. 
b) 794852963 zxy2zyxzyx5  
Respuesta :………. 
3.Si se tiene el siguiente polinomio: 
1xxx5x2)x(P 3864  ; hallar su grado. 
a) 4 b) 3 c) 6 d) 8 e) 21 
 
4.Hallar el grado del siguiente polinomio: 
 3x3xxx3)x(P 1513124  
a) 15 b) 16 c) 12 d) 13 e) 35 
5.Hallar el grado de: 611184 x.xx6x5x2)x(P  
a) 18 b) 4 c) 66 d) 17 e) 19 
 
6.Hallar el grado de:   1xyxx)x(P 40322114  
a) 64 b) 15 c) 44 d) 40 e) 32 
 
7.Señalar verdadero o falso: 
18x7x5x2)x(P 1912  
I. Su término independiente es 18 
II. Uno de los coeficientes es 18 
III. La suma de coeficientes es 32 
IV. Su grado es 19 
V. El coeficiente del término lineal es 7. 
a) VVVFF b) VVVFV c) VVFVF 
d) VVFFV e) VVFVV 
 
8.Señale verdadero o falso: 152)x( xa5H  
I. Su grado es 17 
II. No es una expresión algebraica Racional Entero. 
III. Su coeficiente es 5 
IV. Su grado es 15 
a) FVFV b) FFVV c) FFVF 
d) FVVF e) FFFV 
 
9.Si el término independiente y la suma de 
coeficientes de: 
bx5axx)x(P 24  ; son –2 y 7 respectivamente. 
Hallar: 
22 ba  
a) 17 b) 25 c) 5 d) 34 e) 13 
 
10.Si el término independiente de: 
5m3x5x3)x(P 24  ; es 17. Hallar 2m. 
a) 10 b) 4 c) 40 d) 8 e) 80 
 
11.Sea 5a9a2a xax2ax)x(P   un polinomio de 
grado 13, señale la suma de coeficientes del 
polinomio. 
 
a) 3a b) 4 c) 4a d) 12 e) 13 
 
12.Si se tiene el monomio: 974 zyx5)z;y;x(P  . 
Calcular: GR(x) + GR (y) 
a) 11 b) 4 c) 7 d) 1 e) 15. 
 
13.Si se tiene el monomio: 734 zyx2)z;y;x(P  
Hallar: GR(x) + GR(y) + GR(z) 
a) 10 b) 14 c) 7 d) 11 e) 13 
 

 
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14.Calcular el coeficiente del monomio: 
5a42 yxa3)y;x(M  si el grado relativo de y es 7. 
a) 36 b) 18 c) 12 d ) 2 e) 20. 
 
15.Calcular el coeficiente del monomio 
1b3a yabx2)y;x(M  . Si el GR(x) = 5; GR (y) = 4. 
a) 32 b) 16 c) 18 d) 20 e) 24 
. 
16.Si 5yx8yx3x5)y;x(P 93754  . 
Hallar: GR(x) + GR(y) 
a) 17 b) 16 c) 15 d) 14 e) 13. 
 
17. En el polinomio: Hallar: GR(x) + GR(y) + GR(z ) 
 10687243 yzx2zyxyx5)y;x(P  
a) 21 b) 23 c) 17 d) 15 e) 13.. 
 
18.Si en el polinomio: P(x; y) = 1aa22bab x5yx5   , 
el grado absoluto es 8, mientras que el grado 
relativo de “x” es 5. Calcular el valor de “b”. 
a) 2 b)1 c) 21 d) –2 e) N.A. 
 
19. En el polinomio: GA = 17; GR(x) = 9, 
calcular (a - b). 
 P(x;y)= 6b1-ab3-a5b2-a y 7x y 2x y x   
a) 6 b) 7 c) 11 d) 8 e) N.A. 
 
20.Sea el polinomio de grado absoluto igual a 30. 
5a3a3a7a yx3yax)y;x(P   . Calcular el valor de 
“a”. 
a) 6 b) 13 c) 17 d) 9 e) 12. 
 
21.Calcular: m + n si los grados de los monomios son 
14 y 10 respectivamente. 
 942m zyx7)y;x(M  ; 4n2n2 zyx5)z;x(N  
a) 0 b) 12 c) 14 d) 16 e) 7. 
 
22.Sea el polinomio: 
 2a7a9a2a1a5a yx4yx3yx2)y;x(P   de grado 
absoluto 33. Calcular el valor de “a”. 
a) 11 b) 13 c) 15 d) 17 e) 14. 
 
POLINOMIOS ESPECIALES 
1. POLINOMIO RACIONAL ENTERO 
Es el polinomio cuyo valor numérico depende 
exclusivamente del valor de su variable, y que 
presentan exponentes enteros y positivos (Expresión 
algebraica racional entero). 
Ejemplos: 
6x3)x(P  Polinomio de primer grado 
2x3x)x(Q 2  Polinomio de segundo grado 
1x2x)x(R 3  Polinomio de tercer grado 
 
FORMAS GENERALES 
Polinomio de primer grado (polinomio lineal) 
0abax)x(P  
 
Polinomio de segundo grado (polinomio cuadrático) 
cbxax)x(P 2  
 
2. POLINOMIO ORDENADO 
Un polinomio es ordenado cuando sus términos están 
dispuestos de tal forma que los exponentes de la 
letra en referencia (variable ordenatriz) van 
aumentando o disminuyendo a partir del primer 
término. Ejemplos: 
P(x) = 2x8 - 7x5 + 8x2 – 5 
 ordenado descendentemente 
P(x) = 7 + 4x - 6x2 + x3 - x7 
 ordenado ascendentemente 
 
3. POLINOMIO COMPLETO 
Es aquel polinomio que se caracteriza por tener los 
exponentes de su variable ordenatriz desde el mayor 
hasta el cero (éste corresponde al término 
independiente). 
Ejemplos: P(x) = 8x + 2x2 - 11 - x3 + x4, 
 Es un polinomio completo pero desordenado. 
 
