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Matemáticas 1 con enfoque químico-biológico
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ii
CON UN ENFOQUE QUÍMICO BIOLÓGICO
P r i m e r a e d i c i ó n
Vol. II
Pablo Flores Jacinto
María Catalina Cárdenas Ascención
Enrique García Leal
Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Estudios Superiores Zaragoza
MATEMÁTICAS 1
iii
Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Estudios Superiores Zaragoza
Datos para catalogación bibliográfica
Autores: Pablo Flores Jacinto, María Catalina Cárdenas Ascención, Enrique García Leal
Matemáticas 1 con un enfoque químico biológico
UNAM, FES Zaragoza, diciembre 2018.
Volumen II, 222 pp.
ISBN de la Colección: 978-607-30-1148-8
ISBN individual: 978-607-30-1150-1
Diseño de portada y gráficos: Pablo Flores Jacinto.
Proyecto Papime PE100818
DERECHOS RESERVADOS
Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del texto o las ilustraciones de
la presente obra bajo cualesquiera formas, electrónicas o mecánicas, incluyendo fotocopiado,
almacenamiento en algún sistema de recuperación de información, dispositivo de memoria
digital o grabado sin el consentimiento previo y por escrito del editor.
Matemáticas 1 con un enfoque químico biológico
D.R. © Universidad Nacional Autónoma de México
Av. Universidad # 3000, Col. Universidad Nacional Autónoma de México, C.U.
Delegación Coyoacán, C.P. 04510, Ciudad de México.
Facultad de Estudios Superiores Zaragoza, Campus II
Batalla 5 de mayo s/n esquina Fuerte de Loreto, Col. Ejército de Oriente
Delegación Iztapalapa, C.P. 09230, Ciudad de México
iv
Índice
Primera parte: Cálculo diferencial para una variable
Página
9. Límites y continuidad 1
9.1 Definición y propiedades de límites. 2
9.2 Definición y propiedades de continuidad. 14
10. La derivada 23
10.1 Definición y propiedades de la derivada. 24
10.2 Reglas de derivación. 29
10.3 Derivadas de orden superior. 67
11. Derivada implícita 79
11.1 Definición de función implícita. 80
11.2 Métodos de derivación implícita. 83
12. Máximos y mínimos 97
12.1 Concepto de máximos y mínimos y puntos de inflexión. 98
12.2 Criterios de la primera y segunda derivada para
determinar máximos y mínimos.
12.3 Aplicaciones de máximos y mínimos.
101
108
13. Razón de cambio y diferenciales 117
13.1 Razón de cambio y diferenciales. 118
13.2 Aplicaciones de razón de cambio y diferenciales. 118
v
Segunda parte: Ecuaciones diferenciales de varias variables
Página
14. Dominios y curvas de nivel para dos o más variables
reales
135
14.1 Concepto de una función con dos o más variables
independientes.
136
14.2 Dominio de una función con dos o más variables.
14.3 Curvas de nivel.
144
157
15. Límites para dos o más variables reales 163
15.1 Definición y propiedades de límite para una función con
dos o más variables.
164
15.2 Cálculo de límites. 165
16. Derivadas parciales 175
16.1 Definición y propiedades de las derivadas parciales de
una función con dos o más variables independientes.
176
16.2 Regla de la cadena para derivadas parciales. 184
16.3 Diferencial total. 185
16.4 Derivadas de orden superior.
16.5 Máximo y mínimos
16.6 Multiplicadores de Lagrange.
188
190
196
Respuestas a los problemas de número impar 206
Referencias
Índice alfabético
211
214
vi
Prefacio
Los autores de la presente obra se dieron a la tarea de crear un
libro de Matemáticas con un claro objetivo; que los alumnos de
carreras afines a las ciencias químico, biológicas y de la salud,
puedan apreciar la aplicación del cálculo diferencial para una y
varias variables en sus respectivas áreas con el uso de ejemplos
sencillos pero muy claros de las aplicaciones de las matemáticas en
estas áreas además del uso de pictogramas que hacen ameno y
didáctico el manejo del presente libro.
Este volumen II llamado “Matemáticas 1 con un enfoque químico
biológico”, el cual se divide en dos partes; en la primera se aborda
el cálculo diferencial de una variable, mientras que en la segunda se
estudia el cálculo diferencial para dos o más variables.
En el capítulo 10 se da a conocer las bases de lo que es el cálculo
diferencial en general definiendo sus bases como lo es el concepto
de límite y el de continuidad, lo cual nos da la entrada al capítulo 11
titulado derivada, en este capítulo los autores explican de forma
muy sencilla a través del uso de los límites el concepto de derivada
y de igual manera nos van guiando de manera sencilla en la
resolución de problemas y nos van demostrando el uso de cada una
de las reglas que se aplican para la derivada, pasando desde
derivadas sencillas de monomios y polinomios, derivadas
trigonométricas, el uso de cambios de variables para la solución de
problemas y la aplicación de las reglas de la cadena, en el capítulo
12 se explica y se define lo que es la derivación implícita, en los
capítulos 13 y 14, se enseñan algunas de las aplicaciones de las
derivadas tales como máximos y mínimos donde se busca muchas
veces maximizar una reacción o la manera de hacerla más eficiente
vii
o bien el poder reducir el consumo de algún reactivo, mientras que
la razón de cambio nos ofrece una gran versatilidad para ver el
comportamiento de cierta variable de estudio con respecto al
tiempo.
En las siguiente sección se ve el cálculo diferencial para dos o más
variables iniciando con el capítulo 15 el cual nos enseña el concepto
de dominio de la función y éste nos lleva al manejo de gráficos en
3D y el uso de éstas en un plano bidimensional denominado curvas
de nivel, posteriormente en el capítulo 16 definimos el concepto de
límite para varias variables y retomamos algunas propiedades de
límite de una variable las cuales las extrapolamos al uso de dos o
más variables, finalmente en el capítulo 17 vemos el concepto de
derivadas parciales con el uso de más de una variable
independiente.
Cabe destacar que al igual que el volumen I, es un libro que ilustra y
explica de manera muy sencilla el uso de las matemáticas y que nos
lleva a dar un paseo por el mundo de las matemáticas aplicadas
específicamente en el cálculo diferencial de una y varias variables
amalgamando de manera creativa los fascinantes mundos de la
química, las ciencias biológicas y de la salud, esperamos que esta
obra sea de su agrado como lo es para nosotros.
viii
Agradecimientos
Los autores desean expresar su
agradecimiento a quienes han
colaborado para enriquecer este
material:
QFB Georgina Cecilia Rosales
Rivera
QFB. Víctor Hugo Becerra López.
M en D.I.I.E. María Isabel Garduño
Pozadas.
Ing. Miguel Ángel Cuevas
Hernández.
M. en C. Armando Cervantes
Sandoval.
Y al laboratorio de análisis de
fármacos y materias primas de FES
Zaragoza de la UNAM.
Los autores
Pablo Flores Jacinto
Ingeniero Químico de la Facultad de
Química de la UNAM, posgrado en
Ingeniería Ambiental del IPN.
María Catalina
Cárdenas Ascención
Química de Alimentos de la Facultad
de Química de la UNAM, posgrado en
Ciencias Bioquímicas de la UNAM.
Enrique García Leal
Ingeniero Químico de la Facultad de
Química de la UNAM, posgrado en
Ingeniería de Materiales en la UNAM.
ix
Los iconos que se utilizan en el
libro, para desarrollar los
conocimientos de matemáticas
son:
Definición
Recuerda
conceptos
Aplicación
Ejercicios
de refuerzo
INTENCIÓN COMPRENDER
del libro para aprender
Este segundo volumen tiene la
intención de llegar a los alumnos
de las áreas de química biológicas
especialmente para fortalecer el
cálculodiferencial de una y varias
variables, con la misma
perspectiva de que puedan
observar a detalle los ejercicios
con un grado de dificultad
prometedor, que conlleve a un
conocimiento más sistemático de
la resolución de ejercicios con
aplicaciones a la química.
Cada capítulo también es
acompañado por una variedad de
ejercicios resueltos en forma
extensiva y al final de éstos se
tiene la serie de ejercicios que
pretende reforzar el
conocimiento.
De igual forma los ejercicios que
requieren el uso de herramientas
anteriores a este curso se
encuentra en el icono de
“Recuerda conceptos”.
1
Primera parte: Cálculo diferencial para
una variable
Capítulo nueve
Límite y continuidad
𝑥 − 𝑥0 < 𝛿 → 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 𝜀
La idea de límite surge con H. E. Heine (1821-
1881); discípulo de Cauchy, quien lo definió
como:
La función 𝑓 𝑥 tiene límite 𝐿 en 𝑥 = 𝑥0 si
dado 𝜀 > 0 existe un 𝛿 tal que para toda 𝑥 en
el intervalo
Los límites
establecen en la
industria los costos
menores para una
mayor ganancia.
