AL-2007II-Q2

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Quiz II – Álgebra Lineal
Septiembre 27 de 2007
(2 Puntos) I. Diga cuál de las siguientes dos aplicaciones es una transformación
lineal T : R3 → R2 (justifique matematicamente su respuesta):
1. T
0@ xy
z
1A = „ x + y − 1
y − 2x + 1
«
.
2. T
0@ xy
z
1A = „ 2x + y
y − 2x
«
.
(2 Puntos) II. Encuentre la matriz, respecto a las bases canónicas de R3 y R2, de
la transformación lineal del punto anterior.
(2 Puntos) III. Encuentre la matriz de la transformación lineal del punto anterior
ahora respecto a las bases
BR3 =
8<:
0@ 10
0
1A ,
0@ 1−1
0
1A ,
0@ 11
1
1A9=; , BR2 =
„
1
0
«
,
„
1
1
«ff
de R3 y R2, respectivamente.
Solución
I. Dado que, para la primera aplicación, T
0@ 00
0
1A = „ −1
1
«
6=
„
0
0
«
, tal
aplicación no puede ser una transformación lineal. La segunda, en cambio, cumple
con las dos propiedades:
(i) T (~x + ~x′) = T (~x) + T (~x′) y
(ii) T (α~x) = αT (~x),
1
ya que
T
0@0@ xy
z
1A +
0@ x′y′
z′
1A1A = „ 2(x + x′) + (y + y′)
(y + y′)− 2(x + x′)x
«
=
„
2x + y
y − 2x
«
+
„
2x′ + y′
y′ − 2x′
«
= T
0@ xy
z
1A + T
0@ x′y′
z′
1A
y
T
0@α
0@ xy
z
1A1A = „ 2αx + αy
αy − 2αx
«
= α
„
2x + y
y − 2x
«
= α T
0@ xy
z
1A ,
luego T , dada en 2, es una transformación lineal.
II. La matriz de la transformación lineal, respecto a las bases canónicas de R3
y R2, del punto anterior es la matriz cuyas columnas son la imagen, bajo T , de los
vectores de la base canónica de R3, es decir:„
2 1 0
−2 1 0
«
.
III. La matriz de la transformación lineal, respecto a las bases
BR3 =
8<:
0@ 10
0
1A ,
0@ 1−1
0
1A ,
0@ 11
1
1A9=; , BR2 =
„
1
0
«
,
„
1
1
«ff
de R3 y R2, respectivamente, es la matriz cuyas columnas son la imagen, bajo T , de
los vectores de la base BR3 de R3, ahora escritos en las coordenadas de la base BR2 .
Por la definición de T tenemos que
T
0@ 10
0
1A = „ 2−2
«
, T
0@ 1−1
0
1A = „ 1−3
«
, T
0@ 11
1
1A = „ 3−1
«
,
y dado que „
2
−2
«
= (4)
„
1
0
«
+ (−2)
„
1
1
«
,„
1
−3
«
= (4)
„
1
0
«
+ (−3)
„
1
1
«
,„
3
−1
«
= (4)
„
1
0
«
+ (−1)
„
1
1
«
,
tenemos que24T
0@ 10
0
1A35
BR2
=
„
4
−2
«
,
24T
0@ 1−1
0
1A35
BR2
=
„
4
−3
«
,
24T
0@ 11
1
1A35
BR2
=
„
4
−1
«
,
aśı que la matriz que buscamos es:„
4 4 4
−2 −3 −1
«
.
2