Importante 
Si un polinomio es completo, no necesariamente 
estará ordenado. 
Si un polinomio es ordenado, no necesariamente 
estará completo. 
Un polinomio de grado “n” y completo posee 
“n + 1” términos distintos. 
 
 
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 ALEX IPARRAGUIRRE ZAVALETA 8 MATEMÁTICA EMPRESARIAL I 
 
P (x) = x4 + x3 - x2 + 3x + 1; es un polinomio 
ordenado y completo descendentemente. 
P(x) = - 8 + x - 2x2 - 5x3; es un polinomio 
completo pero desordenado 
Observación: 
En un polinomio completo se cumple que: 
NUMERO DE TÉRMINOS = GRADO + 1 
 
 
26252
223 yxyxyxyxP );( 
Se lee: Polinomio de variable x e y o 
simplemente P de x y 
 
4. POLINOMIO HOMOGÉNEO 
Recibe este nombre el polinomio que es caracteriza 
por tener igual grado absoluto en todos sus términos. 
Ejemplos: 
a) 3x5 y9 - 5x11 y3 + 2x8 y6 + x7 y7 
Grado absoluto ( G.A ) : 14 = 14 = 14 = 14 
b) 2x3 - 6x2 y + 9xy2 + y3 
Grado absoluto(G.A): 3 = 3 = 3 = 3 
 
5. POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO 
Es aquel polinomio que es igual a cero para cualquier 
valor que se le asigne a la variable o variables, y que 
tienen iguales los coeficientes de sus términos 
semejantes. 
Ejemplo: P(x) = ax2 + bx + c = 0 
Importante: 
Para que este polinomio sea idénticamente nulo es 
necesario que: a = b = c = 0 
 
6. POLINOMIOS IDÉNTICOS 
Dos polinomios son idénticos, si poseen el mismo 
valor numérico para cualquier valor asignado a sus 
variables. 
Se caracterizan por tener iguales los coeficientes de 
sus términos del mismo grado (llamados términos 
semejantes). 
Ejemplo: Sean los polinomios: 
P(x; y) = Ax4 + Bx2 y + Cy2 
 
Q(x; y) = Dx4 + Ex2 y + Fy2 
Si P es idéntico a Q: 
 Ax4 + Bx2 y + Cy2  Dx4 + Ex2 y + Fy2 
Entonces se cumple: 
 A = D  Coeficientes de x4 
 B = E  Coeficientes de x2 y 
 C = F  Coeficientes de y2 
 
7. POLINOMIO EQUIVALENTES 
Son aquellos polinomios que teniendo formas 
diferentes aceptan igual valores numéricos para un 
mismo sistema de valores asignados a sus variables. 
Así por ejemplo dado los polinomios: 
 xy4)x(Q;)yx()yx()y;x(P 22  
Si ambos admiten el mismo valor numérico 
para cualquier valor de “x”  “y”, entonces serán 
equivalentes ; veamos. 
Hagamos: x = 2  y = 1 
8)1)(2(4)1;2(Q
8)12()12()1;2(P 22


 
Observar que: )1;2()1;2( QP  En consecuencia 
P(x, y)  Q(x ; y), son polinomios equivalentes y se les 
podrá cualquier representar así: 
 
 
 
8. POLINOMIOS MÓNICO 
Es aquel polinomio que se caracteriza por tener 
como coeficiente principal a la unidad. 
Ejemplo: 1x2x3  
Es un polinomio de grado 3 y su coeficiente es 1, 
por lo tanto es un polinomio Mónico 
Ejemplo: 3x2x 43  
Es un polinomio de grado 4 y su coeficiente es 2, 
por lo tanto no es un polinomio Mónico 
 PRÁCTICA DE CLASE 
1. El polinomio P(x; y) es homogéneo, calcular: 
 E = a – b + ab 
 P(x; y) = 2xa - 5 y2 – 5xb + 3 y7 – 2x9 y5 
 
Respuesta :………. 
 
2. El polinomio: 
 P(x; y) = 2xm + 1 y3 - mxn + 1 + mnx5 y4 , 
es homogéneo. Calcular la suma de sus coeficientes. 
 
Respuesta :………. 
 
)y;x(Q)y,x(P 
 
Universidad San Pedro “Facultad de Ciencias Contables y Administrativas” 
 ALEX IPARRAGUIRRE ZAVALETA 9 MATEMÁTICA EMPRESARIAL I 
 
3. Dado el polinomio: P(x) = xa + 2 - xb - 3 + 2xc + 1 
Ordenado y completo decreciente, hallar: a, b y c. 
Respuesta :………. 
 