“Las frases de “infinitesimal”, “variable que se
acerca a”, o “tan pequeña como uno quiera”
desaparecen cuando nacen los famosos "𝜀" y
"𝛿", utilizados en el lenguaje moderno para
definir el límite y la continuidad
Ángel Ruíz
9. Límite y continuidad
2
9.1 Definición y propiedades de límites
Una vez que se asigna un valor a la función se evalúa y se obtiene una estimación de
ésta, pero si por alguna razón se pretende llegar a un valor con la mayor proximidad
sin tocarlo se dice que se está calculando el límite de la función.
La primera intuición del cálculo de un límite es
acercarse lo más posible sin llegar a tocarlo,
como el hombre que está a punto de caerse por
llegar al “límite” del risco.
Uno de los argumentos más recurrente del por
qué no se puede tocar un valor, es debido a la
división entre cero, por ejemplo, en la siguiente
función:
=
−
−
El valor que no puede tomar en el
denominador es:
=
Definición
Se define el límite como lim𝑥→𝑐 𝑓 𝑥 = 𝐿, cuando 𝑥 se acerca mucho al valor de 𝑐,
se dice que “𝑥 tiende a 𝑐” con lo que se puede encontrar el valor de C.
9. Límite y continuidad
3
Debido a que el 1 conduce directamente a una división entre cero, el valor de la
función se obtiene acercándose alrededor del 1. Se puede tabular y ver el
comportamiento en la Figura 9.1.
Otro ejemplo, es aproximar el valor de una variable para obtener el área de un
circulo por el método de agotamiento, que consiste en inscribir polígonos dentro
del círculo, a medida que aumente el número de lados del polígono; la diferencia de
áreas disminuye (ver Figura 9.2).
Figura 9.2 Diferencia de áreas entre un círculo y un polígono
=
−
−
0.8 -1.8
0.9 -1.9
0.99 -1.99
0.999 -1.999
1.00
-2.0
1.001 -2.001
1.01 -2.01
1.1 -2.1
1.2 -2.2
Figura 9.1 Límite de una función
9. Límite y continuidad
4
Se puede establecer que el área de un círculo es el límite del área del polígono
inscrito, cuando el número de lados tiende hacia el infinito, es decir:
= lim
→
Donde es el número de lados o caras del polígono.
Para determinar el área de una curva delimitada por el eje , se pueden utilizar
también la aproximación de áreas de rectángulos (que es muy importante en el
cálculo integral), por ejemplo en la Figura 9.3 se ilustra la obtención del área debajo
de la curva de la función = √ , en un intervalo de [0 ], en el inciso a) sólo se
utilizaron 3 rectángulos mientras que en el inciso b) se emplearon 6 rectángulos.
Figura 9.3 Cálculo del área bajo la curva utilizando áreas de rectángulos.
Recuerda que…
El área de un círculo es 𝜋𝑟 , pero los griegos no recurrieron a los límites para
encontrar esta ecuación, sino al método de agotamiento.
9. Límite y continuidad
5
Se puede apreciar en la Figura 9.3 que a medida que aumenta el número de
rectángulos y estos tienden al infinito el error del cálculo del área bajo la curva
disminuye, es decir:
= lim
→
Donde es el número de rectángulos empleados.
El estudio de límites ha revolucionado muchas áreas de las ciencias ya que tiene que
ver con el modelaje de fenómenos, debido a que manifiesta una razón de cambio,
por ejemplo, en una velocidad de reacción de orden , el cálculo de un reactor
químico, la superficie de reacción en un catalizador, etc.
9.1.1 Límites de una función
Una función puede tener límite, por lo que es importante primero analizar cuando
está o no definida, se puede observar en la Figura 9.4 que cuando está cerca de ,
es decir:lim → = , puede ser que el límite exista (a); que el límite no esté
definido (b) o bien que no exista (c).
Figura 9.4 Límite cuando x tiende a
9. Límite y continuidad
6
Ejemplo 1
Escriba el límite, si es que existe, de la
siguiente figura:
Solución
lim
→
= −
lim
→
=
Ejemplo 2
Encuentre el límite del polinomio = − , cuando se acerca a 1.
Solución
Primero se utiliza la definición anterior.
lim
→
− =
lim
𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝐿
Definición
Para encontrar el límite de una función polinomial se utiliza la siguiente regla:
9. Límite y continuidad
7
Se evalúa la función en 1.
= − =
Por lo tanto, el límite de:
lim
→
− =
Gráficamente se tiene lo siguiente:
Ahora para una función racional al igual que en el caso anterior se usará la definición
del límite de un polinomio, pero teniendo cuidado de que el valor del denominador
no conduzca a cero.
Ejemplo 3
Encuentre el límite de la función:
lim
→
−
Solución
lim
→
−
=
lim
→
−
= −
9. Límite y continuidad
8
Ejemplo 4
Encuentre el límite de la función:
lim
→
Solución
Primero se realiza la factorización del numerador y del denominador, debido a que
la función no está definida en -2.
lim
→
= lim
→
Se suprime , quedando:
lim
→
Finalmente se evalúa la función en -2
lim
→
= −
− =
−
=
Definición
Para encontrar el límite de una función racional se debe de factorizar el polinomio
del numerador y denominador; para evitar la división entre cero, a este
procedimiento se le conoce como método analítico.
9. Límite y continuidad
9
Ejemplo 5
La velocidad de reacción en un reactor está definida por la siguiente ecuación:
=
−
Dónde:
Es la velocidad de reacción(
).
Es el tiempo en minutos ( ).
Es la constante de equilibrio y tiene un valor de 10
.
Calcule la velocidad de reacción a los 5 minutos.
Solución
Debido a que la reacción no está definida a los 5 minutos se toma como límite a este
tiempo y se realiza el método analítico.
lim
→
−
−
lim
→
− −
−
lim
→
− =
= 0 −
= 0
La velocidad de reacción es:
9. Límite y continuidad
10
9.1.2 Límites al infinito
Las funciones que tienen el límite que tiende al infinito se encuentran en gráficas
que presentan asíntotas verticales u horizontales. Por ejemplo, si se gráfica la
función:
=
−
Lo que se tiene es que cuando tiende a -1, es evidente que el límite en ese punto es
inexistente, es decir:
lim
→
−
En la gráfica se puede ver lo que ocurre cuando se acerca por la derecha y por la
izquierda a -1, se genera una asíntotavertical (ver Figura 9.5).
Figura 9.5 Límite con una asíntota vertical ubicada en = −
En general se puede decir si se acerca por la izquierda:
lim
→
−
=
9. Límite y continuidad
11
Se puede generalizar lo que ocurre en los límites cuando existen asíntotas
verticales (ver Figura 9.6).
Figura 9.6 Límites cuando se presentan asíntotas en las funciones
También existen funciones que presentan asíntotas horizontales, normalmente se
presentan en ecuaciones de tipo exponencial, aunque también existen de tipo
polinomial y potencial.
9. Límite y continuidad
12
9.1.3 Propiedades de los límites
Para establecer las propiedades de los límites debe considerarse que los límites de
y existen, por lo que se tiene:
Tabla 10.1
Límites cuando se presentan asíntotas en las funciones
Propiedad Regla
1. Polinomio lim
→
[ ] =
2. Constante lim
→
[ ] = lim
→
3. Suma y
Diferencia
lim
→
[ ] = lim
→
lim
→
4. Producto lim
→
[ ] = lim
→
lim
→
5. Cociente lim
→
*
+ =
lim
→
lim
→
0
6. Potencia lim
→
[ ] = *lim
→
+
7. Raíz lim
→
[ √
] = √lim
→
√lim
→
=
9. Límite y continuidad
13
Ejemplo 5
Use las propiedades de los límites y resuelva las siguientes funciones:
lim
→
−
lim
→
(
−
)
Solución
Utilizando las propiedades de los límites indicados en la tabla 10.1 se tiene:
lim
→
− − = lim
→
− lim
→
− lim
→
lim
→
− − = lim
→
− lim
→
− lim
→
lim
→
− − = *lim
→
+
−*lim
→
+
− lim
→
lim
→
− − = − −
lim
→
− − =
Para este inciso se puede aplicar varias propiedades de los límites en un solo paso:
lim
→
(
−
) =
* lim
→
+
− lim
→
lim
→
lim
→
lim
→
(
−
) =
− − −
−
= −
9. Límite y continuidad
14
9.2 Definición y propiedades de continuidad
La continuidad de una función tiene que ver con que la curva de una gráfica no
sufra algún salto o ruptura. Para ejemplificar esta situación imagine que trazará una
gráfica y se dice que es continua cuando se dibuja la curva sin despegar el lápiz del
papel. Ésta característica puede aplicarse a solo una sección de la gráfica, por lo
que puede presentar continuidad en cierto intervalo.
