AL-2008-I-P2

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Parcial II – Álgebra Lineal
Marzo 27 de 2008
(4 Puntos) I. Responda falso o verdadero, justificando (con un contraejemplo o una prueba, respecti-
vamente) su respuesta.
(i) El conjunto A2(R) =
˘
A ∈ M2(R) | AT = −A
¯
de matrices 2 × 2 antisimétricas es un subespacio
vectorial de M2(R) con las operaciones usuales.
(ii) El volumen del paraleleṕıpedo formado por los vectores (1, 2, 2), (0, 1, 1) y (−1, 0, 1) es 1.
(iii) El conjunto BP2 = {1, 1 + 2x, 2 + 2x} es una base para P2[x].
(iv) Si A es una matriz 3× 3 y det A = −3, entonces
det(2A′) = 24,
donde A′ es la matriz obtenida al intercambiar dos filas en la matriz A.
(8 Puntos) II. Considere la aplicación T : P2[x] → M2(R) dada por
T (a0 + a1x + a2x
2) =
„
a2 − a0 a1
−a1 a0 − a2
«
.
(i) Demuestre que tal aplicación es una transformación lineal.
(ii) Encuentre el nucleo (espacio nulo) y el rango (espacio imagen) de la transformación.
(iii) Encuentre la matriz MT de la transformación lineal respecto a las bases BP2 =
˘
1, 1 + 2x, 1 + 2x− x2
¯
para P2[x] y BM2 =
„
1 0
0 0
«
,
„
1 1
0 0
«
,
„
1 1
1 0
«
,
„
1 1
1 1
«ff
para M2(R).
(iv) Si p(x) = 1 + x + x2, encuentre [p(x)]BP2 , [T (p(x))]BM2 y verifique que
[T (p(x))]BM2 = MT [p(x)]BP2 .
(5 Puntos) III. Considere el sistema de ecuaciones lineales8<:
x1 + 2x2 + 2x3 = 1
x2 + x3 = 2
−x1 + x3 = −1
(i) Escriba el sistema en la forma A~x = ~b y, mediante el cálculo del determinante, diga si la matriz A
es invertible.
(ii) Resuelva el sistema usando la regla de Cramer.
Solución
I. (i) Verdadero. S1 A y B son matrices antisimétricas, entomces AT = −A y BT = −B,
lo que implica que
(A + B)T = AT + BT = −A−B = −(A + B),
y, si α ∈ R,
(αA)T = α(AT ) = α(−A) = −(αA),
luego el de matrices antisimétricas (independientemente de su tamaño) es un subespacio vectorial
con las operaciones usuales.
(ii) Verdadero. El volumen del paraleleṕıpedo formado por los vectores (1, 2, 2), (0, 1, 1) y
(−1, 0, 1) está dado por el determinante de la matriz 3 × 3 cuyas columnas (o filas) son los tres
vectores dados. Aśı,
Volumen = det
 1 0 −12 1 0
2 1 1
 = (1) det( 1 01 1
)
− (0) det
(
2 0
2 1
)
+ (−1) det
(
2 1
2 1
)
= 1.
(iii) Falso. El conjunto BP2 = {1, 1 + 2x, 2 + 2x} no es una base para P2[x], ya que no es
linealmente independiente (el tercer polinomio es la suma de los dos primeros) ni es un conjunto
generador para P2[x] (ningún polinomio en el conjunto genera x2).
(iv) Verdadero. Si A es una matriz 3 × 3 y detA = −3, entonces la matriz A′ (obtenida al
intercambiar dos filas en la matriz A) tiene determinante igual a 3 y entonces
det(2A′) = 23 det A′ = (8)(3) = 24.
II. Considere la aplicación T : P2[x] → M2(R) dada por
T (a0 + a1x + a2x2) =
(
a2 − a0 a1
−a1 a0 − a2
)
.
(i) Para demostrar que tal aplicación es una transformación lineal debemos verificar que que
(a) T (p(x) + q(x)) = T (p(x)) + T (q(x)) y
(b) T (αp(x)) = αT (p(x)).
Primero, si p(x) = a0 + a1x + a2x2 y q(x) = b0 + b1x + b2x2, entonces
T (p(x)) =
(
a2 − a0 a1
−a1 a0 − a2
)
, T (q(x)) =
(
b2 − b0 b1
−b1 b0 − b2
)
,
luego
T (p(x)) + T (q(x)) =
(
a2 − a0 + b2 − b0 a1 + b1
−a1 − b1 a0 − a2 + b0 − b2
)
. (1)
Por otra parte, p(x) + q(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x2, luego
T (p(x) + q(x)) =
(
(a2 + b2)− (a0 + b0) a1 + b1
−(a1 + b1) (a0 + b0)− (a2 + b2)
)
, (2)
2
y comparando las ecuaciones (1) y (2) vemos que la primera condición se satisface. Ahora,
si α ∈ R,
αp(x) = αa0 + αa1x + αa2x2,
entonces
T (αp(x)) =
(
αa2 − αa0 αa1
−αa1 αa0 − αa2
)
= α
(
a2 − a0 a1
−a1 a0 − a2
)
= αT (p(x)),
luego T es una transformación lineal.
(ii) El nucleo (espacio nulo) de una transformación lineal T : P2[x] → M2(R) es, por definición,
N(T ) =
{
p(x) ∈ P2[x] | T (p(x)) =
(
0 0
0 0
)}
.
Aśı, si p(x) = a0 + a1x + a2x2 ∈ N(T ), entonces
T (p(x)) =
(
a2 − a0 a1
−a1 a0 − a2
)
=
(
0 0
0 0
)
,
es decir que
a2 − a0 = 0
a1 = 0
a0 − a2 = 0,
luego a0 = a2 y a1 = 0, por lo tanto un polinomio en el kernel de T es de la forma p(x) =
a0 + a0x2 = a0(1 + x2), luego
N(T ) = Sp{1 + x2}.
Por otra parte, el rango (espacio imagen) de la transformación lineal T : P2[x] → M2(R) es,
por definición,
R(T ) = {M ∈ M2(R) | M = T (p(x)) para algún p(x) ∈ P2[x]} .
Aśı, si M ∈ R(T ), entonces
M =
(
a2 − a0 a1
−a1 a0 − a2
)
= a0
(
−1 0
0 1
)
+ a1
(
0 1
−1 0
)
+ a2
(
1 0
0 −1
)
y, dado que la tercera matriz a la derecha no es independiente de las dos primeras (es, de
hecho, menos una vez la primera), solo las dos matrices lineales independientes generan el
espacio imagen de la transformación. Es decir que
R(T ) = Sp
{(
−1 0
0 1
)
,
(
0 1
−1 0
)}
.
(Nótese que, usando la ecuación del rango dim P2[x] = dim N(T ) + dim R(T ), dado que
dim P2[x] = 3 y dim N(T ) = 1, tenemos que dim R(T ) = 2, lo cual concuerda con el resultado
obtenido anteriormente.)
(iii) La matriz de la transformación lineal respecto a las bases BP2 y BM2 es, por definición, la
dada por  | | |[T (p1(x))]BM2 [T (p2(x))]BM2 [T (p3(x))]BM2
| | |
 (3)
3
donde p1(x) = 1, p2(x) = 1 + 2x, p3(x) = 1 + 2x − x2 son los tres polinomios de la base de
P2[x]. Usando la definición de la transformación tenemos que
T (1) =
(
−1 0
0 1
)
= (−1)
(
1 0
0 0
)
+ (0)
(
1 1
0 0
)
+ (−1)
(
1 1
1 0
)
+ (1)
(
1 1
1 1
)
,
T (1+2x) =
(
−1 2
−2 1
)
= (−3)
(
1 0
0 0
)
+(4)
(
1 1
0 0
)
+(−3)
(
1 1
1 0
)
+(1)
(
1 1
1 1
)
y
T (1+2x−x2) =
(
−2 2
−2 2
)
= (−4)
(
1 0
0 0
)
+(4)
(
1 1
0 0
)
+(−4)
(
1 1
1 0
)
+(2)
(
1 1
1 1
)
,
luego
[T (1)]BM2 =