4. Hallar (m – n) si: 
 2(x+7)  m(x + 2) + n(x – 3) 
Respuesta :………. 
 
5. Si se cumple la siguiente identidad; Hallar: 3m–
n+ p. 
 7x2 - 5x + (p + 4)  (m + 1) x2 + (n – 4) x + 7 
Respuesta :………. 
 
6. Determinar (m + n + p), sabiendo que el 
polinomio es homogéneo de grado 7. 
 
P(x, y) = 5xm + 2 yn + 2xm + 1 y2 + x2p y4 + 3xq - 1 y5 
 Respuesta :………. 
 
7. Si el polinomio está ordenado consecutivamente 
en orden descendente Calcular (a + b) (c + d). 
 P(x) = 2xd + c - 3xa + b + xa + c - 4xb - 1 
Respuesta :………. 
 
8. Si el polinomio es idénticamente nulo; Halla el 
valor de: ( b c : a ) 
 P(x) = (3a - b) 2x + (b + c + 2)x + c + 1 
Respuesta :………. 
 
9. Sabiendo que el grado absoluto del monomio. 
 n12
5n n5n
8n
2
x
x
 

 es 8, calcular “n”. 
Respuesta :………. 
 
10.Hallar m + n + p, si el polinomio en completo y 
ordenado en forma descendente. 
 P (x) = xm – 10 – 3xm – n + 5 + 15xP – n + 6 
a) 10 b) 12 c) 16 d) 38 e) 40 
 
11.Si el polinomio son idénticos, Hallar (m + 2n). 
 P(x, y) = mx2 + 4my2 + 3nx2 + 4x2 - 3y2 
 F(x, y) = 13x2 + 9y2 . 
 
a) 3 b) 2 c) 10 d) 7 e) 19 
 
12. El polinomio: 5np3mn6m px3mxnx2)x(P   
Es completo y está ordenado en forma creciente. 
Calcular: 
)1(P
)0(P)1(P 
 
a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) P(1) 
 
13.Si el polinomio:  3n271n2m yxyx3)y;x(P   
Es un polinomio homogéneo cuyo grado de 
homogeneidad es 16. Hallar: 
nm
nm

 
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 
 
14.Si el siguiente polinomio cuadrático 
 6bx3x)3a()x(P 2  , 
es Mónico y la suma de sus coeficientes es 7, hallar 
a+b 
A) 10 B) 16 C) 19 D) 13 E) 21 
 
OPERACIONES CON 
POLINOMIOS 
 
1. ADICIÓN DE POLINOMIOS 
 
Ejemplo : Hallar: )y;x(Q)y;x(P  en los polinomios: 
22 y5x3yx3)y;x(P  ; x8y5yx2)y;x(Q 22  . 
 
Resolución 
Ordenando: 
 
 
2. SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS 
Ejemplo1:Sean los polinomios: 32 xx32x24)x(A 
, x25xx325)x(B 32  . Calcular: A – B 
Resolución 
Ordenando5x25x32xB
x24x32xA
23
23


 
 
22
22
22
y10x11yx5
y5x8yx2)y;x(Q
y5x3yx3)y;x(P



 
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 ALEX IPARRAGUIRRE ZAVALETA 10 MATEMÁTICA EMPRESARIAL I 
 
Cambiando de signo al sustraendo (polinomio B) y 
completamos con cero los términos faltantes, para 
luego reducir términos semejantes. 
 
5x
5x25x32xB
0x24x32xA
23
23



 
 
 A – B = – x – 5 
 
Ejemplo 2: Restar:  8xx2  de  10xx5 2  
Resolución 
Ordenando:    
RESTAR
2
DE
2 8xx10xx5  
 
Eliminando signo de agrupación: 
8xx10xx5 22  
Reduciendo: 2x4 2  
Nota: 
Restar M de N = MN 
De K restar L = LK 
 
 
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN CON 
SIGNOS DE AGRUPACIÓN 
Los signos de agrupación o colección son los 
siguientes: 
Paréntesis ( ) Corchetes   
Llaves { } Barra 
 
Para suprimir los signos de colección, si estos están 
precedidos del signo ( + ), conservarán los signos que 
llevan dentro de los signos de colección, mientras que 
si están precedidos del signo ( – ); cambiarán su 
signo. 
Ejemplo 1: 
Reducir: 
  )y4x5y5x2(y2x8x3  
Resolución 
Eliminando signos de colección desde el interior y 
reduciendo términos semejantes 
– { 3x + [  8x + 2y – ( 2x – 5y – 5x + 4y ) ] } 
– { 3x + [  8x + 2y – (– 3x – y ) ] } 
– { 3x + [  8x + 2y + 3x + y ] } 
– { 3x + [  5x + 3y ] } 
– { 3x  5x + 3y } 
– { – 2x + 3y } 
2x – 3y 
 
Ejemplo 2: Reducir )1x(
3
2
)
2
1
x(
3
1
)
3
1
x(
2
1
 
Resolución 
Multiplicando se tiene: 
 
 )1x(
3
2
)
2
1
x(
3
1
)
3
1
x(
2
1
 
 1
3
x2
6
1
3
x
6
1
2
x
 
Agrupando términos semejantes 
 1
6
1
6
1
3
x2
3
x
2
x


 
1
6
x4x2x3


 
1
2
x

 
 
PRÁCTICA CLASE 
1. Resolver: – (– (–4)) + (4x – (–4)) 
a) 8 + 4x b) –8 + 4x c) 4x 
d) 0 e) – 8 – 4x 
 
2. Reducir: 5x + 7(x – 8) – 3(4x + 1) 
a) –x + 5y b) x – 5y c) – 53 
d) 56 e) – 59 
 
3.Simplificar: 
 E =[x + {– (x + y) – [– x + (y – z)] – y}] – 2y + 2z 
 
A) x – y + z B) – x + y + z C) x + y – z 
 D) – x – y – z E) N.A. 
 