Para demostrar la inexistencia de la continuidad se puede visualizar que las tres
reglas no se cumplen. i) no existe la función en un punto, ii) después existe un salto
y iii) finalmente la función cuando se acerca a un punto el límite no existe (ver
Figura 9.7).
Figura 9.7 Continuidad de una función
9. Límite y continuidad
15
Ejemplo 6
Determine si las siguientes funciones son continuas.
=
−
=
= ‖ ‖
Solución
Para verificar si las funciones son o no continuas, las gráficas de cada una son:
Para a) la función no está definida en x=-1, para b) la función no está definida
cuando = 0, se convierte en una asíntota y para c) tiene discontinuidades en
todos los enteros.
También se pueden establecer las condiciones de continuidad cuando se presenta
una gráfica.
9. Límite y continuidad
16
Ejemplo 7
Cuáles son las condiciones de continuidad que no se cumplen para la siguiente
función:
Solución
Esta curva se puede representar por una función
de la forma √ , por lo que:
= {√
=
Eje Ejemplo 8
Cuando se aproxima por la derecha (+) y la izquierda (-), diga si las aseveraciones
son verdaderas o falsas de la siguiente gráfica:
Solución
lim
→0
=
lim
→
=
lim
→
=
lim
→
=
17
Ejercicios de refuerzo
UNIDAD 9 LÍMITES Y CONTINUIDAD
I. Encuentre los límites de las siguientes funciones.
lim
→
−
lim
→
−
lim
→
√
lim
→
−
lim
→
−
lim
→
√
lim
→
√ −
lim
→
ln (
)
lim
→
ln (
)
0 lim
→
(
)
9. Límite y continuidad
18
II. Use las propiedades de los límites para encontrar los límites que se
piden en cada figura.
lim
→
lim
→
lim
→0
lim
→
lim
→
lim
→
lim
→
lim
→
lim
→
lim
→
lim
→0
lim
→
9. Límite y continuidad
19
III. Utilice las propiedades de los límites para resolver las siguientes funciones.
lim
→
lim
→
−
lim
→
(
−
)
lim
→
√ −
lim
→
−
0 lim
→
lim
→
[ (
)
]
lim
→
−
lim
→
√(
−
)
lim
→
lim
→
(
lo
)
IV. Utilice el método analítico para encontrar los límites de las siguientes
funciones.
lim
→
(
−
−
)
lim
→
(
−
−
)
lim
→0
(
−
)
lim
→
(
−
√ −
)
0 lim
→
(
−
−
)
lim
→
(
−
)
lim
→
(
−
−
)
lim
→
(
−
)
lim
→
(
−
−
)
lim
→
(
−
−
)
9. Límite y continuidad
20
V. Describa las siguientes gráficas utilizando la definición de continuidad.
9. Límite y continuidad
21
VI. Verifique si las siguientes funciones son continuas en 4, si no, ¿Explique por
qué?
0 =
= −
=
−
= √ −
=
−
−
=
−
√ −
VII. Verifique en ¿Cuáles puntos hay continuidad?
=
=
−
=
−
= (
−
−
)
VIII. De la siguiente gráfica indique si las aseveraciones son verdaderas o falsas:
0 lim
→− −
=
lim
→−
=
lim
→0
= 0
lim
→0−
=
lim
→
=
lim
→ −
=
9. Límite y continuidad
22
23
La derivada tiene
diversas aplicaciones
en la química como en
la determinación de la
concentración, el pH, la
cantidad de sustancia,
índice de crecimiento
de un microorganismo,
índice de solución, etc.
Capítulo diez
La derivada
“Los cambios indudablemente por pequeños
que sean, pueden ser descritos por una
ecuación”
Cuando se quiere conocer un cambio de
algún parámetro es común utilizar el
concepto de derivada.
La derivada se puede entender como una
“tasa de cambio”, es decir de una función f(x)
de la cual se puede conocer ¿Cómo varía
respecto al cambio de “x” en un momento
instantáneo? Esta tasa de cambio
instantáneo se llama derivada.
10. La derivada
24
Gottfried Leibniz.
Alemán que es
considerado como uno
de los últimos genios, a
él se le atribuye el
cálculo diferencial.
10.1 Definicióny propiedades de la derivada
Si el límite de existe decimos que es diferenciable en ese punto. Por lo que
encontrar la derivada se le conoce como derivación. La rama de las matemáticas
asociada a la derivada se conoce cómo cálculo diferencial.
Normalmente la derivada es relacionada con la
velocidad, debido a que es el cambio de la
posición respecto al tiempo, como se ilustra en
la escena del “Correcaminos y el coyote”.
La explicación matemática de la derivada parte
de la recta tangente, cuya definición se le
atribuye a Leibniz (ver Figura 10.1).
Figura 10.1 Gottfried Leibniz
10. La derivada
25
Definición
La derivada de una función 𝑓 𝑥 es otra función 𝑓 ´ 𝑥 (léase como efe prima de
equis) cuyo valor de x evaluado en “A” está dado por:
Siempre que el límite exista.
𝑓 ´ 𝐴 = lim
ℎ→0
𝑓 𝐴 ℎ − 𝑓 𝐴
ℎ
La derivada se obtiene moviendo la recta secante a una curva, hasta obtener una
tangente; esto lo observamos en la Figura 10.2, en donde (a) las coordenadas de la
recta secante de P son ℎ y de Q son ℎ − , (b) moviendo el
punto Q, hacia P a lo largo de la curva, la distancia que los separa se acorta hasta
llegar al límite donde los puntos se tocan en este momento decimos que tenemos
una tangente.
Figura 10.2 Obtención de la recta tangente a partir de una recta secante
Por lo tanto, la pendiente de la recta tangente es el límite de la recta secante, por lo
que sustituimos el valor del límite de la recta secante, obtenemos que:
10. La derivada
26
Ejemplo 1
Derive la siguiente función = cuando = .
Solución
´ = lim
ℎ→0
[ ℎ] − [ ]
ℎ
´ = lim
ℎ→0
[ ℎ ] − [ ]
ℎ
´ = lim
ℎ→0
[ 0 ℎ ] − [ 0 ]
ℎ
´ = lim
ℎ→0
ℎ
ℎ
´ = lim
ℎ→0
=
Ejemplo 2
Derive la siguiente función = .
Solución
´ = lim
ℎ→0
[ ℎ] − [ ]
ℎ
´ = lim
ℎ→0
[ ℎ ℎ ] − [ ]
ℎ
10. La derivada
27
´ lim
ℎ→0
[ ℎ ℎ ℎ] − [ ]
ℎ
=
ℎ ℎ ℎ
ℎ
´ = lim
ℎ→0
ℎ ℎ
ℎ
= ℎ
Evaluando el valor del límite de h, se tiene: ´ =
Ejemplo 3
Derive la siguiente función =
Solución
´ = lim
ℎ→0
[ ℎ] − [ ]
ℎ
´ = lim
ℎ→0
*
ℎ
+ − *
+
ℎ
Se determina un denominador común en la parte superior de la función y se realizan
las operaciones debidas.
´ = lim
ℎ→0
ℎ
ℎ
ℎ
Se realiza el cociente
´ = lim
ℎ→0
− ℎ
ℎ ℎ
10. La derivada
28
´ = lim
ℎ→0
− − ℎ
ℎ ℎ
´ = lim
ℎ→0
−ℎ
ℎ ℎ
´ = lim
ℎ→0
−
ℎ
´ = lim
ℎ→0
−
ℎ
Evaluando el valor del límite de ℎ se tiene:
´ = −
Ejemplo 4
En México, en 2009 se presentó la pandemia de la
gripe A(H1N1) conocida como “gripe porcina” (ver
Figura 10.3). La estimación oficial de personas
enfermas de gripe a días después del comienzo está
dada por la siguiente aproximación:
= − −
¿Cuál es el índice de difusión de la enfermedad a la
tercera semana?