−1
0
−1
1
 , [T (1 + 2x)]BM2 =

−3
4
−3
1
 y [T (1 + 2x− x2)]BM2 =

−4
4
−4
2
 ,
lo cual, puesto en las columnas de la matriz (3), nos da como matriz para la transformación
lineal T:
MT =

−1 −3 −4
0 4 4
−1 −3 −4
1 1 2
 .
(iii) Si p(x) = 1 + x + x2, entonces
p(x) = 1 + x + x2 = (
1
2
)(1) + (
3
2
)(1 + 2x) + (−1)(1 + 2x− x2),
luego
[p(x)]BP2 =
 123
2
−1
 .
Por otra parte,
T (p(x)) =
(
0 1
−1 0
)
= (−1)
(
1 0
0 0
)
+(2)
(
1 1
0 0
)
+(−1)
(
1 1
1 0
)
+(0)
(
1 1
1 1
)
,
luego [T (p(x))]BM2 =

−1
2
−1
0
 . Finalmente

−1 −3 −4
0 4 4
−1 −3 −4
1 1 2

 123
2
−1
 =

−1
2
−1
0
 ,
luego
MT [p(x)]BP2 = [T (p(x))]BM2 .
4
III. (i) La matriz A asociada al sistema de ecuaciones lineales x1 + 2x2 + 2x3 = 1x2 + x3 = 2−x1 + x3 = −1
es la misma que encontramos en el punto I (ii):
A =
 1 0 −12 1 0
2 1 1
 ,
luego el sistema se escribe  1 0 −12 1 0
2 1 1
  x1x2
x3
 =
 12
−1

y, dado que detA = 1, la matriz A es invertible.
(ii) Usando la regla de Cramer tenemos que
x1 =
det
 1 0 −12 1 0
−1 1 1

detA
=
−3
1
= −3,
x2 =
det
 1 1 −12 2 0
2 −1 1

detA
=
6
1
= 6,
y
x3 =
det
 1 0 12 1 2
2 1 −1

detA
=
−4
1
= −4,
como puede verificarse facilmente en las ecuaciones del sistema.
5