4. Simplificar la expresión: 
 [–3m–{n+[–m+ ( 2m–n )–(–m+n)] + 3n ] } + 3m] 
A) m + 2n B) m – n C) 2m – n 
D) – m – n E) 0 
 
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 ALEX IPARRAGUIRRE ZAVALETA 11 MATEMÁTICA EMPRESARIAL I 
 
 
5. Si: A – B se reduce a: 6(x + y). Hallar el valor 
de “p” 
yxxpA 33)1( 2  )yx(3x5B 2  
A) 3 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 
 
6. Resta: 3x + y + 2 de 2x – y + 2 
a) –x – 2y b) x + 2y c) x - 2y 
d) –x + 2y e) x – 4 
 
7. De: 3ab + 5bc restar 2bc + 3ab 
a) ab b) 2bc c) 2ab d) 3bc e) –2bc 
 
8. Resolver: – (–2 + x) + x – 2 
a) 0 b) x c) 2x + 4 d) 2 – 4x e) –x 
 
9. Resolver: yxy3xy5x2yx  
A) x + 5y B) 11x + y C) x + 2y 
 D) 9x – 11 y E) N.A. 
 
10.Hallar E = 3P (x) – 5 Q(x) si se sabe que: 
 P (x) = 2 – x + 5x2 Q(x) = x + 5 – x2 
A) 20x2 + 8x – 18 B) 20x2  8x 19 
C) 20x D) 2x + 5 E) N.A 
 
11. Al simplificar: 
 – x – { –3x + 2y – (6x – 5y) – 6y +(x – 2y ) – 
7y  – 3y } 
a) 7x + 11y b) 7x – 11y c) – 7x + 11y 
d) 10x – 11y e) N.A 
 
12. Simplificar la expresión: 
      a4b3baba2aba3  
a) –a – 2b b) a – b c) 2a + b 
d) a – 2b e) a + 2b 
 
13.Simplifica
       z2y2yzyxyxxE  
a) x – y + z b) – x + y + z c) x + y – z 
d) – x – y – z e) N.A 
14.Efectuar 
     x5x8y2x7y3y7y8  
a) 4x b) 16y – 4x c) – 4x 
d) 20x e) – y + 2x 
 
 
MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICA 
Es una operación matemática que consiste en 
calcular una expresión denominada producto a 
partir de dos o más expresiones denominadas 
factores. 
 
 
Multiplicando Multiplicador
A(x) . B(x)= P(x) x R
ProductoFactores 
 
Ejemplo: 
1) Multiplicar:   




 232 xy
3
2
porzyx12 
Resolución 
 
  zyx8xy
3
2
zyx12 53232 





 
 
 LEYES DE LA MULTIPLICACIÓN 
a) Ley conmutativa de la multiplicación: 
 yxxy  
Ejemplos: 
 (8ab2 c)(5b7 c4) = (5b7 c4) (8ab2 c) 
 (2x – 5) (5x – 7) = (5x – 7) (2x – 5) 
 
b) Ley Asociativa de la multiplicación: 
    zxyyzx  
Ejemplos: 
    y5)3x(x2y5)3x(x2  
 
c) Ley de Signos: 
El producto de dos factores que contengan igual 
signo dará como resultado una expresión positiva, y 
el producto de dos factores de signos distintos dará 
un resultado negativo, así: 
LEY DE SIGNOS 
(  ) (  ) 
+ 
( + ) ( + ) 
(  ) ( + ) 
 
( + ) (  ) 
   )ba3)(ba2()ba()ba3()ba2)(ba( 
 
Universidad San Pedro “Facultad de Ciencias Contables y Administrativas” 
 ALEX IPARRAGUIRRE ZAVALETA 12 MATEMÁTICA EMPRESARIAL I 
 
 
Observaciones 
Cuando existen más de dos factores, contamos 
cuántos de ellos son negativos, luego: 
 
1) Si el resultado del conteo es un número par, el 
resultado de la multiplicación será positivo (+). 
 