Fuente: wikimedia.org
Figura 10.3 Virus H1N1
https://www.google.com.mx/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwiNybTOv6fSAhXo64MKHc7DBbMQjRwIBw&url=https://commons.wikimedia.org/wiki/File:H1N1_influenza_virus.jpg&bvm=bv.147448319,d.cGc&psig=AFQjCNGZPDbmQLOugl0u3MTpwqLWD9W2dA&ust=1487983213524241
https://www.google.com.mx/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwiNybTOv6fSAhXo64MKHc7DBbMQjRwIBw&url=https://commons.wikimedia.org/wiki/File:H1N1_influenza_virus.jpg&bvm=bv.147448319,d.cGc&psig=AFQjCNGZPDbmQLOugl0u3MTpwqLWD9W2dA&ust=1487983213524241
https://www.google.com.mx/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwiNybTOv6fSAhXo64MKHc7DBbMQjRwIBw&url=https://commons.wikimedia.org/wiki/File:H1N1_influenza_virus.jpg&bvm=bv.147448319,d.cGc&psig=AFQjCNGZPDbmQLOugl0u3MTpwqLWD9W2dA&ust=1487983213524241
https://www.google.com.mx/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwiNybTOv6fSAhXo64MKHc7DBbMQjRwIBw&url=https://commons.wikimedia.org/wiki/File:H1N1_influenza_virus.jpg&bvm=bv.147448319,d.cGc&psig=AFQjCNGZPDbmQLOugl0u3MTpwqLWD9W2dA&ust=1487983213524241
https://www.google.com.mx/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwiNybTOv6fSAhXo64MKHc7DBbMQjRwIBw&url=https://commons.wikimedia.org/wiki/File:H1N1_influenza_virus.jpg&bvm=bv.147448319,d.cGc&psig=AFQjCNGZPDbmQLOugl0u3MTpwqLWD9W2dA&ust=1487983213524241
10. La derivada
29
Solución
Para 3 semanas
Se deriva la función = − − y se evalúa en la 3ra semana.
´ = lim
ℎ→0
[ ℎ] − [ ]
ℎ
´ = lim
ℎ→0
[− [ ℎ ] ℎ − ] − [− − ]
ℎ
´ = lim
ℎ→0
[− ℎ ℎ ℎ − ] − [− − ]
ℎ
´ = lim
ℎ→0
− ℎ ℎ ℎ
ℎ
Factorizando y evaluando el valor límite de h se obtiene:
´ = lim
ℎ→0
− ℎ = − − ℎ =
A la tercera semana se tuvieron 191 casos.
10.2 Reglas de derivación
El proceso para calcular la derivada de una función es un poco bromoso debido al
arduo uso del álgebra, por ello se establecen las siguientes reglas para obtener de
forma directa la derivada de una función. En primer lugar, se analizarán las
algebraicas.
10. La derivada
30
10.2.1 REGLAS DE DERIVADAS ALGEBRAICAS
Estas reglas se aplican de manera general a los monomios, polinomios y cocientes
de polinomios (ver Tabla 10.1).
Tabla 10.1
Reglas para derivadas algebraicas
Función Regla
Constante = 0
Potencia =
Múltiplo constante [ ] =
Suma y diferencia [ ] =
Producto
[ ] =
Cociente *
+ =
−
𝑑
𝑑𝑥
𝐷 𝑓 ´ 𝑥 𝑦´
Recuerda que…
Las formas de expresar la operación de derivación son:
10. La derivada
31
La obtención de la derivada de
una función nos genera otra
función. Pensemos en un proceso
químico donde se debe
acondicionar la materia prima para
ingresarla a un reactor químico
donde se llevará cabo la reacción
(ver Figura 10.4). Veamos
gráficamente (ver Figura 10.5),
que la derivada de una constante
es cero, mientras que para la
función identidad es 1, esto como
ya se revisó es el valor de la
pendiente de la función tangente a
nuestra recta.
Figura 10.5 Pendiente de una función constante y de una función identidad
Figura 10.4 Reactor químico, como un
símil del proceso de derivación
10. La derivada
32
Ejemplo 5
Utilice las reglas de la tabla 10.1 para derivar las siguientes funciones:
=
= −
= −
=
−
=
Solución
=
Se utiliza la regla del múltiplo constante.
=
´ =
Ahora se aplica la regla de la potencia.
´ =
Reacomodando.
´ =
10. La derivada
33
= −
Ahora se utiliza la regla de la suma y diferencia.
´ = −
Se aplica la regla del múltiplo constante y de la constante.
´ = − 0
Se utiliza la regla de la potencia.
´ = −
Finalmente.
´ = −
= −
Primero acomodamos la ecuación utilizando la regla de las potencias.
= −
Ahora utilizamos la regla del término constante y de la potencia.
´ = − −
´ =
Reacomodando la ecuación.
´ =
10. La derivada
34
=
−
Para derivar este cociente, derivamos primero el numerador y denominador.
= − ´ = −= ´ =
Aplicando la regla del cociente:
*
+ =
−
´ =
[ ] − [ − ]
Se realiza el desarrollo de las operaciones indicadas para llegar a la mínima
expresión.
´ =
[ ] − [ − ]
´ =
[ − − ]
´ =
− −
10. La derivada
35
=
Primero se utiliza la regla de suma y diferencia.
´ =
Para el primer término se utiliza la regla del cociente y para el segundo la regla de
la potencia.
Primer término
*
+ =
−
= ´ = 0
= ´ =
´ =
[ 0 ] − [ ]
´ =
Segundo término
=
´ =
Se unen los dos términos
´ = −
Reacomodando:
´ =
−
10. La derivada
36
10.2.2 REGLAS DE DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS
Primero se realizará la demostración de la función seno con la forma básica de la
derivada.
´ = lim
ℎ→0
ℎ −
ℎ
=
´ = lim
ℎ→0
ℎ −
ℎ
Utilizando la identidad trigonométrica =
´ = lim
ℎ→0
ℎ ℎ −
ℎ
Se agrupan términos semejantes
´ = lim
ℎ→0
ℎ − ℎ
ℎ
´ = lim
ℎ→0
ℎ −
ℎ
ℎ
ℎ
Reordenando
´ = lim
ℎ→0
ℎ
ℎ
− lim
ℎ→0
− ℎ
ℎ
Como y no varía en función de ℎ, lo consideramos como constante.
´ = lim
ℎ→0
ℎ
ℎ
− lim
ℎ→0
− ℎ
ℎ
Recordemos que:limℎ→0
ℎ
ℎ
= lim
ℎ→0
ℎ
ℎ
= 0
´ =
10. La derivada
37
La generalización de este procedimiento da lugar a las reglas de las derivadas de
las funciones trigonométricas (ver Tabla 10.2).
Tabla 10.2
Reglas para derivadas trigonométricas
Función Regla
Seno =
Coseno = −
Tangente =
Cotangente = −
Secante =
Cosecante = −
Ejemplo 6
Encuentre la derivada de = −
Solución
Se utiliza la regla de suma y diferencia y múltiplo constante.
´ = −
Se usa la regla de la derivada.
´ = − −
´ =
10. La derivada
38
Para realizar derivadas trigonométricas, muchas veces es necesario recurrir a
identidades que facilitan su desarrollo (ver Tabla 10.3).
Tabla 10.3
Identidades trigonométricas
Identidades trigonométricas fundamentales
=
=
=
=
= = =
Ángulos dobles
= =
−
= −
= −
= −
Medio ángulo
=
−
=
Suma y resta de ángulos
= o = −
− = − o =
=
−
− =
−
10. La derivada
39
Ejemplo 7
Encuentre la derivada de =
Solución
Se utiliza la regla del producto.
[ ] =
Se realizan las derivadas:
= ´ =
= ´ = −
Se forma la derivada:
´ = −
´ = −
Se factoriza la expresión.
´ = −
10. La derivada
40
Eje Ejemplo 8
Encuentre la derivada de:
=
Solución
Utilizando la regla del cociente.
*
+ =
−
= ´ =
= ´ = −
´ =
− −
´ =
−
Agrupando términos semejantes.
´ =
−
´ =
Recordemos que =
´ =
10. La derivada
41
Ejemplo 9
Encuentre la derivada de
=
Solución
Se utiliza la regla del cociente, regla del producto e identidad trigonométrica de
ángulo doble:
*
+ =
−
[ ] =
=
a) Derivada de la función del ángulo doble.
=
Se utiliza la identidad trigonométrica.
= =
Se aplica la regla del producto.
=
10. La derivada
42
´ = [ − ]
´ = [− ]
Se emplea la identidad trigonométrica.
= −
´ = [ − ]
´ = [ ]
´ =
b) La derivada del denominador = , también utilizando la regla del
producto.
Aplicando la regla queda:
´ =
c) Finalmente se utiliza la regla del cociente:
*
+ =
−
= ´ =
= ´ =
10. La derivada
43
´ =
−
Empleando álgebra:
´ =
−
´ =
− −
Separando en términos:
´ =
−
−
´ =
−
−
Se aplica la identidad = = −
´ =
−
−
−
´ =
*
−
+ −
[
] −
*
+
´ =
*
−
+ −
[
] −
*
+
10. La derivada
44
Se suprimen los valores que dan la unidad.
´ =
*
− + −
*
+ −
*
+
Se emplea la identidad trigonométrica de cotangente =
´ =
*
− + −
*
+ −
*
+
´ =
[ − ] −
[ ] −
*
+
Se restan.
´ =
[ ] −
[ ] −
[ ] −
*
+
´ = −
[ ] −
*
+
Se factoriza.
´ = −
(
)
10. La derivada
45
10.2.3 REGLAS DE DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS CON
CAMBIO DE VARIABLE
Muchas veces las derivadas trigonométricas involucran algún exponente o algún
ángulo doble como se muestra en la siguiente función.