Ejemplo: 
 
p)e)(d)(c)(b)(a( 
 
 
2) Si el resultado del conteo es impar, el resultado 
de la multiplicación será negativo (  ). 
Ejemplo: 
 
p)f)(e)(d)(c)(b)(a( 
 
 
CLASES DE MULTIPLICACIÓNES 
MULTIPLICACION DE MONOMIOS 
Para multiplicar dos o más monomios, 
primeramente se multiplican los coeficientes 
atendiendo a una aplicación correcta de la ley de 
signos 
Ejemplos: Multiplicar: 
 a) 65532 yx15)yx5)(yx3(  
 
 b) 86852237 cba26)cab)(cb13)(bca2(  
 
MULTIPLICACIÓN DE UN MONOMIO POR UN 
POLINOMIO: 
Se aplica la propiedad distributiva de la 
multiplicación, es decir; se multiplica el monomio con 
cada uno de los términos del polinomio como en la 
situación anterior. 
Ejemplo: 
Realizarla multiplicación: 






5
2
zy
5
1
yx3zxy5 5523 
Resolución: 
 
 






5
2
zy
5
1
yx3zxy5 5523 
Multiplicamos tal como lo indican las flechas 
       












5
2
zxy5zy
5
1
zxy5yx3zxy5 23523523 
Efectuando se tiene: 2338246 zxy2zxyzyx15  
 
 MULTIPLICACION DE POLINOMIOS 
Ejemplo: Realizar la multiplicación siguiente: 
)yx3x4)(2xy2yx3( 332  
Resolución 
  
dormultiplicandomultiplica
yxxxyyx )34()223( 332  
 
 
 
 )yx3x4)(2xy2yx3( 332  
)yx3x4(2)yx3x4)(xy2( )yx3x4)(yx3( 33332 
yx6x8yx6yx8yx9yx12 34432253  
Reduciendo términos semejantes 
x8yx6yx8yx9yx6 4432253  
 
MÉTODO DEL CUADRO DE DOBLE ENTRADA 0 
MÉTODO DE SOFÍA 
Una manera sencilla de calcular los coeficientes del 
producto de dos polinomios; tales como: 
 
2x5x3)x(A 23  ; 6x2)x(B 2  
Luego P(x) = A(x). B(x) se indica en el siguiente 
cuadro: 
 
Entonces sumando los coeficientes en forma diagonal 
 
Luego 
P(x) será: 12x26x18x10x6)x(P 2345  
3 -5 0 2
2
0
6
6 -10 0 4
0 0 0 0
18 -30 0 12
Coeficientes de A(x)
Coeficientes de B(x)
3 -5 0 2
2
0
6
6 -10 0 4
0 0 0 0
18 -30 0 12
Coeficientes de A(x)
Coeficientes de B(x)
 
Universidad San Pedro “Facultad de CienciasContables y Administrativas” 
 ALEX IPARRAGUIRRE ZAVALETA 13 MATEMÁTICA EMPRESARIAL I 
 
PRÁCTICA DE CLASE 
1. Multiplicar: (3x2)(-x3y)(-a2x) 
a) 3x6a2y b) 3x12ya2 c) -3x5ya2 
d) x5ya2 e) 3x6y2a2 
 
2.Multiplicar: 3x3 - x2 por 2x 
a) 5x3 - 2x2 b) 6x4 - 2x3 c) 6x4 - 4x2 
d) 5x4 - 2x3 e) 6x5 + 2x3 
 
3. Multiplicar: m4 - 3m2n2 + 7n4 por -4m3n 
a) -4m7n + 12m5n3 - 28m3n5 
b) 4m7n + 12m5n3 + 28m5n3 
c) 4mn7 - 12m3n5 + 28m3n5 
d) -m7n + m5n3 - m3n5 e) N.A. 
 
4.Multiplicar: (a + 3) por (a - 1) 
a) a2 + 3a - 1 b) a2 +2a – 3 c) a2 - 2a + 3 
d) a2 - 3a – 3 e) N.A. 
 
5.Multiplicar: (7x - 3) por (4 + 2x) 
a) 14x2 + 22x – 12 b) 14x2 + x – 12 
c) 14x2 - 7x + 12 d) 14x2 - 22x + 12 
e) 14x2 - x + 12 
 
6. Al multiplicar los polinomios: 
A(x) = 2x3 – x2 + 2x – 3; B(x) = 3x2 – 6x + 1 
Señalar el menor coeficiente del polinomio producto. 
A) 14 B) – 21 C) – 22 D) –3 E) 20 
 
7.¿Cuál es el coeficiente de x4 en el producto de: 
 (5x4 – 3x2 +11x – 7)(3x3 –2x +5) 
A) 10 B) 58 C) –15 D) –10 E) – 19 
 
8.Señale el resultado de multiplicar la suma de: 
2x – x2 + x3 con x2 – x3 + 3, con el resultado de 
la diferencia de 3x2 + x + 6 con 3x2 –x –1 
A) 4x2+ 20x+21 B) 4x2 –21x + 20 
C)4x2+ 20x – 21 D) 4x2 – 20x – 21 
 
9.Reducir: 
 2y(x2 + z2) – 2xy (x – y) – 2y (z2 + x  y) 
A) 0 B) x2 C) xy D) x + y E)N.A 
 
DIVISION ALGEBRAICA 
TIPOS DE DIVISIÓNES 
1. División de Monomios 
Se dividen los coeficientes atendiendo a una correcta 
aplicación de la ley de signos, a continuación se 
dividen las variables aplicando la teoría exponencial 
(división de potencias con igual base) 
Ejemplo: 
Dividir: 52
432
952
zy16
zyx2
zyx32


 
 