Intentemos derivar
=
No existe alguna identidad que nos facilite la operación por lo que en su lugar se
define al ángulo como otra variable que se llamará = , esta nueva variable
está en función de x, por lo que es necesario derivar esta nueva variable como
du/dx, por lo que la derivada es:
´ = −
Y la parte du/dx
=
=
Se sustituye y
´ = −
Se reacomoda y se tiene:
´ = −
10. La derivada
46
Eje Ejemplo 10
Encuentre la derivada de = .
Solución
Aplicando la regla del producto se tiene:
[ ] =
Primero se deriva , teniendo a = , por lo tanto =
=
´ = −
Sustituyendo el valor de u y de´ = −
Reacomodando.
´ = −
Se establece que:
= ´ =
= ´ = −
Finalmente se tiene:
´ = −
Se reorganiza
´ = −
10. La derivada
47
Ejemplo 11
Encuentre la derivada de =
Solución
Primero se expresa la potencia de la función trigonométrica para cambiar la
variable.
= [ ]
Se cambia la variable por = quedando como:
=
Se deriva la nueva función y se tiene:
´ =
Ahora se deriva = :
=
Se sustituye la variable y en la derivada:
´ =
Finalmente queda:
´ =
𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒏 = 𝒔𝒆𝒏𝒏𝒙
Recuerda que…
En una función trigonométrica la potencia se puede escribir de la siguiente forma:
10. La derivada
48
También se puede realizar cambio de variable más de una vez.
Ejemplo 12
Encuentre la derivada de:
= (
)
Solución
Primero se designa =
por lo tanto, en primera instancia nuestra ecuación es:
=
La derivada es:
´ =
Ahora se debe de encontrar , para ello se utiliza la regla del cociente:
*
+ =
−
La derivada de , requiere nuevamente cambio de variable, por lo que
= .
=
Se deriva
´ = −
Se obtiene , si = , entonces:
10. La derivada
49
=
Se especifica la derivada de en términos de x, si = y = .
´ = −
´ = −
´ = −
Ahora se arma la derivada utilizando la regla del cociente con:
=
−
= ´ =
= ´ = −
=
[ ] − [ − ]
=
Se sustituye el valor de y
´ =
´ = (
)
[
]
10. La derivada
50
10.2.4 REGLAS DE DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Antes de presentar las reglas de las derivadas trigonométricas inversas
primero presentaremos el teorema de la función inversa.
La explicación de este teorema es que:
=
Con la relación de un triángulo rectángulo, las funciones trigonométricas y el
teorema presentado anteriormente, tenemos las siguientes reglas de
derivación:
𝟏 𝑫𝒔𝒆𝒏 𝟏𝒙 =
𝟏
√𝟏 − 𝒙𝟐
− 𝟏 < 𝑥 <
𝟐 𝑫𝒄𝒐𝒔 𝟏𝒙 =
−𝟏
√𝟏− 𝒙𝟐
− 𝟏 < 𝑥 <
𝟑 𝑫𝒕𝒂𝒏 𝟏𝒙 =
𝟏
𝟏 𝒙𝟐
𝟒 𝑫𝒔𝒆𝒄 𝟏𝒙 =
𝟏
𝒙 √𝒙𝟐 − 𝟏
𝒙 >
Definición
𝒇 𝟏 𝒚 =
𝟏
𝒇´ 𝒙
Definición
Para una función derivable, cumpliendo que 𝑓 ´ 𝑥 0 en un punto donde
𝑦 = 𝑓 𝑥 :
10. La derivada
51
Ejemplo 13
Encuentre la derivada de:
= n √
Solución
Primero se designa = √ por lo tanto, en primera instancia nuestra
ecuación es:
=
La derivada es:
´ =
Ahora se debe de encontrar , para ello se utiliza la regla de la potencia:
=
=
=
√
Se sustituye el valor de y .
´ =
√
Finalmente:
´ =
√
10. La derivada
52
10.2.5 REGLA PARA LA DERIVADA DE LOGARITMO NATURAL
Esta regla puede combinarse también con cambio de variable cuando se necesite y
combinarse con funciones trigonométricas.
Ejemplo 14
Encuentre la derivada de = √
Solución
Se cambia la variable por = √ , por lo tanto, la derivada a resolver es ´ =
Aplicando la regla de la derivada de un logaritmo natural se obtiene:
´ =
Ahora la derivada de
=
=
Se sustituye el valor de y
´ =
√
(
) =
√
(
√
)
´ =
𝑫𝒍𝒏𝒙 =
𝟏
𝒙
Definición
La derivada de un logaritmo natural (𝑙𝑛), considerando que 𝑥 > 0 es:
10. La derivada
53
Ejemplo 15
Encuentre la derivada de:
= ln
Solución
Haciendo un cambio de variable por = , la derivada a resolver es:
= ln .
Resolviendo la derivada se tiene:
´ =
Ahora la derivada de .
=
Se sustituye el valor de y .
´ =
Quedando:
´ =
Se utiliza la identidad trigonométrica de cotangente:
´ =
10. La derivada
54
El uso de las propiedades de los logaritmos también se puede aplicar previamente
a la derivación.
Ejemplo 16
Encuentre la derivada de:
= √
−
Solución
Se expresa la raíz como una potencia racional.
= (
−
)
Se aplican las propiedades de los logaritmos:
=
ln (
−
) =
[ln − − ]
=
[ln − − ] =
[ln − − ]
En esta última expresión se utiliza la definición de derivada de un logaritmo
´ =
[
−
−
]
𝑙𝑛 = 0 𝑙𝑛𝑎𝑏 = 𝑙𝑛𝑎 𝑙𝑛𝑏
𝑙𝑛
𝑎
𝑏
= 𝑙𝑛𝑎 − 𝑙𝑛𝑏 𝑙𝑛𝑎𝑟 = 𝑟𝑙𝑛𝑎
Recuerda que…
Las propiedades de los logaritmos son:
10. La derivada
55
Ejemplo 17
Encuentre la derivada de:
=
Solución
Esta derivada merece que se ejecute en 3 secciones que tendrán su cambio
respectivo de variable y finalmente aplicar la regla del cociente.
Paso 1 Desarrollo de las derivadas del numerador.
𝑦´ =
𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑦´ =
𝑥
𝑥
𝑦´ =
𝑥
𝑥
𝒚´ =
𝟑
𝒙
a) 𝑦 = 𝑙𝑛𝑥
Primero se cambia la variable𝑢 =
𝑥 y la derivada de u queda
𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝑥 .
La derivada de 𝑦 = 𝑙𝑛𝑢 es:
Se sustituye el valor de u y
du/dx.
Se realiza álgebra
𝑦´ = 𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑦´ = 𝑙𝑛𝑥 (
𝑥
)
𝒚´ =
𝟑 𝒍𝒏𝒙 𝟐
𝒙
b) 𝑦 = 𝑙𝑛𝑥
Primero se cambia la variable
𝑢 = 𝑙𝑛𝑥 y la derivada de 𝑢 es
𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝑥
La derivada de 𝑦 = 𝑢 es:
Se sustituye el valor de u y
du/dx.
Reacomodando:
10. La derivada
56
Paso 2 Desarrollo de la derivada del denominador.
=
Primero se cambia la variable = y la derivada de u es = −
La derivada de =
´ =
Se sustituye el valor de y
´ = −
Se reacomoda
´ = −
Paso 3 Desarrollo de la derivada usando la regla del cociente.
´ =
−
= ´ =
= ´ = −
Se arma la derivada
´ =
* (
)+ − [ − ]
Se ordena.
´ =
* (
)+ [ ]
10. La derivada
57
10.2.6 REGLA PARA LA DERIVADA DE LOGARITMO DE
CUALQUIER BASE
Ejemplo 18
Encuentre la derivada de =
Solución
Primero se cambia la variable = y la derivada de es = .
La derivada de = queda como:
´ =
⁄
ln
Se sustituye el valor de y
´ =
ln
Se ordena
´ =
𝑫𝒍𝒐𝒈𝒂𝒙 =
𝟏
𝒙
𝟏
𝒍𝒏 𝒂
Definición
La derivada de un logaritmo base “𝑎”, 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 es:
10. La derivada
58
10.2.7 REGLA PARA LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN
EXPONENCIAL
Se define la función exponencial como la inversa del logaritmo natural, la función
exponencial es por tanto derivable.
Al igual que la derivada de logaritmo natural en la exponencial también existe
cambio de variable.
Ejemplo 19
Encuentre la derivada de =Solución
Primero se cambia la variable = y la derivada de u es = .
La derivada de = es:
´ =
Se sustituye el valor de y
´ =
Reacomodando
´ =
𝑫𝒆𝒙 = 𝒆𝒙
Definición
La derivada de una función exponencial es la propia función exponencial.
10. La derivada
59
Ejemplo 20
Encuentre la derivada de =
Solución
Se aplica la regla del producto y en cada miembro de la función se hace un cambio
de variable.
Se aplica la regla del producto
[ ] =
Acomodando la función se tiene:
´ = [ ] − [ ]
𝑑𝑢 𝑑𝑥 =
𝑓 ´ 𝑥 = −𝑠𝑒𝑛𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑓 ´ 𝑥 = − 𝑠𝑒𝑛 𝑥
a) 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥
Primero se cambia la variable𝑢 =
𝑥
La derivada de 𝑢
La derivada de 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑢:
Se sustituye el valor de 𝑢 y 𝑑𝑢 𝑑𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 𝑙𝑛𝑥
𝑔´ 𝑥 = 𝑒𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑔´ 𝑥 = 𝑙𝑛𝑥 𝑒 𝑥𝑙𝑛𝑥
b) 𝑔 𝑥 = 𝑒 𝑥𝑙𝑛𝑥
Primero se cambia la variable𝑢 =
𝑥𝑙𝑛𝑥
La derivada de 𝑢
La derivada de 𝑔 𝑥 = 𝑒𝑢:
Se sustituye el valor de 𝑢 y
𝑑𝑢 𝑑𝑥
10. La derivada
60
Eje Ejemplo21
Encuentre la derivada de:
= √ √
Solución
Se usa la regla de la suma, se realizan las dos derivadas por separado y después se
suman.
a) = √
Primero se cambia la variable = √
La derivada de .
=
La derivada de = .
´ =
Se sustituye el valor de y
´ = √ (
)
´ =
√
√
10. La derivada
61
b) = √
Primero se expresa como potencia.
√ =
Se cambia la variable =
Por lo tanto = , la derivada es:
=
Se sustituye el valor de y
´ = [
]
Aplicando las leyes de los exponentes se tiene:
´ =
√
Se suman las derivadas.
´ =
√
√
√
Finalmente se obtiene:
´ =
√ [
√
] =
√ *
√
√
+
Finalmente.
´ =
√
√
√
10. La derivada
62
10.2.8 REGLA PARA LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN POTENCIA
Para una función potencia recordemos que la forma es: = y que ésta se
puede representar como un logaritmo de la forma:
= =
Ejemplo 22
Encuentre la derivada de:
= (√ )
Solución
Se aplica la regla de la derivada de la función potencia.
= (√ )
√
𝑫𝒂𝒙 = 𝒂𝒙𝒍𝒏𝒂
Definición
La derivada de una función potencia es:
10. La derivada
63
10.2.9 REGLA DE LA CADENA
La regla de la cadena es una generalización del procedimiento del cambio de
variable aplicado en la derivada. Este método facilita la solución de la derivada, se
menciona en algunos textos que su desarrollo fue pensado para derivar polinomios
elevados a exponentes muy grandes.
Por ejemplo, la derivada de:
= 0
Alguien podría proponer el desarrollo del polinomio, lo que es difícil en términos de
tiempo y de escritura, ya que se debe de multiplicar 120 veces y
después derivar el polinomio resultante. Afortunadamente la regla de la cadena
ayuda a escribir rápidamente:
´ = 0
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒅𝒚
𝒅𝒖
𝒅𝒖
𝒅𝒙
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒇´[𝒈 𝒙 ][𝒈´ 𝒙 ]
Definición
La regla de la cadena para una función diferenciable en 𝑥 y en 𝑢.
O bien si 𝑦 = 𝑓 𝑢 y 𝑢 = 𝑔 𝑥 entonces
10. La derivada
64
Ejemplo 23
Encuentre la derivada de:
=
Solución
Se expresa el cociente utilizando las propiedades de los exponentes como:
=
Ahora es , por lo que aplicamos la regla de la cadena:
=
= − 0
Reacomodamos
´ = −
10.2.10 REGLA DE LA CADENA COMPUESTA
La regla de la cadena puede extenderse a más de una variable, por ello se tiene la
regla de la cadena compuesta.
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒅𝒚
𝒅𝒖
𝒅𝒖
𝒅𝒗
𝒅𝒗
𝒅𝒙
Definición
La regla de la cadena para una función diferenciable en 𝑥 y en 𝑢.
10. La derivada
65
Ejemplo 24
Encuentre la derivada de:
=
Solución
Se utiliza la regla de la cadena compuesta, por lo que utilizamos la siguiente tabla:
Ahora se conforma la derivada.
´ =
Se sustituyen las funciones de y
´ =
Finalmente se reacomoda.
´ =
Otra forma de ver la regla de la cadena compuesta es la siguiente:
Funciones Derivadas
=
=
=
=
=
=
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒇´[𝒈 𝒙 ][𝒈´ 𝒙 ][𝒉´ 𝒙 ]
O bien si 𝑦 = 𝑓 𝑢 , 𝑢 = 𝑔 𝑣 y 𝑣 = ℎ 𝑥 , entonces
10. La derivada
66
10.2.11 DERIVACION EXPLÍCITA
Otra forma de realizar las derivadas de la regla de la cadena compuesta es
desarrollarla de forma explícita, para ello se puede hacer este proceso por etapas,
indicando las derivadas que faltan al mismo tiempo que se van elaborando.
Ejemplo 25
Encuentre la derivada de:
=
Solución
Vamos de afuera hacia adentro derivando:
´ =
Ahora se deriva la función seno:
´ = o
Se deriva entonces el ángulo de la función:
´ = o
Finalmente se reacomoda.
´ =
10. La derivada
67
10.3 Derivadas de orden superior
La derivada de orden superior no es más que seguir realizando el proceso de
derivación, es decir encontrar la primera, segunda, tercera, etc. derivada de una
función, la siguiente tabla ejemplifica las diferentes notaciones para las derivadas
de orden superior (ver Tabla 10.4).
Tabla 10.4
Notaciones para las derivadas de orden superior
Derivada ´ ´
Primera ´ ´
Segunda ´´ ´´
Tercera
´´´ ´´´
Cuarta
´´´´ ´´´´
Quinta
n- ésima
10. La derivada
68
Aunque la notación de Leibniz es más complicada, se prefiere en muchos estudios
matemáticos, por ejemplo, para la segunda derivada se escribe:
(
) =
Eje Ejemplo 26
Encuentre la tercera derivada de:
= − −
Solución
Se realiza la primera derivada:
´ = −
La segunda derivada.
´´ = −
Y finalmente la tercera derivada
´´´ =
Eje Ejemplo 27
Encuentre la tercera derivada de:
=
Solución
Para la primera derivada se tiene:
´ = −
10. La derivada
69
La segunda derivada.
´´ = −
Y finalmente la tercera derivada.
´´´ = −
Esta derivada se puede generalizar como:
´´´ = −
Como se ve, se puede generalizar la derivación implícita. En el siguiente ejercicio
veamos cómo se ejecuta con una derivada más complicada.
Eje Ejemplo 28
Encuentre la tercera derivada de la siguiente función:
=
−
Solución
La regla de derivación que se utilizará es la del cociente:
´ =
−
Para la primera derivada se tiene:
= ´ =
= − ´ =
10. La derivada
70
´ =
− −
−
´ =
− − −
−
´ =
− − −
−
La segunda derivada.
´´ =
−
Se tiene:
= − − − ´ = − −
= − ´ = −
´´ =
[ − − − ] − [ − − − − ]
[ − ]
Se factoriza −
´´ =
− [ − − − − − − − ]
−
´´ =
[ − −− − − − − ]
−
10. La derivada
71
´´ =
− −
−
´´ =
−
La tercera derivada.
´´´ =
−
Se tiene:
= ´ =
= − ´ = − = −
´´´ =
[ − ] − [ − ]
[ − ]
Se factoriza − .
´´´ =
− [ − ] − [ ]
−
´´´ =
− − − − −
−
72
Ejercicios de refuerzo
UNIDAD 10 LA DERIVADA
− = −
− = −
− =
− = √
− =
− =
− =
− =
𝑓 ´ 𝐴 = lim
ℎ→0
𝑓 𝐴 ℎ − 𝑓 𝐴
ℎ
I. Encuentre la derivada que se indican en el punto 𝒙 = 𝟐, utilizando la
definición básica.
10. La derivada
73
− = −
0 − =
√
II. Utilice las reglas de derivación
para las siguientes funciones
algebraicas.
− =
− = √
− =
− = −
− =
− = − − −
− =
− = −
− =
0 − =
−
√
− = − −
− = −
− = − −
− =
− =
−
− =
−
−
− =
−
− =
− =
−
−
0 − =
√
−
III. Utilice las reglas de derivación
para las siguientes funciones
trigonométricas.