2. División de un Polinomio con un Monomio 
Cada término del dividendo se divide con el divisor y 
se procede como en el caso anterior. 
Ejemplo: 
Dividir 
423
725453925
cba3
cba6cba9cba3 
 
Resolución 
 
 
423
725
423
453
423
925
cba3
cba6
cba3
cba9
cba3
cba3
 
32352 ca2b3ca  
 
3. DIVISIÓN POR EL MÉTODO DE GUILLERMO 
HORNER 
Procederemos a explicarlo mediante ejemplos, para 
lo cual utilizaremos los ejemplos desarrollados con los 
métodos: convencional y de coeficientes separados, 
que permitirá una comparación que muestra las 
bondades de este método. 
Asimismo, se recomienda utilizarlo cuando el divisor 
presenta grado mayor o igual que 2. 
Ejemplo 1.Dividir : 
43
64275
x31x2x
xx62xx6x4x2


 
Resolución. 
Coeficientes del Dividendo
Coeficientes
del Divisor
3 6 -1 +2 +6 0 -1 +4 +2
-1
+2
0
-1 
 
Universidad San Pedro “Facultad de Ciencias Contables y Administrativas” 
 ALEX IPARRAGUIRRE ZAVALETA 14 MATEMÁTICA EMPRESARIAL I 
 
Luego se cuenta cuantos términos hay debajo de la 
línea horizontal (4) y se cuentan igual número de 
términos, de derecha a izquierda del dividendo para 
ubicar una línea vertical, para finalmente trazar una 
línea horizontal, algunas líneas bajo el último 
término del divisor. 
3 6 -1 +2 +6 0 -1 +4 +2
-1
+2
0
-1
COCIENTE RESIDUO 
Así queda listo el esquema para empezar a operar. 
Sólo se divide entre el primer término del divisor, 
ubicado sobre la horizontal (3) comenzando con el 
primer término del dividendo (6), haciendo la 
operación mental ( 6 : 3 = 2 ), el resultado se coloca 
en el espacio reservado para el cociente, alineado con 
el primer término del dividendo. 
3 6 -1 +2 +6 0 -1 +4 +2
-1
+2
0
-1
x 2 
 
El número obtenido en el cociente se multiplica a los 
términos del divisor ubicados debajo de la horizontal 
(1, 0, 2, 1) y los resultados se ubican 
horizontalmente y consecuentemente, corriendo un 
lugar hacia la derecha. 
3 6 -1 +2 +6 0 -1 +4 +2
-1
+2
0
-1
x 2
-2 0 +4
 
Para continuar, bastará aplicar la regla “SUMO Y 
DIVIDO”, es decir que la columna formada por (1) 
y (2), al sumarlas obtengo (1 2 = 3), este 
número se divide entre el primero del divisor (3) 
entonces (3 : 3 = 1), este número va al cociente y 
repetimos este paso, siempre al colocar los productos 
del número recién obtenido (1) por los del divisor 
colocados debajo de la horizontal (1; 0 + 2; 1), se 
ubicarán horizontalmente dejando al comienzo un 
casillero. 
 
3 +6 -1 +2 +6 0 -1 +4 +2
-1
+2
0
-1
x 2
-2 0 +4
-1
+1 0
-2
-2 +1
 
 
Procedo con “sumo y divido”, entonces: 
3 +6 -1 +2 +6 0 -1 +4 +2
-1
+2
0
-1
SUMO
+2+0+1=+3
DIVIDO
+3 +3 = 1
-2 0 +4
+1 0
-2
-2 +1
+20 -1
2 -1 +1 
Cuando se llega al último término del cociente, se 
efectúa la multiplicación que deberá alinearse hasta 
el último término del dividendo, se efectuará 
únicamente la suma, ya no la división entre (3). 
 
3 +6 -1 +2 +6 0 -1 +4 +2
-1
+2
0
-1
-2 0 +4
+1 0
-2
-2 +1
+20 -1
2 -1 +1 +3
-1
-3 0 +6 -3
-7 +2 +9 -1 
 
Para ubicar la parte literal del cociente y residuo, se 
procede de igual forma que el método de coeficientes 
separados. 
Luego: 
 Q(x) = 2x3  x2 + x + 3 ; 
 R(x) = 7x3 + 2x2 + 9x  1 
 
Ejemplo 02: Dividir 
3x5x3
9x22x3x19x6
2
234

 
Resolución 
 
Universidad San Pedro “Facultad de Ciencias Contables y Administrativas” 
 ALEX IPARRAGUIRRE ZAVALETA 15 MATEMÁTICA EMPRESARIAL I 
 
3 6 -19 +3 +22 +9
5
+3
2
+10 +6
-3
-15 - 9
- 6-10
-2 +3 +3
 
Luego: 
 Q(x) = 2x2  3x  2 
 R(x) = 3x + 3 
 
4. DIVISIÓN POR EL MÉTODO DE PAOLO RUFFINI 
Se utiliza para divisiones cuyo divisor es de primer 
grado o puede ser llevado a esa forma. Se presentan 
3 casos: 
Primer Caso: Divisor = (x + b) 
Ejemplo : Dividir 
3x
23x25x9x 23


 
Resolución 
 
1 - 9 +25 - 23
+3 -18 +21
x
3
1 - 6 +7 - 2
x - 3 = 0
x = 3
Coeficiente del cociente Resto 
Luego: 
 Q(x) = x2  6x + 7 
 R(x) =  2 
 