− = −
− =
− =
− =
10. La derivada
74
− =
− =
−
− =
− =
− =
0 − =
−
− =
− =
(
)
− =
− =
−
− =
−
− =
−
− =
− =
√
√
− = √
0 − =
− =
− = √
− =
− =
− =
− = (
)
− = √
− = (
)(√
)
− =
0 − =
10. La derivada
75
IV. Utilice la regla de la cadena para
encontrar la derivada.
− = −
− = −
− = −
− =
√ − −
− = [ ]
− = (
)
− =
− = (
−
)
− = (
−
)
0 − = (
)
− =
−
− =
−
−
− =
−
−
− =
− = *
√
+
V. Utilice la regla de la cadena
compuesta para encontrar la
derivada de las siguientes
funciones.
− =
− = −
− = (
−
)
− =
0 − =
− = [ o ]
10. La derivada
76
− = [ n ]
− = [ n (
)]
VI. Derive las siguientes funciones
logarítmicas.
− = ln −
− = √
− = ln
− =
− =
− = √
0 − =
− ln (
)
− = √
− = ln ( − √ )
− = ln
− = ln (
)
− =
VII. Utilice las propiedades de los
logaritmos para desarrollar las
siguientes derivadas.
− = ln
− = √ −
− =
− = (
−
)
00 − =
√ −
√ −
0 − =
0 − =
√
10. La derivada
77
VIII. Derive as siguientes
funciones exponenciales.
0 − =
0 − = √
0 − =
0 − =
0 − =
0 − = √ − √
0 − =
0 − =
⁄
− =
− =
− =
− = √
− = √
− =
− =
− =
− =
0 − =
IX. Realice la tercera derivada para
las siguientes funciones.
− = − −
− = −
− =
− =
− =
− =
−
− =
− =
− =
0 − =
10. La derivada
78
11. Derivada implícita
79
Capítulo once
Derivada implícita
Una función implícita puede representar a
funciones de más de una variable
independiente y a más de una función.
Una derivada implícita
se asemeja a una
reacción química
simultánea y paralela,
donde el reactante
participa en varias
reacciones químicas,
en nuestro caso el
reactante representa
la operación de
derivar.
“De una presentación intrincada a una
solución sencilla es la sorpresa que entrega
la derivada implícita”.
11. Derivada implícita
80
11.1 Definición de una función implícita
Existen funciones que presentan una gran dificultad para dejarla en términos de una
sola variable; es decir no se puede despejar a una variable de la otra para realizar el
proceso de derivación.
La siguiente ecuación es un ejemplo de una
función explicita:
= −
Donde la función está en términos de , que
es la variable independiente, lo que hace que
la función sea clara y detalla la relación de
estas variables.
Por otro lado, también existen funciones que
no se pueden expresar de esta manera como
la siguiente ecuación:
=
El tratar de despejar cualquiera de las dos variables, no es tan sencilla, debido a
que una variable está en función de otra variable y viceversa.
La derivada implícita tiene que ver con derivar ambas variables al mismo tiempo,
lo que se puede ejemplificar como la ama de casa que realiza dos quehaceres
simultáneamente.
𝑓 𝑥 𝑦 = 0
Definición
Una función se llama implícita cuando se define de la forma:
11. Derivada implícita
81
Ejemplo 1
De las siguientes funciones indique si son funciones explicitas o implícitas.
= −
=
= √ −
− − − = 0
Solución
= −
Primero se despeja alguna de las variables, se escoge y debido a que es lineal el
exponente.
= −
Se despeja a y.
−
=
En esta función se pudo separar la variable en un lado y en otro lado de la
igualdad, por lo tanto es una función explícita.
=
Se divide la ecuación entre .
=
=
11. Derivada implícita
82
Se despeja a
=
Por lo tanto, es una función explícita.
= √ −
Se despeja a .
Se eleva al cuadrado ambos miembros de la función.
(
)
= (√ − )
= −
= −
De cualquiermanera, que se trate de despejar a x o y, no se logra expresar la función
en términos de una sola variable, es decir tener a de un lado de la igualdad y a
del otro lado. Por lo tanto, se tiene una función implícita.
− − − = 0
Se agrupan las variables para factorizar.
− = − −
− = − −
Como se aprecia en la ecuación, no se logra establecer la separación de variables.
Por lo tanto, es una función implícita.
11. Derivada implícita
83
Pasos para derivar funciones implícitas:
1. Derivar ambos miembros de la igualdad, aplicando las reglas vistas con
anterioridad.
2. Despejar 𝑑𝑦 𝑑𝑥
Agrupar los términos de la función de acuerdo a su derivada.
Factorizar en el lado izquierdo a 𝑑𝑦 𝑑𝑥
Despejar a 𝑑𝑦 𝑑𝑥
Recuerde, tener cuidado de tratar a la variable dependiente y, exactamente
como una variable.
11.2 Métodos de derivación implícita
Los métodos que se emplean para encontrar la derivada implícita es a través de la
separación de términos y del método del cociente.
11.2.1 MÉTODO DE SEPARACIÓN DE TÉRMINOS
Para desarrollar la derivada implícita se deberá de recurrir a las reglas ya vistas (regla
de la potencia, cociente, producto, de la cadena, cambio de variable y
trigonométricas) para derivar ambos miembros de la igualdad y finalmente despejar
a ; que es la derivada de la función , veamos esto en el siguiente recuadro.
11. Derivada implícita
84
Ejemplo 2
Derive la siguiente función − =
Solución
Se derivan ambos miembros de la función.
−
=
Es decir:
−
=
Se factoriza .
− =
Se despeja .
=
−
La derivada es:
´ =
−
Se lleva a la mínima expresión.
´ =
−
Finalmente:
´ =
−
11. Derivada implícita
85
Demostración
Como ya se mencionó, la derivación implícita se utiliza cuando la variable
dependiente no se puede despejar, pero podemos tener una función explicita
aplicando el método de la derivación implícita, para ver que esto es equivalente.
Encontrar la derivada de la siguiente función.
− = −
Primero se despeja la variable dependiente.
− = −
=
−
−
Se deriva utilizando la regla del cociente.
´ =
−
Para la primera derivada se tiene:
= − ´ =
= − ´ =
´ =
− − −
−
´ =
− −
−
´ =
−
−
11. Derivada implícita
86
Ahora se desarrolla la derivada implícita.
− = −
Se realiza regla del producto en el lado izquierdo de la ecuación.
− = −
−
=
Se agrupan términos.
−
=
−
Se factoriza
− = −
Se despeja
=
−
−
Finalmente, la derivación implícita de la función es:
´ =
−
−
Las ecuaciones encontradas lucen diferentes:
Derivación explícita Derivación implícita
´ =
−
−
´ =
−
−
11. Derivada implícita
87
Para realizar la demostración se utiliza la derivada encontrada por el método
implícito.
´ =
−
−
Se sustituye el valor de de la ecuación original y se sustituye en la derivada
encontrada por el método implícito.
´ =
− (
)
−
Se realiza álgebra.
´ =
− (
)
−
Resolviendo la fracción superior.
´ =
−
´ =
− − −
−
´ =
− −
−
´ =
−
−
Como se ve, se llegó a la misma ecuación encontrada por el método explícito.
11. Derivada implícita
88
Ejemplo 3
Derive la siguiente función − = 0
Solución
Se derivan ambos miembros de la función.
− = 0
Es decir.
−
= 0
−
= 0
Se factoriza
− = 0
Se despeja .
=
−
−
Finalmente, la derivada es:
´ =
−
11. Derivada implícita
89
Eje Ejemplo 4
Derive la siguiente función − =
Solución
Se derivan ambos miembros de la función.
− =
1.- Se desarrollan cada una de las derivadas, se inicia con .
=
2.- Ahora se utiliza regla del producto para .
=
=
=
3.- Se continua con la derivada de , primero se deriva la función
trigonométrica con cambio de variable.
=
11. Derivada implícita
90
Para derivar el ángulo de se utiliza la regla del producto.
=
=
=
Esta derivada queda como:
= −
Ahora se sustituye y .
= − (
)
4.- Finalmente la derivada de .
= 0
Ahora se unen las derivadas.
− (
) − (
) = 0
−
− −
− = 0
Se reorganiza.
−
− −
− = 0
11. Derivada implícita
91
Se factoriza
− − − − = 0
Se despeja .
=
− −
La derivada queda como:
´ =
− −
11.2.2 MÉTODO DEL COCIENTE
Otra manera de realizar la derivada implícita es mediante el cociente de las
diferenciales, es decir se deriva la función en términos de una variable y después en
función de otra variable y se desarrolla algebraicamente el cociente.
𝑓 ´ 𝑥 = −
𝑑𝑓 𝑑𝑥
𝑑𝑓 𝑑𝑦
Definición
La derivada implícita mediante el método del cociente es:
11. Derivada implícita
92
Eje Ejemplo 5
Derive la siguiente función utilizando el método del cociente:
= 0
Solución
Primero se deriva la función en términos de , por lo que la variable se considera
una constante, la función se expresa de la siguiente forma:
= (
)
= (
) −
=
−
=
−
Se expresa el cociente con un denominador común
=
−
Ahora la función original se deriva en términos de , manteniendo constante .
= (
)
= −
11. Derivada implícita
93
= −
Es decir:
=
−
Se expresa el cociente con un denominador común.
=
−
Finalmente se realiza el cociente.
´ = −
´ = −
Se realiza la regla de las fracciones, que es multiplicar los extremos para conformar
el numerador y multiplicar los medios para establecer el denominador.
´ = −
−
−
Se realiza.
´ = −
−
−
Finalmente se tiene:
´ = −
−
−
94
Ejercicios de refuerzo
UNIDAD 11 DERIVADA IMPLÍCITA
I. Clasifique las siguientes funciones como explícitas o implícitas
−
− = 0
− − = 0
− − = 0
− = 0
− = 0
− − = 0
− − = 0
= 0
− − =
0
−
− = 0
11. Derivada implícita
95
I. Derive las siguientes
funciones implícitas, por el método
de separación de variables.
==
− =
=
− = 0
− = 0
− = 0
√ − = 0
√ − − = 0
0
− √
− = 0
− − = 0
o − − = 0
n − = 0
− − √ = 0
− = 0
− − = 0
− −
− − = 0
0 − √
II. Derive las siguientes
ecuaciones implícitas utilizando el
método del cociente.
− = 0
= 0
= 0
−
− = 0
= 0
= 0
−
= 0
= 0
0
−
= 0
11. Derivada implícita
96
12. Máximos y mínimos
97
Capítulo doce
Máximos y mínimos
En el estudio de máximos y mínimos es
imprescindible el uso de las herramientas del
cálculo diferencial, ya que la derivada es el
primer paso para lograr encontrar estos puntos
La idea matemática de
una curva que presenta
un máximo y un
mínimo, se puede ver
como el consumo de
sustrato por algún
organismo es un
ejemplo de la aplicación
de las derivadas a la
química.
“Los dos extremos como el bien y el mal
pueden ser unidos por el cálculo diferencial”
Fotografía de Paul Myers-Bennett.
12. Máximos y mínimos
98
12.1 Concepto de máximos y mínimos y puntos de
inflexión
Como se ha visto cuando se calcula la derivada, se
está hallando la tangente, ésta representa un
cambio en la posición de la variable, como por
ejemplo con respecto al tiempo; en química este
concepto se aplica a la obtención de productos.
A través de la derivación, se puede encontrar el
momento donde se halle el punto máximo o el
punto mínimo de la función (ver Figura 12.1). Por
lo tanto, se puede encontrar el instante en que
una reacción química genera la mayor cantidad de
producto, así como el momento en que ésta
proporciona la mínima cantidad de producto. Este
punto se encuentra cuando la pendiente de la
línea tangente a la gráfica es cero.
Si tenemos una curva, cuya
función tiene un dominio en S,
solo queda preguntarnos por:
1.- ¿La función tiene un punto
máximo o mínimo?
2.- ¿Si existe un punto máximo
o mínimo, en qué lugar se
encuentra?
Figura 12.1
Curva que presenta un máximo y un mínimo
12. Máximos y mínimos
99
Para encontrar un máximo o un mínimo en una función, se debe cumplir la siguiente
definición:
Cuando se buscan los puntos máximos y mínimos de una función, debemos
encontrar los puntos críticos (puntos frontera, singulares y estacionarios) ver Figuras
12.2, 12.3, 12.4 y 12.5.
Figura 12.2 Puntos críticos dentro de una función
Puntos frontera
Es el intervalo donde se va a maximizar o a
minimizar una función, estos extremos
pueden ser con intervalos cerrados o
abiertos (ver Figura 12.3).
Puntos críticos
Estacionario
Singular Frontera
Definición
Sea c, un punto en el dominio S de 𝑓, se dice que:
1. 𝑓 𝑐 es un valor máximo de 𝑓, si 𝑓 𝑐 ≫ 𝑓 𝑥 .
2. 𝑓 𝑐 es un valor mínimo de 𝑓, si 𝑓 𝑐 ≪ 𝑓 𝑥 .
3. 𝑓 𝑐 es un valor extremo de 𝑓 en S, si es un máximo o mínimo.
Con la condición de que la función 𝑓, sea continua en un intervalo cerrado, para la
existencia de máximos o mínimos.
Figura 12.3 Puntos frontera
12. Máximos y mínimos
100
Puntos estacionarios
Son los puntos en donde la tangente
de la gráfica se hace horizontal, es
decir la pendiente es cero (ver Figura
12.4) se puede decir que existe una
inflexión en la curva en este punto.
Puntos singulares
Cuando existe un “salto” en la gráfica o
una tangente a la curva vertical, se le
conoce como punto singular, es raro en
la práctica, pero por ejemplo en una
curva de titulación, al monitorear el pH
en una reacción de neutralización se
puede observar una tangente con
pendiente vertical (ver Figura 12.5).
El uso y conocimiento de los puntos críticos, conduce al siguiente teorema:
Figura 12.4 Puntos estacionarios
Definición
Teorema del punto critico
Si f es definida en un intervalo S, que contiene a c, solo podrá ser:
1. Un punto frontero de S.
2. Un punto estacionario de f, que se cumple cuando 𝑓 ´ 𝑐 = 0.
3. Punto singular de 𝑓 en el que 𝑓 ´ 𝑐 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
Figura 12.5 Puntos singulares
12. Máximos y mínimos
101
12.2 Criterios de la primera y segunda derivada para
determinar máximos y mínimos
Para determinar si existe un máximo o un mínimo, es necesario encontrar los puntos
críticos de la función esto se estudia con el criterio de la primera derivada.
12.2.1 CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
El criterio de la primera derivada sigue los siguientes pasos:
1. Se deriva la función.
2. Se iguala la derivada encontrada a cero.
3. Se despeja el valor de .
4. Se evalúa la función con estos valores y se determina si es máximo o
mínimo.
Eje Ejemplo 1
Encuentre los puntos críticos de la función = − , sobre el intervalo
[− ].
Solución
1) Se tiene que los extremos son los primeros puntos críticos, ya que estos son
los puntos frontera.
2) Se deriva la función obteniendo: ´ = −
3) Se iguala a cero la derivada: − = 0
12. Máximos y mínimos
102
Se factoriza y se calculan las raíces de la derivada:
− = 0
= 0 =
Los puntos críticos de la función son:
(− 0
)
Finalmente se evalúa la función en cada punto crítico:
− =
0 = 0
(
) = 0
= −
Se grafican los puntos críticos para construir la gráfica.
El máximo de la función es 5, que se obtiene con = − y el mínimo es − que se
obtiene con = , coincide con los puntos frontera.
12. Máximos y mínimos
103
Figura 12.6 Crecimiento y decrecimiento
de una función
Debido a que la derivada representa la tangente, se puede decir que la derivada
relaciona el crecimiento o decrecimiento de una función.
Considere la siguiente gráfica,
considerando el teorema
anterior, se puede observar que
de la izquierda hacia la derecha
hasta llegar al punto “ ”, la
función decrece, por lo que la
derivada en este intervalo es
menor a cero y del punto “ ”
hacia la derecha la derivada en
este intervalo es creciente.
Recuerda que…
Si la pendiente es:
Positiva, la función es creciente.
Negativa, la función es decreciente
Definición
Teorema de la primera derivada
𝑓 ´ 𝑥 > 0 La función es creciente
𝑓 ´ 𝑥 < 0 La función es decreciente
12. Máximos y mínimos
104
Ejemplo 2
Encuentre donde es creciente y en donde decreciente la función:
=
− −
Solución
Primero se deriva la función:
´ = − 0 −
Ahora se factoriza y se iguala a cero.
− 0 − = 0
− − = 0
− = 0
Se tiene que los puntos − son estacionarios.
Se grafica la función evaluando en
la ecuación original estos puntos.
− =
= −
Al analizar la gráfica se tiene que:
[− − ] Es creciente
− Es decreciente
[ ] Es creciente
12. Máximos y mínimos
105
12.2.2 CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA
Recuerde que la primera derivada, proporciona la pendiente de la recta tangente de
la función, la segunda derivada proporciona la concavidad de una función (ver Figura
12.7).
Figura 12.7 Recorrido que hace la tangente en una gráfica, a) cóncava hacia arriba
y b) cóncava hacia abajo.
Por lo tanto, se puede establecer el teorema de concavidad:
Una vez encontrada la segunda derivada se plantea la desigualdad a la que se le dará
solución.
Definición
Teorema de la segunda derivada
𝑓 ´´ 𝑥 > 0 La función es cóncava hacia arriba
𝑓 ´´ 𝑥 < 0 La función
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