Segundo Caso: Divisor = ax + b 
Ejemplo: Dividir 
2x3
16x12x5x29x18 235


 
Resolución 
 
18 0 -29 -16
-12 +8 +12
: 3
18 -12 -21 - 4
3x+2=0
-5
+14
-12
-6
+9 -18
6 -4 -7 +3 -6
x = -
2
3
2
3
 
Luego: 
 Q(x) = 6x4  4x3  7x2 + 3x  6; 
 R(x) =  4 
 
Tercer Caso: Divisor = axn + b 
 
Ejemplo: Dividir 
7x2
57x56x47x31x6
10
10203040


 
Resolución 
6 -31 47 +57
21 -35 -49
: 2
6 -10 +12 +8
-56
+42
-14
3 -5 +6 -7
2x - 7=0
10
2x =7
10
x =7/2
10
7/2
 
Luego: 
 Q(x) = 3x30  5x20 + 6x10  7 
 R(x) = 8 
PRÁCTICA DE CLASE 
1. Efectuar las siguientes divisiones de monomios: 
1. 
522
643
zyx3
zyx24

 Respuesta:…………………. 
 
2. 
zyx3
zyx21
42
68
 Respuesta:………………….
 
 
3. 
1mn
3m2n
yx2
yx8


 Respuesta:…………………. 
 
 
4. 
nm
nm
yx
yx
1
32
8
21
4
7




 Respuesta:…………………. 
 
2. Efectuar las siguientes divisiones de polinomios con 
monomios: 
1.
343
543453345
zyx9
zyx9zyx3zyx27 
 
 Respuesta:…………………. 
2.
837
103785867
zyx6
zyx36yzx6zyx12 
 
 Respuesta:…………………. 
 
3. 
34
3564118
ba7
ba14ba42ba35 
 
 
Universidad San Pedro “Facultad de Ciencias Contables y Administrativas” 
 ALEX IPARRAGUIRRE ZAVALETA 16 MATEMÁTICA EMPRESARIAL I 
 
 Respuesta:…………………. 
 
4. 
 Respuesta:…………………. 
 
3. Hallar el cociente y residuo al dividir por el 
método de Guillermo Horner 
1. 
5x3x4
19x21x5xx12
2
234

Respuesta:………………….
 
2. 
1xx3
5x7x8x5x4x6
2
2345


 
 Respuesta:………………….
 
3. 
 1x2x4x3
3x17x5xx6
23
234


 
 Respuesta:………………….
 
4. 
8x7x
9x2xx8x7x
2
2345


 
 Respuesta:………………….
 
5. Dividir: 
2xx3
9x7x10x18x7x6
23
2345


 
 
 Respuesta:………………….
 
6. Dividir: 
1x2x4x3
3x52x17xx6
23
34


 
 
 Respuesta:………………….
 
4. Hallar el cociente y residuo por la regla de Paolo 
Ruffini. 
1. 2x3 – 1 + x – 2x2 entre x + 1 
 
2. 7x8 – 3x2 + x5 – x + 4 entre x - 1 
 
3. 6x5 – 3x3 + 3x + 6 entre x – 1 
 
4. 3 – x + 2x4 – 2x3 + 7x – 11 entre x + 2 
 
5. Dividir: 
2345 a4a3a2a  entre a - 1. El 
residuo es: 
a) 0 b) 2a2 c) - 2a2 d) a2 e) 1 
 
6. Luego de efectuar la división: 
 
 
3x5x
13x3x3x13x3
2
234


 El resto es: 
 
a) 3x - 1 b) 2x + 3 c) 2x + 1 
d) 4x - 1 e) 11x + 1 
 
7. Luego de dividir: 
2x3x
9x5x3x2x5
2
234


 
Proporcione el residuo 
 
a) 65x + 73 b) 65x - 73 c) - 65x + 73 
d) - 65x - 73 e) 65x + 70 
8. Dividir: 
1x2x3
4x7x25x16x6
2
234


 
 
Proporciones la suma de coeficientes del cociente 
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 
 
9. Luego de dividir: 
2x5
8x7x5x6x15 234


 
El coeficiente del término lineal del cociente es: 
a) 1 b) - 1 c) 2 d) 3 e) - 2 
 
10. Efectuar: 
6x2x3
8x28x41x22x15
2
234


 
 
Proporcione el término independiente del residuo 
 
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) - 1 
 
11. Dividir: 
4x5x3x2
4x7x20x15x4
23
235


 
 
a) 2x3x2
2  b) 1xx2
2  c) 
d) 2x3x2
2  e) 1x3x2
2  
 
3p5n4m
6p7n8m4p11n5m10p9n7m
zyx3
zxx3zyx6zyx12

 
1x3x2 2 
 
Universidad San Pedro “Facultad de Ciencias Contables y Administrativas” 
 ALEX IPARRAGUIRRE ZAVALETA 17 MATEMÁTICA EMPRESARIAL I 
 
12. Dividir: 
23x
7x19x19x2x12x 3456


 
E indicar el menor coeficiente del cociente 
a) 1 b) 2 c) 3 d) – 5 e) –10 
 
13. Calcular la suma de coeficientes del cociente de 
dividir: 
 
1x
18x10x5xx2 29899


 
a) 97 b) 98 c) 99 d) 100 e) 101 
 
 PRODUCTOS NOTABLES 
Producto Notable: Se denomina Producto al 
resultado de una multiplicación y llamamos Notable 
a todo aquello que merece una nota o atención, es 
decir a aquello importante que se da a notar. Sin 
lugar a dudas los Productos Notables son 
importantes, cuyos resultados se deben conocer sin 
necesidad de efectuar operaciones. 
 
1. BINOMIO AL CUADRADO TRINOMIO 
CUADRADO PERFECTO: 
 
 

perfectocuadradoTrinomio
222 bab2aba  
 
  222 bab2aba  
 
 
2. IDENTIDADES DE LEGENDRE: 
ab4)ba()ba(
)ba(2)ba()ba(
22
2222


 
 
3. DIFERENCIA DE CUADRADOS 
   22 bababa  
 
4. MULTIPLICACIÓN DE BINOMIOS CON UN 
TÉRMINO EN COMÚN: 
 
     
productosuma
2 abxbaxbxax   
 
5. BINOMIO POR TRINOMIO “SUMA O 
DIFERENCIA DE CUBOS” 
   332 baabababa  
   3322 babababa  
 
5. DESARROLLO DE UN TRINOMIO AL CUADRADO 
 
  bc2ac2ab2cbacba 2222  
 
6. IDENTIDAD DE ARGAN´D: 
Forma General: 
nnmmnnmmnnm yyxxyyxxyyx 42242222m ))((x 
 
Equivalencias notables de ARGAN´D: 
))((x )x(x 22224224 yxyxyxyyy 
)1)(1(x 1)x(x 2224  xxx 
 
PRÁCTICA DE CLASE 
1. Calcular: (x + 1)(x - 2) - (x - 3)(x + 2) 
a) -4 b) - c) 2 d) 6 e) 4 
 
2. Reducir: (x - 3)(x - 1) - (x - 5)(x + 1) 
a) 2 b) 5 c) 8 d) 4 e) 6 
 
3. Efectuar: (x + 2)2 - (x - 2)2 
a) 4 b) 0 c) 8x d) 4x e) 16x 
 
4. Efectuar: (x + 1)2 + (x - 1)2 - 2x2 
a) x2 b) 2 c) 0 d) 4x2 e) -x2 
 
5. Reducir: (x - 3) (x + 3) + 9 
a) x2 b) 2x c) 2x2 
d) x2 + 18 e) x2 – 18 
 
6. Efectuar: (x - 3)2 - (x - 7) (x + 1) 
 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
7. Simplificar: 
 R = (x + a) (x - a)(x2 + a2)(x4 + a4) + a8 
a) x4 b) x8 c) x6 
 
Universidad San Pedro “Facultad de Ciencias Contables y Administrativas” 
 ALEX IPARRAGUIRRE ZAVALETA 18 MATEMÁTICA EMPRESARIAL I 
 
d) x16 e) Cero 
 
8. Si: a + b = 4 ; ab = 3, calcular: a3 + b2 
 
a) 64 b) 28 c) 12 
d) 30 e) 36 
 
9. Si: a + b = 6 ; ab = 4, calcular: a3 + b3 
 
a) 108 b) 164 c) 124 d) 144 e) 44 
 
10.Simplificar la expresión: 
    
 
   
 
8
93
929
9
83
828
1x
1xx1x
1x
1xx1x



















 
 
a) (x + 1)17 b) (x – 1)17 c) x17 
d) x e) 1 
 
11.Calcular: (2x2 + 3y)2 
a) 4x4 + 12x2y + 9y2 d) 2x4 + 6x2y + 3y2 
b) 2x4 + 12x2y + 3y2 e) 4x4 + 6x2y + 9y2 
c) 4x4 + 6x2y + 9y4 
 
12.Efectuar: (x + 1)(x - 1) + (2 + x)(2 - x) 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) -3 
 
13.Efectuar abreviadamente:    22xx2 22  
a) x2 b) x8 c) – 4 d) x4 e) 0 
 
14.Sabiendo que: a + b + c = 4; a2 + b2 + c2 = 6 
Hallar: ab + ac + bc 
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 
 
15. Efectuar: 
22
32323232 











 
a) 1 b) 5 c) 8 d) 3 e) 4 
 
16.Después de efectuar y simplificar: 
M = x27 + (1– x) (1 +x +x2) (1+ x3 +x6) (1 + x9 + x18) 
Se obtiene: 
a) 1 b) – 1 c) x3 d) x9 e) x27 
 
 
 PROBLEMA RETO 
Podrá el perro Jhon Morrisson, que se 
encuentra en su casa, coger el hueso; con la 
condición de que recorra todo el trayecto, sin 
pasar dos veces por el mismo trayecto, 
pudiendo cruzarse los recorridos. 
 
 
 
a) Si b) no c) Faltan Datos 
d) no se puede determinar e) N.A 
HHOONNRRRRAA AA 
TTUU 
PPAADDRREE YY AA TTUU MMAADDRREE 
PPAARRAA QQUUEE DDIIOOSS 
TTEE BBEENNDDIIGGAA 
EENN AAÑÑOOSS……